Научная статья на тему 'Исследование нелинейных волновых процессов на поверхности жидкости в электрическом поле'

Исследование нелинейных волновых процессов на поверхности жидкости в электрическом поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
56
16
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
NONLINEAR SURFACE WAVES / LIQUID CONDUCTOR / DIELECTRIC CONSTANT / PHASE VELOCITY / MAGNETIC FIELD STRENGTH / SURFACE CHARGE / НЕЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ / ЖИДКИЙ ПРОВОДНИК / ДИЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПРОНИЦАЕМОСТЬ / ФАЗОВАЯ СКОРОСТЬ / НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИТНОГО ПОЛЯ / ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЗАРЯД

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Егерева Э. Н., Охлопков А. Н.

Описывается зависимость величин, характеризующих распространение нелинейных волн на поверхности жидкого проводника, от напряженности электрического поля и от длины волны. Исследованы электрогидродинамические волны, а именно рассмотрено движение капель, конвективное движение жидкости, деформация капель и пузырьков в приложенном электрическом поле, распространение поверхностных волн в линейном приближении. Составлена математическая модель распространения нелинейных волн на заряженной поверхности жидкого проводника. Построены графики зависимостей частоты колебаний волны от напряженности электрического поля и фазовой скорости от длины волны.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Егерева Э. Н., Охлопков А. Н.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The study of nonlinear wave processes on the surface of the liquid in the electric field

The dependence of the values characterizing the propagation of nonlinear waves on the surface of a liquid conductor on the electric field strength and on the wavelength is described. Electrohydrodynamic waves are investigated, namely, the motion of drops, convective motion of liquid, deformation of drops and bubbles in the applied electric field, propagation of surface waves in a linear approximation are considered. A mathematical model of nonlinear wave propagation on the charged surface of a liquid conductor is constructed. The graphs of the dependence of the wave oscillation frequency on the electric field strength and phase velocity on the wavelength are plotted.

Текст научной работы на тему «Исследование нелинейных волновых процессов на поверхности жидкости в электрическом поле»

Исследование нелинейных волновых процессов на поверхности жидкости в электрическом поле

Э.Н.Егерева, А.Н.Охлопков

ФГБОУ ВО «НИУМосковский государственный строительный университет»

Аннотация: Описывается зависимость величин, характеризующих распространение нелинейных волн на поверхности жидкого проводника, от напряженности электрического поля и от длины волны. Исследованы электрогидродинамические волны, а именно рассмотрено движение капель, конвективное движение жидкости, деформация капель и пузырьков в приложенном электрическом поле, распространение поверхностных волн в линейном приближении. Составлена математическая модель распространения нелинейных волн на заряженной поверхности жидкого проводника. Построены графики зависимостей частоты колебаний волны от напряженности электрического поля и фазовой скорости от длины волны.

Ключевые слова: Нелинейные поверхностные волны, жидкий проводник, диэлектрическая проницаемость, фазовая скорость, напряженность магнитного поля, поверхностный заряд.

Введение. Поверхностные волны в средах, взаимодействующих с электрическим полем, имеют большое значение для таких природных процессов, как геофизические, метеорологические и другие. Электрическое поле, что существует вблизи поверхности Земли, взаимодействует с потоками воздуха. Этим оно оказывает огромное влияние на метеорологические процессы. В грозовых облаках также возникают электрические поля, влияющие на движение потоков воздуха. Исследование волновых процессов, протекающих на поверхности жидкости в приложенном электрическом поле, показывает интерес и с точки зрения технического использования электропроводящих струй. Однако струи имеют свойство разрушаться, поэтому важно предотвратить это и создать способы их стабилизации. В работе [1] подробно разобрано исследование струйных течений. В статье [2] рассматривается численное решение задачи о распространении поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании. В статье [3] составлена и исследована математическая модель распространения волн на поверхности слоя электропроводной жидкости с

:

поверхностным электрическим зарядом, находящейся на слое пористои среды. В работе [4] исследуется распространение волн на заряженной поверхности слоя жидкого проводника, находящегося в зазоре конденсатора, создающего вертикальное электрическое поле. В статье [5] решена задача о распространении нелинейных поверхностных волн в намагничивающейся жидкости бесконечной глубины. В статье [6] Рассмотрены исследования нелинейных явлений на заряженной поверхности жидкого водорода. Показано, что возбуждение поверхности низкочастотным электрическим полем переменного тока приводит к образованию капиллярных волн в высокочастотной области, причем последние проявляют турбулентность.

