CC BY
0
УДК 517.9, 539.3
doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-3
Исследование нелинейной математической модели механической системы «трубопровод - датчик давления»
П. А. Вельмисов1, Ю. А. Тамарова2
Ульяновский государственный технический университет, Ульяновск, Россия 2Ульяновское конструкторское бюро приборостроения, Ульяновск, Россия 1velmisov@ulstu.ru, 2kazakovaua@mail.ru
Аннотация. Актуальность и цели. Первичным звеном приборного оборудования для измерения давления газожидкостной среды является датчик, который поставляет данные о давлении рабочей среды, определяющем надлежащее функционирование машин, механизмов, систем. Увеличение срока службы, уменьшение времени разработки, снижение себестоимости датчиков - первостепенные задачи. В связи с этим важную роль на этапе проектирования систем измерения давления играет математическое моделирование функционирования таких систем. Для измерения и контроля давления рабочей газожидкостной среды в камерах сгорания двигателей используется механическая система «трубопровод - датчик давления», в которой для ослабления воздействия виброускорений и высоких температур датчик соединен с двигателем с помощью трубопровода и располагается на некотором расстоянии от него. Целью работы является создание математической модели системы «трубопровод - датчик давления» и исследование ее на предмет возможности установления соответствия между законом изменения давления в камере сгорания и законом колебания чувствительного элемента датчика давления. Материалы и методы. Для описания движения рабочей среды (в модели идеального газа) используется нелинейная модель механики жидкости и газа в предположении, что рабочая среда сжимаемая. Для описания динамики чувствительного элемента датчика используется модель, основой которой является обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс одномассовой системы. При указанных предположениях построена математическая модель механической системы «трубопровод - датчик давления». Для решения соответствующей задачи, постановка которой содержит нелинейное дифференциальное уравнение с частными производными, предложены численно-аналитические методы решения на основе метода Галеркина. Результаты. Разработана нелинейная математическая модель системы измерения давления в газожидкостных средах. Для соответствующей начально-краевой задачи на основе метода Галеркина предложен метод, позволяющий свести ее исследование к решению задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведен численный эксперимент и представлены примеры расчета динамики чувствительного элемента датчика. Выводы. Предложенная математическая модель позволяет определять закон изменения отклонения чувствительного элемента датчика в зависимости от закона изменения давления в камере сгорания. Результаты исследований предназначены для использования на этапе проектирования систем измерения давления.
Ключевые слова: датчик давления, трубопровод, чувствительный элемент, динамика, дифференциальные уравнения, метод Галеркина
Финансирование: работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда № 23-21-00517.
Для цитирования: Вельмисов П. А., Тамарова Ю. А. Исследование нелинейной математической модели механической системы «трубопровод - датчик давления» //
© Вельмисов П. А., Тамарова Ю. А., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 1. С. 24-37. doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-3
Studying the nonlinear mathematical model of the mechanical system "pipeline - pressure sensor"
P.A. Velmisov1, Yu.A. Tamarova2
Ulyanovsk State Technical University, Ulyanovsk, Russia 2Ulyanovsk Instrument Engineering Design Bureau, Ulyanovsk, Russia
1velmisov@ulstu.ru, 2kazakovaua@mail.ru
Abstract. Background. The primary element of the instrumentation for measuring the pressure of a gas-liquid medium is a sensor that supplies data on the pressure of the working medium, which determines the proper functioning of machines, mechanisms, and systems. Increasing the service life, reducing development time, and reducing the cost of sensors are one of the primary objectives. In this regard, mathematical modeling of the functioning of such systems plays an important role at the design stage of pressure measurement systems. To measure and control the pressure of the working gas-liquid medium in the combustion chambers of engines, a mechanical system "pipeline - pressure sensor" is used, in which, to reduce the effects of vibration accelerations and high temperatures, the sensor is connected to the engine via a pipeline and is located at some distance from it. The purpose of the work is to create a mathematical model of the "pipeline - pressure sensor" system and study it for the possibility of establishing a correspondence between the law of pressure change in the combustion chamber and the law of oscillation of the sensitive element of the pressure sensor. Materials and methods. To describe the movement of the working medium (in the ideal gas model), a nonlinear model of fluid and gas mechanics is used, under the assumption that the working medium is compressible. To describe the dynamics of the sensitive element of the sensor, a model is used, the basis of which is an ordinary differential equation that describes the oscillatory process of a single-mass system. Under these assumptions, a mathematical model of the mechanical system "pipeline - pressure sensor" was constructed. To solve the corresponding problem, the formulation of which contains a nonlinear partial differential equation, numerical and analytical solution methods based on the Galerkin method are proposed. Results. A nonlinear mathematical model of a system for measuring pressure in gas-liquid media has been developed. For the corresponding initial-boundary value problem, based on the Galerkin method, a method is proposed that makes it possible to reduce its study to solving the Cauchy problem for a system of ordinary differential equations. A numerical experiment is carried out and examples of calculating the dynamics of the sensor's sensitive element are presented. Conclusions. The proposed mathematical model makes it possible to determine the law of change in the deviation of the sensor's sensitive element depending on the law of change in pressure in the combustion chamber. The research results are intended for use at the design stage of pressure measurement systems.
