МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 517.9:539.3:532.5

П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. В. ПОКЛАДОВА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ИЗМЕРЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, аэрогидроупругость, трубопровод, датчик давления, упругий элемент, метод Бубнова-Галёркина.

Предложена математическая модель механической системы «трубопровод - датчик давления». На основе метода малого параметра получены асимптотические уравнения, описывающие совместную динамику рабочей среды в трубопроводе и упругого элемента датчика. Исследование динамики основано на применении метода Галёркина и проведении численного эксперимента в системе МмИвтаИеа 12.0. Рассматриваются случаи жёсткого и шарнирного закрепления концов упругого элемента. Предложена постановка тепловой задачи для системы «трубопровод - датчик давления». Рассмотрены как линейные, так и нелинейные модели твёрдого деформируемого тела для описания колебаний чувствительного элемента датчика.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Ульяновской области в рамках научных проектов №18-41-730015, №19-41-730006.

Введение

При проектировании и эксплуатации конструкций, приборов, устройств, установок различного назначения, взаимодействующих с потоком газа или жидкости, важное значение имеет исследование динамики и устойчивости деформируемых элементов [1-6, 14, 16, 17, 19]. В некоторых случаях воздействие потока может приводить к значениям амплитуды, частоты и скорости колебаний упругих элементов, не позволяющим осуществлять надёжную эксплуатацию систем и обеспечивать функциональную точность их работы. Такая проблема возникает при проектировании датчиков давления. Теоретическим и практическим вопросам конструирования датчиков давления посвящено много работ. Перечислим некоторые из последних [7-9, 15, 16-18]. Описанию датчиков измерительных систем, принципов их работы, технических характеристик посвящены работы [7, 15-19]. Некоторые работы посвящены описанию материалов и технологии изготовления датчиков [8, 16].

Особенностью эксплуатации датчиков давления в авиационных и ракетных двигателях является воздействие на них высоких температур и повышенных виброускорений, в наибольшей степени проявляющееся в переходных режимах работы двигателя. Такие экстремальные эксплуатационные условия приводят к дополнительной погрешности измерений, и даже к разрушению упругого чувствительного элемента датчика. Одним из направлений решения проблемы является задача оптимального проектирования механической системы «трубопровод - датчик давления». В системе датчик расположен на некотором расстоянии от двигателя и соединён с ним с помощью трубопровода, что позволяет ослабить воздействие температур и виброускорений. Математические модели системы «трубопровод-датчик давления» рассматривались, например, в [4-6, 10-14].

В работе исследуется совместная динамика чувствительного элемента датчика давления и рабочей среды в трубопроводе на основе математических моделей, представляющих собой начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений. Исследование динамики упругого элемента основано на применении метода Галёркина и проведении численного эксперимента.

Предложена постановка тепловой задачи для системы «трубопровод - датчик давления», уточняющая постановку, рассмотренную в [6]. Рассмотрены как линейные, так и нелинейные модели твёрдого деформируемого тела для описания колебаний чувствительного элемента датчика.

© Вельмисов П. А., Покладова Ю. В., 2020

Постановка задачи

Пусть на одном конце трубопровода задан закон изменения давления рабочей среды (например, на выходе из камеры сгорания двигателя), а на другом расположен датчик, предназначенный для измерения этого давления и содержащий в качестве составного элемента упругую пластину. Поле скоростей рабочей среды (газа или жидкости) предполагается плоским (рис. 1).

Рис. 1. Трубопровод с датчиком на торце: 1 - двигатель, 2 - трубопровод, 3 -датчик давления, 4 - рабочая среда, 5 - чувствительный элемент датчика (упругая пластина)

Математическая постановка задачи в модели несжимаемой среды имеет вид:

ФXX = о, хе(—1,0), у е(0,И), Ф^х +Фygy = —gt, g(х, у, г) = 0, у е (0, И),

Ь(w(y, г)) = Р - Р, у е (0,И), Р(-1, у,г) = Р(у, г), у е (0, И).

