Исследование разрывных бифуркаций в негладких динамических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Нелинейная динамика. 2012. Т. 8. № 2. С. 231-247. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru

УДК: 531.4

М8С 2010: 37С15, 37С25

Исследование разрывных бифуркаций в негладких динамических системах

А. П. Иванов

Рассматриваются динамические системы с разрывной правой частью. Известно, что траектории таких систем негладкие, а фундаментальная матрица решений разрывна. Это обусловливает наличие так называемых разрывных бифуркаций, в результате которых мультипликаторы меняются скачкообразно. Предложен метод ступенчатого сглаживания, позволяющий свести разрывные бифуркации к последовательности типичных бифуркаций: седло-узел, удвоение периода или Хопфа. Полученные результаты применяются к анализу известной системы с трением «ползун на ленте», служащей популярной моделью для описания фрикционных автоколебаний тормозной колодки. Ранее эта модель исследовалась лишь численно, что не позволяло сделать общие выводы о наличии автоколебаний. Новый метод позволяет провести полное качественное исследование возможных типов разрывных бифуркаций в этой системе и выделить области параметров, соответствующие устойчивым периодическим режимам.

Ключевые слова: негладкие динамические системы, разрывные бифуркации, осциллятор с сухим трением

1. Понятие разрывной бифуркации

Рассмотрим динамическую систему вида

Получено 14 марта 2012 года После доработки 7 мая 2012 года

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ для государственной поддержки научных исследований, проводимых под руководством ведущих ученых в российских образовательных учреждениях ВПО (дог. №11.034.31.0039) и гранта РФФИ (грант № 11-01-00354а).

Иванов Александр Павлович apivanov@orc.ru

Московский физико-технический институт (государственный университет) 141700, Россия, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9

при Н(х) > 0,

х є И™,

при Н(х) < 0,

(1.1)

с потерей гладкости (или даже непрерывности) на многообразии переключения 2: Н(х) = = 0. К такому типу относятся релейные системы управления, механические системы с ударами или сухим трением и даже некоторые модели биологических, социальных или экономических систем [1, 2]. Одна из специфических особенностей таких систем — нетипичные бифуркации периодических траекторий, возникающие при непрерывном изменении какого-либо параметра Л. В гладких системах о наличии и типе бифуркации можно судить по корням характеристического уравнения (мультипликаторам) р^ (] = 1,... ,п), отслеживая пересечения их годографов с единичной окружностью на комплексной плоскости. В негладкой системе (1.1) мультипликаторы могут изменяться скачком, «перепрыгивая» через единичную окружность. Будем называть 'разрывной бифуркацией качественные изменения фазового портрета, сопутствующие разрывам хотя бы одной из функций р^(Л).

Пусть х*(Ь) — некоторое решение системы (1.1), пересекающее при Ь = Ь* многообразие 2, то есть при Ь < Ь* выполнено

а при t > t*

(значение dx*(t*)/dt не определено). Тогда вариация y = x — x* для t < t* допускает оценку

y(t) = Y(t)yo + о (||yo||), yo = y(to), (1.4)

где фундаментальная матрица решений Y (t) удовлетворяет линейному дифференциальному матричному уравнению

Y(t) = £u(x*(t),t)Y(t), Y(to) = la, (1.5)

где In — единичная матрица (аналогичная формула с заменой f+ на f- справедлива и для t > t*, если t0 > t*).

Пусть выполнены условия трансверсальности пересечения вида

Hxf+ = 0, Hxf- = 0, Hx = grad H (x), (1.6)

где Hx — вектор-строка, а f± — векторы-столбцы. Тогда в момент пересечения матрица Y (t)

меняется скачком в соответствии с формулой [3]

Y(t* + 0) - Y(t* - 0) = ^~~^HxY(t* - 0) (1.7)

HxJ +

(здесь числитель дроби — квадратная матрица, а знаменатель — скаляр).

Если имеется т — периодическое движение с одним или несколькими пересечениями поверхности разрыва, удовлетворяющими условиям (1.6), то его мультипликаторы pj (j = = 1,...,n) — это собственные значения матрицы монодромии Y(to + т), удовлетворяющей

уравнениям (1.5) с условиями разрыва (1.7). При наличии зависимости правой части си-

стемы (1.1) от параметра Л G R данное периодическое решение допускает продолжение по параметру до тех пор, пока

\pj \ = 1 (j = 1,...,п). (L8)

Хотя бы одно из неравенств (1.8) обращается в равенство, имеет место бифуркация, причем в типичном случае один из мультипликаторов равен единице или минус единице, либо пара комплексно-сопряженных мультипликаторов по модулю равна единице [4].

Важно отметить, что при сделанных предположениях функции pk(Л) (k = непрерывны, поэтому наличие разрыва правых частей в (1.1) несущественно. Иная ситуация возникает при нарушении условий трансверсальности (1.6), то есть касании периодической траектории и поверхности разрыва S. При этом формула (1.7) не применима, так как знаменатель обращается в нуль. К наиболее драматическим последствиям приводит эволюция такой траектории, которая для значений Л < Ло целиком лежит в области H(x) > 0, а при Л < Ло имеет точку касания с S. Если допустить, что для Л > Ло часть траектории проходит в области H(x) < 0, то некоторые мультипликаторы в силу (1.7) бесконечно велики. Примером такой ситуации служат виброударные системы в процессе перехода от безударного режима к движениям с периодическими ударами. Соответствующая бифуркация рассмотрена в [5].