Keywords: pressure sensor, pipeline, sensitive element, dynamics, differential equations, Galerkin method
Financing: the research was financed by the RSF within the research project No. 23-2100517.
For citation: Velmisov P.A., Tamarova Yu.A. Studying the nonlinear mathematical model of the mechanical system "pipeline - pressure sensor". Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(1):24-37. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-3
Введение
Во многих отраслях науки и техники, в том числе аэрокосмической, возникает проблема повышения надежности и долговечности конструкций, взаимодействующих с потоком жидкости или газа. В частности, такая проблема возникает при проектировании датчиков давления газожидкостных сред. В связи с этим возникает задача исследования динамики и устойчивости колебаний деформируемых элементов конструкций, так как воздействие потока может приводить к значениям амплитуды, скорости и ускорений колебаний, не позволяющим осуществлять их надежную эксплуатацию и обеспечивать необходимую функциональную точность. Развитие авиационной, ракетно-космической и другой техники требует постоянного совершенствования и разработки новых типов первичных преобразователей, в частности, датчиков давления, характеризующихся экстренными условиями эксплуатации. Описанию датчиков измерительных систем, принципов их работы, технических характеристик посвящено много работ, например [1-6].
Все датчики давления в той или иной степени критичны к воздействию температур и виброускорений. При размещении датчиков давления непосредственно на двигателе на них воздействуют широкие диапазоны температур и повышенные виброускорения, что приводит к дополнительной погрешности измерений и в ряде случаев к разрушению упругого чувствительного элемента датчика. В работе [7] предложено решение задачи уменьшения влияния температур на тонкопленочные нано- и микроэлектромеханические системы датчиков давления. В работе [8] рассмотрены вопросы повышения вибростойкости тонкопленочных нано- и микросистем и датчиков давления на их основе. В монографии [9] представлена совокупность некоторых моделей и методов исследования механической системы «трубопровод - датчик давления». В случае несжимаемости рабочей среды математические модели системы «трубопровод - датчик давления» рассматривались в статьях [10, 11]. В работах [12-14] исследуется взаимодействие упругих тел с вязкой несжимаемой жидкостью. Исследования механической системы «трубопровод - датчик давления» для сжимаемой рабочей среды представлены, например, в работах [15, 16].
В данной статье на основе одномерной нелинейной модели, представляющей собой начально-краевую задачу для системы дифференциальных уравнений, исследуется совместная динамика чувствительного элемента датчика давления и рабочей среды в трубопроводе в предположении, что среда идеальная и сжимаемая. Для описания движения рабочей среды применяется нелинейная модель механики жидкости и газа [17]. Исследование указанной начально-краевой задачи с помощью метода Галеркина [18, 19] сведено к решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработана программа в системе МаШетайса 12.0, позволяющая получать графики деформации чувствительного элемента датчика (отклик) при различном задании закона изменения давления рабочей среды (входной сигнал). Отметим, что задачи восстановления входных сигналов в системах с сосредоточенными и распределенными параметрами, в том числе входных сигналов вихретоко-вых преобразователей перемещения при термоударном воздействии, рассматриваются в [20, 21].
