Исследование орбитальной эволюции 10 короткопериодических комет путем решения дифференциальных уравнений движения, полученных на основе нового принципа взаимодействия Текст научной статьи по специальности «Физика»

Небесная механика и астрометрия

УДК 521.1, 521.4 А. Ф. Заусаев

ИССЛЕДОВАНИЕ ОРБИТАЛЬНОЙ ЭВОЛЮЦИИ 10 КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИХ КОМЕТ ПУТЕМ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ, ПОЛУЧЕННЫХ НА ОСНОВЕ НОВОГО ПРИНЦИПА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

Проведено исследование орбитальной эволюции 10 короткопериодических комет на интервале времени 400 лет (1800-2200 гг.) путем решения дифференциальных уравнений движения, полученных на основе нового принципа взаимодействия материальных тел друг на друга. Результаты сопоставлены с элементами орбит, вычисленных с помощью решения уравнений движения с учетом гравитационных и релятивистских эффектов. Показано, что результаты вычислений, полученные двумя различными методами, согласуются в пределах допустимой погрешности

В работе [1] получены дифференциальные уравнения движения, основанные на новом принципе взаимодействия материальных тел друг на друга, дается вывод дифференциальных уравнений движения, проведено сопоставление элементов орбит больших планет, Луны и Солнца на интервале времени с 1600-2200 гг., полученных с помощью различных численных теорий. К сожалению, в основной формуле имеются опечатки. Однако проведенные вычисления были получены при использовании верного алгоритма. Дифференциальные уравнения движения п материальных тел, основанные на новом принципе взаимодействия [1], в декартовой системе координат имеют следующий вид:

В уравнениях (1) через X, У, 2 обозначены барицентрические координаты возмущаемого тела, а через Хі, У,-, 2і — барицентрические координаты возмущающих тел, Д2 = (Хі — X)2 + +(Уі — У)2 + (2І — 2)2, г0і — эффективный радиус і-го тела, а0і — соответствующее ускорение

для і-го тела на расстоянии г0і от центра массы.

Другая форма дифференциальных уравнения движения в барицентрической системе координат с учетом ньютоновских и и шварцшильдовских членов, обусловленных взаимным влиянием Солнца, и планет имеет следующий вид [2]:

\

(1)

(2)

где rі , ti, Г* - барицентрические радиус-вектора положения, скорости и ускорения тела і ; m, = Gmj, где G - гравитационная постоянная, а Mj — масса j-того тела; r j - Г^ , b —

параметр, измеряющий нелинейность, создаваемую гравитацией; g — параметр, измеряющий пространственную кривизну, производимую единичной покоящейся массой; u, = |Гі|; с — скорость света. Последний член уравнения (2) в правой части учитывает возмущения от астероидов; Г* — ускорение тела j благодаря ньютоновским эффектам.

С помощью решений дифференциальных уравнений (2) американскими учеными Ньюха-лом, Стендишем, Вильямсом [3] на интервале времени с 2305424.5 J.D. (1599 Dес 5) до 2525008.5 (2201 Feb 20) создана одна из высокоточных численных теорий движения больших планет DE-405. Полученные ими эфемериды для внутренних планет полностью согласованы с оптическими и радиолокационными наблюдениями, а для Луны — с лазерными наблюдениями.

С целью проверки эффективности различных математических моделей, описывающих движение больших планет, Луны и Солнца, в работе [1] проведены исследования движения этих объектов на интервале времени с 1600 г. по 2200 г. В первом случае решались дифференциальные уравнения (2), при этом для Луны и Земли в уравнениях (2) учитывались возмущения, обусловленные несферичностью этих планет. В качестве второй математической модели, описывающей движение больших планет, Луны и Солнца, рассматривались дифференциальные уравнения (1) [1].

На основании проведенных исследований были сделаны следующие выводы: дифференциальные уравнения движения (1) вполне удовлетворительно описывают движение больших планет, Луны и Солнца на интервале времени 600 лет; они значительно проще дифференциальных уравнений, учитывающих релятивистские эффекты и, кроме того, по затратам машинного времени более чем в 2 раза эффективнее последних.