Ниже изучается более «мягкая» ситуация: будем предполагать, что существует конечный предел

lim (f~ ~ /+) Нх Y(t* - 0) = AY. (1.9)

А^Ао+0 Hxf+

В этом случае формальное применение соотношения (1.7) приводит к скачкообразному изменению мультипликаторов при Л = Ло. Строго говоря, при этом нельзя судить о поведении рассматриваемого периодического движения даже в том случае, когда все мультипликаторы лежат при Л < Ло внутри единичного круга и остаются в нем при Л > Ло.

Замечание. На первый взгляд, условие (1.9), подразумевающее стремление к нулю всех элементов квадратной матрицы размерности n, весьма ограничительно и не имеет практического значения. На самом же деле оно выполнено, в частности, для случая так называемой бифуркации «касание-скольжение», подразумевающей наличие у траекторий при Л > Ло исчезающе малых (при Л ^ Ло + 0) участков, проходящих по поверхности разрыва S. В этом случае

f- = f+ + aHX, а = max {0, -Hxf+/H%} . (1.10)

В определении (1.10) параметр а имеет смысл множителя Лагранжа для идеальной односторонней связи H ^ 0. Участок скольжения оканчивается, когда величина Hxf+ (t,x) меняет знак с минуса на плюс. Подстановка формулы (1.10) в (1.9) дает

ттT тт

ДУ=------^У(Г-О), (1.11)

Hx

то есть сингулярность отсутствует.

Пример 1. Уравнения вертикального движения тяжелой частицы на вибрирующей платформе имеют вид

q' = —g, q > h(t), (1.12)

где q, h(t) — вертикальные перемещения частицы и платформы (функция h(t) задана), g — ускорение свободного падения. Для представления в виде (1.1) положим

xi = q — h(t), x2 = X 1, H (x) = xi.

Будем считать удары неупругими, а область H(x) < 0 (формально недостижимую) ассоциировать с фазой контакта частицы с опорой, при этом к силе тяжести добавится односторонняя реакция опоры:

f+ = (x2, —g — h)T, f- = (0, max {0, —g — h|) .

При выполнении в момент удара неравенства g + h < 0 в формуле (1.7) получаем

(0 0\ (1 0\

ДГ = — (^0 JY(t* — 0) ^ Y(t* + 0) = ^ JY(t* - 0).

Пример 2. Известная модель фрикционных автоколебаний (ползун на ленте) описывается системой [6, 7]

q = v, v = F (t,q,v)+T (u — v), (1.12)

где F — активная сила, T — сила сухого трения, u = const — скорость ленты. В этом примере H = u — v, а область H < 0 сопоставим совместному движению ползуна и ленты без проскальзывания,

ж = (q,v)T, Hx = (0, —1), f+ = (v,F — T)T, f- = (v, 0)T. (1.13)

В формуле (1.10) имеем a = T — F, а в формуле (1.11)

( 0 04 (104

ДГ = —(^ 0 J Y(t* — 0) ^ Y(t* + 0) = (^0 J Y(t* — 0). (1.14)

К настоящему времени имеется значительное число публикаций, посвященных бифуркациям в негладких системах (см. обзор [8], монографию [2]). В основном исследования имеют численный характер и сводятся к построению фазовых портретов для различных значений параметров. Среди аналитических результатов можно выделить построение нормальной формы для различных типов бифуркаций со скольжением [9, 10].

Данная работа посвящена исследованию разрывных бифуркаций путем их редукции к последовательности стандартных бифуркаций: седло-узел, удвоение периода, Хопфа.

2. Метод «ступенчатого сглаживания»

Будем обозначать символом М1 систему (1.1), (1.10). Наряду с ней, рассмотрим однопараметрическое семейство систем М7, определяемых той же формулой (1.1), причем

f- = f+ + aYHX, Y Є [0,1].

(2.1)

В граничном случае 7 =1 получаем систему Мі, а система Мо не имеет разрыва. Каждая из систем М7 в интервале 7 Є (0,1) имеет разрыв на поверхности 2, причем разность между функциями (1.10) и (2.1) в каждой точке стремится к нулю при 7 ^ 1. Это обстоятельство поясняет термин «ступенчатое сглаживание». Будем считать, что в некоторой области расширенного фазового пространства системы (1.1) выполнены неравенства

д/+

дх

(2.2)

где ||*|| обозначает евклидову норму вектора (матрицы). Установим свойства траекторий X7 (¿) системы М7.

х

Y

Теорема 1. Для любых ¿о £ И,т > 0, 7 € [0,1] отображение

Р1: И™ ^ И™, Р1 (х7(¿0)) = х1 (¿0 + т) (2.3)

непрерывно по параметру Кроме того, если траектория х7(¿) не имеет в интервале

Ь € [¿о,¿0 + т] касаний поверхности переключения Н, то производная отображения (2.3)

также непрерывна по

Доказательство. Для оценки разности решений х^Ь) и х2(Ь) систем Ы11 и Ы12 введем функцию

¿(¿) = ||Х1(Ь) - Х2(Ь)||. (2.4)

Производную по времени от функции (2.4), выражаемую формулой

¿(Ь) = (х1(Ь) — х2(Ь),Х 1(Ь) — X2(Ь)) /¿(¿), (2.5)

оценим для четырех возможных случаев расположения траекторий.