1. Постановка задачи
Рассмотрим схему механической системы «трубопровод - датчик давления» (рис. 1), где в начальном сечении x = 0 трубопровода (на выходе из камеры сгорания двигателя) задан закон изменения давления рабочей среды P = P0 + P* ^) (Po - давление в состоянии покоя, Р* ^) - избыточное давление). Состоянию покоя соответствует положение x = l поршня, являющегося составной частью датчика давления и закрепленного с помощью системы упругих связей и демпферов. Отклонение поршня от положения равновесия обозначим ). Поставим целью получить уравнение, связывающее закон изменения давления в двигателе P*(t) (входной сигнал) с величиной перемещения поршня w(t) (отклик) в любой момент времени t.
О I X
Рис. 1. Схема механической системы «трубопровод - датчик давления»
Математическую модель рассматриваемой механической системы представим в виде
фа + 2Ф xф xt +ф 2 ф xx =
-(х-i)i ф t+2 ф
ф
^ V
P(0, t) = Po + P*(t), Ф x (l* (t), t) = w (t), l* = l + w(t), L(w(t)) = mw(t) + f (w(t), w(t)) = P(l *(t), t):
(i)
(2)
(3)
(4)
где Ф( x, t) - потенциал скорости; P( x, t) - давление в рабочей среде (в жидкости или газе); ао - скорость звука, соответствующая состоянию покоя рабочей среды; X - коэффициент Пуассона; m - масса чувствительного элемента.
Уравнения (1), (4) следует дополнить начальными условиями. Эти условия будут записаны при решении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой будет сведено решение задачи
(1)-(4).
Уравнение (1) для потенциала скорости Ф(x, t) описывает движение рабочей среды (в модели идеального газа) в трубопроводе; условие (2) задает закон изменения давления Р*^) рабочей среды в камере сгорания; условие (3) - условие непротекания на поверхности поршня; уравнение (4) описывает движение поршня. Линейная или нелинейная функция f (Нw(t)) является характеристикой вязкоупругого основания (системы упругих связей и демпферов). Давление в потоке определяется интегралом Лагранжа - Коши:
P( x, t) = Po
ilOt+2 ф 2
X
x-i
(5)
Учитывая (5), условие (2) можно записать в виде
ф+2 ф 21 ) = ,
2 J x=0 Х-1
X-i
1 -
1+
P*(t)
~P0
(6)
2. Некоторые способы решения задачи
1 2
Введем функции и = Фх, V = Фг +—Фх , тогда уравнения, представля-
ющие математическую модель, имеют вид
2
vt + uvx -
«0 -(Х- 1)v
ux = 0.
vx - ut - uux = 0,
v (0, t ) = y(t), u (l*, t) = w (t), l* = l + w(t)
L(w) = P0
1 X 2"iv(l*, t)
X
x-i
(7)
(8) (9)
(10)
(11)
А. Для решения задачи (7)—(11) применим метод Галеркина [18, 19]. С учетом граничных условий (9), (10), используя в качестве пробных функций
(/* — х)п, хп, будем искать и(х, t), v(х,0 в виде отрезков степенных рядов:
N
{(x,t) = w(t) + ^un (t)(l* - x)n,
n=1
N
v( x, t) = y(t) + ^ vk (t) xk.
к=1
(12)
(13)
Подставив (12), (13) в (7), (8) и записав условия ортогональности полученных невязок к функциям |0n (x)} , образующих на [0,l* ] полную систему, получим 2 N уравнений для (2 N +1) функции w(t), u1(t),...., un (t),
V1 (t),____,Vn(t). К полученным уравнениям следует добавить уравнение (11).
