Исследование оценок параметра масштаба взвешенного метода максимального правдоподобия Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014

18

УДК 519.233.22 п. А. БАТРАКОВ

О. С. ЧЕРЕПАНОВ

Омский государственный технический университет

Курганский государственный университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ОЦЕНОК ПАРАМЕТРА МАСШТАБА ВЗВЕШЕННОГО МЕТОДА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

В статье рассматриваются оценки параметра масштаба взвешенного метода максимального правдоподобия. Проводится исследование эффективности полученных оценок и их сравнение с классическими оценками для ряда типовых распределений в условиях модели Тьюки с симметричными и асимметричными выбросами. Результаты исследования показывают высокую эффективность предложенных оценок по сравнению с классическими робастными оценками.

Ключевые слова: параметр масштаба, робастные оценки, взвешенный метод максимального правдоподобия.

Введение. Математическая статистика предлагает большой арсенал методов оценивания параметра масштаба [1—4]. Хорошо известное среднеквадратическое отклонение является оптимальным для нормального распределения, но быстро теряет свою эффективность при наличии выбросов. Оценка абсолютного отклонения от медианы обладает робастными свойствами и эффективна для распределения Коши, но крайне не эффективная для распределений с более легкими хвостами. Взвешенный метод максимального правдоподобия (ВММП) [5] предлагает способ получения эффективных оценок, устойчивых к наличию выбросов. В данной работе предлагаются оценки параметра масштаба ВММП и проводятся исследование их эффективности для ряда типовых распределений при наличии выбросов. Полученные оценки включают в себя оценки максимального правдоподобия, радикальные оценки и оценки максимальной устойчивости [3] как частные случаи. Синтезированные оценки были использованы в задачах точечного оценивания параметра сдвига [6], задаче регрессии [7] и прогноза, где параметр масштаба выступает в роли мешающего параметра.

1. Взвешенный метод максимального правдоподобия. Оценки взвешенного метода максимального правдоподобия относятся к классу М-оценок, определяемых уравнением вида:

£ф(х, ■ 6«) = 0, (1)

ф(х,0) = I — 1од^(x,0) + р8 ]/'(х,0). (2)

где ф(х,0) — оценочная функция, Дх) — плотность распределения, 5 — параметр масштаба, 1 — параметр радикальности, определяющий робастность оценки, Рв — параметр, рассчитываемый из условия несмещенности оценки:

£ф(х, 0) = 0 .

При 1=0 и Рв =0 получаем оценки максимального правдоподобия, при 1=0,5 и 1= 1— радикальные оценки и оценки максимальной устойчивости соответственно.

В [5] показано, что ^/2(0М—Е0) имеет асимптотическое нормальное распределение с дисперсий

|ф2(х, 0)^(х) ||0ф(х, 0^(х)

V

2. Оценки параметра масштаба для типовых распределений. Выпишем оценки параметра масштаба и их дисперсии для класса типовых симметричных распределений с разной степенью затянутости хвостов. Будем рассматривать следующий класс распределений:

— обобщенно-нормальное распределений 4-й степени (ОНР4);

— нормальное распределение (НР);

— распределение Лапласа (РЛ);

— распределение Коши (РК).

Без потери общности положим, что параметр сдвига для рассматриваемого класса распределений равен 0.

2.1. Обобщенно-нормальное распределение 4-й степени. Плотность ОНР4 имеет вид:

9і(х) '■

2

^Г(0,25)

Оценка параметра 5, согласно (1) и (2), примет вид:

X

&1(х, ) = °.

(3)

2

4

Масштабный коэффициент Р1 для распределения F(x,5) будет рассчитываться из условия несмещенности оценки

А =

| х4д1(х, Б^р(х, 8)

19І(х, s)dF(x, в)

Рз —

1 | |х|?3 (х, s)dF(x.s) I д'з (Х8^р(х.8)

Дисперсия оценки параметра масштаба определяется следующим выражением:

Дисперсия оценки параметра масштаба будет определяться следующим образом:

4|^ I - А I д!‘(х^г(х)

' I 4 1 Т] _ Аі ]| 4І^ - 1]- 161 х

-рз) 9з2'(х)^(х)

93(х)^(х)

2.4. Распределение Коши. Плотность РК имеет вид:

9І(х^В(х)

2.2. Нормальное распределение. Плотность НР имеет вид:

1

_11 х_ЕЛ

92(х) = —^ге 21 5 ^ .

