CC BY
21
Таблица 16
Эффективность оценок (8) на распределении (17)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 0,1547 0,1546 0,168 0,193
Э ффективность 0,999 1 0,920 0,801
3.4. Распределение четвертой степени Исследования полученных оценок параметра положения проводились на смеси распределений четвертой степени вида:
- f (x) =
f (x)--
2
(
1.767 • Г(0.25)
2
0.9 • e
(1.767.1
+ 0.1-e
( x-5 {1.767
Л
для АВ; (18)
e -f—T 0 1 -{^
0 9 • e lL7671 + — • e (5 301 3
1.767 • Г(0.25)
Эффективность оценок (10) при p=0
Оценка ОМП РО ОМУ
Дисперсия 0,77 0,946 1,274
Эффективность 1 0,814 0,604
Рис.7. График дисперсий оценок на распределении (18)
Оценка Взвешенное Взвешенная Оценка Оценка
среднее медиана Коши РЧС
Оптимальный
параметр 0,197 0 0 0,279
радикальности
Дисперсия 1,635 3,167 9,879 0,987
Эффективность 0,604 0,312 0,1 1
Таблица 19
Эффективность оценок (10) на распределении (18)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 23,303 0.987 1,065 1,417
Э ффективность 0,042 1 0.927 0,697
Таблица 20
Эффективность оценок на распределении (19)
Оценка Взвешенное Взвешенная Оценка Оценка
среднее медиана Коши РЧС
Оптимальный
параметр 0,117 0 0 0,307
радикальности
Дисперсия 1.523 2,945 9,777 1,116
Эффективность 0,733 0,379 0,114 1
Таблица 21
Эффективность оценок (10) на распределении (19)
Оценка ОМП ОВО РО ОМУ
Дисперсия 17,535 1,116 1,172 1,515
Эффективность 0,064 1 0,952 0,737
для СВ. (19) Таблица 17
Рис.8. График дисперсий оценок на распределении (19)
Таблицы 18
Эффективность оценок на распределении (18)
По результатам проведенных исследований можно сделать следующие выводы:
1. В случае отсутствия выбросов эффективность оценок ВЗМП падает с ростом параметра радикальности, причем наиболее сильно для распределений с легкими хвостами.
2. Наиболее эффективными являются оценки ВЗМП, полученные для данного распределения.
3. При наличии выбросов радикальные оценки и оценки максимальной устойчивости проигрывают оценкам при оптимальном значении параметра радикальности.
4. Исходя из данных результатов, можно сделать вывод: для нахождения эффективных оценок в разных ситуациях (как в отсутствии, так и при наличии выбросов разных типов и степени засорения) требуется адаптация, как по виду распределения, так и по параметру радикальности.
Список литературы
1. Хампель Ф, Рончетти Э, Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в
статистике. - М.: Мир, 1989.- 512с.
2. Хьюбер П. Робастность в статистике. - М.: Мир, 1984. - 303с.
3. Шурыгин А.М. Прикладная статистика. Робастность. Оценивание.
Прогноз. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 223с.
4. Симахин В.А. Непараметрическая статистика. Ч. II. Теория оценок.-
Курган: КГУ, 2004.- 163 с.
5. Симахин В.А. Взвешенный метод максимального правдоподобия //
"КИБЕРНЕТИКА И ВЫСОКИЕ ТЕХНОЛОГИИ XXI ВЕКА: Материалы IXмеждународной научно-технической конференции.-Воронеж, 2008.- Т.2.-С.661-672.
6. Simakhin V.A., "Nonparametric robust prediction algorithms", International
Symposium on Stochastic Models in Reliability Engineering, Life Science and Operations Management, Beer Sheva, Israel, 2010, 14pp.
УДК 681.3.06
А.М. Семахин, Д.А. Чудов
Курганский государственный университет
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ СЦЕНЫ
Аннотация. В статье изложен метод восстановления трехмерной сцены по двумерному изображению. Разработаны математическая модель и детектор уголков, работающий по принципу нейронной сети. Определены положения точек в трехмерном пространстве и оценки достоверности восстановления трехмерной модели. На основе результатов моделирования сформулированы выводы и рекомендации.