В силу граничных условий (9), (10) в качестве поверочных функций 0n (x) можно выбрать, например, следующие:
(ш Л
0n(x) = x(l* -x)n, 0n(x) = xn(l* -x), 0n(x) = sin —x , n = 1 + ~ . (14)
ll* J
University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(1) Рассмотрим второе приближение (N = 2), тогда u(x,t) = w(t) + u1(t)(l* -x) + u2(t)(l* -x)2, v(x,t) = y(t) + v1(t)x + v2(t)x2. (15) Подставив (15) в уравнения (7), (8), получим
Vi (t) — w (t) + 2v2 (t) x + (l* - x) I u2 (t) - щ (t)
+
+(1* -х)2[-й2^) + 3м1 ^)и2(t)] + 2(1* -х)3и2(t) = 0, у(t) + М^)* ^) + (а0 - (X -1) ^))й1 (t) + х2* (t) - (X -1* (t)й1 (t)] + +(1* - х)[и1 (t)* (t) + 2и2 (t)(ао - (X - 1)'^))] + 2х(1* - х)2 *2 (t)и2 (t) +
+(1* - х)2 и2 (t)* ^) + 2х(1* - х)(и1 (t* (t) - (X - 1)* (t)и2 (t)) --2 х2 (I* - х)(Х -1)^2 а и ^) + х ) + 2*2 ^) W(t) - (X - 1)* (t )и1(Г)] = 0. (16)
Предположим, что ^м) задана линейным выражением: Ь(м) = тм + аМ + ум* , где а , у - коэффициенты демпфирования и жесткости упругой связи. Тогда с учетом (15) уравнение (11) принимает вид
mw + aw + yw = Po
1 () + V1(t )l* +V2(t )l*2)
X
X-1
. (17)
Записывая согласно методу Галеркина условия ортогональности невя-
2
зок уравнений (16) к базисным функциям х(1* - х), х (I* - х), получим четыре уравнения:
10 (у+М*. + и (а0 - (X -1)У))+51* [* + 2*2М - (X - 2)иЛ + 2и2 (а0 - (X -1)'У)] + +1*2 (3*2 + (7 - 3X^1 У2 + (7 - 4x)й2*) + 21* (2 - x)й2V2 = 0, (18)
35(у+М*. + й1(а^ -^-1)')) +71* [3*1 + 6*2М+(5-ЗД^* + 4й2(а0 -Сс-1)у0] + +71*2 (2*2 - 2(* - 2)и* + (3 - 2X^1) + 21* (7 - 4x)й2V2 = 0, (19) 10(* -М) + 51*[2*2 -й1 + и2] + 31*2(-й2 + 3и1и2) + 41*3и2 = 0, (20)
35(* -М) +141*[3*2 -й1 + и2] + 712(-й2 + 3и1и2) + 81*3и2 = 0. (21)
Система пяти уравнений (17)-(21) служит для определения пяти функций м(1), ), й2(t), V2(t) и является основой для проведения численного эксперимента.
Б. Другой способ решения задачи состоит в задании и (х, t) в виде (12) и последующем определении *( х, t) из уравнения (8), при этом уравнение (8)
удовлетворяется точно, а уравнение (7) - приближенно с помощью метода Галеркина.
Подставляя
N
{(х, t) = У ^) + 2 ип ^ )(1* — х)п
п=1
в (8), получим
N N 1
vx = УУ(t) + 2 ип (t) ((* — х)п + 2 пип ^)У^)(/* — х)п—1 + — (и
п=1 п=1 х
Интегрируя по переменной х, будем иметь
Nип ^ )(/* — х)п+1 v(x, t) = ^(0 + Ц (t) х — пУ'У '
п=1
п +1
N 1
2 ип ^ )Ц ^ )(1* — х)п + -
п=1
N
У!
