ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Прохоров Илья Борисович

Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск

Гребенщиков Павел Александрович Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск

Моисеев Владимир Сергеевич

Студент 4 курса кафедры автоматизированных систем управления ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск

Ахметдинов Дмитрий Александрович Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Государственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск

Мубаракшин Ахтиам Радикович Студент 4 курса кафедры электроники и микроэлектроники ФГБОУ ВПО «Магнитогорский Ггосударственный Технический Университет им. Г.И. Носова», г. Магнитогорск

APPLICATION OF FOURIER SERIES IN ELECTRICAL ENGINEERING

Prokhorov Ilya Borisovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEIHPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk

Grebenshchikov Pavel Aleksandrovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk

Moiseyev Vladimir Sergeevich, 4th year student of the Department of the automated control systems FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk

Ahmetdinov Dmitry Aleksandrovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk

Mubarakshin Akhtiam Radikovich, 4th year student of the Department of electronics and microelectronics FSBEI HPE «Nosov Magnitogorsk State Technical University», Magnitogorsk

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрен один из способов нахождения активной мощности, рассеиваемой на элементах цепи, сигнала сложной формы, основанный на разложении в ряд Фурье. Суть метода заключается в разложении сигнала сложной формы на отдельные составляющие, анализе влияния каждой гармоники на цепь и последующим их сложением, для вычисления суммарного эффекта.

ABSTRACT

The article describes one way of finding active power dissipated in circuit elements, a complex signal based on the Fourier series expansion. The method consists in the expansion of a complex signal into separate components, each harmonic analysis of the impact on the chain and subsequent additions, to calculate the total effect.

Ключевые слова: ряд Фурье; спектральный анализ; частотно-зависимые цепи; электрические цепи; сигнал сложной формы.

Keywords: Fourier series; spectral analysis; frequency-dependent circuit; electrical circuits; a complex signal.

Электротехника имеет дело с сигналами, которые являются функциями времени - электрическими колебаниями различной формы. Основные процессы, протекающие в электронных цепях, легче понять на примере простых сигналов. Разложение в ряд Фурье заключается в том, что любое колебание сложной формы заменяется суммой синусоидальных колебаний с определенными амплитудами и фазами.

Цель данной статьи - рассчитать активную мощность, выделяемую на элементах цепи, с источником несинусоидального напряжения с помощью рядов Фурье.

Принципиальная схема представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. Принципиальная схема

Номиналы элементов на схеме: R1=30 Ом, R2=R3=1 Ом, С=10 мкФ, L=10 мГн.

Источник несинусоидального ЭДС имеет форму сигнала, представленного на рисунке 2.

Национальная ассоциация ученых (НАУ) # XI (16), 2015 / ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ_109

Зависимость напряжения от времени на отрезке от 0 до T представлена формулой:

U(t)=500t (2)

Ряд Фурье представлен в виде:

/(*) = Y+ 5^=1(ancos(7uot) + bn sin(ncot))

Рассчитаем коэффициенты , :

u°=fi = 100 / 500idt=10 ® -

= 100 J^500tcos(1007rn£)ift = (2ттзт(2пп) + cos(2nn) - 1) ,

Амплитуды гармоник находим по формуле:

Unm = Van + К >

Фазы гармоник находим по формуле:

<Рп = arct9^n

в таолице представлены значения амплитуд и фаз (1) первых десяти гармоник.

Таблица 1

Значения амплитуд и фаз первых десяти гармоник

Рисунок 2. График функции

Из графика найдем период, частоту, амплитуду:

№ а, В b, в U , в nm' Фп, рад

1 0,020311721 -3,169893831 3,169958906 -0,00641

2 0,020310052 -1,584555968 1,584686125 -0,01282

3 0,02030727 -1,055936307 1,056131559 -0,01923

4 0,020303375 -0,79149625 0,791756617 -0,02565

5 0,020298368 -0,632728094 0,633053603 -0,03207

6 0,02029225 -0,526795953 0,527186638 -0,0385

7 0,02028502 -0,451055888 0,451511789 -0,04494

8 0,020276681 -0,39418594 0,394707105 -0,05139

9 0,020267231 -0,349896141 0,350482624 -0,05786

10 0,020256673 -0,314412518 0,315064382 -0,06434

По найденным амплитудам гармоник можно воссоздать исходную функцию и спектральную диаграмму, представленные на рисунках 3, 4 и 5 соответственно.

