CC BY
29
данных также предусмотрена.
Система реализована на языке С++, в качестве хранилища данных задействована реляционная база данных sqlite. Графический интерфейс реализован с использованием библиотеки Qt 4.6.2.
2. Апробация системы
Для апробации системы проведено имитационное моделирование с теми же параметрами, какие использовались в исследованиях [1], [2]. Моделирование проведено на разработанной системе (рисунок 1) и на системе FreeMat (рис. 2). Системы показывают схожие результаты.
Также был проведен эксперимент с использованием в качестве исходных данных записи осциллограмм.
-Щ- - угловая скароеиь, рад/с
■LI - производная угловой скорости по времени
Рис. 1. Имитационное моделирование
—V— - угловая скорость, рад/с —■— - производная угловой скорости по времени
Рис. 2. Имитационное моделирование в системе FreeMat
На рис. 4 показан результат серии экспериментов с использованием в качестве случайной величины скорости гусеничной машины и зашумления управляющего воздействия.
lfi.fi!
-О—■ - проиэполым угловой сиороснс по ■¡зс-ксюс
Рис. 4. Серия экспериментов Заключение
Реализация системы моделирования движения гусеничных машин позволила:
- использовать в качестве исходных результаты реальных экспериментов;
- провести серию экспериментов по исследованию зависимости угловой скорости гусеничной машины от управляющего воздействия, что в свою очередь требуется для исследования способов повышения подвижности гусеничной машины.
Реализованная система позволяет проводить статистическое моделирование и с использованием других математических моделей.
Список литературы
1. Держанский В.Б., Тараторкин И.А. Алгоритмы управления движением
гусеничной машины: Монография. - Курган: Изд-во Курганского гос. ун-та, 2010. - 142 с.
2. Гизатуллин Ю.Н. Метод прогнозирования быстроходности гусенич-
ных машин по их динамическим свойствам: Дис. ... канд. техн. наук 05.05.03.- Курган, 2010. - 128 с.
3. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные
методы для инженеров: Учеб. пособие. - М.: Высш. шк., 1994. -544 с.
4. Буслов В.А., Яковлев С.Л. Численные методы. I. Исследование
функций. - СПб., 2001. - 59 с.
5. Маер А.В. Непараметрические датчики для случайных стационарных
процессов //Вестник СибГАУ.-2010.- Вып. №5.- С.46 - 49.
УДК 519.233.22
Рис. 3. Эксперимент с использованием реальных данныхТ
В.А. Симахин, О.С. Черепанов
Курганский государственный университет
ИССЛЕДОВАНИЕ ОЦЕНОК ВЗВЕШЕННОГО МЕТОДА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
Аннотация. В статье проводится сравнение эффективности оценок параметра положения взвешенным методом максимального правдоподобия на разных распределениях с использованием моделей выбросов Тьюки.
Ключевые слова: взвешенный метод максимального правдоподобия, робастные оценки, эффективность оценок.
V. A. Simakhin, О.S. Cherepanov Kurgan State University
RESEARCH OF WEIGHTED MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATES
Annotation. In paper comparison of the effectiveness of estimates of location parameter by weighted maximum likelihood method for different distribution using Tukey model of outliers is considered.
Key words: weighted maximum likelihood method, robust estimates, effectiveness of estimates.
Введение
Математическая статистика дает богатый арсенал методов синтеза оценок параметров по разным критериям качества. Метод максимального правдоподобия позволяет получить эффективные оценки. В случае, когда априорная модель распределения в эксперименте может незначительно отклоняться от истинной модели, робастная статистика предлагает широкий набор методов построения оценок. К настоящему времени имеется свыше 100 различных робастных оценок только параметра сдвига, полученных на основе различных критериев робастности [1] - [3], что вызывает вполне обоснованное беспокойство у пользователей методами робастной статистики.
В работах [4], [5] предложены оценки взвешенного метода максимального правдоподобия (ВЗМП), которые относятся к классу устойчивых оценок и включают в себя оценки максимального правдоподобия (ОМП), оценки максимальной устойчивости (ОМУ), радикальные оценки (РО). Данный подход был распространен на задачи регрессии, прогноза [6].
В данной работе приводятся результаты исследования эффективности оценок ВЗМП параметра положения для ряда распределений.
