CC BY
14
4. Da-quan Li. Dynamics Modeling, Control System Design and Simulation of Manipulator Based on Lagrange Equation / Da-quan Li, Hua-jie Hong and Xian-liang Jiang. Mechanism and Machine Science,
2016, pp.1129-1141.
5. Goritov A.N., Molokova M. F. Raschyot dinamicheskih harakteristik manipulyatora [Calculation of the dynamic characteristics of the manipulator]. Doklady TUSURa [Reports of TUSUR], Vol. 20, No 4,
2017, pp.113-115.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи, монографии, изобретения в области динамики машин, моделирования процессов удара [e-mail: v.manjosov@ulstu.ru].
Самсонов Александр Анатольевич, аспирант кафедры «Промышленное и гражданское строительство» Ульяновского государственного технического университета. Имеет статьи и патенты в области создания механизмов различного технологического назначения [e-mail: saa@sosny.ru].
Поступила 16.12.2019 г.
УДК 532.5:517.9
П. А. ВЕЛЬМИСОВ, Ю. А. ТАМАРОВА
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМЫ «ТРУБОПРОВОД-ДАТЧИК ДАВЛЕНИЯ» С УЧЁТОМ СЖИМАЕМОСТИ РАБОЧЕЙ СРЕДЫ
Предложена математическая модель механической системы «трубопровод - датчик давления», предназначенной для измерения давления рабочей среды в двигателе. Получено уравнение, связывающее отклонение чувствительного элемента датчика и закон изменения давления. Проведено аналитическое исследование динамики чувствительного элемента датчика давления и рабочей среды с учётом её сжимаемости. Реализован также численный эксперимент, основанный на методе конечных разностей.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, трубопровод, датчик давления, метод конечных разностей.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Ульяновской области в рамках научных проектов№18-41-730015, №19-41-730006.
Введение
На основе предложенной модели, описываемой системой дифференциальных уравнений, исследуется совместная динамика чувствительного элемента датчика давления и рабочей среды в трубопроводе. Для описания динамики чувствительного элемента используется модель, основой которой является обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс одномассовой
© Вельмисов П. А., Тамарова Ю. А., 2020
системы. Динамика рабочей среды в трубопроводе описывается дифференциальным уравнением с частными производными, соответствующим линейной теории движения жидкостей или газов в предположении, что среда идеальная и сжимаемая. Решение задачи сведено к исследованию обыкновенного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом, связывающего между собой величину перемещения чувствительного элемента датчика с законом изменения давления рабочей среды в двигателе.
К одним из первых работ, в которых рассматривались подобные задачи в аналогичной постановке, но с использованием модели несжимаемой среды, следует отнести статьи[1-8]. Укажем также монографии [9, 10], в которых представлена совокупность моделей и методов исследования механической системы «трубопровод-датчик давления».
1. Постановка задачи
Приведём математическую постановку, соответствующую одномерной модели механической системы «трубопровод - датчик давления».
Р„ - = 0 x е(0,l), (1)
-p0pt (0,t) = P(t), (2)
Рх (l, t) = w (t), (3)
L(w(t)) - mw(t) + f (w(t),w(t)) = Po -PoP(l, t) - P.. (4)
Здесь p(x, t) - потенциал скорости, описывающий движение рабочей среды в трубопроводе в модели сжимаемой среды; w(t)- закон движения чувствительного (упруго закреплённого) элемента датчика; p0, P0, а0 - плотность, давление, скорость звука, соответствующие состоянию покоя рабочей среды; P(t)- закон изменения избыточного давления ( p = P0 + P(t)) рабочей среды на входе в трубопровод (на выходе из камеры сгорания двигателя); P.- некоторое внешнее (например, управляющее) воздействие; m - масса элемента; индексы x , t снизу обозначают частные производные по координате x и времени t , точка сверху - производную по t .
2. Аналитическое исследование
Общее решение волнового уравнения (1) имеет вид
р( х, t) = A
t--
+ B
0
t + -
»0 У
(5)
где A x , B x
t-- t + —
V a0 У V a0 У
— произвольные функции своих аргументов.
