10МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ
УДК330.42; 51-77
DOI: 10.35330/1991-6639-2020-1-93-35-45
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ В МОНЕТАРНОЙ ЭКОНОМИКЕ МЕТОДОМ ПОГРУЖЕНИЯ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС
Х.Х. КАЛАЖОКОВ, Ф.Х. УВИЖЕВА
Институт информатики и проблем регионального управления -филиал ФГБНУ «Федеральный научный центр «Кабардино-Балкарский научный центр Российской академии наук» 360000, КБР, г. Нальчик, ул. И. Арманд, 37-а E-mail: iipru@rambler.ru
Работа посвящена решению различных модельных задач исследования неравновесных процессов в монетарной экономике методом погружения в дифференциальный процесс как эффективного инструмента теоретической и практической экономики. Постановка задачи с начальными данными для исследования неравновесных процессов в монетарной экономике осуществлена в рамках базовой модели Фридмена и Фишера и уравнений для зависимости цены от времени. Предложены различные варианты метода погружения в дифференциальный процесс в зависимости от величины значения параметров адаптации: регулярный процесс, сингулярный (тихоновский) процесс, сингулярный процесс смешанного типа и метод погружения в дробный дифференциальный процесс. После приведения задачи к безразмерным параметрам получена нелинейная задача с начальными данными для системы уравнений в частных производных гиперболического типа. Рассмотрены сингулярная модельная задача, стационарная модельная задача, модельная задача для уравнений в частных производных первого порядка, а также безразмерные системы уравнения монетарной экономики с учетом нелинейной динамики для цены. Предложенные постановки задач после погружения в дифференциальный процесс решаются стандартными методами вычислительной математики. Доказана единственность решения модельной задачи, описывающей свободные колебательные процессы в неравновесной системе с использованием специальной «потенциальной» функции.
Ключевые слова: неравновесный процесс, монетарная экономика, метод погружения в дифференциальный процесс, метод инвариантного погружения, регулярный процесс, сингулярный процесс, дробный неравновесный процесс.
Согласно современным представлениям экономико-математические модели наряду с информационными и экспертно-логическими системами являются эффективным инструментом теоретической и практической экономики [1]. Сфера экономико-математических исследований в настоящее время относится к фундаментальным основам экономических исследований, и ее развитие является необходимой предпосылкой развития экономической науки в целом. Таким образом, необходимость построения и применения математических моделей для решения задач анализа, синтеза, прогнозирования и получения новой информации относительно экономических процессов на базе учета взаимосвязи основных компонентов функционирования экономики вида «экономическая теория -экономическая политика - хозяйственная практика» стимулирует исследования, направленные на развитие экономико-математического инструментария. В результате в развитии теории математического моделирования экономических процессов наметились два основных направления.
К первому направлению отнесем экономико-математические модели, которые разработаны на основе предположения, что в экономике между спросом и предложением возникает равновесие за конечное время, то есть базируется на балансовом соотношении в экономике.
Второе направление составляют экономико-математические модели, которые базируются на предположении, что в экономике между спросом и предложением не возникает равновесное состояние за конечное время, и исследуют неравновесные экономические процессы [2-8]. Экономико-математические модели неравновесных процессов в экономике рассматривались в работах Гранберга (1985), Солоу (1988), Накорякова, Гасенко (2002, 2004), Tobin (1965), Занга (1999), Лебедева (1997).
Одной из наиболее актуальных и нерешенных проблем для экономики развивающихся стран является разработка такой валютно-денежной политики, которая обеспечивала бы возможности для экономического роста страны, стимулируя экономический рост и минимизируя инфляцию.
Существующие на сегодняшний день модели малоприменимы [9], так как зависимость ВВП от капитала даже для стран с развитой рыночной экономикой постоянно сокращается. Для развивающихся стран с небольшим объемом инвестиций данный подход тем более неприемлем.
Поэтому актуальным остается один из важнейших принципов монетаризма: инфляция не может продолжаться бесконечно без увеличения денежной массы, и ее регулирование -главная, хотя и не единственная функция центрального банка.
