CC BY
49
УДК 681.311
И. В. Бойков, Н. П. Кривулин
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЭРЕДИТАРНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Аннотация. Предложен метод идентификации параметров динамических систем, функционирование которых моделируется дифференциальными уравнениями с частными производными дробного порядка по временной и пространственной переменным Adaotu (t, x) = Bd^oxu (t, x) + g (t, x), c начальными da-ku (0, x) = ak (x), k = 1,2,..., m = [a]+1, и краевыми условиями
dP-ku(t,0) = bk (t), k = 1,2,..., n = [P] +1. Для определения параметров A, B, a, p
к исходной задаче применяется интегральное преобразование Лапласа и искомые параметры определяются методом наименьших квадратов в спектральной области. Предложенный метод применим к дифференциальным уравнениям в частных производных целого порядка, в частности, к эллиптическим, гиперболическим и параболическим уравнениям. Приведены модельные примеры, иллюстрирующие высокую эффективность метода. Предложен метод идентификации параметров динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными дробных порядков. Предложенный метод может быть использован в различных предметных областях: информационно-измерительной технике, теплопроводности, химии, астрофизике и т.д.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения с частными производными дробного порядка, эредитарные системы, распределенные системы, параметрическая идентификация, идентификация параметров.
I. V. Boykov, N. P. Krivulin
PARAMETRIC IDENTIFICATION OF HEREDITARY SYSTEMS WITH DISTRIBUTED PARAMETERS
Abstract. The authors suggest a method of parameters identification for dynamic systems, the functioning of which is simulated by the differential equations with fraction order partial derivatives with temporary and spatial variables Ad<atu(t,x) = Bdoxu(t,x) + g(t,x), with entry dat ku(0,x) = ak(x), k = 1,2,..., m = [a] +1, and boundary conditions de-ku(t,0) = bk (t), k = 1,2,..., n = [P] +1. To determine A, B, a, p parameters to the initial problem the authors use the Laplace integral transformation and the sought parameters are determined by the least square method in the spectral domain. The suggested method may be applied to differential equations in partial derivatives of integral order, in particular, to elliptical, hyperbolic and parabolic equations. The article adduces model examples demonstrating high efficiency of the method. The researchers suggest a method of parameter identification for dynamic systems, described by differential equations with partial derivatives of fraction orders. The suggested method may be applied in various universes of discourse: information measuring technology, thermal conductivity, chemistry, astrophysics etc.
Key words: differential equations with partial derivatives of fraction order, heredi-tiary systems, distributed systems, parametric identification, parameter identification.
При исследовании многих динамических систем возникает задача учета последействий, когда система описывается не только мгновенными значениями ее составляющих, но и состоянием системы в предшествующие промежутки времени.
Подобные последействия в последнее время активно исследуются в различных разделах техники, физики, экологии и биологии и получили общее название эредитарности. Учет эредитарности позволяет выявить многие ранее неизвестные свойства динамических систем, а современное состояние вычислительной техники и численных методов позволяет их успешно моделировать. Этими обстоятельствами объясняется активное развитие теории эредитарных процессов в настоящее время. Подробное изложение теории и основные приложения эредитарных процессов содержатся в книгах [1-3].
В большинстве случаев эредитарные процессы описываются дифференциальными уравнениями с дробными производными. Помимо указанных выше книг, имеется большое число публикаций, в которых решается прямая задача - исследование динамического процесса при известных параметрах. Авторам неизвестны работы, в которых исследуется идентификация систем, описываемых уравнениями в частных производных дробных порядков. Этому вопросу посвящена данная работа. Отметим, что идентификация систем, описываемых дифференциальными уравнениями с производными целого порядка, рассматривалась в работах [4-6].
В статье рассматриваются динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями в частных производных дробного порядка
Aд > (?, х) = BдOxu(t, x) + g 0, x), (1)
с начальными
д^^пф,x) = ak(x), k = 1,2,...,m = [а] +1, (2)
и краевыми условиями
дОД а ,0) = bk (0, k = 1,2,..., п = [а] +1. (3)
Напомним определение производных дробного порядка [2]:
/ ч 1 дп [ у(т, х)
дшу^, х) =-------------I---------- й т, п = [а] +1.