Удовлетворяя условиям (2), (3), (4), получим
-P0 [A'(t) + B'(t )] = P(t),
Из (7), (8) находим
- A'
Po - P.-P0
l + B' l
t-- t + —
V a0 У V a0 У
= a> w (t),
A'
t—
V a0 У
+ B'
t+— a
0 У.
= L(w(t)).
A'
t--
B'
0 У Л
2p
i a
- [P. - P0 + L(w(t))]-a0 w (t),
l
t + —
V a0 У
2p
1 a
— [P. -P0 + L(w(t))]+af w(t).
(6)
(7)
(8)
(9) (10)
x
x
l
a
0
Согласно (9), (10)
А* ) = - -1-
2Ро
В'Ь ) = -
2Ро
( (
Р. - Ро + Ь
V V
г /
? + -
Р. - Ро + Ь
V V
-
*о уу 1 Х\
уу
- — w -
г + -
♦о у
+--- ^
-
-
(11) (12)
V "о у
Подставляя (11), (12) в (6), получим уравнение с отклоняющимся аргументом, связывающее величину отклонения w( г) чувствительного элемента датчика с законом изменения давления Р( г) рабо-
чей среды в двигателе
( ( ¡\\
Ь
г--
ап
+ Ь
V V уу Приведём пример. Пусть
/
н>
V V
+
А
*о уу
Ро ао
-
V ао У
- Н>
г+-
V ао у
= 2[Р(0 + Ро - Р. ].
Ь(м>( г)) = тм( г) + а^( г) + /1м>( г) + х^3 ( г) + ( г)м>( г).
(13)
(14)
Тогда уравнение (13) примет вид
т
(
w
+ Гз
I
г--
I
(
\ (
V ао У
+ w
I
г +—
V а о у
Л (
\
+ а
(
w
-Роао
г--
(
V ао у
+ ^
г + —
V а о у
I
г--
о (
\
V ао у
w
+ w
I
I
г +—
V а о у
г--
V ао у
w
+ /1
\
w
г--
V ао у
(
+ w
w
\
г —
V ао у
(
- w
г + —
V а о у
= 2[Р(г) + Ро - Р. ].
г —
V ао у
+ w
г + —
V ао у
w
I
г +— а
л'
\
V а о у
+
I
г +—
V а о у
(15)
Если — = £ - малый параметр (например, для воздуха ао « 33ом/с), то, проводя в (15) разложе-
ао
ние по степеням £ и отбрасывая старшие по порядку члены, можно получить приближенное уравнение (без отклонения аргумента г), связывающее w( г) и Р(г). Например, в линейной модели
(/3 =£,= о), оставляя члены порядка единицы и £, получим
(т+ро1 )#( г) + см( г) + г) +1 £
1
т + ~Р(! К ( 0 + а'( г) + г)
+ О^4 )= Р( 0 + Ро - Р.. (16)
Решение этого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами можно искать классическими методами. Например, если пренебречь демпфированием (а = о), то несложно получить «отклик» w( г) на периодическое изменение давления в двигателе Р(г) = ЛътШ:
Ро - Р.
w( г) = -
/1
■ + (с1,с2,с3,с4,г)+В8та,
(17)
где общее решение однородного уравнения w0 (с1, с2, с3, с4, г) является ограниченной величиной, а амплитуда вынужденных колебаний В определяется выражением
А (18)
В =-г-
/ -(т +Ро1 К + - £а ^ т + 3 Ро1 -/1
Очевидно, имеет место резонанс, когда частота возмущающей силы а близка к частоте собственных колебаний
/1
то + Ро1
I
I
а
I
а
¡
I
В случае, когда закон изменения давления имеет вид Р(г) = Лвл , отклик w(t) согласно точной модели (15) в линейном приближении (/3 =% = 0) можно искать в виде
P - P
w(t) = р0—Р + BeXt .
/1
Тогда получим связь между A и B
B = ■
2
тХХ + аХ + / + р0а0Х th
v a у
ch
(19)
(20)
V a0 у
Заметим, что для определения характера свободных колебаний упругого элемента следует провести исследование нелинейного алгебраического уравнения
XI
тХ + аХ + / + р0а0Х th
V ао У
= 0.