1) Н(х1(Ь)) > 0, Н(х2(Ь)) > 0, тогда

IIх 1(Ь) — х2(Ь)| = 11/+ (х1(Ь)) — /+ (х2(Ь))| < С1 ||х1(ь) — х2(Ь)|.

Отсюда следует, что

¿(¿) < С^(Ь). (2.6)

2) В случае Н(х1(Ь)) ^ 0, Н(х2(Ь)) ^ 0 имеем

х 1(Ь) — х2(Ь) = /+ (х1(Ь)) — /+ (х2(¿)) + «71 Нжт (х1(Ь)) — ъаН^ (х2(Ь)).

Добавляя и вычитая в правой части данной формулы слагаемое 72aH£ (xi(t)), придем к оценке

d(t) ^ (Ci + a72^2) d(t) + a(7i — 72)XDi. (2.7)

3) Если H(xi(t)) > 0, H(x2(t)) ^ 0, то

xi(t) — x2(t) = f+ (xi(t)) — f+ (x2(t)) — 72aHT (x2(t)).

По формуле Тейлора.

H(x 1) = Н(х2) + (ж! - ж2, Щ{х2)) + |(Ж1 - х2)Нхх{£){х 1 - ж2)т,

где точка £ лежит на сегменте, соединяющем xi и x2. Так как в рассматриваемом случае H(xi) > H(x2), то

(Ж1 - х2, (х2)) 4 |(Ж1 - Х2)Нхх(£)(х 1 - ж2)т.

Следовательно,

d(t) < (Ci + XD2) d(t). (2.8)

4) Случай H(xi(t)) ^ 0, H(x2(t)) > 0 аналогичен предыдущему; здесь также выполняется неравенство (2.8).

Объединяя формулы (2.6)—(2.8), приходим к соотношению

d(t) ^ Ad(t) + (yi — Y2)B, A = Ci + D2 max{а^2,Х} , B = aXDi. (2.9)

Согласно неравенству Гронуолла [4], из формулы (2.9) следует, что

¿(¿о + т) ^ (¿(¿о) + £(71 — 12)/А) ехр {Ат} . (2.10)

Тем самым свойство непрерывности доказано.

Дифференцируемость отображения (2.3) следует из формул (1.5), (1.11), описывающих изменение фундаментальной матрицы решений. При обратном пересечении поверхности Н выполнено неравенство /+НХ ^ 0, в определении (1.10) а = 0, и разрыва матрицы У не происходит. В тех точках х(^), из которых выходят траектории, касающиеся поверхности переключения Н, производная У(т) отображения (2.3) имеет скачкообразный разрыв: из любой окрестности точки х(^) исходят как траектории, пересекающим Н (при этом матрица У меняется скачком по формуле (1.11)), так и траектории, минующие эту поверхность.

Следствие. Допустим, что при некотором 7о € [0,1] система М70 допускает периодическое движение гиперболического типа, то есть мультипликаторы удовлетворяют неравенствам (1.8). Тогда решениями того же периода обладают и системы М7 для всех 7 в окрестности ^о, размеры которой определяются условиями гиперболичности (1.8).

Справедливость данного утверждения следует из теоремы о неявной функции.

Допустим, что правая часть системы (1.1) 2-^-периодична по £ и гладким образом зависит от параметра л € И. При значениях л, близких к нулю, система допускает решение ж^Л) с периодом т, кратным 2^, причем для значения л = 0 траектория ж^, 0) касается Н в момент t = ¿о, а для л < 0 в окрестности значения t = ¿о не имеет с Н общих точек. Функция /- определяется по формуле (1.10), тогда при попадании на поверхность Н траектория будет оставаться на ней («скользить») до тех пор, пока выполнено неравенство НХ/+ ^ 0.

Рассмотрим вспомогательную систему М7, определенную в окрестности момента t = ¿о формулой (2.1). Она характеризуется двумя параметрами: 7 и л, причем при л ^ 0 система М7 имеет то же самое периодическое решение ж7(¿,л) = ж(^ л). Для того чтобы найти периодические решения системы М1 = М при л > 0, можно начать с гладкой системы Мо, в динамике которой при л = 0 качественных изменений не происходит. Затем плавно увеличиваем параметр 7 от нуля до единицы, отслеживая при этом стандартные бифуркации, связанные с нарушением одного из неравенств (1.8).

3. Анализ бифуркации «касание-скольжение» в случае п ^ 2

Будем считать, что система (1.1) имеет 2^-периодическое решение х*^), причем при Л = 0 имеется касание поверхности разрыва Н в момент t = ¿о, а при л < 0 траектория проходит в окрестности момента ¿о в области Н(х) > 0. Общие предположения о невырожденности состоят в том, что при л = 0, t = ¿о выполнены неравенства

д2н(х*(г)) дн(х*Ю) д{2 ’ дц '

В простейшем случае п = 1 интегральные кривые всякой гладкой системы на плоскости (¿, х) не пересекаются, поэтому для всякого периодического решения р > 0. При этом неравенство р < 1 свидетельствует об асимптотической устойчивости, а противоположное неравенство — о неустойчивости.

