Исследование поведения нормировочного множителя в многопредметной непрерывной поточной линии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ НОРМИРОВОЧНОГО МНОЖИТЕЛЯ В МНОГОПРЕДМЕТНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ПОТОЧНОЙ ЛИНИИ

Ю.Н. Кулакова

В статье исследуется поведение нормировочного множителя в экономико-математической модели с протяженной во времени поставкой, характерной для организации производства на многопредметной непрерывной поточной линии (МНПЛ). Целью исследования является определение значений нормировочного множителя в модели производства нескольких видов продукции на МНПЛ при условии одинакового максимального значения запаса по каждому виду продукции и равной длительности производственных периодов в течение единого производственного цикла. Выведены формулы для расчета минимаксного значения нормировочного множителя для случаев двух, трех и п видов изделий, последовательно изготавливаемых в едином производственном цикле. Рассчитаны реальные значения нормировочного множителя в модели МНПЛ с указанными ограничениями. Установлено, что рекомендуемое в литературе и традиционно принимаемое в расчетах значение нормировочного множителя, равное 0,5, соответствует только некоторым частным случаям реализации данной модели. Показано, что использование на практике общепринятого значения нормировочного множителя, равного 0,5 без учета реальных условий реализации производственного плана может приводить к заниженным оценкам величины оборотного капитала, инвестируемого в запасы предприятия, и к последующим значительным финансовым потерям

Ключевые слова: организация производства, многопредметная непрерывная поточная линия, нормировочный множитель, модель

В семействе оптимизационных моделей, разработанных для управления запасами предприятия, есть модели, предназначенные для оптимизации протяженных во времени поставок воспроизводимых факторов, то есть поставок, равномерно распределенных во времени, иными словами, для производственных процессов. Такие модели характерны, например, для организации деятельности многопредметной непрерывной поточной линии (МНПЛ), на которой обрабатываются «изделия нескольких типоразмеров, сходных по конструкции или технологии обработки (сборки)» [1, С.222]. Для оценки величины запасов, формирующихся в этих моделях, принято использовать нормировочный множитель, являющийся, по определению, отношением максимума суммы стоимости запасов к сумме их максимумов, равный 0,5 [2, 3, 4]. Это значение основано

п -1 -

Т -

Т -

на весьма спорном утверждении, что «маловероятно, что средний размер капитала, вложенного в запасы, окажется много меньше половины максимально возможного значения» [2, С.163]. Нами подробно исследован наиболее простой случай поведения нормировочного множителя в модели с мгновенными поставками [5], и показано, что он асимптотически стремится к значению, равному 0,5, только при числе поставляемых товаров, стремящихся к бесконечности, а в реальных условиях его значение существенно выше. В данной статье мы ставим задачу исследовать поведение нормировочного множителя в условиях многопродуктовой модели с протяженной во времени поставкой, то есть для случая организации работы МНПЛ.

Составим список обозначений, используемых нами при построении модели:

общее число видов изделий, изготавливаемых в течение единого цикла;

порядковый номер вида изделий, изготавливаемых в течение единого цикла, 1=1.. .п;

длительность единого цикла изготовления п видов изделий, мин.; длительность производственного периода изготовления одной пар-

Yi

Yz= ух

i=1

Ymax=max У yi(t)

Yn

К

^п1

(П;=)

тии i-го изделия в течение единого цикла, мин/партию; Ут;=т; максимум запаса ьго изделия на протяжении единого цикла. Может измеряться по-разному в зависимости от поставленной цели исследования, например, в натуральных единицах (шт.), в стоимостных единицах (руб.), в весовых (кг), объемных (дм3) единицах и т.п.; VYi=Y;

текущий запас изделий ьго вида в течение единого цикла, 0^<Т; сумма максимумов запасов всех видов изделий в течение единого цикла, соотв. ед.;

максимум суммарного текущего запаса всех видов изделий в течение единого цикла, соотв.ед.;

минимум максимума суммарного текущего запаса всех видов изделий в течение единого цикла, определяемый по множеству всех вариантов решения задачи оптимизации модели; сдвиг момента запуска партии изделий ьго вида по отношению к моменту окончания изготовления партии изделий (ь1)-го вида в течение единого цикла, мин.; ¡=2.. .п;

сдвиг момента запуска партии изделий 1 -го вида по отношению к моменту окончания изготовления партии изделий п-го вида в течение единого цикла, мин. Принимаем, что моменты запуска партии изделий 1-го вида происходят в моменты времени t=0,T,2T,...; минимаксное значение нормировочного множителя для п видов изделий. Индекс «=» показывает, что все Yi равны между собой.