(21)
3. Численное исследование. Метод конечных разностей. Дополним задачу (1)-(4) начальными условиями:
w(0) = S, w(0) = Q, (22)
p(x,0) = y/1 (x), (pt (x,0) = y/2 (x) . (23)
Пусть L(w(t)) = mw(t) + aw(t) + /1w(t) .
Проведём численное исследование задачи (1)-(4), (22)-(23) методом конечных разностей. Разобьём
отрезок [0,l] на n частей точками x = hxi,i = 0,1,...,n, гдеhx =l; отрезок [0,T] — наK частей точка-
x n
T
ми t¿ = htk, k = 0,1,...,K, где ht = — .
K
Введём обозначения p(xt, tk) = pp, w(tk) = wk.
Конечно-разностная аппроксимация уравнений и условий (1) -(4), (22), (23) имеет вид
к+1 о i ^к-1
Pi - 2Pi +Pi
hf
- а,
2 Pi+1 - 2Pp +Pp-1
= 0,
P0 (P0k+1 -P0k ) = P(tk ),
.k+1 ,„k+1 P„ -P„-1
h.
h
(wk+' - 2wk + wk-1) a(wk - wk-1) Pc(P„k -Pnk-1) p -~--1---+ y, w = РЛ---P* ,
h 2 h Л 0 h '
w0 = S,
w1 - w0
= Q,
P°¡ = У 1( x),
Pi -Pi h
= У2(xi) ^Pi = У(xi) + h,Wi(xi).
(24)
(25)
(26)
(27)
(28) (29)
Программная реализация и численный эксперимент. Алгоритм решения системы (24)-(29):
1) Задаём начальные условия
= 5, w1 = £ + к£,
Рр = ^( X), р =^1( X) + XК г = 0,1,...,«.
2) Из уравнения (24) находим значения потенциала р
0
h
k+1 k
h
,„k +1 0,„k ,_k-1 , a0 ht í„k o,„k , к \ . 1 1
P = 2P -P + №+1 -2P +P-1Л i = 1,...,и-1
д
3) Из условия (25) находим значения потенциала в граничной точке
k+i P(tk )h к Po =--+ Po •
P0
4) Из уравнения (27) находим значения функции w
wk+1 = (P0 - Р*Ж -PA P -pk-1)+ 2wk - wk-1 ^ Wk - wk-1)
m m m
^ (wk -wk-1 )-yh-wk • m
5) Из условия (26) находим
Pn = Pn-1 + — (W - W h
(wk+1 - wk )•
Цикл повторяется с пункта 2 по 5 для k = 1,2,...,K -1.
Рассмотрим пример механической системы. Рабочая среда - воздух (р0 = 1).Параметры системы: P0 = P = 105, a0 = 331, l = 2, m = 0,1(все значения приведены в единицах СИ). Начальные условия зададим в виде: w(0) = 0, W(0) = 0 .
Программа, разработанная на С++ на основе описанного алгоритма, позволяет получать графики функции w(t) при различном задании закона изменения давления P(t) . При численном эксперименте было введено разбиение n = 200, К = 100 000.Также численно получено решение уравнения (16) с помощью системы Mathematica. На рисунках 1 - 4 представлены примеры расчётов при различном задании функции P(t) и параметров а , у1.
а) метод конечных разностей
б) численное решение уравнения (16)
Рис. 1. Графики отклонения подвижного элемента датчика: P(t) = 104cos(5t), а = 200, у1 = 10
wftl 0,2 0,15 0,1 0,05
а
-0,05 -0,1 -0,15
0 12 3 4 а) метод конечных разностей
б) численное решение уравнения (16)
Рис. 2. Графики отклонения подвижного элемента датчика: P(t) = 104 cos(5t), а = 200, у1 = 10
h
а) метод конечных разностей б) численное решение уравнения (16)
Рис. 3. Графики отклонения подвижного элемента датчика: Р(,) = 104 е , а = 20, ух = 106
а) метод конечных разностей
б) численное решение уравнения (16)
Рис.4. Графики отклонения подвижного элемента датчика: Р(,) = 104 е 5, а = 20, у1 = 10
Из рисунков 1-4 видно, что решение задачи (1)-(4), (22), (23), полученное по методу конечных разностей, совпадает с численным решением уравнения (16). Также следует отметить значительное влияние параметра у1 на амплитуду колебаний подвижного элемента.
