CC BY
36
Небесная механика и астрометрия
УДК 523.642
А. А. Заусаев
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ СМЕЩЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ
НА РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ КОРОТКОПЕРИОДИЧЕСКИХ КОМЕТ
Рассматриваются проблемы устойчивости решения и вопросы влияния погрешностей начальных
данных на результаты расчетов эволюции орбит короткопериодических комет на интервалах
времени порядка 100 лет
При математическом моделировании эволюции орбит короткопериодических комет требуется проводить анализ адекватности модели по критериям устойчивости как применяемого численного метода, так и задачи Коши. При моделировании движения комет, имеющих очень тесные сближения с Юпитером, следует иметь ввиду, что задача Коши при расчете данных объектов может являться неустойчивой. Это связано с тем, что в отдельных случаях при сближениях с Юпитером происходит существенное изменение орбитальных элементов, поэтому численному интегрированию уравнений движения указанных объектов необходимо уделять особое внимание.
В данной работе используется модифицированная математическая модель движения больших планет, Луны, Солнца, короткопериодических комет с учетом гравитационных и релятивистских эффектов, а также разработанная нами модификация высокоточного метода решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе алгоритма Эверхарта с высоким порядком аппроксимирующих формул [1—3].
При решении уравнений движения короткопериодических комет в качестве начальных данных чаще принимаются элементы орбит этих объектов: Т — начальный момент времени; М — средняя аномалия (измеряется в градусах); параметры, характеризующие форму орбиты: д — перигелийное расстояние (в астрономических единицах), е — эксцентриситет; параметры, определяющие положение орбиты в пространстве: т — аргумент перигелия (в градусах), ^ — долгота восходящего узла (в градусах), / — наклонение (в градусах). Каждый из вышеуказанных элементов задан с определенной степенью точности.
Одной из основных задач при решении дифференциальных уравнений движения является задача оценки полной погрешности полученных результатов. Внесение погрешности начального смещения в исходные данные позволяет найти ответ на две основные проблемы: 1) исследование устойчивости решения; 2) проведение исследования влияния погрешностей начальных данных на результаты расчетов при численном интегрировании на интервалах времени порядка 100 лет.
Для проведения численного эксперимента нами были взяты короткопериодические кометы с номерами с 1 по 10 (по международной нумерации) вследствие того, что большинство данных комет имеют наибольшую историю наблюдений и элементы их орбит определены с высокой степенью точности.
На предварительном этапе нами было проведено исследование для каждого из 10 тестовых объектов с целью определения элемента орбиты, наиболее сильно влияющего на итоговый результат при незначительном изменении его начального значения. Для этого поочередно вносились возмущения в каждый из элементов орбит в последнем учитываемом разряде. Данный численный эксперимент показал, что наибольшее влияние на изменение итоговых результатов оказывают возмущения эксцентриситета.
Внося смещение в начальное значение эксцентриситета для каждой из 10 комет на величину +0,0000004, проведено совместное численное интегрирование уравнений движения больших планет, Луны, Солнца и комет в барицентрической системе координат от момента последнего прохождения кометы через перигелий до ближайшего к 1900 году момента, на который известны элементы орбит. Результаты данного численного эксперимента приведены в таблице.
В первой строке таблицы приводятся начальные данные [4] (без смещения эксцентриситета); во второй строке даны результаты численного интегрирования назад на основе несмещенных начальных данных; третья строка — абсолютная величина разности элементов орбит, вычисленных на основе начальных данных с возмущенным и невозмущенным эксцентриситетом; 168
четвертая строка — элементы орбит комет на конечный момент интегрирования из каталога Марсдена [4]; пятая строка — абсолютная величина разности элементов орбит, вычисленных на основе невозмущенных начальных данных с данными каталога Марсдена.