Теорема 2. В случае n = 1 имеется два сценария бифуркации «касание-скольжение»:

1. устойчивое периодическое движение (р < 1) сохраняется,

2. неустойчивое движение (р > 1) сливается с некоторым устойчивым движением того же периода (пересекающим S) и исчезает (седло-узел).

Доказательство. Не ограничивая общности, считаем H = х.В соответствии с формулой (1.7), скачок матрицы Y(t) (в данном случае — скалярной), возникающий при л = +0 в момент пересечения траекторией поверхности S, равносилен умножению этой матрицы в момент t = to на величину 1 — Y Є [0,1]. Затем траектория вторично пересекает поверхность S, уже в противоположном направлении. При этом скачок матрицы Y(t) удобно вычислить по формуле [3]

Y(t*o + 0) - Y(t*o - 0) = {U~f:)HxY(f0 + 0), (3.1)

Hx f+

где t0 — момент второго пересечения, отличающийся от to на величину, исчезающе малую при л ^ 0. Из уравнения (3.1) находим

+ 0) = i “ 0) = &Y{to - 0) + Р{ц), а = + ^ Є [0,1]. (3.2)

При изменении y от нуля до единицы величина а убывает от единицы до нуля. В первом случае мультипликатор убывает до нуля, и бифуркации нет. Заметим, что в граничном случае y =1 для значений ц > 0 в системе нарушается левосторонняя единственность, то есть траектории, попадающие на поверхность S, далее не разделяются.

Во втором случае мультипликатор (при фиксированном ц > 0) также убывает, и при некотором значении y = Y* он становится равным единице, что свидетельствует о стандартной бифуркации седло-узел, то есть об исчезновении обоих решений при Y > Y *. Чем ближе к нулю фиксированное значение л, тем ближе к единице бифуркационное значение Y*. В силу теоремы 1, аналогичное поведение наблюдается при фиксированном Y, близком к единице, и изменении л вблизи нуля. Следовательно, в системе M при л < 0 есть еще одно (устойчивое) решение того же периода, имеющее участок скольжения. При л ^ — 0 продолжительность этого участка стремится к нулю. При л = 0 два решения сливаются, а при л > 0 исчезают.

Замечание. Утверждение теоремы 2 можно проверить непосредственно, не прибегая к процедуре сглаживания. Для наглядности будем считать, что H(х) = х — л, а функция f+ в уравнении

(1.1) не зависит от л. На плоскости (t,x) имеется область f+ < 0, причем периодическая траектория, очевидно, частично проходит внутри этой области, а частично — вне ее (на рис. 1 эта область затенена). В системе имеется два типа траекторий: (i) целиком расположены в области H(х) > 0 для t Є [0, 2п] (сплошная линия на рис. 1), (ii) включает участок линии х = л (прерывистая линия на рис. 1). По предположению, для л < 0 существует периодическая траектория первого типа, выходящая из точки (0,хо). Отображение Пуанкаре за период в окрестности хо описывается формулой

П(х) = хо + р(х — хо) + Д(х) + о(х — хо), (3.3)

где величина Д(х) равна нулю для траекторий первого типа и положительна для траекторий второго типа. Отметим, что все траектории второго типа на линии х = л сливаются в одну, поэтому функция Д(х) монотонно убывает. Полагая П(х) = х = хі, приведем формулу (3.3) к виду

Д(хі) = (хі — хо)(1 — р). (3.4)

В случае р < 1 периодическое движение второго типа существует при х\ > хо (в силу отмеченной монотонности функции Д(х)), то есть при р > 0. В случае р > 1 необходимо Х1 < хо, причем в силу монотонности уравнение (3.4) имеет единственное решение.

Пример. Изменение скорости V твердого тела (единичной массы), движущегося поступательно по горизонтальной шероховатой плоскости под действием периодической силы / (Ь), описывается уравнением

( /(*) - ^(V), V > 0,

V = < 0, V = 0, /(*)| < ^(0), (3.5)

[ /(г)+р(-V), V < 0,

где ^(V) — сила трения. Предполагается, что эта сила зависит от модуля скорости скольжения и направлена противоположно этой скорости. Допустим, что система (3.5) имеет периодическое решение V = v*(t) > 0. Уравнение в вариациях (1.5) имеет вид

г = -г'&*(г))у, у е и. (3.6)

Уравнение (3.6) легко интегрируется, и для мультипликатора мы получаем следующую формулу:

р = ехр'| — У Г'^*(1))М ^. (3.7)

Величина (3.7) может быть как больше, так и меньше единицы в зависимости от конкретного вида функции ^(V) и решения V*(¿). В частности, в [6] для объяснения автоколеба-

ний тормозной колодки использовалась зависимость ^(V), включающая участки убывания и возрастания. При этом интеграл в формуле (3.7) может быть как положительным, так и отрицательным.

К случаю п =1 можно также свести автономные системы второго порядка, при этом понятие устойчивости заменяется на орбитальную устойчивость [4]. С этой целью следует ввести в окрестности рассматриваемой замкнутой орбиты переменные действие-угол либо построить отображение Пуанкаре. В итоге все эти траектории будут иметь период 2п по угловой переменной. Мы приходим к следующему выводу.

Следствие. В случае п = 2 при отсутствии явной зависимости правой части системы (1.1) от времени имеется два сценария бифуркации «касание-скольжение»:

1. орбитально устойчивое периодическое движение сохраняется,

2. орбитально неустойчивое движение сливается с некоторым орбитально устойчивым движением и исчезает.

