CC BY
28
В.А Родин,
доктор физико-математических наук, профессор
С.В. Синегубов,
кандидат технических наук, доцент
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТОКА СИГНАЛОВ НА ПУЛЬТЕ ЦЕНТРАЛИЗОВАННОЙ ОХРАНЫ С УЧЕТОМ ЗАДЕРЖКИ НА ОБСЛУЖИВАНИЕ
RESEARCH OF THE SIGNALS FLOW ON PCP IN VIEW OF DELAY ON SERVICE
В статье по эмпирическим данным записывающих устройств пульта централизованной охраны анализируются статистические характеристики временных интервалов между соседними звонками, изменение потока сигналов с учетом задержки на обслуживание, проверяются статистичекие гипотезы о типе их распределения.
In work the change of a flow of signals acting on PCP in connection with a delay on service is studied. The statistic characteristics of intervals between the neighbouring calls are analyzing.
Введение. Рассмотрим интенсивный режим работы ПЦО, например снятие с охраны объектов. Временное расстояние между соседними сигналами, приходящими на одну линию, есть величина случайная, и так как работа ПЦО относится к системам массового обслуживания, то первым предположением является предположение о показательном распределении этой величины [1]. Эмпирическая диаграмма (рис. 1) показывает значительное расхождение с графиком показательного распределения. Это расхождение не случайное и не имеет отношение к объективно поступающим на линию информационным сигналам, которые имеют экспоненциальный закон [2]. Заметим, что на оси абсцисс в модели мы откладываем временное расстояние между соседними сигналами, приходящими на одну линию. Если рассматриваем операторную (телефонную) организацию, то опытный оператор ПЦО обслуживает один сигнал в среднем в течение 10 с. Следовательно, промежуток около нуля объективно равен нулю, что и показывает диаграмма. Как повышается производительность обслуживания линии оператора при увеличении времени t > 10 с, неизвестно и является предметом исследования. Если рассматривать автоматическую организацию (кнопочную), то задержка на линии также возникает по причине человеческого фактора, естественно, проходит некоторое время, когда линия занята.
1. Ранее по эмпирическим данным, собранным на пульте централизованной охраны ОВО при Коминтерновском РОВД Воронежа путем наблюдения за работой записывающих устройств, были построены графики зависимости значений случайной величины ti , характеризующей временной интервал между соседними звонками, и частот появления этой случайной величины на каждой из трех линий изучаемого ПЦО. Рассмотрим одну из них. По оси абсцисс отложены временные интервалы tt, характеризующие случайные длины интервалов между соседними телефонными звонками в секундах, по оси ординат n(ti) = nk — количество таких временных промежутков. График, который представляет собой полигон частот, представлен в виде ломаной линии (рис. 1).
4.0 0 “
2.00 —
6.0 0 —
£
0.0 0
2.50
42.50
82.50
12 2.50
162.50
Рис. 1
Поведение графика на промежутке от 0 до 12,5 с является наиболее сложным явлением, усложняющим вычисление истинного значения плотности потока в показательном распределении 1 и объясняется тем, что в начальный момент интенсивного режима работы ПЦО телефонная линия загружена, а информация о количестве абонентов пытающихся дозвониться на ПЦО в часы пик из-за занятости линий недостоверна и резко занижена. То есть, в первые моменты времени, когда происходит интенсивное снятие охраняемых объектов с централизованной охраны (утром и вечером), происходит потеря информации, существенно влияющая на построение адекватной модели. В указанный временной промежуток происходит наибольшее количество неоправданных выездов групп задержания, что влияет на экономическую политику вневедомственной охраны. Фактическое распределение поступающей информации без потери на обслуживание было построено в работе [2].
В этой статье мы решаем следующую математическую задачу. Для построения реальной, верифицированной модели работы ПЦО необходимо по эмпирическим данным как можно точнее подобрать плотность распределения с учетом реальной потери информации вблизи нуля. Для этой цели мы проанализируем известные распределения и проверим собственную гипотезу о виде распределения (4). Проверка будет осуществляться по критерию согласия Пирсона (С).
2. Определение вида распределения (H0). При описании многих процессов,
подчиненных случайному распределению, можно отметить следующую особенность: в окрестности нуля распределение описывается одним законом, а при достаточном удалении описывается другой функцией. Приведем некоторые примеры:
1) гамма- распределение. Плотность распределения этого закона имеет вид
Заметим, что около нуля поведение функции носит степенной характер, а для достаточно больших значений x поведение функции (1) описывается экспонентой;
2) логнормальное распределение. Плотность распределения этого закона имеет
вид
хк-1 ехр( - х/ в)
Л (x) = \ вк Щ)
, х > 0
(1)
0,
х < 0
Около нуля и для достаточно больших значений поведение описывается пределом функции exp (t)/exp(t2) при t ® ¥, но с различной скоростью увеличения t;
3) бета-распределение. Плотность распределения этого закона имеет вид
fb( x) =
xa-1 (x - 1)b-1
B (a,b)
(3)
Для условий на параметры: а > 1, Ь > 1 функция (3) имеет степенной характер вблизи нулей и фактически является обобщением и расширением функции Ферхюльста
— Пирла /ф (х) = Ах(1 - х). В окрестностях обоих нулей функция линейна;
4) учитывая, что рост в окрестности нуля на диаграмме (рис. 1) практически линейный, предлагаем также проверить распределение следующего вида. Пусть плотности распределения: имеет вид
А2^ -10 с^-А(^-10 с)^ > 0 (4)
0, x < 10 с
Условия Колмогорова, положительность и нормировка данной плотности проверяются легко. Параметр распределения А можно определить, используя также статистику диаграммы 1. Отметим, что максимум этой функции достигается в точке
= 10 с и равен А/■ Значение плотности экспоненциального закона для
f (x)
x
положительных значений аргумента l exp (-1( x — 10 с)) также равен
Это
означает, что правое крыло распределения (4) согласуется с ранее полученными в работах [1—3] результатами.
