Исследование поведения нормировочного множителя в многопродуктовой модели управления запасами при поставке двух видов товаров с кратной периодичностью Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

10 (361) - 2014

ЭК9помиК9-математическде

моделирование

УДК 658.7.011.1

исследование поведения нормировочного

множителя в многопродуктовой модели

управления запасами при поставке

_ __ _ _ ,

двух видов товаров с кратной периодичностью*

Ю. Н. КУЛАКОВА,

кандидат экономических наук, доцент кафедры финансового менеджмента и бухгалтерского учета E-mail: [email protected]

А. Б. КУЛАКОВ,

кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой финансового менеджмента и бухгалтерского учета E-mail: [email protected] Уральский социально-экономический институт (филиал) Академии труда и социальных отношений

В статье исследуется поведение минимаксного значения нормировочного множителя в зависимости от кратности периодов поставок и соотношения стоимостей партий поставок в многопродуктовой модели управления запасами с ограничением оборотного капитала для двух видов товаров.

Ключевые слова: оборотный капитал, управление, запасы, многопродуктовая модель, оптимизация, нормировочный множитель.

Введение

В многопродуктовой модели управления запасами предприятия с ограничением на размер оборотного капитала нормировочный множитель -

* Статья предоставлена Информационным центром Издательского дома «ФИНАНСЫ и КРЕДИТ» при Уральском социально-экономическом институте (филиале) Академии труда и социальных отношений.

это показатель, определяемый как отношение максимума суммарной стоимости запасов товаров разных видов Утах к сумме их максимальных стоимостей У^.

Это понятие было введено в работе [1], в ней же величина нормировочного множителя была принята равной 0,5. Это значение продолжает традиционно использоваться в многопродуктовых моделях управления запасами без всякого математического обоснования. Это может приводить к занижению планируемой величины оборотных средств, привлекаемых для формирования запасов предприятия, что в свою очередь вызывает потребность в спонтанном финансировании и дорого обходится предприятию.

Авторами предпринята попытка разработать формулы для расчета минимаксного нормировочного множителя в различных вариантах многопродуктовой модели управления запасами.

Равная периодичность и равная стоимость поставок

В статье [2] исследуется зависимость значения нормировочного множителя от числа видов поставляемых товаров n при весьма жестких ограничениях:

1) стоимости партий поставок всех товаров одинаковы, т. е. qp. = const, где q - объем партии поставки товара вида i в натуральном выражении, p. - цена единицы товара вида i, ден. ед.;

2) периодичность поставок всех видов товаров одинакова, т. е. Т. = Т = const, i = 1. n;

3) сдвиги поставок разных видов товаров друг относительно друга постоянны, т. е. 6* = const, i = 1...n;

4) интенсивность расходования запасов всех видов товаров постоянна;

5) очередная поставка любого вида товара поступает в момент полного исчерпания запаса, поэтому не возникает ни дефицита, ни неизрасходованных остатков. Другими словами, объемы поставок и их периодичность строго согласованы с интенсивностью расходования товара каждого вида;

6) модель детерминирована, случайные факторы отсутствуют.

В статье [2] выведено выражение для минимаксного значения нормировочного множителя как функции от числа видов поставляемых товаров. Доказано, что в минимаксном решении поставки всех видов товаров должны происходить с одинаковым сдвигом по отношению к моменту поставки предшествующего товара. Показано, что традиционно рекомендуемое значение нормировочного множителя, равное 0,5, достигается только при стремлении числа видов товаров к бесконечности. Рассчитана относительная погрешность (в сторону занижения) в оценке объема оборотных средств, необходимых для создания запасов предприятия. Доказано, что эта погрешность возрастает при уменьшении числа видов поставляемых товаров.

