CC BY
6ИССЛЕДОВАНИЕ ПОРОГА ПРОТЕКАНИЯ ТОКА В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
СЕТКАХ
Мубаракшин Ахтиам Радикович
Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск
Моисеев Владимир Сергеевич
Студент 4 курса кафедры автоматизированных систем управления ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск
Ахметдинов Дмитрий Александрович Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск
Прохоров Илья Борисович
Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск
Гребенщиков Павел Александрович Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск RESEARCH OF TRESHOLD OF PERCOLATION CURRENT IN RECTANGULAR GRID
Mubarakshin Akhtiam Radikovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEIHPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk
Moiseyev Vladimir Sergeevich, 4th year student of the Department of the automated control systems FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk
Ahmetdinov Dmitry Aleksandrovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk
Prokhorov Ilya Borisovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk
Grebenshchikov Pavel Aleksandrovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk АННОТАЦИЯ
В статье рассматривается расчет порога протекания тока для прямоугольных сеток «3 на 2» и «2 на 3», путем блокирования различных узлов и указанием вероятности такого исхода. Приводится расчет математического ожидания, дисперсии и среднеквадратичного отклонения и закон распределения порога протекания для рассматриваемых прямоугольных сеток. ABSTRACT
The article discusses the calculation of the threshold of current flow for rectangular grids «3 for 2» and «2 to 3», by blocking different nodes and specifying the probability of such an outcome. Here is the calculation of the mathematical expectation, variance and standard deviation of the distribution law and the percolation threshold for consideration of rectangular grids.
Ключевые слова: порог протекания, сетка, ток, узел, вероятность, эксперимент, проволока, контакт, математическое ожидание.
Keywords: percolation threshold, the grid, the current, node, the probability, experiment, wire, contact, mathematical expectation.
Прямое назначение экранной сетки - защита различной радиоаппаратуры от электрических помех. Впервые исследование порога протекания в экранной сетке производили Ватсон и Лис. Кусок сетки имел квадратную форму и содержал 137*137=18769 узлов. Исследователи припаяли к двум противоположным сторонам квадрата медные электроды и включили сетку в электрическую цепь (рисунок 1, представлен для прямоугольных сеток «3 на 2» и «2 на 3»), чтобы измерить её сопротивление. Затем они стали блокировать отдельные узлы и изучать электрическое сопротивление в зависимости от доли блокированных узлов. Блокировка узла состояла лишь в том, что кусачками перерезались все четыре проволоки, которые связывались этим узлом. По мере увеличения числа блокированных узлов электропроводность сетки уменьшалась. А если обозначить через X; отношение числа неблоки-
рованных узлов к полному числу узлов (1372), то при некотором значении X (порог протекания и обозначается как Хф, электропроводность обращалась в ноль. Это происходило, когда перерезался последний путь, связывающий левый и правый электроды [1, с. 9].
б
Рисунок 1 - Схема эксперимента Ватсона и Лиса, представлена для сетки «3 на 2» (под буквой а) и сетки «2 на 3» (под буквой б)
Анализ поставленной задачи и ее решение. Необходимо рассчитать порог протекания тока и среднеквадратичное отклонение в сетках «3 на 2» и «2 на 3» (рисунок 2).
а
б
Рисунок 2 - Экранные сетки «3 на 2» (под буквой а) и «2 на 3» (под буквой б) с нумерацией узлов
В расчетах было принято обозначение узлов, изображённое на рисунке 3. Неблокированный узел - это светлый узел сохраняет контакт, а блокированный черный узел, означает разрыв контакта между четырьмя проволоками, которые связывают узел. Через чёрные узлы электрический ток не течёт ни в каком направлении, через светлые узлы ток течёт в любом направлении.
_ I
= ч
4 6
1 5
ш
1 3
4 * 6
Рисунок 4 - Блокировка узлов с указанием вероятностей, а также критической доли неблокированных узлов
Из-за громоздкости расчета 2-х сеток, будут показаны только случаи блокировок для экранной сетки «2 на 3» (рисунок 5).
Критическая концентрация (порог протекания) Хс, при которой ток становится равным нулю, является случайной величиной, и предсказать, чему она равна в каждом конкретном эксперименте, заранее невозможно. Но можно изучить «средние» свойства величины Хс, то есть свойства, проявляющиеся в достаточно большом количестве экспериментов и эти свойства будет характеризовать величина Хс^) (математическое
Рисунок 3 - Обозначение узлов в дальнейших расчетах: неблокированный узел (под буквой а) и блокированный узел (под буквой б)
На примере небольшого кусочка расчета экранной сетки «2 на 3» будет показано, как производилось решение поставленной задачи.