Известно, что в состоянии стабильного равновесия экономические системы бывают крайне редко, а динамика экономики стран часто рассматривается как движение от одного неравновесного состояния к другому. Достаточно разработанными собственными теоретическими приемами изучения неравновесных процессов наука, по сведениям авторов, не располагает. Это связано с тем, что существующие модели не дают качественного представления о происходящих в динамике процессах. То есть модели дают лишь возможность получать сухие числовые характеристики, а не описывают качественные показатели этих характеристик, например, такие как частота или амплитуда их колебаний, асимптоты, к которым они стремятся, и скорость затухания колебаний этих характеристик. Такие качественные показатели могут существенно расширить интерпретацию результатов экономических моделей монетарной экономики. Целью данного исследования является продвижение в направлении совершенствования данного методического аппарата.
В настоящей работе рассматриваются вопросы исследования неравновесных процессов в монетарной экономике методом погружения в дифференциальные процессы. Основная идея метода погружения связана с причинностью погружаемых уравнений по варьируемому параметру, когда решение исследуемой задачи определяется только исходя из предыдущих значений параметра уравнений и независимо от последующих. Этот метод позволяет свести краевую задачу к задаче с начальными данными, которая и обладает свойством динамической причинности и более удобна для численного решения и дальнейшего качественного анализа.
1. Постановка задачи
Рассмотрим задачу исследования неравновесных процессов в монетарной экономике с помощью базовой модели Фридмена и Фишера, а также уравнение для зависимости цены от времени.
В области t0 < t < Т евклидовой прямой независимой переменной t рассмотрим математическую постановку задачи в виде [10]:
^ _
= т&(0, (1)
р _
^2(0=^2(0 , (2)
dp dt
у(щ - щ),
RMt)], rF[<b(t)] + (1- r)F[<b(t - 1)], Аехр{г(щ — щ)},
где
Ф = г(й2-щ) , Я(Ф) = аФ(1-Ф), (4)
Р(Ф) = АФехр (-Ф) , p(to) = ро.
Третье уравнение в (3) записано для дискретного времени t = 1,2,3,...
В задаче (1) - (4) использованы следующие обозначения:
щ и и2 - реальные величины предложения товаров и услуг потребления соответственно;
Q1 и Q2 - номинальные денежные массы;
v - скорость обращения денег;
р - цены товаров;
у, г, А, а - заданные параметры.
Задача (1) - (3) представляет собой систему дифференциальных уравнений макроэкономики в частных производных гиперболического типа для совокупного потребления и предложения, являющихся функциями двух независимых переменных -времени и индекса цен. Здесь экономика стремится к равновесному состоянию в сферах предложения и потребления, но не достигает его.
Заметим, что для описания зависимости цены от времени t используются четыре варианта уравнений (3): линейное уравнение Вальраса и три варианта нелинейных уравнений для зависимости цены от времени.
Таким образом, для рассматриваемой задачи монетарной экономики получена задача с начальными данными (1) - (4), которая анализируется известными стандартными численными методами вычислительной математики.
2. Преобразование основных уравнений монетарной экономики
методом погружения в дифференциальный процесс
Рассмотрим различные варианты процессов монетарной экономики от простых к более сложным. Предполагая, что при средней цене р на рынке равновесие между спросом и предложением денежной массы отсутствует, погрузим соотношения (1) и (2) в дифференциальный процесс [10-14]. Тогда для исследования динамики взаимодействия между спросом и предложением (например, в случае нестационарных процессов в экономике) получим следующие дифференциальные уравнения в частных производных:
^f = a(lQi(t)-Uim (5)
^ = K^Q2(t)-U2(t)), (6)
где а, р = const - параметры адаптации.
Рассмотрим теперь различные варианты метода погружения в дифференциальный процесс в зависимости от величины значения параметров (а, (3).
1. Если параметры (а, Р) - малые величины, то динамический процесс (5) - (6) представляет собой регулярный процесс [15, гл. IV, с. 226-291; 16].
11
2. Если же параметры (а, Р) - большие величины, тогда малые параметры (=,jj) стоят
при старшей производной и дифференциальный процесс представляет собой сингулярный (тихоновский) процесс [15, гл. V, с. 292-346; 17; 18].