0

Два вида изделий

Рассмотрим простейшую модель МНПЛ: два вида изделий, которые запускаются в производство таким образом, чтобы их равные по продолжительности производственные периоды не перекрывались. В каждый момент времени производится изделие только одного вида. Переналадка линии возможна только после выпуска партии изделий, а не поштучно. Модель жизнеспособна при выполнении следующих ограничений: 0<т<Т и 0<2т<Т, так как производится два вида изделий, и суммарная продолжительность их производственных периодов должна «помещаться» в длительности единого цикла.

Иными словами, условие 0<т< X гарантиру-

2

ет, что линия справится с запланированной программой. Балансовое уравнение для данной модели имеет вид: 0п1+0п2=Т-2т, где Т-2т - время внутрициклового простоя МНПЛ.

В [5] было показано, что минимакс суммарного запаса, а, следовательно, минимаксное значение нормировочного множителя достигается при условии равенства локальных максимумов (ЛМ) запасов изделий разных видов. Запишем выражения для двух ЛМ и приравняем их друг к другу. Первый локальный максимум

ЛМ1=В2В5=В2 В4 +В4 В 5 =В2 В4+В1В 3 (рис.1). Учитывая, что В2В4=Y и В1В 3= уеп2, полу-

T - т

чим В2В^+У9п2 . Второй локальный мак-

T - т

симум ЛМ2=D1D3=D1D2+D2D3. Учитывая, что Р)Р2= , а D2D3=Y, получим D1D3=

I - т

+Y=_^(T-2т-9п2)+Y. Предположение

I - т I - т

об оптимальной точке легко доказывается.

Нужно дать 0п2 приращение «+Д9 п », а 0 п1

*

- приращение «-Д0п », и снова рассчитать оба ЛМ. Окажется, что один из них увели-

чился, что означает уход из точки минимак-са. Более подробно этот метод описан в [5].

В оптимальном решении

ЛМ1(0п2 )=ЛМ2(0п2 ).

Приравняем выражения для ЛМ: У+У6

п2

Т - т

= У

(Т-2т-0п2 )+У. Получим значение оп-

Т 2

найдем, подставив значение оптимального сдвига в любой ЛМ:

* т

Уштшах=ЛМ 1(0п2 )=У+^_ X1 (Т-2т)= 1,5-2- .

Т - т 2 -У

1-

Т - т

* *

тимального сдвига 0п2 =—-т. Тогда 0п1 =Т-

2

Минимаксное значение нормировочного множителя

К(2;=)=ут1ишах (1'5 -2?)У , 0,25 при Л<0,5.

2т-0п2 =Т-2т-1 (Т-2т)= 1 (Т-2т)=0п2 . Таким

2 2

образом, получаем, что в оптимальной модели сдвиги моментов запуска партии изделий в течение единого цикла равны.

Найдем оптимальные относительные

сдвиги: С= С =Х (Т-2т)= 1-1.

Т Т 2Т 2 Т

Величина т представляет собой долю

Т

производственного периода изготовления партии изделий одного вида в длительности производственного цикла.

Так как ^п2_>0, имеем Л<1, то есть при

Т

У.

= 1 —

т т

(1 -^)2У 1 --

Балансовое уравнение для относительных сдвигов имеет вид +^ <1-_2!. Если

-/п1 п2

Т Т

т >1 МНПЛ не справляется с планом произ-

Т 2

водства.

Значение минимума максимального суммарного текущего запаса всех видов изделий в течение единого цикла Ут1птах

т=0, рассматриваемая модель с распределенными во времени поставками превращается в модель с мгновенными поставками, исследованную в [5]. Балансовое уравнение в модели с распределенными во времени поставками имеет подвижную правую границу, равную

1-^1. Сумма относительных сдвигов, превос-

Т

ходящих эту границу, является недопустимой, так как МНПЛ не справляется с планом производства.

Рассчитаем параметры простейшей модели с двумя видами изделий при У1 =У2=У, т1 =т2=т (табл.1).