' Г(п-а) дtn о (t-т)а-п+1
Постановка задачи. Требуется, зная входной сигнал g ^, х), выходной сигнал п(t, х) для системы (1) с начальными и краевыми условиями (2), (3), найти ее параметры А, В, а, в .
Решение поставленной задачи основано на применении метода наименьших квадратов для минимизации функционалов от полиномов с неизвестными коэффициентами и дробными показателями в спектральной области.
Отметим, что преобразование Лапласа для производной дробного порядка имеет следующий вид [6]:
L
Daty(t)] = PaY(Р) - ЁbjPj-1, j=1
где У(р) = | у^)в р1йр - преобразование Лапласа функции у^), которое
о
определено в области Яе р >с, в которой функция У(р) является аналитической; Ъ]- = 1 У, 1 = 1,2,.., п; п = [а] +1 - значения производных соответ-
ствующего порядка функции у ^) при t = 0.
Применив преобразование Лапласа к уравнению (1) с начальными и краевыми условиями (2), (3) по переменным t, х, в предположении, что и(р1,Р2) Ф 0, получим
Ар1а- Врв =
A (pf ( (p2 ) +... + am (p2 ))-B (p2 1b1 (p1) + ... + bn (p1)) G [p>i,p2)
. (4)
U{php2) U(php2)
Рассмотрим область D = [a, b]x[c,d], где сегмент [a, b] расположен в области [с, +го], c = max(1,С2), а сегмент [c,d] расположен в области [с', +^], c' = max (с '1, с \) и удовлетворяют условиям
G(р>1, р2) - аналитическая функция при Яе р1 > С1, Яе р2 > с 1; и(р1, р2) - аналитическая функция при Яе р > С1, Яе р2 >с > ; и (р-1, р2) Ф 0 при Яе р1 е [а, Ъ ],Яе р2 е [с, й ].
Введем сетку узлов (, т 1) е В:
Ъ - а
ti = а +----1, 1 = 1,2,..., М,
(5)
M
d - c т ,■ = c +-
j N
(6)
j, j = 1,2,...,N.
В области D для выражения (4) введем функционал
M M
Фр1, B1, a1, Р1 ) = ЁЁ
i=1 j=1
A,f“ ■
{| A1 fm *ai (T f ) +. . + am (T j ))-B1 ( lb1 fi )+ ". + bn (ti )) G (, Tj)
Параметры Л^, Б\, а^, Р1 находятся методом наименьших квадратов из условия минимума функционала
Ф(ЛЬ Бь а1, Р1) шт.
Из необходимого условия минимума функционала имеем систему
М N ММ
Л1 ЕЕ'*2 (. т у)- Б1 ЕЕф2 (. т}) Ф1 (. т})-
г=1 у =1 г=1 } =1
м N а ( т .)
-Е *1 ('<. ту )=0.
г=11=1и А/.т у)
ММ ММ
Л1 ЕЕ*1 (.тУ )'*2 (.ту ) - Б1 ЕЕ*2 (.ту ) -
г =1 у =1 г=1 у =1
М N а (и т .)
-Е ^^7-4 *2 (. т у ) = 0.
,=1,=1и (.т у)
ММ ММ
Ai ZZфl P.Т j ) ln (ti)-Bi ZZ92 р. ті )ln (ti )-
i=1 J =1 i=1 j=1
M N G (t, Т )
-Z Z 77(^4 t“‘ ln A, ) = 0.
i=ij=iU (t<.Т і )
M N R M N R
Ai ZZфl (ti.Т j t1 ln (ti)- Bi ZZ*2 (ti. ті t1 ln (ti )-
i=1 J =1 i=1 J =1
M N G P, Т .■ ) R
-ZZttA-^^ tf1 ln (т, t = 0. i=1 j=1U p.Т і )
/ \ а ^ а (т) +... + ат (т) , ч в т Ь () +... + Ьп 7)
где *1(,х) = Л--1У(.т) И ’. *2(.т) = *-------------Ь1 У(,.т) ”1) ■
Решая данную систему относительно неизвестных Л1. Б^ а1. Р1 получим приближенные значения искомых параметров Л. Б. а. р.