Равная периодичность и произвольная стоимость поставок

В статье [3] сделан шаг в сторону большей реалистичности модели: снято ограничение на стоимости поставок разных видов товаров. Принято, что стоимости поставок постоянны, но

необязательно равны друг другу. В новой модели возросли трудности при вычислениях из-за разной стоимости поставок, однако удалось получить общее выражение для минимаксного нормировочного множителя для п товаров путем распространения выражений для частных случаев с двумя, тремя и более видами товаров на общее число видов товаров п. Получено выражение для величины оптимальных сдвигов между соседними поставками товаров разных видов. Из полученного выражения оптимального сдвига следует, что 0* тем больше, чем больший удельный вес имеет стоимость партии поставки данного товара в общей суммарной стоимости партий поставляемых товаров. Аналитические исследования продемонстрированы на графиках поведения минимаксного нормировочного множителя как функции у. - отношений стоимости партии поставки /-го товара к максимальной из всех стоимости партии поставки товара (этому товару в данной модели присваивается номер один). Показано, что модель с одинаковой стоимостью партий поставок товаров, рассмотренная в статье [2], является частным случаем общей модели. Исследовано соотношение между моделями, представленными в статьях [2, 3], в предположении, что суммарная стоимость всех поставок в любой период времени остается постоянной, а меняется только соотношение между стоимостями поставок разных видов товаров. Показано, что чем больше разброс стоимостей поставок разных видов товаров, тем больше возрастает минимаксное значение нормировочного множителя и тем дальше оно отдаляется от традиционно принимаемого значения 0,5.

Что необходимо теперь изменить в исследуемой авторами многопродуктовой модели управления запасами предприятия с ограничением на размер оборотного капитала, следуя намеченной логике исследования? Это допущение о периодичности поставок разных видов товаров Т Перейдем к исследованию модели, в которой периоды поставок разных видов товаров не равны, но кратны друг другу.

Кратная периодичность и произвольная

стоимость поставок двух видов товаров

Для простоты и наглядности исследования ограничимся моделью с двумя видами товаров, имеющими периоды поставок Т2 и Т1 = тТ2, где т -целое число, причем т > 2. Теперь товаром номер

один будем считать товар, у которого длительность периода между поставками наибольшая.

Кратность периодичности поставок равна двум. Для начала рассмотрим модель, в которой Т1 = 2Т2. На рис. 1 представлен оптимальный график управления запасами при условии неодинаковой стоимости партий поставки (для определенности принято, что д2р2 = рх) и кратности периодов поставки 2 к поставке 1.

В течение одного общего периода Т1 происходит одна поставка первого товара и две поставки второго товара, следовательно, возникает три локальных максимума. Из моделей, рассмотренных в статьях [2, 3], видно, что минимакс суммарной стоимости запаса формировался при таких значениях сдвига поставок, при которых локальные максимумы стоимости суммарного запаса оказывались равными

между собой. Однако в исследуемой модели эти максимумы неравноценны. Анализ рис. 1 показывает, что локальный максимум В2 В4 всегда будет превышать локальный максимум С1С3. Подтвердим это аналитически. Вычислим значения трех локальных максимумов как функций относительного сдвига поставки второго товара к периоду его поставки 02 / Т2, причем 0 < е2 / Т2 < 1.

+

+

Первый локальный максимум А1А4 = А1А3 А3А4, при этом А1А3 = ^1р1, А3А4 = А1А2 по пост-

е2

роению. Учитывая, что А1А2 = q2 р2—, имеем А1А4

т

е2

+ ^^ —.

ЧхРх + q2 Р2

т

Второй локальный максимум В2В4 = В2В3 +

т +е.

+В3В4, при этом В2В3 = ql рх

Тг + е1, В3В4 = д2р2. Тогда

2Т

Стоимость запасов

х( е; = 0,4444Г2) = У

: = l,1778qlpl

Л4 В 4

qlPl

Время I

Динамика стоимости суммарного запаса товаров первого и второго видов

- Динамика стоимости запаса товара первого вида

Вспомогательные линии, необходимые для построения графика

Рис. 1. Оптимальный график изменения стоимости суммарного запаса для двух товаров с кратной периодичностью Тх = 2Т2 и неодинаковой стоимостью поставок q2p2 = 0,4^1р1 и оптимальным сдвигом поставки второго товара по отношению к первому е* = 0,4444Т2

0

Т2 + 0, q, р1 02 В2В4 = q1 р + q2 Р2 = ql Р,--—— + q2 Р2 •

2Т

2 Т

о,

+ С2С3, при этом С,С2 = 9Р1 —, С2С3 = q2p2. Тогда

ОД = 91 л|т + ^ р2= ^ - ^ | + q2 Р2 •

Сравним локальные максимумы В2В4 и С1С3 . Найдем разность между ними: В 2В 4-С ,С3 =

= 9, Р1 -

91Р1 02 ,91 р1 91 р1 02 + 92р2)

2 Т

+ 92 Р2 -

2 2 Т

> 0.