Рисунок 3. Аппроксимация заданной функции

А и, в

0 100 200 300 400 500^ ГЧ

Рисунок 4. Спектральная диаграмма амплитуд гармоник

А

(Г44"*. 1( )0 2 )0 3 )0 4' )0 50

'О V, Гц

О

-0,01 -0,02 -0,03 -0,04 -0,05 -0,06 -0,07 рад

Рисунок 5. Спектральная диаграмма фаз гармоник

Для дальнейших расчетов нужно использовать действующее напряжение каждой гармоники представленной по формуле:

и

_ пт

л/2

Рассчитаем общее сопротивление цепи:

(я2

Хп = к, + П€оС

+ Л по&

1

псоС

)

Где R1, R2, R3 - сопротивления резисторов, Ом j - мнимая единица, п - номер гармоники, ы - угловая частота, рад/с, L - индуктивность катушки, Гн, С - емкость конденсатора, Ф. Для постоянной составляющей, ток не потечет че рез ветвь с конденсатором, поэтому общее сопротив ление находится по формуле:

¿о = Я.-^ + К

1з,

(10)

(8)

Формула для расчета модулей токов на п-ой гармонике имеет вид:

л

(11)

Формула для расчета активных мощностей на п-ой гармонике имеет вид:

Р = и I сов<р

к к к ггв г

(12)

Результаты расчетов полного сопротивления, напряжения, тока и мощности представлены в таблице 3.

(9)

Таблица 2

Значения модулей полного сопротивления, фазы между током и напряжением, модуля напряжения, тока и

активной мощности на каждой гармонике

№ Z , Ом п' Ф™, рад и, В 1 , А п' Р , Вт п'

0 31 0 5 0,161290323 0,806451613

1 31,18 0,3118 2,241499439 0,071889013 0,153369523

2 31,76 0,2071 1,120542305 0,035281559 0,03868968

3 32,88 0,3196 0,746797787 0,022712828 0,016102959

4 34,79 0,4424 0,559856473 0,016092454 0,008142095

5 38,05 0,5782 0,447636496 0,011764428 0,004410157

6 43,78 0,7273 0,372777247 0,008514784 0,002370978

7 54,60 0,8845 0,319267048 0,005847382 0,001182995

8 78,03 1,031 0,279100071 0,00357683 0,000513084

9 147,02 1,092 0,24782864 0,00168568 0,000192467

10 519,47 0,1925 0,222784161 0,000428868 0,00009378

Рассчитаем активную мощность по формуле:

Р = Ц)32Вт

(13)

(14)

Рассмотренный в статье метод имеет свои преимущества и недостатки. В пользу данного метода можно отнести возможность рассмотрения каждой гармоники и выделения из них нужных, что находит применение в спектральных фильтрах. Недостатком является невозможность обработки непериодических сигналов и относительно тяжелая нагрузка на ЭВМ.

Список литературы:

1. Мазитов Д. М. «Спектральный анализ сигналов разложением в ряд Фурье» // Методическая разработка к выполнению расчетно-графической работы для обучающихся по направлению 210100.62 «Электроника и наноэлектроника».

2. Жук В.В., Натансон Г.И. «Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации». — Лениград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.

3. Кудрявцев Л.Д. «Курс математического анализа». — Москва: Дрофа, 2004. Т. 2. — 720 с.

4. Гольденберг Л.М. «Цифровая обработка сигналов» // Справочник. Москва: Радио и связь. 1985. 312 с.