^) + ^ ип ^ )(1* — х)
п=1
N • ) 1 1 Г N \
= Vo(t) + УУ(0х — 2^(I* — х)п+1 + 1УУ2(t) +1 2ип «(/* — х)п , п +1 2 2 ,
п=1 V п=1
Удовлетворяя условию (9), находим
N ■ (Л 1 1 Г N vo ^)=у)+2 Щ 1*п+1 — - у)—- 2 и п а )1
, п +1 2 2 ,
п=1 V п=1
Таким образом, функция v( х, t) принимает вид
, ч -/ч N < ^)(1* — х)п+1 v( х, t) = ) + У! ^) х — 2 ---+
п=1
1
+
Г N
2 ип ^)(1* — х)п
V п=1
V 1Г N
п+1
V N
Уравнение (11) будет иметь вид X —1
Цу) = Ро \
1 —-
2 ип ц )1*п + 2 •пШ /*п+1
^ п ^ п +1
V п=1 / п=1
N ■ и\ 1 Г N
ип </) ;п+1 1
¥(о+ть+2^* ~ 2ип(о/*п
, п +1 2 ,
V п=1
п=1
X—1
Например, в случае N = 1 имеем
и(х, 0 = УУ(t) + и1 (t)(/* — х) .
X
v( x, t) = y(t) + W(t) x - 2
)— щ (^)
При этом уравнение (11) запишется в виде
(l* -x)2 + — 2
и— (t) - м— (t)
l* .
L(w) = Po Jl-^^i
^(t)+w(t )i* + -2 м— (t )i*2 - -2 u12(t)i=2
X
X-1
Далее следует подставить и и V в уравнение (7) и записать условие ортогональности полученной невязки к базисной функции х(1* — х). Получим систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений для функций ), ).
3. Тепловая задача
Математическая постановка тепловой задачи для механической системы «трубопровод - датчик давления» с учетом движения рабочей среды в случае, когда стенки трубопровода и чувствительный элемент датчика теплоизолированы, имеет вид
(дТ дТ} , д2Т рс I--+ и— I = к——,
Ч dt дх J дх2
Т (0, t )= T*(t), дТ
(22)
дх
(l*, t) = 0,
где Т (х, ^) - закон изменения температуры рабочей среды; Т*(1) - закон изменения температуры на входе в трубопровод (на выходе из камеры сгорания); к - коэффициент теплопроводности среды; р - плотность среды; с - коэффициент теплоемкости среды.
Функцию Т(х, ^), учитывая граничные условия системы (22), представим в виде
N+1
Т(х,О = Т*(0 + 2 Тп—1{г)(хп — п1П—1х).
п=2
Рассмотрим случай N = 2, тогда
Т (х, о = Т*(о+ад (х2 — 21* х) +Т2(0 (х3 — 31*2 х). Подставляя (24), (15) в первое уравнение системы (22), получим Т*(0 + Т^)(х2 — 21* х) — 271(0х^(0 + Т2(0(х3 — 31*2х) —
— 6Т2(г )1* хмЦ) + ) + )(/* — х) + и2(1 )(/* — х)2 )х
х( 2Т1(^)(х — /*) + 3Т2^)(х2 — I*2)) =—(() + 3Т2 ^) х).
Рс
(23)
(24)
2
Умножая полученную невязку на х(/* — х), х (/* — х) и интегрируя в пределах от 0 до /*, получим два уравнения:
707* — 491*2Т1 — 91/*3Г2 —140/* — 357/*272 — 42/*ти1Г1 —
—28/*3н271 — 84/*3м172 — 54/*4н2Г2 ——(1407] + 210/*72) = 0, (25)
рс
707* — 56/*г2! —106/372 —140/* 7^ — 378/*272 ^ — 28/^71 —
—16/*3и271 — 60/3н1Г2 — 33/*4и272 —к(14071 + 252/*72) = 0. (26)
Рс
Таким образом, система семи уравнений (17)-(21), (25), (26) служит для определения семи функций ), ), ), Vl(t), ), 71(^), 72 (^) и является основой для проведения численного эксперимента. Для решения в пакете МаШетайса 12.0 система уравнений (17)-(21), (25), (26) была приведена к нормальному виду и решалась при нулевых начальных условиях: ^(0) = 0,
^(0) = 0, и1 (0) = 0, ы2(0) = 0, У1(0) = 0, у2(0) = 0, 71(0) = 0, 72(0) = 0, что соответствует невозмущенному состоянию системы (состоянию покоя) в начальный момент времени.