(1) (2)

(3)

(4)

Здесь Ф(х,у,г) - потенциал скорости жидкости (рабочей среды); Р(х, у, г) - давление в жидкости; g(х, у, г) = 0 - уравнение поверхности упругого элемента; Р - распределенная внешняя нагрузка, действующая на элемент; w(у, г) - деформация упругого элемента датчика; Р(у, г)- закон изменения

давления рабочей среды на выходе из камеры сгорания (на входе в трубопровод). Уравнение Лапласа (1) описывает движение рабочей среды в трубопроводе; (2) - граничное условие непротекания на поверхности элемента; (3) - уравнение, описывающее динамику упругого элемента; Ь(м'(у,^ = пт> + Р)\\>"" + Ым>" + уч>\ т, И - погонная масса и изгибная жёсткость пластины (упругого элемента); N - сжимающее (растягивающее) усилие; у - коэффициент жёсткости основания; условие (4) задает закон изменения давления на входе в трубопровод; давление в жидкости вычисля-

( 1 2 1 2 1

ется согласно интегралу Лагранжа-Коши Р = Р0 — р\Фг+ — Фх + — Фу |; Р0- давление в покоящейся

2 х 2 у

жидкости; р - плотность жидкости. Индексы х, у, г снизу обозначают частные производные по координатам х, у и времени г; штрих и точка - частные производные по координате у и времени г. Решение задачи

Представим функции Ф(х, у, г), g(х, у, г), w(у, г), Р(у, г) в виде разложения по малому параметру е : Ф(х,у,г) = е<(х,у,г) +..., g(x,у,г) = х — Wо(y) — еwl(y,г) —...,

w( у, г) = Wо (у) + еWl (у, г) +..., Р (у, г) = Р() + еР* (у, г) +.... Подставляя (5) в систему (1)-(4) и ограничиваясь членами порядка е , получим асимптотическую модель задачи в первом приближении:

(6)

(5)

<хх +<уу = 0

DWо " '' + Nw0' + уwо = Р0 — Р,

пт\ + />И|""+ М1," + уи, = -рср{ (и'п (у), у, I), <РХ У,1)~ Фу (У) = 0>> О,

—р< (—1, y, г ) = Р* (^г),

(7)

(8) (9)

где Р (у, г) - избыточное давление на входе в трубопровод (в сечении х = —1). Пусть Р* (у, г )=Р* (г).

Потенциал р(х, у, г) будем искать в виде

1 ^ У17Г

р(х,у,г) =--1Р* (2)& + (х +1)а('г) + 2^ри (г)со$Лпу ■ Лп (х +1), Лп = —. (Ш

Р 0 п=1 т

Функция (11) удовлетворяет уравнению Лапласа (6) и условию (10).

Функцию щ (у, г) будем искать в виде разложения в ряд по полной на отрезке [0, Т] системе функций (у)£ , удовлетворяющих граничным условиям, соответствующим условиям закрепления пластины.

Рассмотрим шарнирное закрепление концов упругого элемента

(щ(0, г) = щ"(0, г) = 0, щ(Т, г) = щ"(Т, г) = 0). Функцию щ (у, г) будем искать в виде

пж

Т■ (12)

Подставляя (11), (12) в уравнение (8) и проецируя на систему функций ^т Лпу}™ч , согласно методу Галёркина получим: птк({) + (оГк-ЫЛ2к+у)м>к({) =

2(1-(-1)*) 2р к Ар - (13)

wi(y,о = Zwn(t)sin\у> лп =

0 п= 0

}" -

Подставляя (11), (12) в условие (9) и проецируя на систему функций {cosKB y}"=0, согласно методу Галёркина получим:

00 h со

«(0 • ■h + 2Е<Рп (ОЛf (cosлпуchЛп (w0 (>>) +/) + Ч (у)sinлпуsMn (w0 (у) + /)) ф = (0 , (14)

и=1 о Я=1 \

00 h

п=1 0

0, п = k,

n+k

5nk =

Л2 -In2 +(-1) К

k п v ; п, п ф к.