0*

91Р1 02 I 91Р1 ^ 2

91Р1 ^^ ^ + 92Р2 или V 2 + 92Р2 IТ2 = 92Р2 •

0*

Отсюда — =

Т2 ш

92 Р2

+ 92 Р2

Обозначим отношение стоимостей партий поставок у2 =

92Р2 02 2у 2

, тогда — =-— • Следова-

91Р1 Т2 1 + 2У 2

тельно, оптимальный относительный сдвиг равен

Ё»=1 = 1 -. ТТ

± о о

2у 2

1

1 + 2у 2 1 + 2у 2

Оптимальное значение локального макси-

92 Р2

Третий локальный максимум С1С3 = С1С2 + мума

= ^ А

тттах 1 4

V Т2 у

= 91Р1+ 92 Р2

91Р1

1 + №. 2 91Р1

(91 Р1)2 + 291Р1 х 92 Р2 + 2(92 Р2)2 91Р1 + 292Р2

Оптимальное значение нормировочного множи-

(2) = ^тттах _(91 Р )2 + 291Р1 Х 92Р2 + 2(92Р2 )2

теля К2;/ =

= 1-

(91 Р1 + 292Р2 )(91 Р1 + 92 Р2 )

91Р1 Х 92 Р2

Действительно, за время Т2, равное половине цикла Т1, запас первого товара уменьшается на величину, равную половине поставки. Следовательно, локальный максимум С1С3 всегда меньше локального максимума В2В4, и поэтому он должен быть исключен из дальнейшего анализа.

Оставшиеся два локальных максимума 444 и В2В4 назовем доминирующими. Эти локальные максимумы идут друг за другом подряд, т. е. при расчете минимакса необходимо принимать в расчет ту поставку второго товара (товара с более коротким периодом поставки), которая непосредственно следует за поставкой первого товара.

Выскажем предположение о том, что в рассматриваемой модели, так же, как и в двух предыдущих, совпадение по величине доминирующих локальных максимумов является признаком оптимальности системы сдвигов.

Найдем оптимальную совокупность сдвигов {0*}. Из условия равенства оптимальных значений доминирующих локальных максимумов

0

444(0*) = В2В4(0*) следует, что qxрх + 92р2^ =

(91 Р1)2 + 391Р1 Х 92 Р2 + 2(92 Р2)2 Указанный в скобках верхний индекс нормировочного множителя, равный двум, показывает, что в данной модели рассматриваются два вида товара. В случае если стоимости партий поставок этих товаров совпадают, должен быть поставлен второй верхний индекс в виде знака равенства. Отсутствие такого знака говорит о том, что стоимости партий поставок этих товаров имеют произвольные значения и не совпадают. Нижний индекс нормировочного множителя состоит из значений т1 и т2 . В нашем случае они соответственно равны 2 и 1, т. е. поставка второго товара имеет периодичность поставки в два раза более частую, чем поставка первого товара.

Если минимаксное значение нормировочного множителя выразить через у2, то получим У 2

к221 = 1 — 2.

2;1 1 + 3у 2 + 2(у 2 )2

Это самое лучшее значение нормировочного множителя при заданном соотношении периодов поставки первого и второго товаров, и очевидно оно зависит от соотношения стоимостей партий поставок у2 .

Подставим данные из нашего примера в полученные формулы. Оптимальный относительный сдвиг поставки второго това-

02 2 х 0,4

ра будет равен — =-0,4444. Тогда

0» Т2 1 + 2 х 0,4

— = 1 - 0,4444 = 0,5556. Эти значения оптималь-

Т

2

ных сдвигов показаны (см. рис. 1).

Минимаксный нормировочный множитель в нашем примере будет равен 0,4

К(2) = 1 -Л2;1 1

1 + 3 Х 0,4 + 2 Х 0,42

= 0,8413.