Таблица 1

Расчет параметров простейшей модели МНПЛ с двумя видами изделий при Y1=Y2=Y,

т 1 =т 2 =т

т

Т

Т

т/Т 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

* 0Ш /Т 0,500 0,450 0,400 0,350 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,000

Ут1птах/У 1,5000 1,4737 1,4444 1,4118 1,3750 1,3333 1,2857 1,2308 1,1667 1,0909 1,0000

К(2;=) 0,7500 0,7368 0,7222 0,7059 0,6875 0,6667 0,6429 0,6154 0,5833 0,5455 0,5000

Как видно из табл.1, минимаксное значение нормировочного множителя при производстве двух видов изделий с равными производственными периодами варьируется от 0,5 до 0,75 в зависимости от соотношения между длительностью производственного периода и длительностью единого цикла. Рекомендуемое в литературе значение 0,5 нормировочного множителя встречается только

один раз - в предельном случае, когда относительные длительности производственных периодов т/Т=0,5, а относительные оптимальные сдвиги 0п1 /Т=0п2 /Т=0 и, следовательно, отсутствуют внутрицикловые простои МНПЛ. Во всех остальных случаях величина минимаксного значения нормировочного множителя выше, и относительное отклонение фактического значения этого по-ВОДСТВА. 2015. № 1

казателя от общепринятого значения может достигать 50% (!), что, безусловно, негативно сказывается на точности расчета величины оборотных средств, инвестируемых в производство.

На рис. 1 представлен график изменения суммарного запаса для двух видов изделий, у которых т/Т=0,20, при этом, как видно из табл.1, минимакс суммарного запаса, равный 1,375Y, достигается при оптимальном значе-

Y_x=1,3750=0,6875YI

нии относительного сдвига 0п /1=0,30. При

этом минимаксное значение нормировочного

(2'=)

множителя Ю ' составляет 0,6875. На рис. 1 сплошной тонкой линией показана динамика стоимости запаса изделия первого вида, а сплошной жирной линией - динамика стоимости суммарного запаса изделий первого и второго видов. Пунктиром показаны вспомогательные линии, необходимые для построения графика.

Е1 Время

Рис.1. График изменения суммарного запаса для двух видов изделий, у которых т/Т=0,20, при условии оптимального относительного сдвига запуска партии 0 п /1=0,30

График определения минимаксного значения нормировочного множителя имеет вид воронкообразной фигуры с минимумом равным 0,6875 в оптимальной точке 02 /1=0,3 (рис. 2).

Три вида изделий

Усложним задачу, добавив третий вид изделий. По-прежнему считаем равными продолжительности производственных периодов и одинаковыми величины формируемых запасов у всех видов изделий, то есть

0,0

VYi=Y, Vтi =т. Запишем систему ограниче- ний: Vтi<Т,

Утах(еп2/Т)/У£ 1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

Ут, <т; У0П1 = I-Ут,.

1 1

^— _____[ Область запрещенных значений относительного сдвига 0п2*/Т>1-2т/Т

^^^ !

1 1

1 1

1 1

1 1

0п2*/Т=0,3

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0п2/Т

Рис. 2. Определение минимаксного значения нормировочного множителя при изготовлении двух видов изделий при Y1=Y2=Y, т1=т2=т, т/Т=0,20

Выполнив построения, подобные рис.1, для трех видов изделий, получим выражения для трех ЛМ:

ЛМ (0п2+0пэ+т);

I - т I - т

лм 2=^_ (еп3+еп1+т^+^_ 9пэ;

I - т I - т

лм 3=^ еп1 (eпl+eп2+т)+Y.

I - т I - т

Воспользуемся балансовым уравнением еп1+еп2+еп3+3т=Т, чтобы избавиться от значения одного из сдвигов, выразив, например,

еп3=Т-3т-еп1-еп2.

Подставим еп3 в выражения для ЛМ:

лм еп2^^ (еп2+т+Т-3т-еп1 -

еп2 )=

= Y

I - т

I - т I - т

_(2Т-3т-еп1+еп2);

лм 2=^ (т-зт-eпl-eп2+eпl+т)+y+

I - т

I - т

(Т-3т-еп1 -еп2 )=

= Y

I - т

(3Т-бт-еп1-2еп2);

ЛМ3=^_ еп1 (еп!+еп2+т^=^ I - т I - т I - т

(Т+2еп1+еп2).

В оптимуме все ЛМ равны друг другу: ЛМ1*=ЛМ2*=ЛМ3*. Тогда имеем:

2Т-3т-еп1*+еп2*=3Т-бт-еп1*-2еп2 =Т+2еп1 +еп2 . Решим уравнение: Т+2еп1*+еП2*=2Т-3т-еп1*+еП2 *; 3еп1 *=Т-3т. Отсюда еп1 = 1 -т.

3

Решим второе уравнение: 2Т-3т-епГ+Вп2*=3Т-6т-еп1 *-2еп2*; 3еп2*=Т-3т. Отсюда еп2 = Т -т.

3

Решим третье уравнение:

Т+2еп1*+еп2*=3Т-6т-еп1*-2еп2*. Отсюда е^*=

Т -т.

3

Получаем оптимальные относительные

сдвиги = ^ = = 1- т .