1. Взвешенный метод максимального правдоподобия
Оценки ВЗМП относятся к классу М-оценок и определяются на основе уравнения вида:
jp( x,0)dFN (х) = 0, (1)
где оценочная функция f(x,q) определяется в виде [5]:
р( х,в) =
—Ы f (х,в) + в
дв
f (х,в)
(2)
где в - смещение, которое для параметра положения равно нулю [5];
/- параметр радикальности, определяющий робаст-ность оценки.
Нетрудно заметить, что в (2) при 1=0 мы получаем ОМП, при /=0.5 - РО, а при /=1 - ОМУ
В [4] показано, что ,JN(в-EeN)
имеет асимптоти-
ческое нормальное распределение с дисперсией
jp2 (x,e)dF (х)
V = -
j—P x,e)dF ( х)|
(3)
2. Оценки параметра положения для типовых распределений
Определим оценки параметра положения вида (1) и их дисперсию для ряда типовых распределений с разной степенью затянутости хвостов. Рассматриваемое
множество состоит из нормального распределения (НР), распределения Лапласа (РЛ), распределения Коши (РК) и распределения четвертой степени (РЧС). 2.1.Нормальное распределение Плотность нормального распределения имеет вид:
g(x,/U, s) =-
1
-1 ¥J
Оценка параметра положения в этом случае примет вид:
|(х-ц)^(х,и,*^(х) = 0. (4)
Дисперсия данной оценки будет определяться как:
| х 2 g 21 (х,0, (х)
V = ■
f f „2 Л
'7 -1
V V s
g' (х,0, s)dF (х)
(5)
2.2.Распределение Лапласа
Для плотности распределения Лапласа
\х-щ
g(х их) = -1 е * оценка параметра положения, примет вид:
I х -¡и) gl (х, ¡и, (х) = 0 . (6) Дисперсия данной оценки будет:
V =
j g 2 ( х,0, s)dF (х)
jg' (х,0, s)dF(х) - f (0)
(7)
s
2.3. Распределение Коши
Плотность распределения Коши имеет вид:
g(х ^ s) =
1
ns
1+f ^
Оценка параметра положения примет вид:
I(х-и)^+1(х,и,(х) = 0 . (8)
Дисперсия данной оценки будет определяться как:
I х2 g2/+ 2(х х,0, (х)
|^+1(х,0,(/ +(х,0,.*) - \^dF(х) . (9)
2.4. Распределение четвертой степени Плотность распределения четвертой степени имеет вид:
V = -
g (x,V,s) = -
2
*Г(0.25)
где G(x) - гамма функция.
Оценка параметра положения примет вид:
| (х -и)3 gl (х,и, (х) = 0. (10)
Дисперсия данной оценки будет определяться как:
2
2
'
e
к = -
| х6 я21 (х,0, (х)
|х 2 я'(хД 5)
41
4 А - 3
^ (х)
(11)
3. Исследования полученных оценок
Проводилось сравнение эффективностей полученных оценок на разных моделях распределений в условиях моделей выбросов Тьюки для:
- асимметричных выбросов (АВ) ^х^) = (1-p)g(x)+pg(x-a);
- симметричных выбросов (СВ) Цх,б) = (1-р)д(х)+рд(х/Б)/Б.
Для исследования были выбраны распределения с разной степенью затянутости хвостов: распределение четвертой степени; нормальное распределение; распределение Лапласа и распределение Коши. Параметр масштаба рассматриваемых распределений выбирается так, чтобы все квантили уровня распределений 0,95 совпадали с квантилем 0,95 для нормального распределения (табл. 1).
Таблица 1
Значения параметров масштаба для типовых распределений
Распределение НР РЛ РК РЧС
Значение параметра масштаба 1 0.7144 0.2605 1.767
Оптимальными взвешенными оценками (ОВО) для данного распределения будем назвать оценку ВЗМП при оптимальном параметре радикальности.
3.1.Нормальное распределение Исследования полученных оценок параметра положения проводились на смеси нормальных распределений вида:
( х2 (х-5)2 А
-1 ( х) =
-1 ( х) =
1
1
0.9е 2 + 0.1е 2
для АВ;
—— 0 1 0.9е 2 + —е 18 3
2 Л
для СВ.