К - К

Выразим из уравнения (14) а (г) и подставим в (13). Продифференцируем уравнение (15).Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для неизвестных функций Рп (г), Щ (г), которая является основой для численного эксперимента:

2(4-1)*)

mwk(t) + (Di:-N^ + r)wk(t) = P,(t)-

Xkh

2oh f 03 1 —í—lV 03 h ^

Í (w° (•y)+0 sm lkydy' Z (0 —;— 2X Фп (0 ■Л4 (cos ХпУ ch К (w0 (y)+l) + K (>-)sm Xj shA„ (w0 (y)+l))dy

ft л и=1 A.

A n 00 w

~ ir & (0 Ícos ^sh A, (wo (>")+0sm \y<fy,

" я=1 о

2¿ Ф„ (О Л J (cos Яя j; ch Лп (w0 (>>) + /) + w¿ (.y) sin Лпу sh Лп (w0 (>>) + /)) cos\yefy = J^wn(t)Snk, к = 1,2,....

Функция щ (у) должна удовлетворять уравнению (7) и граничным условиям, соответствующим шарнирному закреплению концов упругого элемента. Например, при N = 0, / = 0 имеем

Щ>( у) = (у4 - 2Ту3 + тъу).

Рассмотрим жёсткое закрепление концов упругого элемента

(w(0, t) = w'(0, t) = 0, w(h, t) = w'(h, t) = 0). Функцию щ (y, t) будем искать в виде

да

w!(y,t) = Zwn (t)Zn (y), (16)

n=\

ch(цh)-cos(ц h).- ч

гДе 4„(У) = ch(ЦпУ)-cos(ЦпУ)—ь) \ч_ • / \{ (shU)-sm{цяу)), ц нах°дятся из уравнения

sh (unh ) sin (unh )

ch (¡unh) cos (unh ) = \.

Подставляя (11), (16) в уравнение (8) и проецируя на систему функций (y)} , согласно методу Галёркина получим:

оо h

mhwk (t) + (DM; + r)hwk (i) + * $>„ (t)jay)^(y)dy =

n=\ 0

(17)

h h со h

Л (0 • J - P« (0 J (i^o + (^)ф^ - (/) • J COS 2 ^ • sh 2 (w0 (j.) + (J,)^, k = 1,2,....

0

Подставляя (11), (16) в условие (9) и проецируя на систему функций {cos^ y}J_0, согласно методу Галеркина получим:

со h да h

a (t) ■ h + 2^ <рп( t) Л„j (eos Xny ch Án( w0( y) +1) + w'0 (>>) sin Xny shÁn( w0 (y) + /)) dy = £ wn (t) j ¿¡n (y), (18)

n=\ о я=1 0

oo h h

(0 2J(C0S ch К (wo {y)+l)+< Cv)sin sh К (wo Cv)+1 ))cos КуФ=5X (0í(y)cos КуФ, ,, Q4

n=1 o 0 ^^

k = 1,2,....

Выразим из уравнения (18) a(t) и подставим в (17). Продифференцируем уравнение (19). В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для неизвестных функций (рп (t), wn (t), которая является основой для численного эксперимента:

( h \ и h оо h

h\0 у

00 h

n=l о K=1 О

О и=1 О

? п (к ^ 00 А

Й V О ) и=1 о

А т к

IX (О^ООсоэЛ^ = 2^и{(совЛ^сИ (>-)+/) + 4 (^"Ч^ 8Н К (>-)+/))со8^>ф, к = 1,2,....

О И=1 О

Функция ^ (у) должна удовлетворять уравнению (7) и граничным условиям, соответствующим жёсткому закреплению концов упругого элемента. Например, при N = 0, у = 0 имеем

^ у)=РёР (у4 — 2Иу3 + И2 у2).

Численный эксперимент

Ограничим количество слагаемых в разложениях (11), (12), (16) числом М .

Пусть рабочая среда - вода (р = 1000), пластина изготовлена из алюминия (р0 = 2700, Е = 7 • 1010 -

модуль упругости, V = 0,34 - коэффициент Пуассона, \ = 5•Ю 4 - толщина пластины). Значения параметров:

- ЕИЪ

Р — Р = 105, D =-= 0,824, I = 0,5, И = 0,03, т = = 1,35, N = 0, у = 0, Р(г) = 105(2 — ео810г)

12(1 — V )

0

0

(все значения приведены в единицах СИ). Начальные условия зададим в ви-

Ип

де = 0, = 0, к = 1 ,...,М. В качестве малого параметра возьмём е = — .