Перейдем к рассмотрению общего случая п = 2 (при наличии зависимости от времени). В этом случае непосредственное исследование решений системы (1.1) не представляется возможным, и целесообразно использование метода, описанного в разделе 2. Выберем для построения матрицы фундаментальных решений (1.5) в качестве начального момент ¿о касания ограничителя (при р = 0). Будем считать, что Н(х) = х2 и обозначим yij (1,] = 1, 2) элементы матрицы У (¿о + 27т).

Теорема 3 ([7]). Допустим, что рассматриваемое периодическое движение асимптотически устойчиво при р ^ —0. Тогда для достаточно малых значений р > 0 имеются следующие сценарии:

1. если 1уи1 < 1, то устойчивое решение сохраняется и включает интервалы скольжения,

2. если у 11 > 1, то система не имеет 2п-периодических решений, переходящих в данное решение при р ^ +0,

3. если у 11 < —1, то данное периодическое решение сохраняется, но становится неустойчивым. В зависимости от нелинейных членов в уравнениях движения, возможно рождение устойчивых решений периода 2к+1п, к е N, либо хаотического аттрактора.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную систему М7, определенную формулой (2.1). Если 7 = 0, то правая часть системы (1.1) непрерывна, и бифуркации при изменении параметра р от отрицательных до положительных значений не происходит. Следо-

вательно, при малых р > 0 обсуждаемое устойчивое периодическое решение сохраняется, причем соответствующая матрица монодромии — это У (¿о + 27т) = \\yij ||. Обозначим 5 и Д след и определитель этой матрицы. Как было показано Ляпуновым, условия устойчивости |Р1,2| < 1 равносильны системе неравенств

|51 — 1 < Д < 1. (3.8)

На плоскости (5, Д) условия (3.8) задают треугольник, а устойчивое периодическое решение изображается точкой внутри этого треугольника (рис. 2). При увеличении параметра 7 от нуля матрица У (¿о + 27т) изменяется в соответствии с формулой (1.7). Подставляя в эту формулу определение (2.1), получим

НТНх , , (0 0\

ДУ = -7 я2 ' У (г о + 2тг) = -7 ^ ^ ^ У (г о + 2тг - 0).

Повторное пересечение поверхности 2 приводит к скачку, описываемому формулой (3.1), откуда окончательно получаем

У (¿о + 2п) = ^ ^ ^ У (¿о + 2п — 0). (3.9)

Согласно формуле (3.9), лишь вторая строка матрицы У (¿о + 2п) зависит от а, причем линейным образом. Поэтому на плоскости (5, А) формула описывает отрезок прямой линии, начинающийся в точке внутри треугольника и оканчивающийся в точке (уи, 0) (см. рис. 2).

В случае (1) весь отрезок лежит внутри треугольника, в случае (и) он пересекает правую его границу, соответствующую бифуркации седло-узел (р\ = 1), а в случае (ш) — левую границу, соответствующую бифуркации «удвоение периода» (р1 = —1). Применяя следствие из теоремы 1, приходим к сформулированному утверждению.

Замечание. В случае, когда исходное периодическое движение неустойчиво, сценарии бифуркации более разнообразны ввиду повторных пересечений изображающей прямой с границами треугольника устойчивости. На рисунке 3 пересечение верхней границы А = 1 свидетельствует

о бифуркации Хопфа: периодическое движение становится устойчивым, при этом в зависимости от нелинейных членов рождается неустойчивое либо исчезает устойчивое квазипериодическое движение. С ростом параметра 7 прямая может попасть в интервал ( — 1,1) оси абсцисс; в этом случае бифуркация «касание-скольжение» в исходной системе (1.1) приводит к рождению устойчивого периода 2п. В противном случае движение либо исчезает (рис. 3е), либо проходит через одно или несколько удвоений периода (рис. 3Ь). Если прямая пересекает две боковых стороны треугольника, то решений периода 2п при р > 0 нет, однако в варианте «слева направо» (рис. 3е) могут появиться движения удвоенного периода.

4. Случай п > 2

Представленный выше подход к исследованию разрывных бифуркаций применим и для систем большей размерности. Для этого нужно прежде всего составить характеристическое уравнение

det (У(¿о + 2п — 0) — рЕп) = (—1)п(рп + ап—1рп 1 + ... + а1р + ао) = 0, (4-1)

затем построить область устойчивости в п-мерном пространстве коэффициентов уравнения

(4.1). Определив положение начальной (р = —0) и конечной (р = +0) изображающих точек в этом пространстве, соединяем их прямолинейным отрезком.

Важно отметить, что границы области устойчивости, соответствующие бифуркациям седло-узел (р =1) и удвоения периода (р = —1) всегда представляют собой гиперплоскости, поэтому прямолинейный отрезок может пересечь их лишь единожды. В то же время граница, соответствующая бифуркации Хопфа, криволинейна, причем область устойчивости невыпукла. Тем не менее, если и начальная, и конечная точка лежат в области устойчивости, то соединяющий их прямолинейный отрезок может пересечь эту криволинейную границу четное число раз, причем при каждом пересечении периодическое движение сохраняется, но меняет устойчивость. Следовательно, устойчивость в итоге сохраняется.