Элементы орбит 10 короткопериодических комет, их отклонения на интервалах времени порядка 100 лет
| T |M|q|e|p| о I Q I i
1 P/Halley
Начальные данные 1986 Фев 9,4589 0,587104 0,967277 76,000 111,8657 58,8601 162,2422
Результаты (несмещ.) 1910 Апр 20,1785 359,99681 0,587208 0,967300 76,097 111,7366 58,5622 162,2188
Отклонение (смещ.) 0,00657 0,000002 0,000000 0,000 0,0001 0,0001 0,0000
Каталог Марсдена 0,587208 0,967302 76,100 111,7371 58,5629 162,2186
Сравнен. (кат. Марсд.) 0,00319 0,000000 0,000002 0,003 0,0005 0,0007 0,0002
2 P/Encke
Начальные данные 1997 Май 23,5967 0,331395 0,850014 3,280 186,2720 334,7215 11,9296
Результаты (несмещ.) 1901 Сент 15,9651 358,51475 0,341175 0,846149 3,302 183,9926 336,1892 12,9074
Отклонение (смещ.) 0,01564 0,000005 0,000002 0,000 0,0001 0,0000 0,0000
Каталог Марсдена 0,341678 0,846014 3,310 183,9715 336,2015 12,9049
Сравнен. (кат. Марсд.) 1,48525 0,000503 0,000135 0,008 0,0211 0,0123 0,0025
3 D/Biela
Начальные данные 1852 Сент 24.2212 0,860625 0,755879 6,620 223,1912 248,0043 12,5500
Результаты (несмещ.) 1772 Февр 17,675 0,25075 0,990190 0,725997 6,870 213,1848 261,0114 17,1777
Отклонение (смещ.) 0,02554 0,000024 0,000004 0,000 0,0014 0,0011 0,0015
Каталог Марсдена 0,990380 0,725880 6,870 213,3400 260,9420 17,0540
Сравнен. (кат. Марсд.) 0,25075 0,000190 0,000117 0,000 0,1552 0,0694 0,1237
4 P/Faye
Начальные данные 1999 Май 6,1135 1,656998 0,568258 7,520 204,9748 199,339 9,0488
Результаты (несмещ.) 1896 Март 19.5194 0,07581 1,736977 0,548956 7,557 201,2342 211,2348 11,3187
Отклонение (смещ.) 0,00117 0,000003 0,000001 0,000 0,0001 0,0002 0,0000
Каталог Марсдена 1,736934 0,548973 7,560 201,2488 211,2414 11,3160
Сравнен. (кат. Марсд.) 0,07581 0,000043 0,000017 0,003 0,0146 0,0066 0,0027
5 D/Brorsen
Начальные данные 1879 Март 31.0341 0,589847 0,809796 5,460 14,9468 102,9676 29,3821
Результаты (несмещ.) 1846 Февр 25.8685 359,25867 0,650448 0,792917 5,567 13,7978 104,8189 30,9220
Отклонение (смещ.) 0,00619 0,000002 0,000001 0,000 0,0000 0,0001 0,0001
Каталог Марсдена 0,650123 0,793070 5,570 13,8141 104,8124 30,9143
Сравнен. (кат. Марсд.) 0,74133 0,000325 0,000153 0,003 0,0163 0,0065 0,0077
6 P/D'Arrest
Начальные данные 2002 Февр 3,5918 1,352768 0,612809 6,530 178,1117 138,9440 19,4973
Результаты (несмещ.) 1897 Май 23.8350 0,22585 1,325294 0,627051 6,699 172,9123 147,8109 15,6556
Отклонение (смещ.) 0,00581 0,000018 0,000002 0,000 0,0030 0,0013 0,0007
Каталог Марсдена 1,325977 0,626601 6,690 173,0235 147,7967 15,6986
Сравнен. (кат. Марсд.) 0,22585 0,000683 0,000450 0,009 0,1112 0,0142 0,0430
7 P/Pons-Winnecke
Начальные данные 1996 Янв 2,453 1,255892 0,634424 6,370 172,3127 93,4281 22,3015
Результаты (несмещ.) 1898 Март 20.8686 359,95473 0,923727 0,714833 5,830 173,4121 102,2361 16,9966
Отклонение (смещ.) 0,00971 0,000010 0,000002 0,000 0,0020 0,0004 0,0007
Каталог Марсдена 0,923817 0,714814 5,830 173,4072 102,2358 16,9910
Сравнен. (кат. Марсд.) 0,04527 0,000090 0,000019 0,000 0,0049 0,0003 0,0056
8 P/Tuttle
Начальные данные 1994 Июнь 25,2907 0,997732 0,824089 13,500 206,7030 270,5485 54,6923
Результаты (несмещ.) 1899 Май 4.5531 0,13777 1,014296 0,822220 13,628 206,6423 271,2442 54,4872
Отклонение (смещ.) 0,00724 0,000023 0,000002 0,000 0,0007 0,0000 0,0001
Каталог Марсдена 1,013808 0,822255 13,600 206,6276 271,2447 54,4891
Сравнен. (кат. Марсд.) 0,13777 0,000488 0,000035 0,028 0,0147 0,0005 0,0019
T M q e P w Q i
9 P/T empel 1
Начальные данные 2000 Янв 2,6165 1,500047 0,518953 5,510 178,9110 68,9665 10,5413