Ъ

Рассмотрим шарнирное закрепление концов упругого элемента датчика. С помощью системы

м

Mathematica 12.0 получим графики функции деформации щ(у, г) = щ (у) + щ (г)8т Хпу для М = 2 на

п=1

различных временных отрезках (рис.2):

Рис. 2. Графики функции деформации щ(у, г) при Т = 5 ■ 10 4 (шарнирное закрепление)

Уменьшим в два раза толщину пластины (Т = 2,5 ■Ю-4 , т = 0,675, О = 0,103). Получим следую-

м

щие графики функции деформации щ(у,г) = щ0(у) + щ(г)8тХпу (рис.3):

Рис. 3. Графики функции деформации щ(у, г) отрезках при Т = 2,5 ■ 10 4 (шарнирное закрепление)

Из рис. 2, 3 видно, что с уменьшением толщины пластины деформация упругого элемента увеличивается, что соответствует физическим представлениям.

Рассмотрим жёсткое закрепление концов упругого элемента датчика. Для указанных выше значений параметров и й0 = 2,5■Ю-4 , т = 0,675, О = 0,103 с помощью системы Mathematica 12.0 получим

м

графики функции деформации щ( у, г) = щ0( у) + щ (г )%п (у) для М = 2 на различных временных от-

п=1

резках (рис. 4):

п=1

Рис. 4. Графики функции деформациищ(у,г) отрезках прий0 = 2,5■ 10 4 (жёсткое закрепление)

Из рис. 3, 4 видно, что деформация при жёстком закреплении концов упругого элемента датчика меньше, чем при шарнирном, что соответствует физическим представлениям.

Приведем графики щ (у) для случая шарнирного и жёсткого закреплений концов упругого элемента (N = 0, Т = 0,03, у = 0, р -Р = 105, О = 0,103):

Рис.5. Графики щ (у) для случая шарнирного и жёсткого закреплений концов упругого элемента

Постановка тепловой задачи для системы «трубопровод - датчик давления»

Сжимающая (растягивающая) элемент сила N может зависеть от времени. Например, при изменении теплового воздействия на пластину с течением времени N(1) имеет вид:

гр Ы2

Ы(Г) = М0+МТ,ЫТ=-, Т = Еат |

1 — У Г,„

где а - температурный коэффициент линейного расширения; N - постоянная составляющая усилия, отражающая свойство конструкции; Т2 (х, г) - закон изменения температуры по толщине элемента.

Рис. 6. Схема системы «трубопровод - датчик давления» для тепловой задачи

Функция T (x, t) определяется как решение следующей задачи:

PC\Tlt = k\T\xx -Д\ (T\ - T0 ),

T (-J, t ) = T (t),

-k\T\x [-h,t-r2)|x=-h,

P0C2T2t = k2T2xx - Д2 (T2 - T0 ),

-k2r2 x ^ h ,t ,T - T0h,

-k2T2 x

'- h ,f\=a(T\ - t. )

h .

x=--

2

Здесь T (x, t) - закон изменения температуры рабочей среды; T0 - температура окружающей среды (T = const); T (t) - закон изменения температуры на входе в трубопровод (на выходе из камеры сгорания); кх, к2 - коэффициенты теплопроводности среды и материала пластины соответственно; р, р0 - плотности среды и пластины; Cj, с2 - коэффициенты теплоёмкости среды и пластины; Д -коэффициент теплообмена между поверхностью трубопровода и окружающей средой; Д - коэффициент теплообмена между пластиной и окружающей средой; a - коэффициент теплообмена между рабочей средой и пластиной. Если поверхность пластины теплоизолирована, то Д = 0 .