При рассмотрении экранной сетки на рисунке 2 видна симметрия в узлах 1, 3, 4, 6 и узлах 2,5. Это означает, что при общем расчете можно начинать рассматривать сетки с блокированием одного узла из 1,3,4 или 6 и блокированием второго узла из 2 или 5, заранее указав вероятности с учетом симметрии (4/6 (4 узла из 6) и 2/6 (2 узла из 6)).
Пусть будет произведено блокирование, например, 1-го узла и указана вероятность с учетом симметрии (4/6) (рисунок 4, а). После блокировки одного из 6 узлов существуют ещё 5 узлов, которые могут быть заблокированы. Например, будет блокирован 2-й узел (вероятность 1/5) (рисунок 4, б). После этого существуют ещё 4 узла, которые могут быть заблокированы. Например, будет блокирован 4-й узел (вероятность 1/4) (рисунок 4, в). При этом получается, что достигнут порог протекания, потому что ток не сможет пройти через сетку. Критическая доля неблокированных узлов в рассмотренном случае составляет 3/6.
ожидание). АЛЛ 4
б 1 5 12Ш
1 4
1 2 3*6
1 2 3*6
1 2 3*6
1 3 4*6
1 3 4*6 15Ш
и 4Ш 1 3 4*6
- 1.5.2
5
аналогично с пунктом 1.5.3
3
4*6
1.5.4 2 2.1 2.2
2.3
2.4
2.5
Ш
1 3 4*6 1 3 4*6
1 3 - • -
4 б
2
аналогично с пунктом 1.1
аналогично с пунктом 1.1
1 4 -
5 б 1 4 5*6 1 4
5*6
Рисунок 5 - Возможные случаи блокировок узлов для экранной сетки «2 на 3» с указанием вероятностей и критической доли неблокированных узлов
На основании выше приведенных вероятностей и критической доли неблокированных узлов (рисунок 5) было рассчитано среднее значение порога протекания тока (математическое ожидание) через экранные сетки «2 на 3» и «3 на 2».
Математическое ожидание для
экранных сеток «3 на 2» и «2 на 3»:
„ иV 1 1 2 2 26 3 107
Хг 6 ----+---+---=-* 0,3963
5 6 9 6 45 6 270
Для сетки «3 на 2»; 2 2 2 3
<«) =
7 4 5
---+---= _ я, 0,5556
5 6 15 6 9
15 6 Для сетки «2 на 3».
На основании расчета математического ожидания, был составлен закон распределения порога протекания тока (таблица 1 и таблица 2).
б
а
с
Таблица 1
Закон распределения порога протекания тока в сетке 2 на 3
X(порог протекания) 2/6 3/6 4/6
Р (вероятность) 2/15 2/5 7/15
Таблица 2
Закон распределения порога протекания тока в сетке 2 на 3
X(порог протекания) 1/6 2/6 3/6
Р (вероятность) 1/5 2/9 26/45
Дисперсия порога протекания тока находится по формуле 1.
11=1
- -0,555б1 • —+
15
'--0,5556 ) • — + [— — 0,5556^1 -—к 0,0136; 6 5 [6 ) 15
3(6) = -Дшзб = 0.1166:
(1)
Дисперсия для сетки «2 на 3» и сетки «3 на 2» соответственно:
Г'1 ^
Среднеквадратичное отклонение (СО) находится по формуле 2.
¿¡сю=(2)
СО для сетки «2 на 3» и сетки «3 на 2» соответственно:
Величина 6(6) является среднеквадратичным отклонением случайной величины, и она характеризует типичное отклонение величин Хс от их среднего значения Хс(6).
Практический смысл этой статьи в том, чтобы изучить работоспособность сетки, блокируя отдельные узлы. Сетка перестает быть экраном и, следовательно, не защищает различные устройства от помех, когда достигается порог протекания тока, т.е. ток становится равен 0. Если сравнить полученные результаты математических ожиданий можно сказать, что сетка «3 на 2» гораздо надежнее, чем сетка «2 на 3», потому что нужно перерезать гораздо больше узлов для того, чтобы ток стал равен нулю. Следовательно, в реальных условиях, если в сетке «3 на 2» будут выходить из строя узлы по каким-либо причинам, она будет сохранять свою эффективность длительное время, так как в такой сетке ток может стать равным 0 лишь при трех минимально блокированных узлах, чего нельзя сказать о сетке «2 на 3», ведь у нее ток может стать равным 0 уже при двух минимально блокированных узлах.
Список литературы:
1. Эфрос Л.А. Физика и геометрия беспорядка. - М.: Изд. «Наука», Гл. редакция физико-математической литературы, 1982 г. - 260 с.