4. Численный эксперимент
Рассмотрим пример механической системы. Рабочая среда - воздух (р = 1,225). Другие параметры механической системы: с = 1,005;, к = 0,022;
Р0 = 101325; т = 0,01; а0 = 332; х = 1,5; / = 3; а = 108; у = 109 (все значения приведены в системе СИ). На рис. 2 и 3 представлены примеры численных расчетов при различном задании функций Р* ^), 7* (^) .
J
а)
Рис. 2. Результаты численного эксперимента при P* (t) = 4 • 106 — 4 • 105 cos 6t, T*(t) = 1226 — 20cos6t: а - отклонение поршня от положения равновесия; б - температура рабочей среды в точке х = l*
лис
Рис. 2. Окончание
Mi), м
а
Рис. 3. Результаты численного эксперимента при Р*(^) = 105 (е°'4г — 1), 1 &
) = 20 + е ' : а - отклонение поршня от положения равновесия; б - температура рабочей среды в точке х = I*
Заключение
Предложена и исследована математическая модель механической системы «трубопровод - датчик давления», предназначенной для контроля давления в камере сгорания. С помощью метода Галеркина построены решения соответствующей начально-краевой задачи. Проведен численный эксперимент и получены графики перемещения чувствительного элемента датчика и температуры рабочей среды при различном задании законов изменения давления рабочей среды и температуры на входе в трубопровод.
Список литературы
1. Эткин Л. Г. Виброчастотные датчики. Теория и практика. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. 408 с.
2. Аш Ж., Андре П., Бофрон Ж. [и др.]. Датчики измерительных систем : в 2 кн. / пер. с фр. А. С. Обухова. М. : Мир, 1992.
3. Агейкин Д. И., Костина Е. Н., Кузнецова Н. Н. Датчики контроля и регулирования. М. : Н. Машиностроение, 1965. 928 с.
4. Корсунов В. П. Упругие чувствительные элементы. Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 1980. 264 с.
5. Андреева Л. Е. Упругие элементы приборов. 2-е изд. М. : Машиностроение, 1981. 392 с.
6. Датчики. Преобразователи. Системы : каталог. Пенза : Федеральный научно-производственный центр ФГУП НИИ физических измерений, 2012.
7. Белозубов Е. М., Васильев В. А., Громков Н. В. Уменьшение влияния температур на тонкоплёночные нано- и микроэлектромеханические системы датчиков давления // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. 2009. Т. 1. С. 386-390.
8. Белозубов Е. М., Белозубова Н. Е. Повышение стойкости тонкопленочных нано- и микросистем и датчиков давления на их основе к воздействию повышенных виброускорений // Труды Международного симпозиума Надежность и качество. 2011. Т. 2. C. 426-429.
9. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. Исследование динамики деформируемых элементов некоторых аэрогидроупругих систем. Ульяновск : УлГТУ. 2018. 152 с.
10. Velmisov P. A., Pokladova Yu. V. Mathematical modelling of the "pipeline - pressure sensor" system // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1353, № 012085. P. 1-6. doi: 10.1088/1742-6596/1353/1/012085
11. Velmisov P. A., Pokladova Yu. V., Mizher U. J. Mathematical modelling of the mechanical system "pipeline - pressure sensor" // AIP Conference Proceedings. 2019. Vol. 2172. P. 030006. doi: 10.1063/1.5133495.
12. Могилевич Л. И., Кондратов Д. В., Кондратова Т. С., Иванов С. В. Математическое моделирование волн деформации в двух соосных, кубически нелинейных оболочках, взаимодействующих с окружающей средой и заполненных жидкостью // Математическое моделирование, компьютерный и натурный эксперимент в естественных науках. 2020. № 4. С. 1-15
13. Блинков Ю. А., Евдокимова Е. В., Могилевич Л. И., Ребрина А. Ю. Моделирование волновых процессов в двух соосных оболочках, заполненных вязкой жидкостью и окруженных упругой средой // Вестник РУДН. Серия МИФ. 2018. Т. 26, № 3. C. 203-215.