5л/ 2ж

Оценка параметра 5, согласно (1) и (2), примет вид:

9з(х) = ■

1 +

Оценка параметра 5, согласно (1) и (2), примет вид:

2™м| — 1 94(х,, ^ ) -р4

,

94(х,, ) = 0. (6)

Масштабный коэффициент Р4 для распределения F(x,5) будет иметь следующий вид:

X

ї I- А2

9 2(х,, ^) = 0.

(4)

Масштабный коэффициент Р2 для распределения F(x,5) будет рассчитываться следующим образом:

А =

Г х 292(х, s)dF(x, в)

1 -со

82 ""I .

Г 9 2(х, s)dF(x, в)

Дисперсия оценки параметра масштаба определяется следующим выражением:

Р 4 =

2л

Г х 294+1(х, s)dF(x.s)

Г 94 (х, Б^Р(х.з)

Дисперсия оценки параметра масштаба определяется следующим выражением:

П 2Ц ] 94(х) -р4

2%б\ х] 94(х)| 2Я/хI 94(х) - 2 | +

'I Ч]■ - А.)((8Т -1)-<7 ’

д2(х)<ІР(х)

9?(х^(х)

+ '( 2жв(х) 94 (х) - А4 )(2я5(х) 94(х) - 1)

94(х^(х)

2.3. Распределение Лапласа. Плотность РЛ имеет вид:

1 Iх-А

9з(х) = —е 5 .

25

Оценка параметра 5, согласно (1) и (2), примет вид:

X

9з(хі, ) = 0.

(5)

Масштабный коэффициент Р3 для распределения F(x,5) будет иметь следующий вид:

3. Исследование эффективности оценок параметра масштаба. Проводилось исследование эффективности оценок параметра масштаба (3) — (6) на обобщенно-нормальном распределении 4-й степени, нормальном распределении, распределении Лапласа и распределении Коши в условиях модели выбросов Тьюки:

— симметричные выбросы (СВ):

Г(х) = (1 - е)9(х) + ед(х - а);

— асимметричные выбросы (АВ):

4

2

Уз = 5

2

2

4

1

2

2

2

2

2

2

У4 = в

2

2

2

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014

Таблица 1

Значения параметров масштаба для типовых распределений

Распределение ОНР4 НР РЛ РК

Значение параметра масштаба 1,767 0,7144 0,2605

Таблица 2

Эффективность оценок параметра масштаба на распределениях (7)— (10)

Оценка ОМП РО ОМУ СКО АО САО ОВСКО ОВАО ООНР4 ООК

Распределение (7)

V 0,781 1,046 1,584 0,928 3,335 1,291 0,928 1,291 0,781 1,282

є 1,000 0,747 0,493 0,841 0,234 0,605 0,842 0,605 1,000 0,609

Распределение (8)

V 9,546 1,397 1,903 4,483 3,851 2,603 1,635 2,097 1,367 1,925

є 0,143 0,979 0,718 0,049 0,355 0,525 0,836 0,652 1,000 0,710

Распределение (9)

V 25,020 1,162 1,760 14,733 4,178 8,992 1,393 2,866 0,881 2,171

є 0,035 0,758 0,501 0,060 0,211 0,098 0,632 0,307 1,000 0,406

Распределение (10)

V 3,642 1,578 1,998 2,389 3,969 2,033 1,639 1,952 1,576 1,900

є 0,433 0,999 0,789 0,660 0,397 0,775 0,962 0,807 1,000 0,829

Таблица 3

Эффективность оценок параметра масштаба на распределениях (11)—(14)

Оценка ОМП РО ОМУ СКО АО САО ОВСКО ОВАО ООНР4 ООК

Распределение (11)

V 0,500 0,708 1,154 0,500 1,361 0,571 0,500 0,570 0,545 0,723

є 1,000 0,706 0,433 1,000 0,367 0,876 1,000 0,877 0,917 0,691

Распределение (12)

V 1,999 0,883 1,328 1,999 1,544 1,031 0,807 0,857 0,900 0,907

є 0,404 0,914 0,608 0,404 0,523 0,783 1,000 0,942 0,897 0,890

Распределение (13)

V 4,955 0,789 1,283 4,955 1,700 3,250 0,685 1,239 0,608 1,153

є 0,123 0,771 0,474 0,123 0,358 0,187 0,888 0,491 1,000 0,527

Распределение (14)

V 0,871 1.060 1,554 0,871 1,650 0,809 0,841 0,807 1,222 0,958

є 0,927 0,761 0,519 0,927 0,489 0,998 0,960 1,000 0,660 0,842

Таблица 4

Эффективность оценок параметра масштаба на распределениях (15)—(18)

Оценка ОМП РО ОМУ СКО АО САО ОВСКО ОВАО ООНР4 ООК

Распределение (15)