Предложенный метод применим и к дифференциальным уравнениям в частных производных целого порядка. причем метод применим к эллиптическим. гиперболическим и параболическим уравнениям.
1. Параболические уравнения
Рассмотрим параболическое уравнение
,.n-1>
д д 2
a—u (t, x) = b——u(t, x) + g (t, x) dt dx2
(7)
с начальными
и(0, х) = а^( х) (8)
и краевыми условиями
и (7,0) = ^(7), Ых (7,0) = ^(7). (9)
Требуется, зная входной сигнал g (7, х), выходной сигнал и ( 7, х) для си-
стемы (7) с начальными и краевыми условиями (8), (9), найти ее параметры
а, Ь . Из условия параболичности следует а > 0, Ь > 0.
Применив преобразование Лапласа по переменным 7, х для уравнения (7) с начальными и краевыми условиями (8), (9), получим
Ъ 2 = аа1 (Р2 )- Ь ( (Р) + Ь2 (Р)) + ^((ЪР2 ) (10)
2 и((ЬР2 ) и{РЪР2 )
В области В, удовлетворяющей условиям (5), на сетке узлов (6) (, ту )е В для выражения (10) определим функционал
Ф(А, B ) = ZZ
i=1 j=1
MM ' A, B T2 Aa1 (Tj )-B( (i) + '*2 ('i)) 0('• Tj)'2
Ati - B1T j
j
U ('i • Tj ) ^ ('i • Tj )
Параметры А, В находятся методом наименьших квадратов из условия минимума функционала:
Ф(А,В) шт.
Из необходимого условия минимума функционала имеем систему ли-
M N M N О(t. T . )
•T j•T j )=ZZutt^ •T j )• i=1 j=1 i=1 j=1U ( • Tj)
M N M N О('■ T )
t j)-b'e, i »2( • t j )=i zU7ti:-4»('.- • t j )• ,=1 j=1 ,=1 j=1u (',- • t j)
где
a1 (T)
нейных уравнений:
M N
AZZ^2 ('i •T
i=1 j=1
M N
AZZ^('i •T j
i=1 j=1
ф('• t) = t -
2 тЬ1 () + Ь2 (7)
, т) = т2----^---------^.
1 ' и (7,т)
Решая данную систему относительно неизвестных А, В, получим приближенные значения искомых параметров а, Ь.
2. Гиперболические уравнения
Рассмотрим волновое уравнение
д 2 д 2
а—Ти (7, х) = Ь—ти(7, х) + g (7, х) (11)
дх2 дх2
с начальными
и(0, х) = а1(х), и7 (0, х) = а2(7) (12)
и краевыми условиями
и(7,0) = ^(0, их (7,0) = Ь2(7). (13)
Требуется, зная входной сигнал g (7, х), выходной сигнал и (7, х) для системы (11) с начальными и краевыми условиями (12), (13) найти ее параметры а, Ь . Из условия того, что уравнение (11) гиперболическое, следует а > 0, Ь > 0.
Применив преобразование Лапласа по переменным 7, х для уравнения (11) с начальными и краевыми условиями (12), (13), получим
а 2 - Ь 2 = а( (Р2 ) + а2 (Р2 )) - Ь (Р2Ь1 (Р ) + Ь2 (Р1 )) + )(р,Р2 ) аРР Р и ^ Р2 ) и {РЪ Р2 ).
В области В, удовлетворяющей условиям (5), на сетке узлов (6) (7^,ту )е В для выражения (14) определим функционал
M M
ф(А в )=2S
i=1 j=1
2
( 2 2 A('ia1 (T j ) + a2 (T j ))-B(T ( ('i ) + b2 ('i ))2
Atj - B1Tj--------------------------------------------------------------
V
U (i •T j)
Параметры А, В находятся методом наименьших квадратов из условия минимума функционала
Ф(А,В) шт.