Для построения области устойчивости можно использовать критерий Шура-Кона или его модификации [11]. Альтернативой может служить критерий Рауса-Гурвица в сочетании с дробно-линейной заменой

Р = (4.2)

переводящей внутренность единичного круга на комплексной плоскости в левую полуплоскость. Ограничимся обсуждением случая п = 3.

Замена (4.2) приводит уравнение (4.1) к виду

Ьз-г3 + Ь2г2 + Ь^ + Ьо = 0, (4.3)

Ьз = 1 — а2 + а1 — ао, Ь2 = 3 — а2 — а1 + 3ао,

Ь1 = 3 + а2 — а1 — 3ао, Ьо = 1 + а2 + а1 + ао-

Условия устойчивости для многочлена третьего порядка имеют вид

Ь > 0, э = 1,..., 4, Ь1Ь2 — ЬоЬз > 0. (4.4)

Первая группа неравенств (4.4) описывает полупространства в пространстве коэффициентов аз (Э = 0,1, 2). Последнее неравенство, как нетрудно проверить, описывает область, ограниченную гиперболическим параболоидом.

Допустим, что в уравнении (1.1) Н(х) = Ж3. Тогда по аналогии с (1.14) имеем

У (¿0 + + 0) —

/ \ 1 0 0 0 1 0 у0 0 0у

У (¿0 + — 0). (4-5)

Составляя характеристическое уравнение для матрицы У (¿о + 2п + 0), найдем конечное положение изображающей точки. Так как эта матрица вырожденна, то эта точка лежит в плоскости ао = 0. Коэффициенты а1 и а2 в области устойчивости связаны неравенствами, аналогичными (3.8):

|а2| — 1 < а1 < 1. (4.6)

5. Пример: ползун на ленте

Применим полученные результаты к известной и популярной системе «ползун на ленте», кратко упомянутой в разделе 1 (см. рис. 4). Прообраз этой системы — тормозная колодка [6], представляющая собой цилиндр (колодка), охватывающий вращающийся вал и связанный с неподвижной стенкой пружиной, ограничивающей его вращение; при этом Е(Ь) = 0. Задача о колодке допускает стационарное решение, при котором угол ее поворота постоянен, а сила трения уравновешивается упругой силой пружины. Наблюдаемый на практике «визг» тормозов свидетельствует о неустойчивости стационарного решения и возникновении автоколебаний. Данное явление объяснено в [6] наличием зависимости силы трения от скорости скольжения (штрибек-эффект), примерный график которой изображен на рисунке 5. Если скорость движения ленты (или скорость точек на поверхности вала) и больше значения ио, соответствующего минимуму силы трения, то стационарное движение устойчиво. Равенство и = ио соответствует бифуркации Паункаре-Андронова -Хопфа [4], а при значениях и < ио (достаточно близких к ио) стационарное движение неустойчиво, зато имеется устойчивое периодическое движение. Уменьшение скорости ленты и приводит к росту амплитуды этого движения до тех пор, пока в некоторые моменты времени скорость скольжения будет обнуляться. Это — бифуркация «касание-скольжение» для автономной системы второго порядка. Согласно следствию из теоремы 2, орбиталь-но устойчивое периодическое решение сохранится, но будет включать в себя промежутки совместного движения ленты и ползуна.

и0

-То

Рис. 5.

Следуя [2, 13], будем считать, что на ползун действует сила, меняющаяся по гармоническому закону, причем

и

= 1, Т = Т0 (sign(l — у) — а(1 — у) + /3(1 — ^)3), Г = —д + ссе ші,

а є (0,2), ш = 1.

(5.1)

Подробный численный анализ системы (5.1) был выполнен в [13]; выявлены оба основных сценария бифуркации: седло-узел и каскад удвоений периода с хаотизацией. В частности, показано, что для значений параметров

То = 1.5, а = 1, в = 0.3, Fo = 0.1

в окрестности значения и = 1.7078 решение периода т = 8п/и испытывает бифуркацию «касание-скольжение». Численные расчеты показывают [12], что

p1 = 0.84, р2 = 0.007, уц = —1.66

и система испытывает каскад бифуркаций удвоения периода. Данный результат согласуется с выводами теоремы 3 (случай iii).

Достаточно полное аналитическое исследование можно выполнить в линейном случае в = 0; считая То = 1, запишем систему (5.1) в области v < 1 в виде одного уравнения второго порядка:

q — aq + q = 1 — а + F0 cos ut, (5.2)

где параметром будем считать амплитуду F0.

Единственное периодическое решение уравнения (5.2), для которого во все время v < 1, имеет период т = 2п/и и описывается формулой

q = 1 — а + A cos ut + B sin ut,

A ______1 ^______ E1 D __________ __________________________ E1 (5-3)

“ {l-u2)2 + a2u2 °’ “ (1 -u2)2 + a2u2

Условие max q ^ 1 выражается неравенством

uFo (1 - u2)2 + a2u2. (5.4)

Значение Fq, при котором соотношение (5.4) выполнено как равенство, соответствует бифуркации «касание-скольжение».