Отметим, что расчёт по методу конечных разностей и численное решение уравнения (16) дают результаты, совпадающие с решением (17), (18).
Замечание. Для несжимаемой среды в одномерной модели потенциал скорости имеет вид
р( х, ,) = в(,) х + ¡(,).
Давление определяется согласно нелинейному интегралу Лангранжа-Коши
р=р0-р0 [р, + 2рХ
и имеет вид
1
р(^ 0 = Р0 -Рс
в(,) х + 3 (,) + -в2(,)
Тогда, удовлетворяя условиям р(0,,) = Р0 + Р(,), рх (I + м>,,) = м>(,), получим уравнение, связывающее м>(,) и Р(,):
(Ш + рй1 + Р0+ /, т) = Р0 - Р. + Р(,) .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вельмисов П. А., Маценко П. К., Распутько Т. Б., Гришин Д. Н. Исследование динамики упругих элементов датчиков // Тезисы докладов 26-й научно-технической конференции. - Улья-новск:УлПИ, 1992. - С.64-66.
2. Афанасьев Ю. В, Вельмисов П. А., Егоров А. В., Леонтьев В. Л. Расчёт динамики упругого элемента датчика с учётом теплового воздействия // Тезисы докладов 27-й научно-технической конференции. - Ульяновск : УлПИ, 1993. - Ч. 2. - С. 11-14.
3. Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Решетников Ю. А. Математическая модель датчика давления // Труды международной конференции «Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроматематика в науке, технике и экономике».- Ульяновск:УлГТУ,2001. - Т.4.- С.21-23.
4. Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д. Исследование математической модели системы «трубопровод - датчик давления» // Труды международной конференции «Континуальные логико-алгебраические исчисления и нейроматематика в науке, технике и экономике». - Ульяновск: УлГТУ, 2001. - Т. 4.- С. 30-32.
5. Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д. Об одной математической модели системы «трубопровод
- датчик давления» // Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов. Математика: труды Четвёртой международной научно-технической конференции. - Ульяновск :УлГУ, 2001. - С. 43-44.
6. Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д. Об одной математической модели системы «трубопровод
- датчик давления» // Математическое моделирование и краевые задачи: труды Одиннадцатой межвузовской конференции. - Самара:СамГТУ,2001. - Ч. 2.- С. 15-17.
7. Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Решетников Ю. А. Математическая модель системы «трубопровод - датчик давления» // Механика и процессы управления:сборник научных трудов. -Ульяновск: УлГТУ, 2002. - С. 9-15.
8. Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Решетников Ю. А. Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления» // Датчики и системы. - 2003. - №6(49). -С.12-15.
9. Анкилов А. В., Вельмисов П. А., Горбоконенко В. Д., Покладова Ю. В. Математическое моделирование механической системы «трубопровод - датчик давления». - Ульяновск: УлГТУ, 2008. -188 с.
10. Вельмисов П. А., Покладова Ю. В. Исследование динамики деформируемых элементов некоторых аэрогидроупругих систем. - Ульяновск: УлГТУ, 2018. - 152 с.
REFERENCES
1. Velmisov P. A., Matsenko P. K., Rasputko T. B., Grishin D. N. Issledovanie dinamiki uprugih elementov datchikov [Study of the dynamics of elastic elements of sensors]. Tezisy dokladov 26-j nauchno-tekhnicheskoj konferencii [Abstracts of the 26th scientific and technical conference]. Ulyanovsk, UlPI, 1992, рр. 64-66.
2. Afanasyev Yu. V., Velmisov P. A., Egorov A. V., Leontiev V. L. Raschyot dinamiki uprugogo elementa datchika s uchyotom teplovogo vozdejstviya [Calculation of the dynamics of the elastic element of the sensor, taking into account thermal effects]. Tezisy dokladov 27-j nauchno-tekhnicheskoj konferencii [Abstracts of the 27th scientific and technical conference]. Ulyanovsk, UlPI, 1993. Part 2, рр. 11-14.