Ключевые слова: математическая модель, трехмерная сцена, двумерное изображение, нейронная сеть, триангуляция, достоверность.
A.M. Semakhin, D.A. Chudov Kurgan State University
MATHEMATICAL MODEL OF RENEWAL THREE-DIMENSIONAL STAGE
Annotation. In the article the method of renewal of the three-dimensional stage is expounded on a two-dimensional image. A mathematical model and detector of corners, working on principle of neuron network, are worked out. Positions of points are certain in three-dimensional space and estimations of authenticity of renewal of three-dimensional model. On the basis of results of design conclusions and recommendations are set forth.
Key words: mathematical model, three-dimensional stage, two-dimensional image, neuron network, triangulation, authenticity.
Введение
В последнее десятилетие наблюдался существенный прогресс в науке о восстановлении трехмерных сцен по двумерным цифровым изображениям. Эти методы весьма востребованы в связи с необходимостью наполнения систем виртуальной реальности данными, соответствующими реальным сценам, в области строительства и архитектуры, дизайна, зрения роботов.
В настоящее время интерес некоторых исследователей смещается в сторону задачи восстановления трехмерной модели с помощью одного изображения [1].
Для изучения выбран стереоалгоритм - алгоритм, способный восстановить трехмерную модель с помощью двух или более изображений при условии, что известны характеристики камер и параметры съемки. Этот алгоритм обладает высокой точностью и не требует большого количества изображений для восстановления.
1. Постановка задачи
Идея алгоритма восстановления трехмерной модели по набору двумерных изображений состоит в том, что по разнице расположений точки на двух изображениях можно вычислить ее положение в трехмерном простран-
стве. Если определить положение всех (большинства) точек на изображении в трехмерном пространстве, можно получить трехмерную модель сцены, представленной на этом изображении.
Входными данными для алгоритма восстановления 3D-модели служат несколько (два или более) изображений одной и той же сцены, снятой с разных ракурсов, незначительно отличающихся друг от друга: характеристики камер (угол обзора) и их расположение в момент съемки. Если ракурсы съемки будут отличаться значительно, то это существенно затруднит или сделает невозможным сопоставление точек изображений программой и даже человеком (который, кроме достоверного визуального узнавания и сопоставления точек изображений может угадывать недостающую информацию, опираясь на жизненный опыт).
На выходе алгоритм должен выдавать восстановленную трехмерную модель, а также оценку достоверности восстановления.
2. Алгоритм восстановления 3D-модели
Алгоритм восстановления 3D-модели по набору двумерных изображений имеет следующие этапы:
Этап 1. Выделение опорных точек путем нахождения особенностей на изображении (уголков).
Этап 2. Нахождение соответствия между опорными точками на двух изображениях.
Этап 3. Определение положения выбранных точек в трехмерном пространстве.
Этап 4. Построение трехмерной модели.
В зависимости от требований и реализации, алгоритмы могут включать различные методы уточнения 3D-модели и оценки точности восстановления.
На рис.1 показана реализация алгоритма восстановления 3D на основе математического обеспечения и требований, предъявляемых к системе.
3. Математическое описание
3.1. Нахождение особенностей на изображении.
Особенностями на изображении считаются точки, положение которых с большой точностью можно визуально или программно определить. Например, уголки, края (участки), точки ("blob") и т.п.
Для решения задачи разработан детектор уголков, работающий по принципу нейронной сети.
Метод заключается в том, чтобы обнаружить линии
Рис. 1. Реализация алгоритма восстановления 3D
и уголки на минимальном по размеру участке изображения, а затем корректировать результат на основании данных, полученных с соседних участков изображения.
Построим нейронную сеть со следующей архитектурой.
На вход подается участок изображения размерами (x;y). Для простоты вычислений преобразуем его в двухцветный формат - для малых участков при этом практически не теряется информация об интересующих точках.
На выходе получаем матрицу размерами (x - 1;y -1). В ее ячейках записаны значения, обозначающие соответствующий ячейке пиксель входной матрицы как уголок, линию или «пусто».