Рассчитаем оптимальное значение локального максимума при следующих условиях: д1р1 = = 10 ден. ед., д2р2 = 4 ден. ед. Получим 7т1птах= = К^ = 0,8413(10 + 4) = 11,7778 ден. ед.

Значение локального максимума показано в единицах д1р1 и поэтому равно 1,1778^1р1 (см. рис. 1).

Исследуем, как меняется значение оптимального нормировочного множителя при изменении у2 .

Аргумент у2 может изменяться в интервале от нуля до бесконечности. Если у2 = 0 (второго товара просто нет), то К22) = 1. Если у2 стремится к бесконечности, т. е. нет первого товара, при подстановке в выражение для К22) получим неопределенность (2)

вида К21 = 1--. Для нахождения ее значения оп-

ределим Нт К22^(у2) = Нт

1 --

У 2

1 + 3у 2 + 2(у 2 )2

= Нт

У 2

1-

1

1 У 2

+ 3 + 2у 2

= Нт(1 - 0) = 1.

У2

дК

(2)

d

(

1-

У 2

Л

ду2 dу21 1 + 3у2 + 2(у2)

2> /

2(у2)2 -1

[1 + 3у 2 + 2(у 2 )2 ]

Признаком минимума функции является равенство производной нулю, поэтому приравняем к нулю полученное выражение для первой произ-

водной

2(у;)2 -1

= 0.

(1)

[1 + 3У; + 2(у*2 )2 ]

Очевидно, что знаменатель дроби (1) больше нуля, поэтому приравнр ем к нулю числитель, т. е.

2(у*2)2 -1 = 0. Отсюда (у2)2=2

Первое значение корня этого уравнения

(У2 )1 =Л, второе значение корня (у 2 )1 = .

Так как очевидно, что у2 (отношение стоимостей партий поставок) величина положительная, то второе значение корня не имеет экономического смысла.

В точке абсолютного минимума У2 имеем

К(2)* = 1 -Л"2;1 1

У 2

1 + 3У2 + 2(У2 )2

= 1 --

1

= 0,8284.

1 + + 2

Оптимальное значение относительного сдвига поставки второго товара равно

2-1

е^ ) = 2у 2 = л/2

т;

1 + 2у 2

1 + 2

= 0,5858.

л/2

Имеем непрерывную функцию, которая на краях своей бесконечной области определения, а именно, в нуле и бесконечности, равна единице. Это значит, что существует минимум значения данной функции, и необходимо выяснить, при каком значении у2 этот минимум достигается.

Для определения местоположения абсолютного минимума минимаксного значения нормировочного множителя найдем его частную производную по у2, в результате получим

Кратность периодичности поставок равна трем. Рассмотрим два товара с произвольной стоимостью партий поставки и соотношением между периодами поставок равным трем, т. е. т: = 3, т2 = 1. Оптимальный график поставок представлен на рис. 2.

По аналогии с первым вариантом модели, в котором кратность периода поставки была равна двум, будем считать, что два локальных максимума в одном периоде являются доминирующими (А:А4 и В2В4), а два других (С:С3 и D1D3) - уступающими.

Вычислим два доминирующих локальных максимума.

Первый локальный максимум А:А4 = А1А3

+

А3А4, при этом А1А3 = д1р1, А3А4 = А1А2 по построе-

е2

нию. Учитывая, что А1А2 = в2 р2—, получим А1А4 =

т

= Вх р1+ В 2 р2

е2

т;

Второй локальный максимум В2В4 = В2В3 + +В3В4, при этом В2В3= (3Т2 -е2), В3В4 = д2р2.

3Т

В1 р:

Тогда В2В4 = Т(ЗТ2 - е2) + В2р2 = Вхр: + В2р2 -

Вхрх е2 3 Т

2

2

Стоимость запасов Y(t)

^^ Динамика стоимости суммарного запаса товаров первого и второго видов Динамика стоимости запаса товара первого вида Вспомогательные линии, необходимые для построения графика

Рис. 2. Оптимальный график изменения стоимости суммарного запаса для двух товаров с кратной периодичностью Т1 = 3Т2 и неодинаковой стоимостью поставок q2p2 = р1 и оптимальным сдвигом поставки второго товара по отношению к первому 02 = 0,6429Т2

Время t

Как было показано ранее, оптимальные значения локальных максимумов равны, поэтому для определения величины оптимальных сдвигов поставки приравняем А1А4 и В2В*4, получим

АА = ^ = В2В4 + 92 Р21 =

Т

= Я1 Pi + Я2 P2

9*

Отсюда —^ = Т

T

2

Я1Pi 92 Г ЯгPi ^92

2 + Я2 P2 J T- = Я2 P2 .