Несомненный интерес представляет вопрос о возможности применения дифференциальных уравнений (1) к исследованию эволюции орбит короткопериодических комет, так как многие из этих комет имеют тесные сближения с большими планетами, которые оказывают на их движения существенное воздействие [4].

В качестве объектов для исследования были выбраны 10 комет из каталога орбитальной эволюции короткопериодических комет [4]. Ряд из выбранных комет в процессе эволюции имеет умеренные и тесные сближения с Юпитером, что значительно влияет на их орбитальную устойчивость. При исследовании эволюции орбит короткопериодических комет основной трудностью получения результатов с высокой степенью точности является проблема численной устойчивости. Вследствие того, что начальные данные элементов орбит заданы с определенной степенью точности, то следует оценить, как влияет погрешность начального смещения по каждому элементу, сопоставимая по величине с погрешностью округления, на полученные результаты. Проведенные расчеты показали, что для каждого объекта наибольшая вычислительная погрешность получается в результате смещения эксцентриситета по сравнению с другими элементами. С помощью введения погрешности в начальные данные эксцентриситетов орбит на величину ± 0,0000004, оценивалась как степень точности проведенных расчетов, так и орбитальной устойчивости для каждой кометы.

Численное интегрирование уравнений движения (1) и (2) в обоих случаях было проведено модифицированным методом Эверхарта 27 порядка с переменным шагом интегрирования [5, 6] на интервале времени с 1600 г. по 2300 г.

В табл. 1 приведены элементы орбит короткопериодических комет, вычисленные различными методами на два момента времени. Элементы орбит в табл. 1 для каждой кометы приведены на два крайних момента интегрирования от начальной эпохи оскуляции, где введены обозначения: М — средняя аномалия, W — аргумент перигелия, W — долгота восходящего узла, і — наклонение, выраженное в градусах и долях градусов; a — большая полуось в астрономических единицах. При этом, в прошлое эволюция орбит для каждой кометы рассчитывалась на 200 лет от начальной эпохи оскуляции, а в будущее — на 200 или 355 лет, в зависимости от начального момента интегрирования. В табл. 1 элементы орбит в строках под номером один соответствуют решению дифференциальных уравнений (2) с учетом гравитационных и релятивистских эффектов. Здесь же приведены погрешности для каждого элемента, полученные в результате начального смещения эксцентриситета на выше указанную величину. Элементы орбит второй строки получены на основании решения дифференциальных уравнений (1).

Вследствие того, что погрешность начального смещения в эксцентриситете сопоставима по величине с ошибкой округления, то полученные результаты можно считать равноценными по точности, если они находятся в пределах заданной погрешности, указанных в строках под номером один.

Как видно из табл. 2, все рассматриваемые кометы имеют умеренные или тесные сближения с большими планетами: Меркурием, Венерой, Марсом, Юпитером. При этом четыре кометы имеют сближение менее 0,1 а.е. (а.е. — астрономическая единица —149597870 км.) только с внутренними планетами и шесть — с Юпитером. Значения погрешностей в элементах орбит комет находятся в прямой зависимости от величины ее сближения с большими планетами и от продолжительности нахождения кометы в состояние сближения. Для большинства комет (см. табл. 1) наиболее существенные отклонения в элементах орбит (в результате введения погрешности начального смещения) имеет место в средней аномалии. Так, например, у кометы Б1е1а погрешность в средней аномалии достигает более 20 градусов, а для кометы Бгся^еп - превышает 2 градуса. Для других комет погрешности в средней аномалии не превышают одного градуса. По сравнению со средней аномалией остальные элементы орбит (в результате введения в значение эксцентриситета погрешности начального смещения на величину 0,0000004) изменяются несущественно. Сопоставление элементов орбит, найденных путем решения уравнений (1) и (2) и приведенных в табл. 1, показывает, что они отличаются друг от друга незначительно и находятся в пределах погрешностей, обусловленных погрешностью начальных смещений, поэтому каждое из этих уравнений может быть использовано для исследования эволюции орбит короткопериодических комет. Существенным преимуществом формул (1) по сравнению с формулами (2) является то обстоятельство, что они являются значительно проще и более чем в два раза эффективнее по быстродействию.