3. Если же параметры (а, Р) существенно отличаются по величине, то есть, например,
а << р, то дифференциальный процесс представляет сингулярный процесс смешанного
1
типа с малыми параметрами а и =
4. Если дифференциальный процесс рассматривается с учетом процесса зависимости от предыстории или в средах с фрактальной структурой (где расстояние между двумя соседними элементами (парой точек) определяется в смысле Хевисайда), то в левых частях (5) и (6) используются производные дробного порядка, то есть
о ___ у ---
= (7)
(8)
где 8 - порядок дробных производных [19], то есть в этом случае применяем метод погружения в дробный дифференциальный процесс, что даст возможность перейти от системы уравнений с дробными производными к системе уравнений с частными производными.
3. Преобразование основной задачи монетарной экономики
к безразмерным величинам Преобразование основной задачи к безразмерным величинам применимо тогда, когда известно математическое описание процесса. Разделив все независимые и зависимые переменные на некоторые их характерные значения (масштабы), осуществляем переход к безразмерным величинам. В результате математическое описание процесса приводится к безразмерному виду. При этом масштабы, а также физические константы, входящие в задачу, объединяются в безразмерные комплексы.
Для простоты дальнейших рассуждений приведем задачу (5), (6), (3) и (4) к безразмерному виду, используя характерные величины зависимых и независимых переменных. Заметим, что в соотношении (3) в рассматриваемой задаче используется первый вариант, то есть уравнение Вальраса для цены. Вводим безразмерные величины по формулам:
щ = имщ, й2 = имщ, Р = Рмр, I = тмг, Тм = (9)
уим
где им, Рм, Тм - масштабные (характерные) значения соответствующих величин (например, их математические ожидания). После перехода к безразмерным величинам по формулам (9) с учетом полной формулы производной функций щ и и2 двух переменных I ир задача (3) - (6) примет вид:
Задача 1. Система уравнений вида
-£ + (и2-щ-)-^ = сс(^-и1) , (10)
^С^)^^), (11)
др
— = и2-Щ . (12)
Начальные условия:
Щ^о) = ; щ(1о) = и0; Р^) = Ро. (13)
Здесь и1 = щ^.р), и2 = и2(1,р) - функции двух переменных.
В безразмерной задаче (10) - (13) использованы следующие обозначения:
Ql =; Q2 =J*!.; „ = ЕЕК
^ рмим' рмим' уим 7Um
где а и р - безразмерные параметры задачи (10) - (13).
Таким образом, задача (10) - (13) представляет собой нелинейную задачу с начальными данными для системы уравнений в частных производных гиперболического типа с параметрами а и р.
4. Некоторые постановки задач монетарной экономики 4.1. Сингулярная модельная задача Рассмотрим модельные задачи, которые получаются из общей задачи (10)-(13) при различных упрощающих предположениях.
Предположим, что цена товараp в рассматриваемом монетарном процессе экономики не
меняется, то есть p=const. В этом случае при условии, что и2 — и1 ^ 0, из уравнения dp
Вальраса (— = у(й2 — й1)) следует, что f ^ 0, и, следовательно, для неравновесных
процессов имеем а ^ ю и р ^ ю. В этом случае неравновесный процесс описывается модельной задачей с начальными данными для системы сингулярных обыкновенных дифференциальных уравнений вида
--1 = ч1-щ, (14)
a dt р 1 '
-=--и2, (15)
Р dt р 2' v '
^1(to) = U°, U2(to) = U°, (16)
где p = const - заданное число.
1 1
В задаче (14) - (16) малые параметры - и — состоят при старшей производной и
описывают сингулярный (тихоновский) процесс (спонтанные, самоорганизующиеся социальные процессы, «системы с управлением», а также используемые и потенциально эффективные технологии управления).
Основные трудности, возникающие при численном решении задач с начальными данными указанного типа, - наличие внутренних колебательных процессов, нелинейных процессов разных масштабов, внутренних пограничных слоев и т.д., значительно влияющих на устойчивость системы
Заметим, что для сингулярно-возмущенных задач с начальными данными предложен метод асимптотического анализа решения в классической работе А.Н. Тихонова [17]. Технические вопросы построения приближенных решений тихоновских задач с начальными данными известны и рассмотрены в работах [16, 20].