Я2Р2 _ 3Я2Р2

3 T

Ml 3

+ Я2 P2

Я1 Pi + 3Я2 P2

Учитывая, что

92= 3y 2 Т2 1+372'

Я2 P2 Я1 Pi

9* ,9* 3y

Тогда -1 _ 1 —^ _ 1 - '

1

Т

Т

1 + 3y 2 1 + 3y 2

Вычислим теперь ^птах, подставив в выражение для А1А4 значения оптимальных сдвигов. Получим

392 Р2

,„ 92

A1A4 _ — _ Я1 Pi + Я2 P2

Я1 Pi + 3Я2 P2

_Y 2 и ух = 1, получим

= (Я1 Pi )2 + 3Я1 Pi Х Я2P2 + 3(Я2P2 )2 Я1 Pi + 3Я2 P2

Минимаксное значение нормировочного множителя будет равно

_ min max _

3;1 _ ТЛ _

2

Е

_ (Вхр )2 + 3Вхр Х В2р2 + 3(В2р2 )2 _

= 1 --

(Вх рх + 3В2 р2 )(Вх рх + В 2 р2 ) Вх рх Х В2 р2

(2)

(Вхрх )2 + 4Вхрх Х В2р2 + 3(В2р2)2 Разделим числитель и знаменатель полученного выражения (2) на (д^)2 и получим

К(2) = Х -Л3:1 1

У 2

1 + 4у 2 + 3(у 2 )2

В представленном примере (см. рис. 2) было принято для определенности дхрх = 10 ден. ед., д2р2 = 6 ден. ед. Тогда у2 = 0,6, и оптимальный относительный сдвиг поставки второго товара будет

равен

е*

3 х 0,6

Т2 1 + 3 Х 0,6

= 0,6429.

Оптимальный относительный сдвиг поставки

первого товара равен

е* е*

= 1 —2. = 1 - 0,6429 = 0,3571.

Т

Т

Стоимость запасов Y(t)

Минимаксный нормировочный множитель

равен К® = 1--06-^ = 0,8661.

3Д 1 + 4 х 0,6 + 3 х 0,62

Тогда Гт)птах = 0,8661(10 + 6) = 13,86 ден. ед., или 1,3857 в единицах д]р1 (см. рис. 2).

Кратность периодичности поставок - любое число от 2 до ж. Для того чтобы получить общую формулу для расчета минимаксного нормировочного множителя для двух видов товаров с любой кратностью периодов их поставки, введем параметр, учитывающий кратность периодов поставок

двух товаров т = —-, где т - любое целое число

1 2 от 2 до да.

На рис. 3 представлен оптимальный график поставки двух товаров с кратной периодичностью поставок с произвольной кратностью т. График построен на произвольном интервале времени кТх... (к + 1) Тх, где k - произвольное целое число, к = 0...<».

В общем случае, как и в рассмотренных ранее частных случаях с т = 2 и т = 3, считаем, что условием оптимальности является равенство значений двух доминирующих локальных максимумов АхА4 и В2В4. Остальные локальные максимумы (их число равно т - 1) доминирующим максимумам по величине уступают, поэтому исключаются из анализа.

Время

Динамика стоимости суммарного запаса товаров первого и второго видов Динамика стоимости запаса товара первого вида

-----Вспомогательные линии, необходимые для построения графика

Рис. 3. Оптимальный график изменения стоимости суммарного запаса для двух товаров с кратной периодичностью Тх = тТ2 и неодинаковой стоимостью поставок на произвольном интервале времени кТх... (к + 1) Тх

Вычислим значения доминирующих локальных максимумов.

Первый локальный максимум А А = А1А3

+А3А4, А1А3 = q1p1, А3А4 = А1А2 по построению, при

02 0

этом А1А2 = 9 2 р2 Т2 ■ Тогда А1А4 = q1p1 + 92 р^-2 .