Т а б л и ц а 1

Элементы орбит короткопериодических комет

N М Ч е а а 1

Т=2366500.5 т (1767 02 27.0) Р/На11еу

1 37,4634 ±0,0018 0,574192 ±0,000065 0,968207 ±0,000002 110,3368 ±0,0033 57,0679 ±0,0094 162,3934 ±0,0018

2 37,4637 0,574181 0,968208 110,3364 57,0674 162,3935

Т=2526400.5 Ю. (2204 12 13.0) Р/На11еу

1 340,3000 ±0,0582 0,585218 ±0,000017 0,967180 ±0,000002 115,0165 ±0,0056 62,3829 ±0,0048 161,7196 ±0,0004

2 340,3008 0,585218 0,967180 115,0165 62,3830 161,7195

Т=2370600.5 т (1778 05 20.0) Р/Епске

1 221,8358 ±0,0413 0,344660 ±0,000011 0,844736 ±0,000004 181,7028 ±0,0001 337,5202 ±0,0001 13,8248 ±0,0003

2 221,8289 0,344658 0,844737 181,7034 337,5203 13,8249

Т=2530500.5 Ю. (2216 03 05.0) Р/Епске

1 97,4850 ±0,2486 0,338565 ±0,000014 0,847586 ±0,000010 192,3569 ±0,0001 330,3084 ±0,0008 9,2438 ±0,0010

2 97,4454 0,338564 0,847587 192,3561 330,3084 9,2440

Т=2317800.5 Ю. (1633 10 27.0) Р/Б1е1а

1 237,2724 ±0,0061 0,995927 ±0,000002 0,719791 ±0,000002 206,9100 ±0,0005 267,7183 ±0,0004 20,1595 ±0,0008

2 237,2707 0,995926 0,719791 206,9100 267,7185 20,1597

Т=2527700.5 Ю. (2208 07 05.0) Р/Б1е1а

1 253,8404 ±20,5940 0,818406 ±0,014168 0,766529 ±0,000188 323,3517 ±2,3548 143,5040 ±1,2454 13,9260 ±0,0113

2 253,8404 0,818351 0,766546 323,3605 143,4998 13,9251

Т=2371400.5 Ю. (1780 07 28.0) Р/Бауе

1 227,6356 ±0,1136 1,694503 ±0,000051 0,559036 ±0,000013 190,4609 ±0,0099 226,9692 ±0,0049 7,3845 ±0,0029

2 227,6224 1,694496 0,559038 190,4599 226,9698 7,3841

Т=2531300.5 Ю. (2218 05 14.0) Р/Бауе

1 237,0455 ±0,0052 1,442712 ±0,000011 0,611124 ±0,000002 220,4725 ±0,0015 167,9196 ±0,0021 5,1090 ±0,0002

2 237,0465 1,442712 0,611124 220,4723 167,9195 5,1079

Т=2327500.5 Ю. (1660 05 18.0) Р/Бгогееп

1 34,5175 ±2,2015 0,899194 ±0,015952 0,705888 ±0,001457 5,7586 ±0,1019 108,7569 ±0,0276 46,1711 ±0,0026

2 35,0860 0,900435 0,705584 5,7812 108,7671 46,1718

Т=2547400.5 Ю. (2262 06 12.0) Р/Бгогееп

1 196,9219 ±0,2890 0,445995 ±0,000102 0,856642 ±0,000120 106,0951 ±0,1871 7,2849 ±0,1884 6,5517 ±0,0077

2 196,9124 0,445768 0,856751 106,0076 7,3678 6,5477

Т=2372400.5 Ю. (1783 04 24.0) Р/Дгге81

1 148,1063 ±0,0030 1,055233 ±0,000167 0,687629 ±0,000037 169,4588 ±0,0050 157,3962 ±0,0076 10,2061 ±0,0054

2 148,1061 1,055211 0,687634 169,4584 157,3971 10,2056

Т=2532300.5 Ю. (2221 02 07.0) Р/Дгге81

1 151,8536 ±0,1060 1,908780 ±0,000413 0,495395 ±0,000098 169,5155 ±0,0060 128,5214 ±0,0023 23,3498 ±0,0085