Постановка задачи. Рассматривается распространение волн по заряженной поверхности слоя жидкого электропроводника, толщину которого устремляем в бесконечность. Плотность однородной жидкости принимаем постоянной. Жидкость граничит с атмосферой пренебрежимо малой плотности. Предполагается, что она несжимаема и однородна. В работе [7] решена задача о волнах на поверхности жидкого проводника в линейном приближении.

Система уравнений движения жидкости имеет вид [8,9,10]

дУ

Р

+ (v *V*)v *

_ * dt

Р +Pg ; divv = 0 (1)

где p- плотность жидкости, v - скорость, p - давление, g - ускорение силы тяжести. Учтем отсутствие в проводнике электрического поля. В атмосфере уравнения, которые показывают наличие электрического поля имеют вид

rot *E * = 0, div *D * = 0, (2)

здесь D = sE , s = const - диэлектрическая проницаемость среды. На границах раздела поверхностных сред имеем: [9,10]

*

J

V,

——_^ >|< >|< л

Vn = 0, ET = E - nE„ = 0, D„ = 4яа

(3)

p ninj + p = -a

f1 1л

V

Ri R

* * (, sEi E j sE

pu =-p атм8и +---S„

2 J

4n

8n

где СГ - поверхностная плотность электрического заряда, p атм - давление в атмосфере. Для скорости жидкости существует кинематическое условие. Оно состоит в том, что в связи с непрерывностью движения, частица, которая находится на поверхности, будет все время оставаться на ней. Тогда нормальная компонента скорости должна быть равна нормальной скорости

движения поверхности Vn. D = sE; R1, R2 - главные радиусы кривизны; а -коэффициент поверхностного натяжения; п - единичный вектор нормали, направленный из области 1 в 2.

Обезразмериваем переменные и величины данной математической модели [11,9,10]

* —»•* -*■ * j x = k(x- - ct'), z = kz', f = ^, v = ^, E = Ehr, 9 = k9

S

* f * cS SE0 ' SE0 '

(4)

p =

pw pp - p0*

Spc Spc '

p0 =-Pgz + pa

sEn

8n '

i * где k=2n/X - волновое число, X - длина волны E0 =

En

, где

p0 = const (z* = 0). При z* ф 0 к p0 надо прибавить гидростатическое

давление, равное - pgz*, выражение которого следует из уравнения (1) при

* * *

v = 0: -dp0 / dz* - pg = 0. Отсюда находим p0 =-pgz + const. Выражение p0

отмечает, что электрическое поле образует на заряженной поверхности

проводника «отрицательное давление». Оно направленно к его поверхности

*2

по внешней нормали, так как знак перед sE0 /8п противоположен знаку

*

2

*

*

*

J

*

перед p атм. Для искривленной поверхности отрицательное давление равно

* 2

-sEn /8п.

Плотность поверхностного заряда в безразмерном виде запишем:

* *

c = cw / S<r0 = 4ncw / SsE0z и получаем

< = E7-SeA-^ (ß?-S E._ (di)2 (5)

z x dx 2 dx 2 dx У '

iAJx lAJv 1ЛЛ-

Безразмерные условия на бесконечности

lim v = 0 • lim E = 0 (6)

Учитывается то, что волна при движении является периодичной и

симметричной относительно вертикали, которая проходит через вершину

*

волны, и то, что x лежит на невозмущенной поверхности жидкости [7,14,15]

2п

f(x + 2п) = £(x) ; £(-x) = £(x) ; x)dx = 0 (7)

0

Рассматривается математическая модель нелинейной краевой задачи для нахождения величин v,p,y,Eиз уравнения (5) с учетом граничных условий (6) и ограничений (7).