Другие математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» а) Указанный выше подход (разложение функций Ф(x, y, t), g(x, y, t), w(y, t), F(y, t) по малому параметру s ) можно применить также для трубопроводов с изменённой геометрией торца [14]:

Рис. 7. Трубопровод с датчиком в торцевой полости

Рис. 8. Трубопровод бесконечной длины с датчиком в торцевой полости

Рис. 9. Трубопровод с датчиком в боковой полости

Рис. 10. Трубопровод бесконечной длины с датчиком в боковой полости На рис. 7-10: 1 - двигатель, 2 - трубопровод, 3 -датчик давления, 4 - рабочая среда, 5 - чувствительный элемент датчика (упругая пластина)

б) Для описания динамики пластины можно предложить нелинейные математические модели системы «трубопровод - датчик давления». Дифференциальный (или интегро-дифференциальный) оператор в уравнении (3), описывающем динамику упругого элемента, может быть задан по-разному в зависимости от выбранной модели твёрдого деформируемого тела, например:

L (w(y, t)) = mwtt + Dw^ + NWyy + fiw^ + f(wt, w);

L (w(y,t)) = mwtt + Dwyyyy + Nwyy + pwyyyt + f (wt,w) - wyy I vjrfdy + Л — Irfdy

L ( w( y, t) ) = mwtt +

Dw„

1 - 3 w2 2 y

+ Nwyy + Pwyyyt, + f (wt, w);

L ( w(y, t ~)) = mwtt +

Dw„

1 - - w2 2 y

+ Nwyy +p

w„

1 - - wl 2 y

■f (wt, w).

(20)

(21)

(22)

yyt

((щ, щ) - некоторая линейная или нелинейная функция, зависящая от деформации м>(у, и скорости деформации щ (у, ?); /, ] - коэффициенты внутреннего демпфирования; / - коэффициент, зависящий от прочностных и геометрических характеристик элемента и типа его закрепления.

В модели (20) учтена нелинейность продольной силы, возникающая вследствие удлинения трубопровода из-за его деформации; модель (21) учитывает нелинейность изгибающего момента; в модели (22) предполагаются нелинейными упругие силы и их демпфирование.

Заключение

В работе исследуется совместная динамика чувствительного элемента датчика давления и рабочей среды в трубопроводе на основе математической модели, учитывающей начальную деформацию упругого элемента. Исследование динамики упругого элемента основано на применении метода малого параметра, метода Галёркина и проведении численного эксперимента в системе МаШешайса 12.0. Рассматриваются случаи жёсткого и шарнирного закрепления концов упругого элемента. Указанный подход можно применить также для трубопроводов с изменённой геометрией торца. Для описания динамики упругого элемента предложены новые нелинейные математические модели системы «трубопровод - датчик давления». Предложена постановка тепловой задачи для системы «трубопровод -датчик давления».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aulisa E., Ibragimov A., Kaya-Cekin E. Y. Fluid structure interaction problem with changing thickness beam and slightly compressible fluid // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. S. 2014. V. 7, no. 6. pp. 1133-1148.

2. Faal R. T., Derakhshan D. Flow-Induced Vibration of Pipeline on Elastic Support // Procedia Engineering. 2011. V.14.pp. 2986-2993.

3. Kheiri M., Paidoussis M. P. Dynamics and stability of a flexible pinned-free cylinder in axial flow // Journal of Fluids and Structures. 2015. V. 55. pp.204-217.

4. Velmisov P. A., Pokladova Yu. V., Mizher U. J. Mathematical modeling of the mechanical system «pipeline - pressure sensor» // AIP Conference Proceedings. 2019. V. 2172. pp. 030006-1-030006-12.

5. Velmisov P.A., Pokladova Yu.V. Mathematical modelling of the «Pipeline - pressure sensor» system // Journal of Physics: Conference Series. 2019. V. 1353, 012085, №1. pp. 1-6.

6. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Покладова Ю. В. Математическое моделирование механической системы «трубопровод-датчик давления». - Ульяновск: УлГТУ, 2008. -188 с.

7. Белозубов Е. М., Васильев В. А., Запевалин А. И., Чернов П. С. Проектирование упругих элементов нано- и микроэлектромеханических систем // Измерительная техника. - 2011. - №1. -С. 17-19.

8. Белозубов Е. М., Мокров Е. А., Тихомиров Д. В. Минимизация погрешности тонкопленочных тензорезисторных датчиков давления при воздействии нестационарной температуры // Датчики и системы. - 2004. - №1. - С.26-29.