Первый слой состоит из нейронов, каждый из которых получает на вход значения 4 пикселей (участок размерами 2х2). Нейроны расположены таким образом, что каждый из них перекрывает входную область своих соседей, т. е. 2 из 4 синапсов нейрона получают на вход те же значения, что и 2 синапса его соседа по вертикали и горизонтали, и 1 из 4 - то же значение, что 1 синапс его соседа по диагонали.
Приравняем вес первого синапса каждого нейрона к 8; второго к 4; третьего к 2; четвертого к 1. В качестве функции активации возьмем функцию
NET%8 при NET<=7
OUT={
7 - NET%8 при NET>7,
где NET - взвешенная сумма входов, OUT - выход нейрона. Знак «%» в данном случае обозначает деление с остатком.
Такая функция была выбрана не случайно. Количество комбинаций светлых и темных пикселей на участке изображения размерами 2х2 может быть всего 16, и все эти комбинации можно закодировать четырьмя битами информации (рис. 2):
01234 5 6 7
ш ш ш ш в в Б Б
и а и а и я И ■
8 9 10 11 12 13 14 15
Рис. 2. Число комбинаций светлых и темных пикселей на участке изображения размерами 2x2
На рис.2 прослеживается диагональная симметрия между первой и второй строкой, имеется 5 вариантов уголков, 2 варианта линий и 2 - пустого места. То есть нужны 8 категорий, чтобы «рассортировать» эти вариации. Именно это и делает функция активации.
На выходе нейрона первого слоя получаем ответ, представлен ли на участке изображения размерами 2х2, поданном на вход этого нейрона, уголок (значения 1; 2; 4; 6; 7), линия (3; 5) или нет ничего (0).
На выходе первого слоя помеха на изображении, лишний пиксель может быть опознан как «уголок». Для фильтрации «шумовых» уголков существует второй слой сети.
Во втором слое должно быть столько же нейронов, сколько и в первом, и расположены они таким же образом. На вход каждого подается выход нейрона первого слоя, расположенного напротив соответствующего нейрона второго слоя, и выходы всех соседних нейронов (по вертикали, горизонтали и диагонали) (рис.3).
Определенные сочетания чисел на входе распознаются нейроном второго слоя как уголок, линия или пустое место. Поскольку на изображении уже определены линии, возможна дальнейшая фильтрация уголков по
длине сторон. Тестирование этого метода на реальных фотографиях с использованием двухслойной сети дает правдоподобные результаты.
Выходы нейронов первого слоя
12 3
4 5 6
7 8 9
Рис.3. Нейроны первого и второго слоёв
3.2. Нахождение соответствия между опорными точками на двух изображениях
Для нахождения соответствия между двумя изображениями используется модификация алгоритма, предложенная Д. В. Юриным и Д. Б. Волеговым [2].
Картой смещений (КС) называется двумерный массив, элементами которого являются двумерные векторы. Каждый вектор задает сдвиг от точки на первом изображении до соответствующей точки на втором изображении. Необходимо найти такую карту смещения для изображения II, чтобы разница преобразованного изображения II с изображением 12 была минимальна.
Рассмотрим пару изображений х ■. /. ■ х ■ и карту смещений й(х.й) пикселей первого изображения. Вектор Ю - вектор параметров КС. Карта смещений задается сдвигом по формуле
,
где I вводится для обезразмеривания компонент Ю и приведения их значений к одному порядку величины так, что каждая компонента не превосходит нескольких десятых.
Величина I рассчитывается по формуле:
77А7.
где w и h - ширина и высота изображения соответственно.
Поиск КС сводится к поиску Ю.
Пусть г(й) обозначает интеграл от квадрата разности второго и преобразованного первого изображений. Величина рассчитывается по формуле.
Требуется найти £(&), минимизирующий Ю:
где
у = X + (1(х, (й)
то есть преобразованное первое изображение.
В предположении сглаженности /1x1, малого отличия х от у получается:
§(У) - 8(х)
,
у - х = УЙ
нейроны 1-го слоя
нейрон 2-го слоя
где
gJW)
Y
ду 5d(x.ío) сю
ду cío CÍO
Используя это, мы можем переписать уравнение (1)
как =
Получается система относительно w:
Acó = ti A = [YrggrYr/x,
.