14. Землянухин А. И., Иванов С. В., Могилевич Л. И., Попов В. С., Блинков А. Ю. Математическая модель для исследования нелинейных волн в упругой цилиндрической оболочке, окруженной упругой средой // Прикладная математика и механика (Ульяновск). 2014. № 10. C. 80-83.
15. Вельмисов П. А., Тамарова Ю. А. Математическое моделирование систем измерения давления в газожидкостных средах // Труды Средневолжского математического общества. 2020. Т. 22, № 3. С. 352-367.
16. Вельмисов П. А., Тамарова Ю. А., Алексанин Н. Д., Нуруллин Н. И. Исследование динамических процессов в системах измерения давления газожидкостных сред // Труды Средневолжского математического общества. Саранск, 2021. Т. 23, № 4. С. 461-471.
17. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М. : Изд-во Наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1987. 823 с.
18. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М. : Изд-во Мир, 1988. 353 с.
19. Калиткин Н. Н. Численные методы. М. : Изд-во, 1978. 512 с.
20. Бойков И. В., Кривулин Н. П., Абрамов С. В., Маланин В. П., Кикот В. В. Восстановление входных сигналов вихретоковых преобразователей перемещения при термоударных воздействиях // Измерительная техника. 2018. № 11. С. 61-67. doi: 10.32446/0368-1025it.2018-61-67
21. Бойков И. В., Кривулин Н. П. Аналитические и численные методы идентификации динамических систем. Пенза : Изд-во ПГУ, 2016. 398 с.
References
1. Etkin L.G. Vibrochastotnye datchiki. Teoriya i praktika = Vibration frequency sensors. Theory and practice. Moscow: Izd-vo MGTU im. N.E. Baumana, 2004:408. (In Russ.)
2. Ash Zh., Andre P., Bofron Zh. et al. Datchiki izmeritel'nykh sistem: v 2 kn. = Measuring system sensors: in 2 books. Translated from French A.S. Obukhov. Moscow: Mir, 1992. (In Russ.)
3. Ageykin D.I., Kostina E.N., Kuznetsova N.N. Datchiki kontrolya i regulirovaniya = Control and regulation sensors. Moscow: N. Mashinostroenie, 1965:928. (In Russ.)
4. Korsunov V.P. Uprugie chuvstvitel'nye element = Elastic sensitive element. Saratov: Izd-vo Saratovskogo un-ta, 1980:264. (In Russ.)
5. Andreeva L.E. Uprugie elementy priborov. 2-e izd. = Elastic elements of devices. The 2nd edition. Moscow: Mashinostroenie, 1981:392. (In Russ.)
6. Datchiki. Preobrazovateli. Sistemy: katalog = Sensors. Converters. Systems: catalog. Penza: Federal'nyy nauchno-proizvodstvennyy tsentr FGUP NII fizicheskikh izmereniy, 2012. (In Russ.)
7. Belozubov E.M., Vasil'ev V.A., Gromkov N.V. Reducing the influence of temperatures on thin-film nano- and microelectromechanical pressure sensor systems. Trudy Mezhdunarodnogo simpoziuma Nadezhnost' i kachestvo = Proceedings of the International symposium Reliability and Quality. 2009;1:386-390. (In Russ.)
8. Belozubov E.M., Belozubova N.E. Increasing the resistance of thin-film nano- and microsystems and pressure sensors based on them to the effects of increased vibration accelerations. Trudy Mezhdunarodnogo simpoziuma Nadezhnost' i kachestvo = Proceedings of the International symposium Reliability and Quality. 2011;2:426-429. (In Russ.)
9. Vel'misov P.A., Pokladova Yu.V. Issledovanie dinamiki deformiruemykh elementov nekotorykh aerogidrouprugikh system = Studying the dynamics of deformable elements of some aerohydroelastic systems. Ul'yanovsk: UlGTU. 2018:152. (In Russ.)