V 0,510 0,807 1,512 0,637 1,055 0,510 0,543 0,510 0,635 0,635

є 1,000 0,632 0,337 0,801 0,483 1,000 0,939 1,000 0,803 0,803

Распределение (16)

V 0,797 0,884 1,601 2,007 1,160 0,800 0,729 0,648 0,943 0,731

є 0,813 0,733 0,405 0,323 0,559 0,810 0,889 1,000 0,687 0,886

Распределение (17)

V 1,970 1,018 1,681 2,490 1.322 1,970 0,702 1,003 0,820 0,965

є 0,356 0,690 0,418 0,282 0,531 0,356 1,000 0,700 0,856 0,727

Распределение (18)

V 0,592 1,103 1,933 0,586 1,298 0,592 0,578 0,591 1,113 0,840

є 0,976 0,524 0,299 0,986 0,445 0,976 1,00 0,978 0,519 0,688

Таблица 5

Эффективность оценок параметра масштаба на распределениях (19)-(22)

Оценка ОМП РО ОМУ АО ОВСКО ОВАО ООНР4 ООК

Распределение (19)

V 0,136 0,184 0,271 0,168 0,193 0,148 0,312 0,136

є 1,000 0,739 0,502 0,810 0,704 0,919 0,435 1,000

Распределение (20)

V 0,146 0,196 0,287 0,183 0,220 0,161 0,255 0,146

є 1,000 0,745 0,509 0,780 0,664 0,907 0,573 1,000

Распределение (21)

V 0,191 0,208 0,302 0,209 0,216 0,174 0,348 0,174

є 0,91 0,84 0,58 0,833 0,81 0,5 1

Распределение (22)

V 0,185 0,218 0,309 0,208 0,231 0,242 0,357 0,182

є 0,984 0,835 0,589 0,875 0,788 0,752 0,510 1,000

і(х) = (1 - е)д(х) + ед\ -

і(х) =

1.8

0.2

( х-2.5 V \ 1.767 )

1.767Г(0.25)

1.767Г(0.25)

. (10)

Параметр масштаба для основного распределения подбрился таким образом, чтобы квантиль уровня 0,95 совпадал с квантилем уровня 0,95 стандартного нормального распределения (табл. 1).

Относительная эффективность оценки определяется как

_ V V ,

3.2. Оценивание параметра масштаба нормального распределения. Проводилось сравнение оценок параметра масштаба нормального распределения на следующих распределениях (табл. 3):

І (х)

1

(11)

где V — вариация оценки, Уор1 — вариация оценки, имеющей минимальную вариацию среди рассматриваемых оценок.

Эффективность полученных оценок сравнивались с оценками максимального правдоподобия (ОМП), радикальными оценками (РО), оценками максимальной устойчивости (ОМУ), средним квадратичным отклонением (СКО), абсолютным отклонением (АО) и средним абсолютным отклонением (САО).

Оценки (3) — (6) с оптимальными значениями параметра радикальности будем называть оптимальной оценкой обощенно-нормального распределения 4-й степени (ООНР4), оптимальным взвешенным среднем квадратичным отклонением (ОВСКО), оптимальным взвешенным абсолютным отклонением (ОВАО), оптимальным оценкой Коши (ООК) соответственно.

3.1. Оценивание параметра масштаба обобщеннонормального распределения 4-й степени. Проводилось сравнение оценок параметра масштаба обобще-но-нормального распределения 4-й степени на следующих распределениях (табл. 2):

і (х) =

2

І — I

1 1.767 )

1.767Г(0.25)

і (х) =

і (х) =

1.8

1.767Г(0.25)

1.8

---------------(

1.767Г(0.25)

0.2

5.301Г(0.25)

0.2

----------------(

1.767Г(0.25)

I

I. 1.767 )

(7)

(8)

(9)

а , 0.9

і (х) = ^= е

0.1 --

3^І2ж

0.1

+ ^= е

■\}2ж

(х-8)2 2

і (х) =

0.9

е 2 +

0.1

-.рік

(12)

(13)

(14)

3.3. Оценивание параметра масштаба распределения Лапласа. Проводилось сравнение оценок параметра масштаба распределения Лапласа на следующих распределениях (табл. 4):

і (х) =

1

|х|

0,7144

1.1488

0.9

і (х) = ----------е

1.1488

|х|

0,7144

0.1

+----------е

4.2864

|х|

2,1432

0.9

і (х) = ----------е

1.1488

|х|

0,7144

0.1

+----------е

1.1488

|х-8 0,7144

(15)

(16)

(17)