Для КС сдвига
'/ о ■
Y
О 1
Производные первого изображения получаются путем свертки с производными Гаусса. Полуширина функции Гаусса должна быть порядка ожидаемых значений в КС.
Свертка функций записывается как (символ звездочки). Она определяется как интеграл от произведения двух функций после того, как одна реверсируется и смещается.
(f*a)(t)
-г
к/ —с
f(r)g(t-T)dT
та обнаружилась раньше, чем на первом с учетом смещения, смещение приходится уменьшать, пока точка С на первом изображении не станет соответствовать точке С на втором.
Таким образом, вычисляются уточненные значения смещений точек изображения и из них составляется карта смещений с довольно точными значениями на границах и уголках объектов, что важно для используемого алгоритма восстановления 3D.
Некоторые опорные точки могут быть найдены на первом изображении и не найдены на втором (и наоборот), поэтому необходимо попытаться найти каждую точку на обоих изображениях и составить из найденных на обоих изображениях точек список соответствий. По полученной карте смещений можно узнать сдвиг каждой опорной точки от положения на первом изображении до положения на втором изображении. Если данная точка обнаружена на втором изображении в ожидаемом месте, это значит, что она успешно найдена на обоих изображениях, и список соответствий опорных точек на двух изображениях пополняется.
Изображение 1
\ \
А \ С
Данный метод имеет существенный недостаток - на границах объектов находятся неправильные значения смещений.
В процессе работы над данным проектом разработано улучшение этого метода. Определяется карта смещений для минимизации разницы между двумя изображениями. Разница состоит в том, что для этого метода нужно знать направление смещения точек изображения. Направление смещения может быть получено из алгоритма Д. В. Юрина (преимущественное направление смещения точек) или задано каким-нибудь другим образом.
Алгоритм просматривает пару изображений по направлению смещения точек. Поскольку на втором изображении имеются все (почти все) объекты, имеющиеся на первом, алгоритм пытается установить такое значение смещения пикселей, чтобы объекты на первом изображении превратить в объекты на втором (рис.4).
Вследствие смещения камеры боковая сторона объекта становится видна лучше и занимает больше места на изображении, а ближайшая к камере - наоборот. Рассмотрим работу алгоритма, определяющего карту смещений для первого изображения с помощью второго, при прохождении по линии АС (направление смещения точек изображения обозначено стрелкой).
При достижении А (пересечения границы боковой стороны объекта и прямой АС) на первом изображении алгоритм не обнаруживает такую точку на втором. Он начинает увеличивать смещение для точек первого изображения, пока не найдет границу объекта на втором изображении, т.е. переход от цвета 1 к цвету 2. Полученное смещение используется для всех точек на отрезке АВ. При достижении точки В алгоритм поступает аналогично ситуации при достижении точки А и проходит по отрезку ВС с уже новым смещением точек, пока не наткнется на точку С на втором изображении (переход от цвета 3 к цвету 1). Так как на втором изображении граница объек-
Изображение 2
Цвет 1 Цвет 2|Цзет 3
Рис.4. Представление алгоритма, определяющего карту смещений для первого изображения с помощью второго
3.3. Определение положения выбранных точек в трехмерном пространстве
Вычислить положение точки в трехмерном пространстве можно, зная разницу между ее положениями на двух изображениях и положение камеры при создании этих изображений (рис.5).
Поскольку известны угол обзора камеры, их положения и поворот камеры С2 относительно С1 (угол д), то задача легко сводится к следующей (рис.6). Угол с определяется по формуле с = 180 - а - (180 - Ь) = Ь - а
Расстояние от С1 до С2 известно. По теореме синусов рассчитываем ОС1 и ОС2.
ОС1 = С1С2^т (180 - Ь)^п (Ь - а) ОС2 = С1С2^т (а)^т (Ь - а) Зная расстояние от точки О до камеры, несложно вычислить ее положение в трехмерном пространстве. За оси X и Y можно взять оси X и Y плоскости первого изображения, ось Z тогда будет совпадать с фокусной осью первой камеры (линией, проходящей через центр объектива и фокус). По положению точки на изображении мож-
но вычислить угол между линией, проходящей через соответствующую точку реального объекта и центр объектива камеры, и осью Z, а поскольку мы вычислили расстояние от камеры до точки реального объекта (ОС1), то по этим данным нетрудно определить трехмерные координаты точки реального объекта.