Уравнение в вариациях для системы (5.2) имеет вид

y - ay + y = 0,

а его общее решение выражается формулой

y(t) = exp (Jy) cos ^ ^ ^ = \Д — '

Следовательно, матрица монодромии такова:

(5.5)

У {to + т) = exp

^ cos Ат — sin Ат -і- sin Лт 2Л Л

У — і sin Ат cos Ат+ ^ sin Ат J

(5.6)

Л 2Л

Определитель матрицы (5.6) больше единицы, поэтому решение (5.3) неустойчиво. Далее,

А = ехр(ат), S = 2 cos Ат exp Уп = ^cos Ат — ^ sin Ат^ ехр • (5.7)

В зависимости от параметров а и т имеется двенадцать сценариев бифуркации «касание-скольжение», различающихся начальными и конечными положениями изображающей точки на плоскости параметров (S, А). Каждый сценарий складывается из нескольких типичных бифуркаций, последовательность которых зависит от наличия пересечений отрезка, соединяющего эти точки, со сторонами треугольника устойчивости (или их продолжениями). Отметим, что любое пересечение линии А = S — 1 или А = —S — 1 связано с бифуркацией (седло-узел или удвоение периода соответственно), тогда как бифуркация Хопфа происходит при пересечении линии А = 1 лишь внутри промежутка S Е (—2, 2).

1) А < —S — 1

а) У11 < —1 — нет бифуркаций;

б) |У111 < 1 — два варианта:

(i) с пересечением верхней границы треугольника: каскад удвоений, все периодические орбиты неустойчивы + бифуркация Хопфа, в итоге основное движение устойчиво,

(ii) линия А = 1 пересекается вне треугольника: каскад удвоений, орбиты кратного периода неустойчивы, исходная орбита устойчива;

в) У11 > 1 — два варианта:

(i) бифуркация Хопфа + седло-узел: исходная орбита исчезает, остается квазипе-риодическая неустойчивая орбита,

(ii) каскад удвоений + седло-узел;

2) А > ISI — 1

а) У11 < —1 (см. рис. 3b)

(i) бифуркация Хопфа, орбита становится устойчивой + каскад удвоений с возможным рождением хаотического аттрактора,

(ii) каскад удвоений, все орбиты неустойчивы,

б) |У111 < 1 — бифуркация Хопфа, исходная орбита становится устойчивой;

в) У11 > 1

(i) бифуркация Хопфа + седло-узел, остается неустойчивое квазипериодическое движение (см. рис. 3а),

(ii) седло-узел, орбита исчезает;

3) А <S — 1:

а) У11 < 1. Седло-узел, исходная орбита исчезает,

б) У11 > 1 — бифуркаций нет.

Таким образом, из всех перечисленных сценариев рождение устойчивого периодического решения («визг» тормозов) наблюдается в случаях 1б и 2б. Оба этих случая охватываются системой неравенств

|У111 < 1, А > S — 1.

Усложним модель, добавляя к ней учет тормозящего действия ползуна на ленту (или колодки на вращающийся вал). К уравнению (5.2) (где и может быть не равным единице) добавится уравнение движения ленты, в итоге получим систему третьего порядка (при скольжении без остановок)

q — aq + q = 1 — аи + F0 cos ut,

(5.8)

JU = —1 + au — aq,

где величина J характеризует инерционные свойства ленты. Ограничимся случаем J ^ 1 и воспользуемся результатами раздела 4. Характеристическое уравнение для системы (5.8)

а (а2 — аа + l) = у(а2 + 1)

J

имеет корни

о1 = a/J + o(1/J), о2,з = а/2 ± \г + O(1/J),

(5.9)

где величина Л определяется формулой (5.5). Система (5.8) имеет единственное, причем неустойчивое, решение периода т = 2п/и. Уравнения в вариациях имеют вид

Уі = V2, У2 = аУ2 — У1 - аУз, Jy3 = а(У3 — У2).

(5.10)

Матрица фундаментальных решений для системы (5.10) при учете (5.9) с точностью до 0(1/7) имеет вид

Уз(Ь + т) =

Уг3 lli,j=1 ,

У 31 = У32 = 0, Узз = exp

(т)-

(5.11)

Уи = exp ^acos Ат - Y sin Ат^ - а exp

У32 = -J ехр sinAr,

причем подматрица \\yij\ ^=1 описывается формулой (5.6). Определяющее уравнение имеет вид

(р — узз)(р2 — вр + А) = 0,

причем величины 5 и А заданы формулами (5.7). Очевидно, что все три мультипликатора лежат вне единичного круга.

Для выяснения конечного положения изображающей точки в пространстве коэффициентов характеристического уравнения заметим, что поверхность переключений описывается формулой

Н (х) = х3 — х2, х\ = д, х2 = д, х3 = и. (5-12)

В соответствии с формулой (1.11), для функции (1.10) имеем

^10 0 ^

Y (to + т + 0) =

0 1/2 1/2 V0 1/2 1/2)

Y (to + т — 0).