Т Т Т 3 Т

1=1

1=1

1=1

Рассчитаем Уш1пшах=ЛМ1(0п )=_^_ (2Т- тЛ3;=)_^ 1 ч у -1 1 т 1

т-т К =(3----, -<-1т 1 1 - - 3У 3(1 - -) т 3

3т- Т+т+Т -т)= 2Т-3ГУ=2-3Т =(3--1—)У. Т Т

3 3 Т - т т 1 - .1 Результаты расчетов оптимальных пара-

1-

метров исследуемои модели для трех видов

Т Т

Минимаксное значение нормировочного изделиИ приведены в табл.2. множителя

Таблица 2

Расчет параметров простейшей модели МНПЛ с тремя видами изделиИ при Y1=Y2=Y3=Y,

т1 =т2 =т 3 =т

т/Т 0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,1667 0,2000 0,2500 0,3000 0,3333

И4 еш /т 0,3333 0,2833 0,2333 0,1833 0,1667 0,1333 0,0833 0,0333 0,0000

Yminmax/Y 2,0000 1,9474 1,8889 1,8235 1,8000 1,7500 1,6667 1,5714 1,5000

К(3;=) 0,6667 0,6491 0,6296 0,6078 0,6000 0,5833 0,5556 0,5238 0,5000

Общий случай: п видов изделий

Как и для любого частного случая, так и в общем виде, для п видов изделиИ, в оптимальном решении все ЛМ равны друг другу,

*

а значит и все оптимальные сдвиги 9ш рав-

*

ны друг другу и равны 9п . Они возникают в

те моменты времени, в которые достигает пикового значения запас изделиИ каждого вида. Это те моменты, когда заканчивается очередной производственный период изготовления каждоИ партии изделиИ. Эти моменты показаны в табл.3.

Таблица 3

Моменты времени возникновения ЛМ в модели

МНПЛ с п видов изделий

№ ЛМ, } 1 2 3 4 ] п-1 п

Момент возникновения ЛМр ^ т т+(0п *+т) (0п*+2т)+(0п *+т) 20п+3т+(0п*+т) (]- 2)0п*+ +(]-1)т+ +(0п *+т) (п-3)0п *+ +(п-2)т+ +(0п *+т) (п-2)0п*+ +(п-1)т+ +(0п *+т)

Формула расчета момента ЛМр ^ т 0п*+2т 20п *+3т 30п*+4т (]- 1)0п*+]т (п-2)0п*+ +(п-1)т (п- 1)0п*+пт

Проще всего вычислить ЛМп, так как суммируемые остатки запасов изделий каждого вида четко упорядочены, что позволяет вывести формулу, не прибегая к графическому построению.

Вычислим ЛМп=_^_

т - т

И4 И4 И4 И4

[0п +(29п +т)+(30п +2т)+...+О0п +()-1)т)+...+(п9п +(п-1)т)]. Сумма в квадратных скобках распадается на две: ЛМп=_^_

Т - т

И4

[(1+2+...+]+.. .+п)0п +(1+2+]+...+(п-1))т]. В

** минимаксном решении 0п = X -т. Заменяя 0п

п

на 1 -т и суммируя арифметические прогрес-

п

сии, получим Yminmax=_^_ [ п(п + 1) х1-п(п +1) х т

Т - т 2 п 2

+ (п-1)п х т ]= пY [1(1 + 1)-1 ], 1 < 1, это усло-

2 т 2 п Т Т п

1--Т

вие реализуемости планового задания МНПЛ. Тогда минимаксное значение нор-

мировочного множителя К(П;=)= Уттт^ = 1 [ делий по отношению к моменту окончания

1 т производственного периода для (1-1)-го из-т делия как функции относительной длительности производственного периода. График построен для различного количества видов изготавливаемых изделий (п) - от 2 до 20.

1 '1 1

1(1 + 1)-1 ]=1-211-П J .

2 п I "

1--I

На рис. 3 показана зависимость относительного сдвига запуска партии ¡-го вида из-

0,50

6п*/Т

0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

т/Т

Рис. 3. Зависимость относительного сдвига запуска партии ьго вида изделий по отношению к моменту окончания производственного периода для (1-1)-го изделия как функции относительной длительности производственного периода; п - количество видов

изготавливаемых изделий

На рис. 4 показана зависимость минимаксного значения нормировочного множителя К(П; ) от относительной длительности производственного периода для различного количества видов изготавливаемых изделий (п) - от 2 до 20.