Эффективность оценок (4) при р=0
(12) (13)
Таблица 2
Оценка ОМП РО ОМУ
Дисперсия 1 1,193 1,54
Эффективность 1 0,832 0,649
0 0.2 0.4 0.6 0.! Рис.1. График дисперсий оценок на распределении (12)
Рис.2. График дисперсий оценок на распределение (13)
Таблица 3
Эффективности оценок на распределении (12)
Оценка Взвешенное Взвешенная Оценка Оценка
среднее медиана Коши РЧС
Оптимальный
параметр 0,303 0 0 0,481
радикальности
Дисперсия 1,303 1,939 3,402 1,376
Эффективность 1 0,672 0,383 0,947
Таблица 4
Эффективность оценок (4) на распределении (12)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 3,5 1,303 1,364 1,72
Э ффективность 0.372 1 0,955 0,758
Таблицы 5
Эффективность оценок на распределении (13)
Оценка Взвешенное Взвешенная Оценка Оценка
среднее медиана Коши РЧС
Оптимальный
параметр 0,191 0 0 0,532
радикальности
Дисперсия 1,273 1,803 3,402 1,502
Эффективность 1 0,706 0,474 0,848
Таблица 6
Эффективность оценок (4) на распределении (13)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 1,8 1.273 1.4 1.782
Эффективность 0,707 1 0,909 0,714
3.2. Распределение Лапласа
Исследования полученных оценок параметра положения проводились на смеси распределений Лапласа вида:
1 ( |х| |х—51 ^
- / (х) =—1— 0.9е + 0.1е
1
1.4288
(
для АВ;(14)
—0 1 — 0.9е 07144 + — е 21432 3
1.4288
Эффективность оценок (6) при р=0
для СВ. (15) Таблица 7
Оценка ОМП РО ОМУ
Дисперсия 0,51 0,574 0,68
Эффективность 1 0,889 0,75
2
х
5
\ Ч"<. 1
V /¿ 4
lili
0.2
0.4
0.6
0.S
1
Рис. 3. График дисперсий оценок на распределении (14) Зг
Рис. 4. График дисперсий оценок на распределении (15)
Таблица 8
Эффективность оценок на распределении (14)
Оценка Взвешенное Взвешенная Оценка Оценка
среднее медиана Коши РЧС
Оптимальный
параметр 1 0,15 0 1
радикально сти
Дисперсия 0,756 0,596 0,679 1,749
Эффективность 0,788 1 0,878 0,341
Таблица 9
Эффективность оценок (6) на распределении (14)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 0,63 0,596 0,643 0,757
Эффективность 0,946 1 0,927 0,787
Таблицы 10
Эффективность оценок на распределении (15)
Оценка Взвешенное Взвешенная Оценка Оценка
среднее медиана Коши РЧС
Оптимальный 1 0,066 0 1
параметр
радикальности
Дисперсия 0,774 0,582 0,680 1,816
Эффективность 0,752 1 0,856 0,321
Таблица 11
Эффективность оценок (6) на распределении (15)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 0.586 0.582 0,644 0,764
Э ффективность 0.993 1 0,904 0,762
3.3. Распределение Коши
Исследования полученных оценок параметра положения проводились на смеси распределений Коши вида:
- f (x) =
1
0.2605п
1 +
0.9
x
0.2605 I
Ч 2
1+
0.1
x - 5 0.2605 I
для АВ; (16)
" f (x) =
1
0.2605П
1 +
0.9
x
0.2605
1 +
0.033
x
0.7815
для СВ. (17)
Эффективность оценок (8) при p=0
Таблица 12
Оценка ОМП РО ОМУ
Дисперсия 0,136 0,147 0,17
Эффективность 1 0,952 0,8
0 0.2 0.4 0.6 о .г Рис. 5. Гоафик дисперсийоценок на распределении (16) 0 ,3Г
Рис. 6. Гоафик дисперсий оценок на распределении (17)
Таблицы 13
Эффективность оценок на распределении (16)
Оценка Взвешенное Взвешенная Оценка Оценка
среднее медиана Коши РЧС
Оптимальный
параметр 1 0,248 0,012 1
радикальности
Дисперсия 0,237 0,179 0,151 2,315
Эффективность 0,637 0,844 1 0,065
Таблица 14
Эффективность оценок (8) на распределении (16)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 0,1514 0,1513 0,164 0,189
Э ффективность 0,999 1 0.923 0,801
Таблицы 15
Эффективность оценок на распределении (17)
Оценка Взвешенное Взвешенная Оценка Оценка
среднее медиана Коши РЧС
Оптимальный
параметр 1 0,193 0,011 1
радикальности
Дисперсия 0,246 0,180 0,155 2,168
Эффективность 0,630 0,861 1 0,071
+
+
Таблица 16