2 151,8696 1,908528 0,495410 169,5145 128,5211 23,3485

Т=2370100.5 Ю. (1771 01 05.0) P/Pons-W шпеске

1 319,1851 ±0,0131 1,004940 ±0,000088 0,706363 ±0,000024 3,7026 ±0,1538 270,0745 ±0,1545 2,6988 ±0,0154

2 319,1821 1,004924 0,706368 3,7234 270,0539 2,6967

Т=2530000.5 т (2214 10 22.0) P/Pons-W шпеске

1 161,5377 ±0,0026 1,068520 ±0,000010 0,679854 ±0,000003 193,1228 ±0,0006 79,0712 ±0,0008 18,2126 ±0,0006

2 161,5365 1,068520 0,679854 193,1225 79,0711 18,2127

Т=2369600.5 Ю. (1775 08 24.0) Р/Тий1е

1 345,9828 ±0,0235 1,053154 ±0,000004 0,817610 ±0,000004 207,0237 ±0,0001 271,4435 ±0,0001 54,2379 ±0,0008

2 345,9773 1,053153 0,817611 207,0238 271,4435 54,2377

T=2529500.5 J.D. (2213 06 09.0) P/Tuttle

1 10,4532 ±0,0254 1,015593 ±0,000016 0,822576 ±0,000009 207,7271 ±0,0001 269,0360 ±0,0000 54,8956 ±0,0003

2 10,4592 1,015588 0,822574 207,7270 269,0360 54,8957

T=2371600.5 J.D. (1781 02 13.0) P/Tempel 1

1 194,6222 ±0,0584 1,757779 ±0,000974 0,469122 ±0,000176 72,0362 ±0,1581 162,8345 ±0,1632 4,5459 ±0,0049

2 194,6041 1,757668 0,469142 72,0181 162,8532 4,5464

T=2531500.5 J.D. (2218 11 30.0) P/Tempel 1

1 29,8433 ±0,0109 1,885299 ±0,000124 0,448845 ±0,000023 209,4122 ±0,0059 51,5892 ±0,0043 6,7451 ±0,0011

2 29,8444 1,885293 0,448846 209,4116 51,5896 6,7452

T=2371500.5 J.D. (1780 11 05.0) P/Tempel 2

1 206,6912 ±0,0262 1,354794 ±0,000073 0,549243 ±0,000020 177,8465 ±0,0043 126,0126 ±0,0017 12,4601 ±0,0007

2 206,6927 1,354789 0,549245 177,8464 126,0127 12,4600

T=2531400.5 J.D. (2218 08 22.0) P/Tempel 2

1 217,8153 ±0,1972 1,319818 ±0,000028 0,565663 ±0,000005 217,3156 ±0,0153 102,6559 ±0,0129 8,8516 ±0,0027