3. Velmisov P. A., Gorbokonenko V. D., Reshetnikov Yu. A. Matematicheskaya model' datchika davleniya [The mathematical model of the pressure sensor]. Trudy mezhdunarodnoj konferencii «Kontinual'nye logiko-algebraicheskie ischisleniya i nejromatematika v nauke, tekhnike i ekonomike» [Proceedings of the international conference «Continuous logical-algebraic calculi and neuromathematics in science, technology and economics»]. Ulyanovsk: UlSTU, 2001, T. 4, рр. 21-23.
4. Velmisov P. A., Gorbokonenko V. D. Issledovanie matematicheskoj modeli sistemy «truboprovod -datchik davleniya» [The study of the mathematical model of the system «pipeline - pressure sensor»]. Trudy mezhdunarodnoj konferencii «Kontinual'nye logiko-algebraicheskie ischisleniya i nejromatematika v nauke, tekhnike i ekonomike». [Proceedings of the international conference «Continuous logical-algebraic calculi and neuromathematics in science, technology and economics»]. Ulyanovsk, UlSTU, 2001,T. 4, рр. 30-32.
5. Velmisov P. A., Gorbokonenko V. D. Ob odnoj matematicheskoj modeli sistemy «truboprovod -datchik davleniya» [About one mathematical model of the «pipeline - pressure sensor» system]. Matematicheskoe modelirovanie fizicheskih, ekonomicheskih, tekhnicheskih, social'nyh sistem i processov. Matematika:trudy Chetvyortoj mezhdunarodnoj nauchno-tekhnicheskoj konferencii [Mathematical modeling of physical, economic, technical, social systems and processes. Mathematics: Proceedings of the Fourth International Scientific and Technical Conference]. Ulyanovsk, UlSU, 2001, pp. 43-44.
6. Velmisov P. A., Gorbokonenko V. D. Ob odnoj matematicheskoj modeli sistemy «truboprovod -datchik davleniya» [About one mathematical model of the «pipeline - pressure sensor» system]. Matematicheskoe modelirovanie i kraevye zadachi: trudy Odinnadcatoj mezhvuzovskoj konferencii. [Mathematical modeling and boundary value problems: proceedings of the Eleventh Interuniversity Conference]. Samara, Samara State Technical University, 2001, Part 2, pp. 15-17.
7. Velmisov P. A., Gorbokonenko V. D., ReshetnikovYu. A. Matematicheskaya model' sistemy «truboprovod - datchik davleniya» [The mathematical model of the system «pipeline - pressure sensor»]. Mekhanika i processy upravleniya:sbornik nauchnyh trudov [Mechanics and control processes: a collection of scientific papers]. Ulyanovsk, UlSTU, 2002, pp. 9-15.
8. Velmisov P. A., Gorbokonenko V. D., Reshetnikov Yu. A. Matematicheskoe modelirovanie mekhanicheskoj sistemy «truboprovod - datchik davleniya» [Mathematical modeling of the mechanical system «pipeline - pressure sensor»]. Sensors and systems. 2003, No. 6 (49), pp. 12-15.
9. Ankilov A. V., Velmisov P. A., Gorbokonenko V. D., Pokladova Yu. V. Matematicheskoe modelirovanie mekhanicheskoj sistemy «truboprovod - datchik davleniya» [Mathematical modeling of the mechanical system «pipeline - pressure sensor»]. Ulyanovsk, UlSTU, 2008. 188 p.
10. Velmisov P. A., Pokladova Yu. V. Issledovanie dinamiki deformiruemyh elementov nekotoryh aerogidrouprugih sistem. [Investigation of the dynamics of deformable elements of some aerohydroelastic systems]. Ulyanovsk, UlSTU, 2018. 152 p.
Вельмисов Пётр Александрович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика», Ульяновский государственный технический университет. Тамарова Юлия Александровна, соискатель кафедры «Высшая математика», Ульяновский государственный технический университет.
Поступила 12.03.2020 г.