(5.13)

Одно из собственных значений матрицы (5.13) (мультипликаторов) равно нулю, а два другие удовлетворяют квадратному уравнению

з

р2 + а2 р + aip = 0,

0,2 = ІУ22 + У23 + Узз), 0,1 = \ ехр(ат) + УпУзз ~ ^УгзУ21-

Условия возникновения автоколебаний в результате бифуркации «касание-скольжение» состоят из неравенств (4.6) в сочетании с требованием отсутствия пересечения плоскости bo = 0 (см. (4.3)), равносильному неравенству

1 — Tr + Д2 — det > 0, (5.14)

где Тг,А2, ёе1 — след, сумма угловых миноров второго порядка и определитель матрицы (5.11). Расчет этих величин приводит условие (5.14) к виду

6. Выводы

Разработанный в данной статье метод ступенчатого сглаживания позволяет заменить скачкообразное изменение мультипликаторов периодического движения, испытывающего разрывную бифуркацию, на плавное. В пространстве коэффициентов определяющего уравнения это плавное изменение изображается прямолинейным отрезком, соединяющим точки, которые соответствуют значениям до и после скачка. По мере движения по отрезку. изображающая точка может пересекать гиперплоскости, соответствующие основным бифуркациям седло-узел и удвоения периода, и\или криволинейные (вообще говоря) поверхности, соответствующие бифуркации Хопфа. Полученные результаты позволили провести полное аналитическое исследование бифуркации «касание-скольжение» в известной модели тормозной колодки для случая линейной зависимости коэффициента трения от скорости скольжения. Для более сложных законов трения результаты согласуются с данными численного моделирования, полученными другими авторами, причем качественные выводы не требуют трудоемкого построения фазовых портретов.

Список литературы

[1] Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

[2] di Bernardo M., Budd C., Champneys A. R., Kowalczyk P. Piece-wise smooth dynamical systems. (Appl. Math. Sci., vol. 163.) London: Springer, 2008. 483 pp.

[3] Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Об устойчивости периодических движений // ПММ, 1958, т. 22, №6, с. 750-758.

[4] Guckenheimer J., Holmes Ph. Nonlinear oscillations, dynamical systems, and bifurcations of vector fields. 6th ed. (Appl. Math. Sci., vol. 42.) New York: Springer, 1997. 459pp. [Гукенхеймер Дж., Холмс П. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.-Ижевск: Инст. компьютерн. исслед., 2002. 560 с.]

[5] Иванов А. П. Аналитические методы в теории виброударных систем // ПММ, 1993, т. 57, №2,

[6] Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1956. 915 с.

[7] Иванов А. П. Основы теории систем с трением. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Инст. компьютерн. исслед., 2011. 304 с.

[8] di Bernardo M., Budd Ch. J., Champneys A.R., Kowalczyk P., Nordmark A. B., Olivar Tost G., Piiroinen P. T. Bifurcations in nonsmooth dynamical systems // SIAM Rev., 2008, vol. 50, no. 4, pp. 629-701.

[9] di Bernardo M., Budd C. J., Champneys A.R. Grazing bifurcations in n-dimensional piece-smooth dynamical systems // Phys. D, 2001, vol. 160, pp. 222-254.

[10] di Bernardo M., Kowalczyk P., Nordmark A. Bifurcation of dynamical systems with sliding: Derivation of normal-form mappings // Phys. D, 2002, vol. 170, pp. 175-205.

[11] Хайрер Э., Нёрсетт С., Виннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

224 с.

с. 5-21.

[12] Тёйфель А., Штайндль А., Трогер Х. Классификация негладких бифуркаций для осциллятора с трением // Проблемы аналитической механики и теории устойчивости: Сб. научн. ст., посв. памяти акад. В. В. Румянцева. М.: ИПУ РАН, 2009. С. 161-175.

[13] Yoshitake Y., Sueoka A. Quenching of self-excited vibrations by impact damper // Applied nonlinear dynamics and chaos of mechanical systems with discontinuities / M. Wiercigroch, B.deKraker. (World Sci. Ser. Nonlinear Sci. Ser. A Monogr. Treatises, vol. 28.) River Edge, NJ: World Sci. Publ., 2000. P. 155-176.

Yoshitake Y., Sueoka A. Forced self-excited vibration with dry friction // Applied nonlinear dynamics and chaos of mechanical systems with discontinuities / M. Wiercigroch, B. de Kraker. (World Sci. Ser. Nonlinear Sci. Ser. A Monogr. Treatises, vol. 28.) River Edge, NJ: World Sci. Publ., 2000. P. 237-260.

Analysis of discontinuous bifurcations in nonsmooth dynamical systems

Alexander P. Ivanov

Moscow Institute of Physics and Technology Inststitutskii per. 9, Dolgoprudnyi, 141700, Russia apivanov@orc.ru

Dynamical systems with discontinuous right-hand sides are considered. It is well known that the trajectories of such systems are nonsmooth and the fundamental solution matrix is discontinuous. This implies the presence of the so-called discontinuous bifurcations, resulting in a discontinuous change in the multipliers. A method of stepwise smoothing is proposed allowing the reduction of discontinuous bifurcations to a sequence of typical bifurcations: saddle-node, period doubling and Hopf bifurcations. The results obtained are applied to the analysis of the well-known system with friction a block on the moving belt, which serves as a popular model for the description of selfexcited frictional oscillations of a brake shoe. Numerical techniques used in previous investigations of this model did not allow general conclusions to be drawn as to the presence of self-excited oscillations. The new method makes it possible to carry out a complete qualitative investigation of possible types of discontinuous bifurcations in this system and to point out the regions of parameters which correspond to stable periodic regimes.

MSC 2010: 37G15, 37G25

Keywords: non-smooth dynamical systems, discontinuous bifurcations, oscillator with dry friction Received March 14, 2012, accepted May 7, 2012

Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2012, vol. 8, no. 2, pp. 231-247 (Russian)