0.9

і (х) = ----------е

1.1488

|х|

0,7144

0.1

+---------е

1.1488

| х-2.5|

отШ (18)

3.4. Оценивание параметра масштаба распределения Коши. Проводилось сравнение оценок пара-

(х- 2.5)

х

2

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (130) 2014

метра масштаба распределения Коши на следующих распределениях (табл. 5):

1

f (X) = -

f (X)

) 0.2605/ Г1 + f X У0.2605 0.9

0.2605/ r1+f X т У 0.2605 ) 0.1

0.7815/ 1+f X Т ' У 0.7815 ) 0.9

0.2605/ 1 + f X ] у 0.2605 ) 0.1

0.2605/ 1+fX-8T у0.2605 ) 0.9

)= ) 0.2605/ 1 + f X ] у0.2605 ) 0.1

0.2605/ 14X - “ Y У 0.2605 )

(19)

(20)

(21)

(22)

Заключение. В работе были предложены оценки параметров масштаба на основе взвешенного метода максимального правдоподобия. Было проведено сравнение эффективности полученных оценок с наиболее известными оценками параметра масштаба. По результатам исследования можно сделать следующие выводы:

1. Оценки взвешенного метода максимального правдоподобия при условии совпадения априорного и исходного распределения при наличии симметричных выбросов являются наиболее эффективными в рамках рассматриваемых оценок.

2. При наличии асимметричных выбросов эффективность оценки взвешенного метода максимального правдоподобия может зависеть от параметра сдвига

засоряющего распределения. В случае, когда выбросы находятся достаточно близко к основному распределению или внутри него, оценки с более мягким усечением (весовые функции g *(х) с более затянутыми хвостами) начинают проигрывать оценкам с более жестким усечением.

3. При удалении выбросов от основного распределения эффективность оценок при условии совпадения априорного и исходного распределения начинает возрастать.

4. Оценки максимальной устойчивость проигрывают оценкам с оптимальным значением параметра радикальности, что говорит о слишком сильном усечении ОМУ.

5. Ввиду сложного выбора наиболее эффективных оценок параметра масштаба требуется синтез алгоритмов адаптивных как к наличию и степени выбросов, так и по виду исходного распределения.

Библиографический список

1. Робастность в статистике / Ф. Хампель [и др]. — М. : Мир, 1989 — 512с.

2. Хьюбер, П. Робастность в статистике / П. Хьюбер. — М. : Мир, 1984 - 303 с.

3. Шурыгин, А. М. Прикладная статистика. Робастность. Оценивание. Прогноз / А. М. Шурыгин. — М. : Финансы и статистика, 2000 — 223 с.

4. Шуленин, В. П. Математическая статистика. Ч. 3. Робастная статистика / В. П. Шуленин — Томск : Изд-во НТЛ, 2012. — 518 с.

5. Симахин, В. А. Непараметрическая статистика. Ч. II. Теория оценок / В. А. Симахин. — Курган : Изд-во КГУ, 2004 — 163 с.

6. Симахин, В. А. Робастные непараметрические оценки / В. А. Симахин. — Saarbrucken : LAMBERT Academic Publishing, 2011. — 292 с.

7. Симахин, В. А. Адаптивные оценки параметра сдвига /

B. А. Симахин, О. С. Черепанов // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. — 2013. — № 1. —

C. 131-137.

БАТРАКОВ Петр Андреевич, ассистент кафедры теплоэнергетики Омского государственного технического университета.

ЧЕРЕПАНОВ Олег Сергеевич, аспирант, ассистент кафедры программного обеспечения автоматизированных систем Курганского государственного университета.

Адрес для переписки: ocherepanov@inbox.ru

Статья поступила в редакцию 04.03.2014 г.

© П. А. Батраков, О. С. Черепанов

2

+

+

+

+

+

Книжная полка

537/К17

Калистратова, Л. Ф. Основы колебательного и волнового движений : учеб. электрон. изд. локального распространения : учеб. пособие для студентов по направлению 5511 и специальности 2008 и 2205 / Л. Ф. Калистратова, А. А. Гладенко, Э. М. Ярош ; ОмГТУ. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2013. — 1 о=эл. опт. диск (CD-ROM).

В учебном электронном издании представлено описание физических основ гармонических механических и электромагнитных колебаний. Приводятся примеры решения задач, сводки формул. Предложены вопросы и задачи для проведения коллоквиума или экзамена. Предназначено для студентов радиотехнического факультета, обучающихся по специальностям 2008.00 «Проектирование и технология электронных средств», 2007.00 «Радиотехника», 2205.00 «Конструирование и технология ЭВС» и другим родственным специальностям.