4.2. Стационарная модельная задача
Стационарный вариант общей задачи для неравновесных процессов (10) - (13) после простых преобразований (деление (10) на (11)) на основе упрощающих предположений примет вид:
| ди1 dt ^и2-и1 ди1 dp _ a Q1-u1p р .
dt ди2 и2-и1 др ди2 fi р Q2-u2p
йил _ а Q1-pu1
йи2 2^ Q2-pu2,
~^ = и2—и1 (и1 ^ Щ)'; (17)
^(0) = и0, щ(0) = и°; р(г Ф0) = Ро,
где & -ри2±0;Р± 0.
Задача (17) эквивалентна задаче с начальными данными для системы трех ОДУ:
йи2 _
-[2 = Q2-PU2; (18)
йр
Тг=и2-и1; щ(0) = и°; щ(0) = и2 ;Р(0) = Ро.
Задачи (17) и (18) легко решаются численно стандартными методами, например, методом Рунге-Кутта.
4.3. Модельная задача для уравнений в частных производных первого порядка Вычтем теперь из первого уравнения (10) второе уравнение (11) и проведем некоторые преобразования полученных результатов на основе упрощающих предположений относительно параметров ( а = задачи:
ды ды а , л
---ю— = - (Ол — 02) — аю.
дг др р^1 4:27
Получим следующую модельную задачу для уравнений в частных производных первого порядка, описывающую приближенно динамику неравновесных процессов:
ды ды , аО п , ч
(19)
ю(0) = юо(р);
где w = Ul—U2,Q = Ql — Q2,a=P,P^0.
Заметим, что задача (19) методом характеристик эквивалентно преобразуется к задаче с начальными данными для системы двух уравнений ОДУ:
йы аО ,
- = аю — -; (р*0); йр
Тг=и2—и1 = —™;
где (} = д1 + Q2.
™(0) = юо, р(0) = Ро,
4.4. О преобразовании основных уравнений монетарной экономики с помощью «потенциальной» функции
Предположим, что функции и1 и и2 обладают свойством, что существует функция <^,р), обладающая свойством
д(р д(р , ч и1 =-г~, и2=~г. (20)
1 дЬ' 2 др
Равенство (20) означает существование аналога потенциальной функции. В терминах потенциальной функции уравнения (10) и (11) принимают вид:
д2ю , д(р aQ1 , , ч д2ю
дЬ2 дг р к 1 2 дрде
д2<Р , о д<Р _ №2 , ( л д2<Р
Исключая из системы уравнений , получим:
д2<р д<р д2(р д<р 8(22 ,
-ТТТ + (и1- и2)^т- + 8(и1 -и2)—--+ (и1 - и2)-+
дг2 дг 1 2 дгдр г др р р
+(и1-и2)ддр+(и1-и2)2дд£, д^-(и1-и2)2д^^ + ад-^ + 8(и1-и2)д-^-а^+(и1-и2)^2.
Таким образом, система уравнений (10) и (11) монетарной экономики преобразована в одно уравнение в частных производных гиперболического типа на плоскости (, р). Это уравнение может служить эффективным средством получения качественных выводов по монетарной экономике и корректной постановки различных задач экономики.
Если переписать старшие производные уравнения (20) в виде уравнения в частных производных второго порядка гиперболического типа, то получим:
д2Ф л.. ^ д2Ф
или
де-Оь-иУ2^-0, (20
которое описывает свободные колебательные процессы в неравновесной системе. Общий интеграл уравнения (21) по формуле Даламбера имеет вид:
<Р^,р) -+ М) + 2(р - М), (22)
где а2 — (и1 - и2)2 Ф 0, ^ (1 — 1,2) - дважды дифференцируемые функции. Пусть начальные условия задачи для уравнения (21) имеют вид:
<(0,р) - <о(р), <рЛ0,р) - фо(Р). (23)
Из равенств (22) и (23) находим общее решение задачи (21) и (23) по Даламберу:
<а,р) - «°(р+М}+/°(р-а» + 1Х*фоШг, (24)
где ъ - переменная интегрирования.