Т2 Т2

Второй локальный максимум В2В4 = В2В3 +

тТ -0

+ В3В4. При этом В2В3 = 91Р1 —; В3В4 = q2p2 .

тТ2

91 Р1 02

Тогда В2В4 = 91Р1 + 92Р2 -—т;2 • 24 т Т2

В точке минимакса локальные максимумы

равны друг другу, поэтому приравняем значения

А1А4 = В2 В4 и получим

0* 0* 0*

А1А4 ^ = В2 В4 = 91Р1 + 92 Р2 т;2 =

Т

Т

Т

ад 02 191 р1 Л02* = 91Р1 + 92Р2 ——т;2 = I — + 92Р2 = 92Р2 •

т Т

т

Т

22 Отсюда оптимальный относительный сдвиг

поставки второго товара равен

0*

92 Р2

т92 Р2

Т2 9Р + 91Р1 + т92 Р2

, или через у2:

Т

т

ту 2 1 + ту 2

Тогда £ = 1 = 1 -- т2

1

Т2 Т2 1 + ту 2 1 + ту 2 Вычислим значение оптимального локального

максимума

0*

А А4 = Т2 = 4

02

= 91Р1 + 92 Р2— =

Т

= 91Р1 + 92 Р2-

т92 Р2

(2) = 4штах = (91 Р1 ) + т(91 Р1 Х 92Р2) + т(92Р2) : (91 Р1 + т92 Р2 )(91 Р1 + 92 Р2)

К(2) =

(91 Р)2 + т(91 Р1 Х 92 Р2) + т(92 Р2)2 (91 Р1)2 +(т +1)(91 Р1 Х 92 Р2) + т(92 Р2)2

= 1 --

91Р1 Х 92 Р2

(91 Р1) +(т +1)91 Р1 Х 92 Р2 + т(92 Р2 )'

-• (3)

Можно выражение (3) преобразовать с учетом у2. Тогда оно примет вид

(2)

Кт;1 = 1 -

У 2

1 + (т + 1)у 2 + т(у 2)

(4)

Как видно из полученной формулы (4), нормировочный множитель К® - это функция переменных у2 и т. Исследуем поведение К{^1 при изменении у2 от 0 до да. Если у2 = 0, то К^ = 1 • Если у2^да, то

11т Оу2) = 11т

1-

У 2

1 + (т + 1)у 2 + т(у 2)

^ У

= 11т

У2

1-

У2 У 2

= 11т

У2

1 У 2

1-

+ (т + 1)У 2 + т(У 2 )

У 2

1

У 2 Л

1 У 2

+ (т +1) + ту 2

= 1.

Таким образом, на левом и правом концах диа-

7^(2)

пазона значений нормировочный множитель К т1 принимает значение, равное единице. Поскольку исследуемая функция непрерывна и не имеет особенных точек (разрывов, скачков и пр.), существует ее минимальное значение в данном диапазоне. Для того чтобы его определить, необходимо найти частную производную функции по у2 и приравнять ее к нулю, т. е.

дК

(2)

ё

У 2

1--

дУ2 ёУ2 V 1 + (т + 1)У2 + т(У2)

2> У

91Р1 + т92 Р2

= (91 Р1 )2 + т(91 Р1 Х 92 Р2 ) + т(92 Р2)2

91Р1 + т92 Р2 Тогда минимаксный нормировочный множитель для двух товаров с произвольной стоимостью партий поставок и кратной периодичностью будет равен

т(у2)2 -1

[1 + (т + 1)у 2 + т(у 2 )2 ]

(5)

Знаменатель дроби (5), очевидно, не обращается в ноль, поэтому приравняем к нулю числитель,

т. е. т (у?) 2- 1 = 0, отсюда (у2)2 = —.

2т

Первый корень этого уравнения равен

*(1) 1 *(1) 1 у 2 =—1=, второй корень равен у 2

Ыт

видно, что второй корень является отрицательным и не имеет экономического смысла.