9. Бушев Е. Е., Стучебников В. М. ПГ МИДА - 20 лет на рынке малогабаритных датчиков давления // Датчики и системы. - 2011. - №5. - С. 2-7.

10. Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Решетников Ю. А. Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления» // Датчики и системы. - 2003. - № 6(49). -С.12-15.

11. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В., Серебрянникова Е. С. Математическое моделирование систем динамического контроля за изменением давления // Журнал Средневолжского математического общества. 2012. - Т. 14, №2. - С. 22-33.

12. Вельмисов П. А., Решетников Ю. А., Горбоконенко В. Д., Ходзицкая Ю. В.Математические модели механической системы «трубопровод - датчик давления» // Вестник Ульяновского государственного технического университета. - 2003. - №1-2 (21-22). - С.22-24.

13. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. О некоторых математических моделях механической системы «трубопровод - датчик давления» // Вестник Самарского государственного технического университета. Сер. Физ.-мат. науки. - 2011. - №1 (29). - С. 137-144.

14. Вельмисов П. А., Покладова Ю.В. Исследование динамики деформируемых элементов некоторых аэрогидроупругих систем // Ульяновск: УлГТУ, 2018. - 152 с.

15. Казарян А. А., Грошев Г. П. Универсальный датчик давления // Измерительная техника. -2008. - №3. - С. 26-30.

16. Михайлов П. Г., Мокров Е. А., Митрохин С. В., Сергеев Д. А. Особенности метрологического обеспечения современных датчиков пульсаций давлений // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2012. - Т. 130, №5. - С. 174-179.

17. Пирогов С. П. Манометрические трубчатые пружины. - СПб.: Недра, 2009. - 276 с.

18. Стучебников В. М. Датчики давления МИДА для систем коммерческого учёта энергоносителей // Датчики и системы. - 2009. - №4. - С. 38-40.

19. Эткин Л. Г. Виброчастотные датчики. Теория и практика. - Москва : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 408 с.

REFERENCES

1. Aulisa E., Ibragimov A., Kaya-Cekin E. Y. Fluid structure interaction problem with changing thickness beam and slightly compressible fluid // Discrete and Continuous Dynamical Systems, Ser. S. 2014. V. 7, no. 6. pp. 1133-1148.

2. Faal R. T., Derakhshan D. Flow-Induced Vibration of Pipeline on Elastic Support // Procedia Engineering. 2011. V.14.pp. 2986-2993.

3. Kheiri M., Paidoussis M. P. Dynamics and stability of a flexible pinned-free cylinder in axial flow // Journal of Fluids and Structures. 2015. V. 55. pp.204-217.

4. Velmisov P. A., Pokladova Yu. V., Mizher U. J. Mathematical modeling of the mechanical system «pipeline - pressure sensor» // AIP Conference Proceedings. 2019. V. 2172. pp. 030006-1-030006-12.

5. Velmisov P.A., Pokladova Yu.V. Mathematical modelling of the «Pipeline - pressure sensor» system // Journal of Physics: Conference Series. 2019. V. 1353, 012085, №1. pp. 1-6.

6. Ankilov A.V., Velmisov P. A., Gorbokonenko V. D., Pokladova Yu. V. Matematicheskoe modelirovanie mekhanicheskoj sistemy «truboprovod-datchik davleniya» [Mathematical modeling of the mechanical system «pipeline-pressure sensor»]. Ulyanovsk: UlSTU, 2008, 188 p.

7. Belozubov E. M., Vasiliev V. A., Zapevalin A. I., Chernov P. S. Proektirovanie uprugih elementov nano- i mikroelektromekhanicheskih sistem [Design of elastic elements of nano-and microelectromechanical systems] // Izmeritel'naya tekhnika. [Measuring equipment], 2011, no. 1, pp. 17-19.

8. Belozubov E. M., Mokrov E. A., Tikhomirov D. V. Minimizaciya pogreshnosti tonkoplenochnyh tenzorezistornyh datchikov davleniya pri vozdejstvii nestacionarnoj temperatury [Minimizing the error of thin-film strain-resistant pressure sensors under the influence of non-stationary temperature] // Datchiki i sistemy [Sensors and systems]. 2004, No 1, P. 26-29.