Рис.5. Графическое представление определения точки в трехмерном пространстве: XI - положение точки О на снимке с камеры С1, Х2 - положение точки О на снимке с камеры С2
Если имеются только 2 снимка, то мы можем восстановить 3D-модель без определенных размеров, даже не зная длину С1С2. Если снимков больше, то необходимо знать соотношение расстояний между положениями камер.
3.4. Построение трехмерной модели
Для построения трехмерной модели необходимо соединить имеющиеся точки, выполнив триангуляцию Делоне (рис.7).
Триангуляцией Делоне для множества точек S (иногда именуемых сайтами) на плоскости называют триангуляцию DT(S), такую, что никакая точка А из S не содержится внутри окружности, описанной вокруг любого треугольника из DT(S), такого, что ни одной из вершин его не является точка А.
Любая точка вне выбранного треугольника находится за пределами описанной вокруг треугольника окружности.
Триангуляция Делоне имеет некоторые важные свойства, в частности, максимизирует минимальный угол среди углов построенных треугольников, тем самым избегаются «тонкие» треугольники.
Рис.6. Графическое представление определения точки в
пространстве после преобразования: С1 - положение первой камеры, С2 - положение второй
Следует отметить, что триангуляция является более надежным методом, чем соединение точек по линиям, выявленным на изображениях, так как линии, полученные на реальных фотографиях, могут местами преры-
ваться из-за своей низкой контрастности. «Искусственная» триангуляция позволяет обходить этот недостаток реальных изображений.
4. Методы оценки достоверности восстановленной трехмерной модели
Достоверность восстановленной трехмерной модели определяется критериями оценок:
1) критерий оценки точности реконструкции по паре кадров;
2) отношение количества достоверных соответствий к среднему количеству опорных точек, обнаруженных на каждом изображении из стереопары;
3) сравнение проекции полученной 3D модели на плоскость, перпендикулярную оптической оси камеры, с изображением, полученным с этой камеры.
Критерий оценки точности реконструкции по паре кадров описан Д. Б. Волеговым и Д. В. Юриным [2]. Для вычисления названного критерия необходимы лишь координаты соответствующих точек на паре изображений. Пусть однородные координаты соответствующих точек
обозначены через х{, у , 1=1..N , где N есть число соответствующих точек для пары изображений. Определяется матрица Z размерами N<9 следующим образом:
Рис.7. Триангуляция Делоне
Критерий выражается следующим образом:
,
где числа а1,а2 есть наименьшие сингулярные числа матрицы Z, а < >,< >- средние квадраты отклонения названных чисел, связанные с погрешностью определения координат на изображениях. Проведенные исследования свидетельствуют о том, что большое значение ц(Р) является необходимым, но недостаточным условием высокой точности реконструкции по паре кадров, а в среднем погрешность реконструкции обратно пропорциональна ц(Р).
Сингулярные числа матрицы Z вычисляются через сингулярное разложение матрицы:
7 = МБУТ,
где М и V - ортогональные матрицы, S - диагональная матрица, элементы на диагонали которой являются сингулярными числами матрицы Z.
Отношение количества достоверных соответствий к
среднему количеству опорных точек, обнаруженных на каждом изображении из стереопары, может иметь небольшое значение. Это нормально, так как некоторые точки, присутствующие на одном изображении, могут отсутствовать на другом, и наоборот, однако если значение ниже некоторого порога, можно говорить о невозможности достоверного восстановления данной сцены с помощью данного набора изображений.
Для уже полученной модели достоверность может быть оценена через непосредственное сравнение проекции полученной 3D модели на плоскость, перпендикулярную оптической оси камеры, с изображением, полученным с этой камеры.