Найдем абсолютный минимум минимаксного нормировочного множителя

4т

• Оче-

2

0

2

2

2

min K% = u; =

4m

= 1 —

Y 2

1 + (m + 1)y 2 + m(Y2)

1

= 1 —

4m

=1 -

1 + (m +1)^= + m m

1

4m

1 + m + 24m

Поведение абсолютного минимума минимаксного нормировочного множителя л.т;1 в зависимости от соотношения стоимостей партий поставок у2, которое является оптимальным для каждого возможного параметра кратности периодов поставок двух товаров т, показано на рис. 4.

Анализ рис. 4 подтверждает, что абсолютный минимум минимаксного нормировочного множителя в модели поставки двух видов товаров, равный 0,75, достигается при равенстве стоимостей партий поставок товаров (у2 = 1) и равенстве периодов поставок (т = 1). Это модель, рассмотренная авторами в работе [2]. Очевидно, что такая модель управления поставками является для предприятия наиболее экономически целесообразной, поскольку позволяет минимизировать величину оборотного капитала,

инвестируемого в формирование запасов. Любое отклонение т от единицы, даже при оптимальном соотношении стоимостей партий поставок у2, приводит к увеличению величины минимаксного нормировочного множителя, вплоть до единицы.

Прослеживается также интересная зависимость (см. рис. 4) между кратностью периодов поставок т и величиной оптимального соотношения стоимостей партий поставок у2 . Чем выше кратность поставок второго товара по сравнению с первым, т. е. чем чаще осуществляются его поставки в течение одного периода поставки первого товара, тем меньше должна быть стоимость партий поставок второго товара по отношению к стоимости партий поставок первого товара для достижения минимаксного значения нормировочного множителя.

Зависимость минимаксного значения нормировочного множителя от отношения стоимостей партий поставок двух товаров у2 при заданной периодичности поставок т представлена на рис. 5. Минимаксные значения нормировочного множителя рассчитаны для т = 1, 2, 3, 5, 7, 10, 25 и 100 при соотношении стоимостей поставок 0 < у2 < 100. Штриховой линией (см. рис. 5) соединены значения абсолютных минимумов минимаксных нормировочных множителей, рассчитанных при каждом рассмотренном значении

K (2)

0,95

0,9

0,85

0,8

0,75

400

100 50

_I_I_

25

_|_

15

I

10

_

m

У 2

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Рис. 4. Зависимость абсолютного минимума минимаксного нормировочного множителя min K^ от оптимального соотношения стоимостей партий поставок у2 при заданной кратности периодов поставки m

1

1

2

1

7

4

2

1

*

0,95

0,9

0,85

0,8

К (2) К т,Л

0,75

0,01

У2

0,1 1 10

Значения абсолютных минимумов минимаксных нормировочных множителей

100

Рис. 5. Зависимость минимаксного значения нормировочного множителя К^.! от отношения стоимостей партий поставок двух товаров у2 при заданной кратности периодов поставки т

1

т и оптимальном соотношении стоимости поставок. Фактически данная штриховая линия соответствует графику, построенному на рис. 4, только в данном случае она показана на логарифмической шкале.

Анализ рис. 5 показывает, что чем ближе значения т и у2 к единице, тем ниже величина минимаксного нормировочного множителя, тем ближе она к абсолютному минимуму минимаксного нормировочного множителя для двух видов товаров, равному 0,75, который достигается при равенстве стоимости партий поставок и равенстве периодов времени между поставками.

Даже, казалось бы, незначительное увеличение кратности периодов поставок двух товаров приводит к существенному росту минимаксного нормировочного множителя. Так, например, при увеличении кратности периода поставки с 1 до 2 минимаксный нормировочный множитель увеличивается с 0,75 до 0,83.

Заключение

Таким образом, подводя итог проведенному исследованию, стоит отметить, что построенная

модель оптимизации поставок двух товаров с кратной периодичностью и произвольной стоимостью партий поставок позволяет выявить закономерности в поведении минимаксного нормировочного множителя - показателя, определяющего объем оборотного капитала, необходимый для финансирования запасов предприятия. Как было показано, абсолютный минимум минимаксного нормировочного множителя, равный 0,75 (а совсем не 0,5 - традиционно рекомендуемое значение), достигается при совпадении периодов поставок товаров двух видов и равенстве стоимости поставляемых партий.