Из необходимого условия минимума функционала имеем систему
'мм ММ ММ О (7. т . )
аЁЕф2 7,т у)-ВЁЁЮ(,т у,ту ) = ф(7.-,т у),
.=1 у=1 .=1 у=1 .=1 у=1 ^,т у]
ММ ММ ММ О (7. т .)
аЁЁф(,т у М7.-,т у)-ВЁЁ®2 (,т у )=ZZu)plу “(^,т у),
.=1 у=1 .=1 у=1 .=1 у=1 ^,т у;
где
2 7а1 (т) + а2 (т)
Ф(', t) = t2
U (t • t)
“(7 ) = т2 77) + Ь77) .
^ ' и (7, т)
Решая данную систему относительно неизвестных А, В, получим приближенные значения искомых параметров а, Ь.
3. Эллиптические уравнения
Рассмотрим уравнение
д 2 д 2
а——и (7, х) + Ь——и (7, х) + Хи (7, х) = g (7, х) (15)
дх2 дх2
с начальными
ы(0, х) = а1(х), и \ (0, х) = а2(7), (16)
и краевыми условиями
и(7,0) = Й1(7), и х(7,0) = Ь2(7). (17)
Требуется, зная входной сигнал g (7, х), выходной сигнал ы(7, х) для системы (15) с начальными (16) и краевыми условиями (17), найти ее парамет-
ры а, Ь . Из условия того, что система эллиптическая, следует а > 0, Ь > 0.
Применив преобразование Лапласа по переменным 7, х для уравнения (15) с начальными (16) и краевыми условиями (17), получим
О{РъР2)
аР1 + 6^2 +^=>w \
U (л Р2 )
a(p1a1 (Р2 ) + a2 (Р2 )) + b(( (Р1) + b2 (Р1))
(18)
и{РЪР2)
В области В , удовлетворяющей условиям (5), на сетке узлов (6) , ту )е В, рассмотрим функционал
(
M M
фtA.в )=II
i=1 j=1
j
V
A(tia1 (Tj ) + a2 (T j )) — B(T( (ti ) + b2 (ti )) G(,Tj )
U(ti’Tj ) U(ti’Tj\
Параметры A, В находятся методом наименьших квадратов из условия минимума функционала
ф( В )^ min.
Из необходимого условия минимума функционала имеем следующую систему:
126 University proceedings. Volga region
M N
M N
M N
AIIФ2 Pi.TJ ) + BII ®(ti.T j T j ) + СIIФ(ti.T j ) = i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1
M N G(tt,T. ) ,
=Ищр. «>(. T і ).
i=1 j=1 U pi,TJ )
M N M N M N
AII Фр.Tj ) ®Р.Tj ) + BII ®2 Pi.TJ ) + СII “(i.TJ ) =
i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1
M N G(ti,T. ) ,
=Ищр. “A. T J).
i=1 j=1 U pi,TJ )
М М М М М М О (7. т у )
аИ^7^' ■ т у)+ВИ“7^' • ту)+СММ=SSUpгу •
.=1 у=1 .=1 у=1 .=1 у=1 и(/г-,т у;
2 7а1 (т) + а2 (т) 2 тЬ1 (7) + Ь2 (7)
где ^= 72 - и(7,т) ' “77'т) = т2 - и(7,т) .
Решая данную систему относительно неизвестных А, В, С, получим приближенные значения искомых параметров а, Ь, А.
Пример. Рассмотрим уравнение (14) при А = 0 :
д2 д 2
а—2ы(7,х) + Ь—2и(7,х) = g(7,х), 0 < 7 < ^,0 < х < ^,
с начальными и краевыми условиями (16), (17).
Требуется, зная входной сигнал g(7, х), выходной сигнал и (7, х). начальные и краевые условия, определить параметры а, Ь .
При входном сигнале
g(t, x) = Збе2x sin Зt,
(19)
выходном сигнале
u (t, x) = xe2 x sin3t,
(2О)
удовлетворяющих начальным и краевым условиям
Ju (0, x) = 0, ut (0, x) = 3xe2 x,
[ u (t, 0) = 0, ux (t, 0) = sin 3t,
параметры системы будут иметь вид a = 4, b = 9.