2 217,7961 1,319819 0,565663 217,3169 102,6546 8,8513

Т а б л и ц а 2

Сближения короткопериодических комет с большими планетами

P/Halley

Планета Дата Расстояние Планета Дата Расстояние

Венера 2061 8 20,5 0,05443

P/Encke

Планета Дата Расстояние Планета Дата Расстояние

Меркурий 1815 12 8,0 0,092780 Меркурий 2013 11 18,3 0,024945

Меркурий 1839 1 13,0 0,049392 Меркурий 2037 1 10,0 0,077314

Меркурий 1862 2 20,0 0,084938 Меркурий 2079 11 14,5 0,040462

Меркурий 1872 1 9,8 0,033772 Меркурий 2093 2 11,0 0,066985

Меркурий 1881 11 23,9 0,026048 Меркурий 2126 2 11,6 0,043918

Меркурий 1905 1 25,0 0,094300 Меркурий 2135 12 30,5 0,034029

Меркурий 1928 2 18,0 0,085446 Меркурий 2172 5 12,3 0,031329

Меркурий 1947 11 26,0 0,060348 Меркурий 2182 4 8,0 0,083997

Меркурий 1971 1 9,0 0,057666 Меркурий 2192 3 3,0 0,077216

Меркурий 1997 4 24,5 0,093349

P/Biela

Планета Дата Расстояние Планета Дата Расстояние

Земля 1794 5 26,0 0,038708 Луна 2112 3 11,2 0,046915

Юпитер 1805 12 18,5 0,096204 Земля 2145 2 24,0 0,062284

Марс 1999 4 9,1 0,010323

P/Faye

Планета Дата Расстояние Планета Дата Расстояние

Юпитер 1816 4 4,3 0,24728 Юпитер 2195 3 19,5 0,41156

P/Brorsen

Планета Дата Расстояние Планета Дата Расстояние

Юпитер 1747 8 2,1 0,19152 Юпитер 2008 6 9,0 0,45076

Юпитер 1842 5 27,45 0,066731 Юпитер 2091 6 11,0 0,48945

Юпитер 1913 7 26,0 0,37424 Юпитер 2162 7 29,0 0,44176

Юпитер 1925 6 4 12,0 0,34262 Венера 2221 5 20,0 0,066487

Юпитер 1996 7 31,0 0,47838

P/Arrest

Планета Дата Расстояние Планета Дата Расстояние

Юпитер 1790 1 23,0 0,40671 Юпитер 2109 11 14,0 0,31448

Юпитер 1861 4 22,0 0,32307 Юпитер 2192 11 8,4 0,24126

Юпитер 1968 3 19,5 0,41515 Юпитер 2252 3 2,9 0,19546

Юпитер 1979 7 22,7 0,29849 Юпитер 2335 2 18,0 0,48324

Юпитер 2050 9 13,4 0,24805

P/Pons-W innecke

Планета Дата Расстояние Планета Дата Расстояние

Юпитер 1796 7 4,0 0,065721 Юпитер 2037 7 10,9 0,26754

Юпитер 1800 8 24,2 0,11280 Юпитер 2049 6 2,0 0,44162

Юпитер 1882 11 20,0 0,43783 Юпитер 2119 10 22,5 0,28025

Юпитер 1894 11 28,0 0,45409 Юпитер 2226 10 16,5 0,48677

Юпитер 1906 12 19,0 0,41635 Юпитер 2238 7 1,0 0,37963

Юпитер 1918 11 19,5 0,35751 Юпитер 2250 7 18,5 0,48759

Юпитер 1927 6 27,6 0,040875 Юпитер 2262 9 6,0 0,44379

Юпитер 1930 7 28,0 0,47187 Юпитер 2334 12 11,2 0,23656

P/Tuttle

Планета Дата Расстояние Планета Дата Расстояние

Земля 2212 12 25,0 0,083946

P/Tempel 1

Планета Дата Расстояние Планета Дата Расстояние

Юпитер 1787 3 9 12,0 0,34832 Юпитер 2119 11 29,0 0,49733

Юпитер 1870 2 2,5 0,35788 Марс 2183 10 18,6 0,01983

Юпитер 1941 10 13,0 0,41233 Юпитер 2214 5 10,0 0,46849

P/Tempel 2

Планета Дата Расстояние Планета Дата Расстояние

Марс 1804 3 4,5 0,082882

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Заусаев А. Ф. Теория движения n материальных тел, основанная на новом принципе взаимодействия // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2006. Вып. 43. С. 132-139.

2. Newhall X. X., Standish E. M., Williams Jr. and J.G. DE 102:A numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries // Astron. Astrophys., 1983. No. 125. P. 150-167.

3. Standish E.M. JPL Planetary and Lunar Ephemerides, DE405/LE405 // Jet Prop Lab Technical Report. IOM 312.F-048. 1998. P. 1-7.

4. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А. Каталог орбитальной эволюции короткопериодических комет с 1900 по 2100 гг. М.: Машиностроение - 1, 2005. 346 с.

5. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А, Ольхин А. Г. Численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны с учетом радиолокационных наблюдений // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2004. С.43-47.

6. EverhartE. Implist single methods for integrating orbits // Central Mechanics, 1974. Vol. 10. Р. 35-55.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (проект РНП.2.1.1.1689).

Поступила 6.09.2006 г.