Графики на рис. 3 и 4 показывают, что минимаксные значения нормировочного множителя достигаются при равномерном распределении относительных сдвигов запуска партий очередных изделий, другими словами, оптимальные значения относитель-

ных сдвигов равны между собой. Если же весь внутрицикловый простой МНПЛ концентрируется в конце каждого производственного цикла (такая форма организации производства нередко встречается на практике), то нормировочный множитель достигает своего максимального, то есть наихудшего по сравнению с минимаксным значения. Однако из-за ограниченного объема статьи подробный количественный анализ данной ситуации будет проведен нами в отдельной публикации.

0,75

К(п;=) 0,70

0,65

0,60

0,55

0,50

0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50

т/Т

Рис. 4. Зависимость минимаксного значения нормировочного множителя К(п' ) от относительной длительности производственного периода; п - количество видов

изготавливаемых изделий

Литература

1. Организация производства и управление предприятием: учебник / О.Г. Туровец, М.И. Бухалков, В.Б. Родионов и др.; под ред.О.Г. Туровца. - 2-е изд. - М.: ИНФРА-М, 2006. - 544 с.

2. Букан, Дж. Научное управление запасами: пер. с англ. Букан Дж., Кенигсберг Э. М.: Наука, 1967. - 424 с. с илл.

3 . Кузин, Б.И. Методы и модели управления фирмой / Б.И. Кузин, В.Н. Юрьев,

Г.М. Шахдинаров. - СПб.: Питер, 2001. - 432 с. - (Учебник для вузов).

4. Производственный менеджмент: учебник / Под ред. В.А.Козловского. - М.: ИНФРА-М, 2003. - 574 с. (Серия «Высшее образование»).

5. Кулакова, Ю.Н. Оценка нормировочного множителя в многопродуктовой модели управления запасами предприятия при условии равной периодичности и одинаковой стоимости поставок / Ю.Н. Кулакова // Логистика и управление цепями поставок - 2012. -№3. - С.76-83.

Кулакова Юлия Николаевна, кандидат экономических наук, доцент кафедры финансового менеджмента и бухгалтерского учета, Уральский социально-экономический институт (филиал) ОУП ВО «АТиСО» (г. Челябинск, Российская Федерация), [email protected]

THE STUDY OF NORMALIZATION FACTOR PERFORMANCE OF THE MULTIPRODUCT CONTINUOUS PRODUCTION LINE

Y.N. Kulakova, Ural Socio-Economic Institute of Academy of Labor and Social Relations, Chelyabinsk, Russian Federation

The article studies the performance of the normalization factor in the economic-mathematical model with extended delivery time, typical for organization ofproduction by a multiproduct continuous production line. The aim of the study is to determine the normalization factor values in the model of manufacturing several product types by a multiproduct continuous production line, given the same maximum stock level for each product type and equal duration ofproduction periods within a single production cycle. The formulas have been derived for calculating the minimal and maximal values of the normalization factor for cases of two, three and n types of products, manufactured consecutively within a single production cycle. The real normalization factor values with specified restrictions have been calculated for the model of a multiproduct continuous production line. It is established that the normalization factor value of 0.5 is recommended in literature and commonly used in calculations, however, it only conforms with certain specific instances of implementing the given model. It is shown, that the practical application of the universally accepted normalization factor value of 0.5, disregarding the real conditions of industrial plan implementation, may result in underestimating the size of working capital, invested in company inventories, and, consequently, in significant financial loss

Key words: organization of production, multiproduct continuous production line, normalization factor, model

References

1. Turovets O.G., Bukhalkov M.I., Rodionov V.B. et al. Organizatsiya proizvodstva i uprav-leniye predpriyatiem: uchebnik [Organization of production and corporate management: a textbook]. 2th edition. Moscow: INFRA-M, 2006. - 544 p.

2. Bookhan J. Kenigsberg E. Nauchnoye upravleniye zapasami: per. s angl. [The scientific inventory management: transl. from English]. Moscow: Nauka, 1967. 424 p. with illustrated

3. Kuzin B.I., Yuriev V.N., Shakhdinarov G.M. Metody i modeli upravleniya firmoy [Methods and models of firm management]. S-Pb.: Piter, 2001. 432 p. - (a textbook for Universities).

4. Kozlovsky V.A. Proizvodstvenny menedgment: uchebnik [Industrial management: a textbook]. Moscow: INFRA-M, 2003. 574 p. (Series «Higher Education»).

5. Kulakova Y.N. Otsenka normirovochnogo mnogitelya v mnogoproduktovoy modeli upravleniya zapasami predpriyatiya pri uslovii ravnoy periodichnosti i odinakovoy stoimosti postavok [The normalization factor assessment in the multiproduct model of company inventory management under conditions of equal duration and cost of supplies]. Logistika i upravleniye tsepyami postavok [Logistics and supply chain management]. 2012. №3. pp.76-83.