Изображения входного (19) и выходного (20) сигналов имеют вид
108 ч 3
(21)
G (Pb P2 ) =
A2 + 9)(P2 -2)
U(Pl.P2 ) =
Pl2 + 9)(P2 - 2)2
(22)
Изображения начальных и краевых условий (21) имеют вид
33 a1 (Р2 )= b1 (Р1 ) = ^ a2 (Р2 )=---------2, Ь2 (Р )=“2---. (23)
(Р2 — 2)2 Р12 + 9
Подставляя (22), (23) в (18) (Х = 0), получим
aft2 + Ьр2 = a (2 + 9) + b (Р2 — 2)2 + 36 Р2 — 72;
4 p2(9 — b) + (9a + 4b — 72 ) = 0,
или
Г 9 — b = 0,
[9a + 4b — 72 = 0.
Из полученной системы следует, что a = 4, b = 9, это совпадает с точными значениями.
Заключение
В работе предложен метод идентификации параметров динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с частными производными дробных порядков. Приведенный модельный пример показал высокую эффективность метода.
Список литературы
1. Нахушев, А. М. Дробное исчисление и его применение / А. М. Нахушев. -М. : Физматлит, 2003. - 272 с.
2. Самко, С. Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Марычев. - Минск : Наука и техника, 1987. - 688 с.
3. Учайкин, В. В. Метод дробных производных / В. В. Учайкин. - Ульяновск : Артишок, 2008. - 512 с.
4. Бойков, И. В. Определение динамических характеристик измерительных преобразователей с распределенными параметрами / И. В. Бойков, Н. П. Кривулин // Измерительная техника. - 2000. - № 9. - С. 29-32.
5. Бойков, И. В. Определение временных характеристик линейных систем с распределенными параметрами / И. В. Бойков, Н. П. Кривулин // Метрология 2012. - № 8. - С. 3-14.
6. Методы классической и современной теории автоматического управления : учебник / под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. - М. : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004 - Т. 1. - 656 с. ; Т. 2. - 640 с. ; Т. 3. - 616 с. ; Т. 4. - 744 с. ; Т. 5. - 784 с.
References
1. Nakhushev A. M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie [Fractional calculation and application thereof]. Moscow: Fizmatlit, 2003, 272 p.
2. Samko S. G., Kilbas A. A., Marychev O. I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilozheniya [Integrals and derivatives of fraction order and several applications thereof]. Minsk: Nauka i tekhnika, 1987, 688 p.
3. Uchaykin V. V. Metod drobnykh proizvodnykh [Fractional derivatives method]. Ulyanovsk: Artishok, 2008, 512 p.
4. Boykov I. V., Krivulin N. P. Izmeritel'naya tekhnika [Measuring technology]. 2000, no. 9, pp. 29-32.
5. Boykov I. V., Krivulin N. P. Metrologiya [Metrology]. 2012, no. 8, pp. 3-14.
6. Metody klassicheskoy i sovremennoy teorii avtomaticheskogo upravleniya: uchebnik. pod red. K. A. Pupkova, N. D. Egupova [Methods of classical and modern theory of automatic control: textbook edited by K. A. Pupkov, N. D. Egupov]. Moscow: Izdatel'stvo MGTU im. N. E. Baumana, 2004, vol. 1, 656 p. ; vol. 2, 640 p. ; vol. 3, 616 p. ; vol. 4, 744 p. ; vol. 5, 784 p.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: math@pnzgu.ru
Кривулин Николай Петрович
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: math@pnzgu.ru
Boykov Il'ya Vladimirovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,
Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
Krivulin Nikolay Petrovich Candidatе of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University (Penza, 40 Krasnaya str.)
УДК 681.311 Бойков, И. В.
Параметрическая идентификация эредитарных систем с распределенными параметрами / И. В. Бойков, Н. П. Кривулин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2013. -№ 2 (26). - С. 120-129.