Результаты (несмещ.) 1879 Май 7.6034 359,96885 1,772285 0,462245 5,983 159,6127 80,3329 9,7746
Отклонение (смещ.) 0,01280 0,000877 0,000246 0,000 0,0153 0,0134 0,0029
Каталог Марсдена 1,771126 0,462546 5,980 159,5782 80,3642 9,7675
Сравнен. (кат. Марсд.) 0,03115 0,001159 0,000302 0,003 0,0345 0,0313 0,0071
10 P/Tempel 2
Начальные данные 1999 Сент 8,4206 1,481680 0,522817 5,470 195,0229 118,2114 11,9766
Результаты (несмещ.) 1899 Июль 29.0363 0,03579 1,388565 0,542102 5,281 185,6533 122,3261 12,6407
Отклонение (смещ.) 0,01351 0,000018 0,000005 0,000 0,0002 0,0000 0,0000
Каталог Марсдена 1,388620 0,542082 5,280 185,6557 122,3254 12,6403
Сравнен. (кат. Марсд.) 0,03579 0,000055 0,000020 0,001 0,0024 0,0007 0,0004
Из анализа отклонений в элементах орбит, вычисленных на основе возмущенных и невозмущенных начальных данных, можно сделать вывод, что, по-видимому, за наибольшие отклонения у ряда комет ответственны тесные сближения с Юпитером и малые наклонения орбиты к плоскости эклиптики.
Как видно из таблицы, наибольшее различие результатов, полученных при вычислении на основе невозмущенных начальных данных с данными каталога Марсдена, наблюдается в средней аномалии. Следует отметить, что наблюдается прямая зависимость отличий в средней аномалии с периодом обращения кометы и величиной перигелийного расстояния. Так, у кометы 2 P/Encke, обладающей наименьшим периодом из всех короткопериодических комет (3,28 лет), отклонение в средней аномалии достигает 1,48525 градуса. Это, в первую очередь, связано с тем, что данная комета имеет частые сближения с Солнцем, поэтому при исследовании ее движения наряду с гравитационными и релятивистскими силами, необходимо учитывать негравитационные эффекты (изменение массы, реактивные силы и пр.). Расхождения по другим элементам орбит не являются существенными. Кроме того, полученные невязки можно объяснить применением различных систем элементов и масс больших планет, используемых нами и рядом исследователей, на основе которых создавался каталог Марсдена.
Таким образом, на основании проведенных исследований можно сделать следующие выводы. Возмущения в начальных данных элементов орбит комет не приводят к существенным отклонениям в результатах, что говорит о том, что задача устойчива к погрешностям малых смещений начальных данных. Однако изменение эксцентриситета на величину, выходящую за пределы точности начальных данных, влечет за собой изменения в элементах орбит, достигающих 55 секунд (у кометы 9 P/Tempel 1), что говорит о необходимости улучшения методов наблюдений и получения начальных данных с большей точностью, чем они имеются в настоящее время.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Заусаев А. А. Разработка каталога короткопериодических комет на интервале времени 1900—2100 годы // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2005. Вып. 34. С.40-46.
2. Заусаев А. Ф., Заусаев А. А., Ольхин А. Г. Оценка точности метода Эверхарта при решении уравнений движения больших планет на интервале времени 10 000 лет // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки, 2004. Вып. 30. С. 108-113.
3. EverhartE. Implicit single methods for integrating orbits // Celestial mechanics, 1974. No. 10. Р. 35-55.
4. Marsden B., Williams G. V. Catalogue of ^metary Orbits 1999. 13th ed. Central Bureau for Astronomical Telegrams and Minor Planet Center, 1999.
Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по образованию (проект РНП.2.1.1.1689).
Поступила 11.09.2006 г.