Переходим к исследованию нелинейной задачи (5)-(7). Решение задачи ищем в форме рядов по малому параметру [8,14,15]

Ю ОТ да ОТ да

i = Z; 7 = ZSvk; р = ZS4 ,v = ; E = YsSEt. (8)

k=0 k=0 k=0 k=0 k=0

k , v = vn

k=0

1 + ^Skek

k=1

Для перенесения граничных условий с поверхности я = х) на поверхность 2=0, необходимо разложить величины в ряды Тейлора в окрестности 2=0.

Исследование волнового движения жидкости. Выражение для фазовой скорости имеет вид [14,15]:

с = Л *(1 - ^ 1,

где

0

3ПС

2 8(1 - 2 ПС) 16 16

3 1 ( 18ПС + 18ПС 2 огт

С С- + 2 ПС + 5)

Л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V

1 - 2П

С

/{1 - ПЕ + Пс }+

л

+ -

64

15 ПС 11

-— + —

,1 - 2Пс 2 л

/{1 - Пе + ПС }.

Здесь введем безразмерные параметры ПС, ПЕ, которые сравнивают величины капиллярных и электрических сил с гравитационными силами

^ сЛ ak2

П = —!— =-

Пе =

ес к екEl,

g р ё 4ёпР

Дисперсионное уравнение, которое представляет связь частоты с = сk с волновым числом, следующее

со = ^ gk + 2 -ес^

( 1

2 (1 -182в2 2 2

Л

Фазовую скорость и частоту волны рассчитаем для жидкого натрия при температуре 249 °С, когда плотность его соответствует значению р = 0,89

3 2

г/см , а также а=200 дин/см, а g=981 г/см .

2

Рис. 1. Зависимость фазовой скорости от длины волны при 5=0 На Рис.1 показана зависимость фазовой скорости с от длины волны X при постоянном значении малого параметра (5 =0). Цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 обозначены изменения фазовой скорости при величине напряженности электрического поля Е0*=0, 35, 55, 85 и 95 БОБЕ масштаба. По графику видно, что наименьшее значение фазовой скорости достигается при наибольшем Е0*, когда зафиксировано X. При дальнейшем увеличении длины волны фазовая скорость также увеличивается.

Рис. 2. Зависимость фазовой скорости от длины волны при 5=0,1.

На Рис.2 показана зависимость фазовой скорости от длины волны X при 5= 0,1. Цифрами 1, 2, 3, 4 и 5 показаны кривые при величине напряженности электрического поля Е0*=0, 35, 55, 85 и 95 БОБЕ масштаба. Из графика видно, что фазовая скорость быстрее возрастает с увеличением X при большем значении Е0*.

Рис.3. Связь частоты волны и напряженности электрического поля при 5=0 На Рис.3 составлена связь частоты волны с напряженностью электрического поля при постоянном значении малого параметра 5 =0. Исследуя график, можно сделать вывод о том, что для каждой величины X

* Л

существует такое значение Е0 , при котором с = 0, и чем меньше X, тем круче

*

он опускается с ростом Е0 .

На Рис.4 составлена зависимость частоты волны от напряженности электрического поля, при 5 =0 и разных X, от напряженности электрического поля. Из графиков 3 и 4 можно сделать вывод, что в электрическом поле частота волны уменьшается.

Установлено, что при распространении волн на заряженной поверхности жидкого проводника с ростом электрического поля скорость и частота волны уменьшаются. Причем, для каждой длины волны существует такая напряженность электрического поля, при которой ю=0.

ш, рад/с 45

40

35

30

25

20

15

t

Eo*

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

5

Рис.4. Связь частоты волны с напряженностью электрического поля.

Литература

1. Taylor G. Electrically driven jets//Proc. Roy. Soc. Lond. - 1969 - №3, pp. 453-475

2. Егерева Э.Н., Идиятов Р. А. Исследование частоты колебаний волны в слое жидкости на пористом основании // Инженерный вестник Дона. 2018. №2. ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2018/4871

3. Тактаров Н.Г., Миронова С.М. Моделирование поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, №4, C. 1163.