Эффективность оценок (8) на распределении (17)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 0,1547 0,1546 0,168 0,193
Э ффективность 0,999 1 0,920 0,801
3.4. Распределение четвертой степени Исследования полученных оценок параметра положения проводились на смеси распределений четвертой степени вида:
- f (х) =
f W =
2
(
1.767 • Г(0.25)
2
0.9 • e
(1.767 )
+ 0.1e
Í х-5 {1.767
Л
для АВ; (18)
е -f—Т 0 1 -{-^
0 9 • e (1767J + — • e (5 301 3
1.767 • Г(0.25)
Эффективность оценок (10) при p=0
Оценка ОМП РО ОМУ
Дисперсия 0,77 0,946 1,274
Эффективность 1 0,814 0,604
Рис.7. График дисперсий оценок на распределении (18)
Оценка Взвешенное Взвешенная Оценка Оценка
среднее медиана Коши РЧС
Оптимальный
параметр 0,197 0 0 0,279
радикальности
Дисперсия 1,635 3,167 9,879 0,987
Эффективность 0,604 0,312 0,1 1
Таблица 19
Эффективность оценок (10) на распределении (18)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 23,303 0.987 1,065 1,417
Э ффективность 0,042 1 0.927 0,697
Таблица 20
Эффективность оценок на распределении (19)
Оценка Взвешенное Взвешенная Оценка Оценка
среднее медиана Коши РЧС
Оптимальный
параметр 0,117 0 0 0,307
радикальности
Дисперсия 1.523 2,945 9,777 1,116
Эффективность 0,733 0,379 0,114 1
Таблица 21
Эффективность оценок (10) на распределении (19)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 17,535 1,116 1,172 1,515
Эффективность 0,064 1 0,952 0,737
для СВ. (19) Таблица 17
Рис.8. График дисперсий оценок на распределении (19)
Таблицы 18
Эффективность оценок на распределении (18)
По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1. В случае отсутствия выбросов эффективность оценок ВЗМП падает с ростом параметра радикальности, причем наиболее сильно для распределений с легкими хвостами.
2. Наиболее эффективными являются оценки ВЗМП, полученные для данного распределения.
3. При наличии выбросов радикальные оценки и оценки максимальной устойчивости проигрывают оценкам при оптимальном значении параметра радикальности.
4. Исходя из данных результатов, можно сделать вывод: для нахождения эффективных оценок в разных ситуациях (как в отсутствии, так и при наличии выбросов разных типов и степени засорения) требуется адаптация, как по виду распределения, так и по параметру радикальности.
Список литературы
1. Хампель Ф, Рончетти Э, Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в
статистике. - М.: Мир, 1989.- 512с.
2. Хьюбер П. Робастность в статистике. - М.: Мир, 1984. - 303с.
3. Шурыгин А.М. Прикладная статистика. Робастность. Оценивание.
Прогноз. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 223с.
4. Симахин В.А. Непараметрическая статистика. Ч. II. Теория оценок.-
Курган: КГУ, 2004.- 163 с.
5. Симахин В.А. Взвешенный метод максимального правдоподобия //
"КИБЕРНЕТИКА И ВЫСОКИЕ ТЕХНОЛОГИИ XXI ВЕКА: Материалы IXмеждународной научно-технической конференции.-Воронеж, 2008.- Т.2.-С.661-672.
6. Simakhin V.A., "Nonparametric robust prediction algorithms", International
Symposium on Stochastic Models in Reliability Engineering, Life Science and Operations Management, Beer Sheva, Israel, 2010, 14pp.
УДК 681.3.06
А.М. Семахин, Д.А. Чудов
Курганский государственный университет
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ СЦЕНЫ
Аннотация. В статье изложен метод восстановления трехмерной сцены по двумерному изображению. Разработаны математическая модель и детектор уголков, работающий по принципу нейронной сети. Определены положения точек в трехмерном пространстве и оценки достоверности восстановления трехмерной модели. На основе результатов моделирования сформулированы выводы и рекомендации.