9. Bushev E. E., Stuchebnikov V. M. PGMIDA - 20 let na rynke malogabaritnyh datchikov davleniya // [PG MIDA-20 years on the market of small-sized pressure sensors] // Datchiki i sistemy [Sensors and systems]. 2011, no. 5, pp. 2-7.

10. Velmisov P. A., Gorbokonenko V. D., Reshetnikov Yu. A. Matematicheskoe modelirovanie mekhanicheskoj sistemy «truboprovod - datchik davleniya» [Mathematical modeling of the mechanical system «pipeline-pressure sensor»] // Datchiki i sistemy [Sensors and systems]. 2003, - no. 6(49), pp. 12-15.

11. Velmisov P. A., Pokladova Yu. V., serebryannikova E. S. Matematicheskoe modelirovanie sistem dinamicheskogo kontrolya za izmeneniem davleniya [Mathematical modeling of dynamic pressure control systems] // Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva [Journal of the middle Volga mathematical society]. 2012, Vol. 14, no. 2, pp. 22-33.

12. Vel'misov P. A., Reshetnikov Yu. a., Gorbokonenko V. D., Kozicka Y. V. Matematicheskie modeli mekhanicheskoj sistemy «truboprovod-datchik davleniya» // [Mathematical model of mechanical system «pipeline - pressure sensor»] // Vestnik Ul'yanovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. [Vestnik of Ulyanovsk state technical University]. 2003, no.1-2 (21-22), pp. 22-24.

13. Vel'misov P. A., Poladova V. O nekotoryh matematicheskih modelyah mekhanicheskoj sistemy «truboprovod-datchik davleniya» [On some mathematical models of mechanical system «pipeline - pressure sensor»] // Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Ser. Fiz.-mat. nauki. [Vestnik of Samara state technical University. Ser. Phys.-Mat. science]. 2011, no. 1 (29), P. 137 to 144.

14. Vel'misov P. A., Poladova Yu. V. Issledovanie dinamiki deformiruemyh elementov nekotoryh aerogidrouprugih sistem [Study of dynamics of deformable elements of some aerohidrodinamic systems] // Ulyanovsk: UlSTU, 2018, 152 p.

15. Kazaryan A. A., Groshev G. P. [Universal pressure sensor] // [Measuring equipment], 2008, no. 3, Pp. 26-30.

16. Mikhailov P. G., Mokrov E. A., Mitrokhin S. V., Sergeev D. A. Osobennosti metrologicheskogo obespecheniya sovremennyh datchikov pul'sacij davlenij [Features of metrological support of modern pressure pulsation sensors] // Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo universiteta. Tekhnicheskie nauki [Proceedings of the southern Federal University. Technical Sciences], 2012, Vol. 130, no. 5.

17. Pirogov S. P. Manometricheskie trubchatye pruzhiny. [Manometric tubular springs]. SPb.: Nedra, 2009, 276 p.

18. Stuchebnikov V. M. Datchiki davleniya MIDA dlya sistem kommercheskogo uchyota energonositelej [MFA pressure Sensors for commercial energy accounting systems] // Datchiki i sistemy [Sensors and systems]. 2009, no. 4, pp. 38-40.

19. Etkin L. G. Vibrochastotnye datchiki. Teoriya i praktika [Vibro-Frequency sensors. Theory and practice]. Moscow: Izd-vo MGTUim. N.E. Baumana [Bauman Moscow state technical University], 2004, 408 p.

Вельмисов Петр Александрович, профессор кафедры высшей математики инженерно-экономического факультета ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный технический университет» (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32), доктор физико-математических наук, профессор, velmisov@ulstu.ru

Покладова Юлия Валерьевна, доцент кафедры высшей математики инженерно-экономического факультета ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный технический университет» (Россия, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, д. 32), кандидат физико-математических наук, доцент, pokladovau@,inbox. т

Поступила 27.08.2020 г. Вестник УлГТУ 2-3/2020