Заключение
Рассмотрены методы восстановления трехмерной модели по набору двумерных изображений и описан алгоритм восстановления 3D-модели. Достоинством этого алгоритма является то, что для него достаточно стереопары (двух изображений) для восстановления хорошо детализированной трехмерной модели. Также описаны методы оценки достоверности полученного результата. разработан детектор уголков, работающий по принципу нейронной сети. Построена нейронная сеть.
Описанный алгоритм не лишен недостатков: в частности, предполагается, что восстанавливаемая сцена состоит из угловатых тел, вследствие чего могут возникать сложности в реконструкции сферических и округлых объектов. Тем не менее, он может применяться для широкого класса сцен с довольно высокой точностью.
Существуют различные методы улучшения предлагаемого решения задачи, например, обнаружение и сопоставление опорных точек на различных уровнях детальности изображения может понизить вероятность нахождения ложных значений. Основное направление будущей деятельности составит более тщательное тестирование всего алгоритма и поиск улучшений для него.
Разработанный алгоритм может быть использован в 3D-моделировании, дизайне, системах технического зрения.
Список литературы
1. Юрин Д.В. Современные концепции восстановления трехмерных сцен
по набору цифровых изображений: наполнений систем виртуальной реальности. - М.: Институт физико-технической информатики, 2009. - 125 с.
2. Волегов Д.Б., Юрин Д.В. Поиск карты смещений по пирамиде
детальности.- М.: Московский физико-технический институт,
2007. - 132 с.
УДК 621.19 В.Е. Овсянников
Курганский государственный университет
НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ТОКАРНОГО РЕЗЦА
Аннотация. В статье рассматриваются вопросы моделирования колебаний токарного резца под воздействием нагрузок различного характера: единичной ударной нагрузки, пилообразной нагрузки, прямоугольной импульсной нагрузки и т.д. Производится оценка коэффициента затухания колебаний и отклика балки на оказываемое воздействие посредством вычисления интеграла Дюамеля.
Ключевые слова: колебания, коэффициент затухания, резонанс, нагрузка.
V.E. Ovsyannikov Kurgan State University
SOME ASPECTS OF FLUCTUATIONS MODELLING OF THE TURNING CUTTER
Annotation. In article questions of modeling of fluctuations of a turning cutter under the influence of loadings of various character are considered: individual shock loading, sawtooth loading, rectangular pulse loading the estimation of factor of attenuation of fluctuations and the response of a beam to had influence by means of calculation of integral of Djuamelja Is etc. made.
Key words: fluctuations, attenuation factor, a resonance, loading.
Введение
Одной из главных эксплуатационных характеристик металлорежущих инструментов является их способность к демпфированию колебаний, что обеспечивает виброустойчивость обработки, таким образом, актуальной задачей является оценка данной величины на стадии проектирования инструмента. Наиболее распространенным методом оценки демпфирующей способности режущего инструмента является экспериментальный метод, основанный на определении логарифмического декремента колебаний резца при воздействии на него ударной нагрузки. Однако данный метод обладает рядом недостатков, основными из которых являются необходимость изготовления опытного образца инструмента в металле и то, что при таком методе оценки не учитываются реальные условия работы инструмента (особенные затруднения в данном случае вызывают резонансные явления).
В данном свете более целесообразным представляется использование расчетных методик моделирования колебаний. На сегодняшний день методологический аппарат таких расчетов достаточно хорошо проработан [1,2], однако расчетные зависимости, по которым производится расчет параметров колебаний, достаточно громоздкие, поэтому для эффективного их использования в практике необходимо разработать специальное программное обеспечение.
1. Разработка расчетной схемы. Схематично токарный резец можно представить в виде двухопорной балки (рис. 1), одна из которых является подвижным, а другая неподвижным шарниром. Нагрузка оценивается массой m, падающей с высоты Н. Точка приложения внешней нагрузки оценивается расстоянием Хт, опоры находятся на расстоянии Lra и Lrb соответственно. .
н
J
Xm *Л • ' Lra ^ Lrb вА
L
Рис. 1. Расчетная схема
Решением задачи будет зависимость перемещений левого конца балки от времени. Для того, чтобы найти данную величину необходимо рассчитать параметры грузовой и единичной систем (рис.2).