4. Тактаров Н.Г., Егерева Э.Н. Поверхностные гравитационные электрокапиллярные волны на слое жидкого проводника // Современные наукоемкие технологии № 5, 2004. С. 10-15.

5. Егерева Э.Н., Зотова Ю.С., Пьянзина А.Е. Исследование нелинейных волн на поверхности намагничивающейся жидкости бесконечной глубины //

Инженерный вестник Дона. 2018. №2.

ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4873

6. Kolmakov G.V., Brazhnikov M.YU. Nonstationary nonlinear phenomena on the charged surface of liquid hydrogen // JOURNAL OF LOW TEMPERATURE PHYSICS. 2006. №1-4. pp. 311-335.

7. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред // Наука. - 1982.- 624 с.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика // Наука. - 1986.- 735 c.

9. Извекова Т. А. Математическое моделирование электрогидродинамических поверхностных волн: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 05.13.18. Саранск, 1998. 17 с.

10. Тактаров Н.Г. Поверхностные гравитационные электрокапиллярные волны // Успехи современного естествознания. 2004. №6. С. 16-20.

11. Баринов В.А., Тактаров Н.Г. Математическое моделирование магнитогидродинамических поверхностных волн. // Издательство Мордовского университета - 1991 - С. 96

12. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: ГИМФД - 1959 -700 с.

13. Мелчер Дж. Электрогидродинамика // Магнитная гидродинамика -1974, №2 - С. 3-30

14. Алешков Ю.З. Теория волн на поверхности тяжелой жидкости. //Издательство Ленинградского университета - 1981 - 196 с.

15. Алешков Ю.З. О распространении нелинейных магнитогидродинамических поверхностных волн // Магнитная гидродинамика - 1989- №4 - С.79-86

References

1. Taylor G. Proc. Roy. Soc. Lond. 1969 №3 pp. 453-475

2. Egereva E'.N, Idiyatov R.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2018. №2 ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2018/4871

3. Taktarov N.G., Mironova S.M. Vestnik Nizhegorodskogo universiteta im. N.I. Lobachevskogo, 2011, №4, P. 1163.

4. Taktarov N.G., Egereva E\N. Sovremenny'e naukoemkie texnologii № 5, 2004. pp. 10-15

5. Egereva E'.N, Zotova Yu.S., Pyanzina A.E. Inzenernyj vestnik Dona (Rus). 2018. №2. ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4873

6. Kolmakov G.V., Brazhnikov M.YU. Journal of low temperature physics. 2006. №1-4. pp. 311-335.

7. Landau L.D., Lifshicz E.M. E' lektrodinamika sploshnyx sred [Continuum electrodynamics]. Nauka, 1982. 624 p.

8. Landau L.D., Lifshicz E.M. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Nauka, 1986. 735 p.

9. Izvekova T.A. Matematicheskoe modelirovanie e'lektrogidrodnnamicheskix poverxnostnyx voln [Mathematical modeling of electrohydrodynamic surface waves]: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk: 05.13.18. Saransk, 1998. 17 p.

10. Taktarov N.G. Uspexi sovremennogo estestvoznaniya. 2004. №6. pp. 16-20.

11. Barinov V.A., Taktarov N.G. Matematicheskoe modelirovanie magnitogidrodinamicheskix poverxnostnyx voln. Izdatelstvo Mordovskogo universiteta, 1991. p. 96

12. Levich V.G. Fiziko-ximicheskaya gidrodinamika [Physico-chemical hydrodynamics]. M.: GIMFD. 1959. 700 p.

13. Melcher Dzh. E'lektrogidrodinamika. Magnitnaya gidrodinamika. 1974. №2 - pp. 3-30

14. Aleshkov Yu.Z. Teoriya voln na poverxnosti tyazheloj zhidkosti [Theory of waves on the surface of a heavy liquid] Yu.Z.AleshkovIzdatelstvo Leningradskogo universiteta. 1981. 196 p.

15. Aleshkov Уи.7. О гавргоБ1гапеп11 пеНпе^у'х magnitogidrodinamicheskix poverxnostny,x volnMagnitnaya gidrodinamika. 1989. №4 рр.79-86

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.