3. В этом пункте, используя статистические оценки неизвестных параметров распределений, которые мы вычислим с помощью данных работы [3], построим кривые плотностей распределений предыдущего пункта. Для этого нам потребуются статистические данные для вычисления оценок. Для оценки математического ожидания определим среднюю длину временного промежутка между соседними сигналами на линии по формуле
т
X ~л
хв = -----,
в т ’
X п
к =1
= (¡к + ^к-1)/2 — середина интервала (¡к, ¡к+1) между двумя соседними
где
временами поступления заявки на ПЦО, N = X пк — объем выборки.
к=1
Рассмотрим различные распределения.
1) Для определения параметров гамма-распределения (9, к), наилучшим
образом согласующихся с эмпирическими данными, воспользуемся свойствами, которые можно записать в виде системы для определения моды 1 и математического
ожидания M[X] этого распределения:
1 = (к -1)9
' m [ X ] = к .
I 9
Моду можно определить из эмпирических графиков как значение интервального промежутка между соседними сигналами с максимальной частотой — это будет значение Mod = ~к = (tk + tk-1)/2 с номером, равным arg [max ], а математическое
ожидание заменить средним значением X (рис. 2).
Рис. 2
2) Для определения параметров логнормального распределения (/И,&),
наилучшим образом согласующихся с эмпирическими данными, воспользуемся свойствами распределения, которые можно записать в виде системы для определения моды и математического ожидания M[X]:
ln Mod = m - S ' lnM[X] = m + s%'
Моду можно определить из эмпирических графиков, а математическое ожидание заменить средним значением X (рис. 3).
3) Для определения параметров бета-распределения (а,Ь), наилучшим образом
согласующихся с эмпирическими данными, воспользуемся свойствами распределения, которые можно записать в виде системы для моды 1 и математического ожидания
М[X] распределения:
а-1
1
М [ X ] =
а + Ь- 2
а
а + Ь
Моду можно определить из эмпирических графиков, а математическое ожидание заменить средним значением X (рис. 4).
Рис. 4
4) Для определения параметра 1 распределения 4) (авторская версия) f (х) = •
^2/ 1Г1 ч -1(Х - 10сеК.) ^ п
1 (х -10 с)е 4 , х> 0
0,
х < 10 с
воспользуемся свойствами этого распределения. Несложно показать, что для этого
2
распределения справедливо равенство М [X ] = — . Максимум функции (4) достигается в
1
точке xmax = — +10 с и равен ^. Такое же значение имеет в этой точке
экспоненциальное распределение: l exp (—1( x — 10 с)), которое, как показано в работах [2,3] является базовым для установившегося режима работы ПЦО. Следовательно, у этих распределений почти совпадают правые ветви кривых, что также согласуется с эмпирическими диаграммами (рис.5).
Ри с. 5
4. Визуальное совпадение невозможно оценить в числах. В этом пункте каждую из гипотез мы проверим на критерий согласия и оценим используя критерий Пирсона, все гипотезы о виде распределения. Полученные значения сведем в таблицу.
Г амма-распределение Логнормальное распределение Бета-распред еление Предлагаемое распределение
xL* =458 xL* =17,9 Хнабл = 38,5 Хнабл = 18,54
С = 36,4 СІ = 37,7 ХІ = 36,4 ХкР = 37,7
Таким образом, анализ таблицы и сравнение наблюдаемого значения критерия и табличной критической точки, определенной с одним и тем же уровнем значимости, показывает, что распределения гамма и бета не подходят. сНшл > сКр • А распределения логнормальное и предлагаемое в статье авторами могут быть использованы для моделирования в реальном времени интенсивного режима работы ПЦО.
При этом новым фактом и для авторов стало то, что больше подходит логнормальное распределение, так как оно имеет меньшее значение наблюдаемого критерия.
Заключение.
1) Для моделирования работы ПЦО в реальном времени не следует использовать показательное распределение, которое не учитывает задержку в исполнении, так как это вызывает завышенные требования на обслуживание линий. Завышенные требования экономически неоправданны.
2) Даже увеличение численного состава операторов (в случае телефонного обслуживания) или числа линий в автоматическом режиме может не привести к нужному скачку по качеству обслуживания. Это связано с человеческим фактором (определенный нулевой отрезок около нуля в эмпирической диаграмме). С применением принципиально
нового способа обратной связи возможно улучшение работы, например с голоса, но и при этом влияние человеческого фактора будет значительным.
Работа выполнена при поддержке РФФИ грант №°14-01-00141.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кенинг Д., Штойян Д. Методы теории массового обслуживания. — М.: Наука, 1985. — 432 с.
2. Думачев В.Н., Родин В.А., Синегубов С.В. Моделирование различных систем связи абонента с дежурным ПЦО // Межвуз. сб. научных трудов. Ч.2. — Воронеж, 1998.
— С. 61—68.
3. Синегубов С.В. Имитационное моделирование систем массового обслуживания с повторными вызовами на примере пульта централизованной охраны: дис. ... канд. техн. наук. — ВИ МВД России, 2001. — 212 с.