Таким образом, в предположении существования решения задачи (21) и (23) нашли решение этой задачи в форме (24). Эта формула доказывает единственность решения. Следовательно, формула (24) играет большую роль для качественной формулировки различных задач монетарной экономики, так как дает представление о колебательных процессах в монетарной экономике.
5. Безразмерные системы уравнения монетарной экономики
с учетом нелинейной динамики для цены
Рассмотрим уравнения монетарной экономики в безразмерных величинах, когда динамика цены товаров описывается четвертым вариантом формулы (3), то есть нелинейным уравнением. Тогда основная задача с начальными данными экономики принимает вид:
Задача 2. Система уравнений:
дг \м) др ур
дЩ + (йР\ди1= 02 —
дг \м) др нур 2У' ^ = ехр{г(щ — щ)},
где А — = 1,г = гим - дополнительные безразмерные величины задачи 2.
РМ
Начальные условия:
щ(^) = и0°, щ(^) = и°, Р(^) = Ро.
Постановка задачи 2 представляет собой задачу с начальными данными для гиперболической системы дифференциальных уравнений в частных производных на плоскости p), решение которой также возможно известными вычислительными методами.
Заключение
Как видно, метод дифференциального погружения в принципе отличается от стандартного подхода по нахождению частных решений дифференциальных уравнений. Такой процесс преобразований позволяет установить связь решений близких задач и таким образом качественнее изучать исследуемые процессы, являясь эффективным инструментом численного анализа исследуемых процессов. В работе предложен довольно оригинальный способ применения метода погружения в дифференциальный процесс для изучения неравновесных процессов монетарной экономики. Представлены различные постановки задач монетарной экономики и показано, как, используя метод дифференциального погружения, можно преобразовать их в задачи с начальными данными, что существенно облегчает идентификацию асимптотики решений задач исследования неравновесных процессов в контексте анализа экономико-математических моделей на их основе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Клейнер Г.В. Экономико-математическое моделирование и экономическая теория // Экономика и математические методы. 2001. Том 37. №3. С. 111-126.
2. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика. 1985. 240 с.
3. Solow R. Growth Theory and After The American Economic Review. Vol. 78. 1988. Pp. 307-317.
4. Накоряков В.Е., Гасенко В.Г. Математическая модель плановой макроэкономики // Экономика и математические методы. 2002. Т. 38. № 2. С. 1-13.
5. Накоряков В.Е., Гасенко В.Г. Кинетическая модель инфляции // Экономика и математические методы. 2004. Т. 40. № 1. C. 129-134.
6. Занг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир. 1999. 335 с.
7. Тобин В.Н. Комплекс макроэкономических моделей инфляции // Экономика и математические методы. 2001. Т. 37. № 3. C. 15-29.
8. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: Изограф. 1997. 224 С.
9. Малков С.Ю., Давыдова О.И., Билюга С.Э. Макроэкономическая производственная функция: эмпирический межстрановый анализ. Анализ и моделирование мировой и страновой динамики: экономические и политические процессы. 2016. С. 7-26.
10. Накоряков В.Е., Гасенко В.Г. Уравнения макроэкономики в частных производных // Экономика и математические методы. 2008. Т. 44. № 3. С. 79-91.
11. Friedman M., Schwartz A.J. A Monetary History of the United States 1867-1960. N. Y.: 1963. Princeton University Press. 888 p.
12. Friedman M., Schwartz A.J. Monetary Trends in the United States and the United Kingdom: Their Relation to Income, Prices and Interest Rates. 1876-1975. Chicago: 1982. University of Chicago Press. Pp. 3-12.
13. Dornbusch R., Fisher S. Stopping Hyperinflations: Past and Present. 1986. Weltwirtschaftliches Archive. Vol. 122. April. Pp. 1-47.
14. Мэнкью Н.Г. Макроэкономика. М.: Издательство МГУ, 1994. 736 с.
15. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1981. 488 с.
16. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Издание 2-е. М., 1950. 434 с.
17. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Математический сборник. 1952. 31 (73). С. 575-586.
18. Васильева А.Б., Бутузов Н.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973. 172 с.
19. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
20. Кащенко С. А. Асимптотические законы распределений собственных значений периодической и антипериодической краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка // Моделирование и анализ информационных систем. 2017. 24(1). С. 13-