Увеличение частоты поставок одного из товаров приводит к существенному росту минимаксного нормировочного множителя, при этом в каждом варианте кратности периодов поставок оптимальное значение минимаксного нормировочного множителя достигается только при условии выполнения оптимального соотношения стоимостей партий поставляемых товаров. Причем чем больше кратность периодов поставок, тем ниже должно быть это соотношение стоимостей.

Уже при достижении пятикратной периодичности поставок (см. рис. 5) минимаксный норми-

Экpнoмuкo-мameмamuчeскpe мoдeлuрoвaнue

10 (361) - 2014

ровочный множитель становится больше 0,9, и дальнейший рост кратности периодов все быстрее приближает его к единице, следовательно, никакая оптимизация в этих условиях уже практически невозможна. Отсюда можно заключить, что наличие в номенклатуре поставляемых на предприятие товаров таких видов, которые поставляются редко, сводит на нет все усилия менеджеров по оптимизации поставок.

Поэтому единственным способом минимизации оборотного капитала, инвестируемого в запасы, является максимальное сближение значений периодов поставок товаров, выполнение поставок с оптимальным сдвигом и неукоснительное выдерживание графика поставок предприятиями-поставщиками. Одновременно с этим необходимо максимально выровнять стоимость партий поставляемых товаров. Предприятие должно вести работу с поставщиками в этом направлении, добиваясь от них выполнения

достигнутых договоренностей по параметрам поставок, возможно, создавая материальную заинтересованность поставщиков в строгом соблюдении графика и объемов поставок.

Список литературы

1. Букам Дж., Кенигсберг Э. Научное управление запасами: пер. с англ. М.: Наука, 1967. 424 с.

2. Кулакова Ю. Н. Оценка нормировочного множителя в многопродуктовой модели управления запасами предприятия при условии равной периодичности и одинаковой стоимости поставок // Логистика и управление цепями поставок. 2012. № 3. С. 76-83.

3. Кулаков А. Б., Кулакова Ю. Н. Многопродуктовая модель управления запасами предприятия с поставками равной периодичности // Экономический анализ: теория и практика. 2013. № 29. С.58-62.

Economic-mathematical modeling

STUDY OF NORMALIZATION FACTOR BEHAVIOR IN A MULTIPRODUCT INVENTORY MODEL FOR DELIVERY OF TWO KINDS OF GOODS WITH MULTIPLE PERIODICITIES

Iuliia N. KULAKOVA Andrei B. KULAKOV

Abstract

In article the behavior of minimax value of a normalizing multiplier depending on frequency rate of the periods of deliveries and a ratio of costs of parties of deliveries in multigrocery model of stockpile management with restriction of working capital for two types of goods is investigated.

Keywords: working capital, management, stocks, multigrocery

References

1. Buchan J., Koenigsberg E. Nauchnoe upravlenie zapasami [Scientific Inventory Management]. Moscow, Nauka Publ., 1967, 424 p.

2. Kulakova Iu. N. Otsenka normirovochnogo mnozhitelia v mnogoproduktovoi modeli upravleniia zapasami predpriiatiia pri uslovii ravnoi periodich-nosti i odinakovoi stoimosti postavok [Assessment of the normalization factor in the inventory management multi-commodity model under the condition of equal frequency and the same cost of supplies]. Logistika i

upravlenie tsepiami postavok - Logistics and supply chain management, 2012, no. 3, pp. 76-83.

3. Kulakov A. B., Kulakova Iu. N. Mnogoproduk-tovaia model' upravleniia zapasami predpriiatiia s postavkami ravnoi periodichnosti [Multi-product model of control of the reserves of enterprise with the deliveries to the equal periodicity]. Ekonomicheskii analiz: teoriia i praktika - Economic analysis: theory and practice, 2013, no. 29, pp. 58-62.

Iuliia N. KULAKOVA

Ural Social and Economic Institute, (Branch)

of Academy of Labor and Social Relations,

Chelyabinsk, Russian Federation

[email protected]

Andrei B. KULAKOV

Ural Social and Economic Institute, (Branch)

of Academy of Labor and Social Relations,

Chelyabinsk, Russian Federation

[email protected]