10. Velmisov P.A., Pokladova Yu.V. Mathematical modelling of the "pipeline - pressure sensor" system. Journal of Physics: Conference Series. 2019;1353(012085):1-6. doi: 10.1088/1742-6596/1353/1/012085
11. Velmisov P.A., Pokladova Yu.V., Mizher U.J. Mathematical modelling of the mechanical system "pipeline - pressure sensor". AIP Conference Proceedings. 2019;2172:030006. doi: 10.1063/1.5133495.
12. Mogilevich L.I., Kondratov D.V., Kondratova T.S., Ivanov S.V. Mathematical modeling of deformation waves in two coaxial, cubically nonlinear shells interacting with the
environment and filled with liquid. Matematicheskoe modelirovanie, komp'yuternyy i naturnyy eksperiment v estestvennykh naukakh = Mathematical modeling, computer and natural experiment in natural sciences. 2020;(4):1-15. (In Russ.)
13. Blinkov Yu.A., Evdokimova E.V., Mogilevich L.I., Rebrina A.Yu. Modeling of wave processes in two coaxial shells filled with a viscous fluid and surrounded by an elastic medium. Vestnik RUDN. Seriya MIF = Bulletin of RUDN. Series: Mathematics, computer science, physics. 2018;26(3):203-215. (In Russ.)
14. Zemlyanukhin A.I., Ivanov S.V., Mogilevich L.I., Popov V.S., Blinkov A.Yu. Mathematical model for studying nonlinear waves in an elastic cylindrical shell surrounded by an elastic medium. Prikladnaya matematika i mekhanika (Ulyanovsk) = Applied mathematics and mechanics (Ulyanovsk). 2014;(10):80-83. (In Russ.)
15. Vel'misov P.A., Tamarova Yu.A. Mathematical modeling of pressure measurement systems in gas-liquid media. Trudy Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva = Proceedings of the Middle Volga mathematical society. Saransk, 2020;22(3):352-367. (In Russ.)
16. Vel'misov P.A., Tamarova Yu. A., Aleksanin N.D., Nurullin N.I. Studying the dynamic processes in systems for measuring pressure of gas-liquid media. Trudy Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva = Proceedings of the Middle Volga mathematical society. Saransk, 2021;23(4):461-471. (In Russ.)
17. Loytsyanskiy L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza = Mechanics of fluid and gas. Moscow: Izd-vo Nauka. Gl. red. fiz.-mat. Lit., 1987:823. (In Russ.)
18. Fletcher K. Chislennye metody na osnove metoda Galerkina = Numerical methods based on the Galerkin method. Moscow: Izd-vo Mir, 1988:353. (In Russ.)
19. Kalitkin N.N. Chislennye metody = Numerical methods. Moscow: Izd-vo, 1978:512. (In Russ.)
20. Boykov I.V., Krivulin N.P., Abramov S.V., Malanin V.P., Kikot V.V. Restoration of input signals of eddy current displacement transducers under thermal shock influences.
Izmeritel'naya tekhnika = Measuring technology. 2018;(11):61-67. (In Russ.). doi: 10.32446/0368-1025it.2018-61-67
21. Boykov I.V., Krivulin N.P. Analiticheskie i chislennye metody identifikatsii dinamich-eskikh system = Analytical and numerical methods for identifying dynamic systems. Penza: Izd-vo PGU, 2016:398. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Петр Александрович Вельмисов доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры высшей математики, Ульяновский государственный технический университет (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32)
E-mail: velmisov@ulstu.ru
Юлия Александровна Тамарова начальник ТКБ-512 научно-исследовательского отдела 51, Ульяновское конструкторское бюро приборостроения (Россия, г. Ульяновск, ул. Крымова, 10А)
E-mail: kazakovaua@mail.ru
Petr A. Velmisov
Doctor of physical and mathematical sciences, professor, professor of the sub-department of higher mathematics, Ulyanovsk State Technical University (32 Severniy Venets street, Ulyanovsk, Russia)
Yulia A. Tamarova
Head of the thematic complex team 512 of the Research Department 51, Ulyanovsk Instrument Engineering Design Bureau (10A Krimova street, Ulyanovsk, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 01.10.2023
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 16.11.2023 Принята к публикации / Accepted 07.12.2023
