Исследование неконсервативной устойчивости трубопровода с потоком жидкости как гидроупругой системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 169-171

УДК 532.5+539.3

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОНСЕРВАТИВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ТРУБОПРОВОДА С ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ КАК ГИДРОУПРУГОЙ СИСТЕМЫ

© 2011 г. Д.В. Капитанов

НИИ механики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского

1аЪ&п@шесЬ. unn.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Представлены методика и результаты численно-аналитического исследования неконсервативной устойчивости консольного трубопровода как типичной гидроупругой системы и консольно закрепленного стержня со следящей силой на свободном конце. Исследования проведены двумя способами. Первый способ основан на представлении решения с использованием двух первых стержневых форм собственных колебаний, второй сводится к точному решению проблемы собственных значений, так как не ограничивается традиционным учетом только небольшого числа низших форм колебаний. Тестирование алгоритма проведено путем сравнения с результатами классических и современных численных и экспериментальных исследований.

Ключевые слова: гидроупругие системы, неконсервативная устойчивость, консольный трубопровод, консольный стержень, метод Бубнова - Галеркина, собственные формы колебаний, парадокс Циглера, парадокс дестабилизации.

1. Постановка задачи

Уравнение малых низкочастотных плоских изгибных колебаний рассматриваемого как стержень прямого однородного трубопровода с учетом внутреннего потока несжимаемой жидкости имеет вид [1]:

д4у д2у ду д2у

ЕІ—+ Р—+ £^- + т—= дх4 дх2 д/ д/2

д2у д2у д2

= - Му 2 д2у+2Мур^+Мд2у дх2 дхд/ д/2

(1)

У( Х, * )1 х=0 = 0;

дх

= 0;

х= 0

ЕІ

д у (х, /)

дх

= 0; ЕІ

х= 7

дх

= 0. (2)

х=I

Кельвина—Фохта в уравнении и краевых условиях следует заменить Е на оператор Е(1 + цЭ/Э*), где |1 — коэффициент внутреннего трения.

После перехода к безразмерным переменным задача (1), (2) с учетом внутренних потерь примет вид:

^5 о4 ^2 ^2

д у д у д у д у

у— ---1----- + Ь—— + 2а------+

дф4дт дф4

дф

2

2

дфдт

ду д у

+ 8-" + ^ = 0;

где у(х, 1) — поперечное перемещение трубопровода, Е1 — изгибная жесткость, х — продольная координата, t — время, Р — сжимающая нагрузка, Ъ — коэффициент трения, т и М — приходящаяся на единицу длины масса оболочки и жидкости соответственно, V — скорость жидкости, предполагаемая постоянной.

В рассматриваемом случае консольного закрепления трубопровода с учетом действия следящей силы на свободном конце (при х = I, где I — длина трубопровода) имеем:

ду (х, t)

У(ф, т)|

ф=0

д у(ф, т)

дф

дт

= 0;

= 0;

дт ду(ф, т)

дф

= 0;

ф=0

д у(ф, т)

ф=1

дф

= 0,

(3)

ф=1

где

ЕІ

2

-ЕІ-; 8 = ^ х

т + М ЕІ

ЕІ , (Му 2 + Р )72 Му1

-; Ь =-----------------; а =-------

ЕІ

т + М

ЕІ

ЕІ V т + М

При учете внутреннего трения по гипотезе

Рассматривается случай отсутствия нагрузки на свободном конце, то есть Р = 0.

Модель изгибных колебаний в случае стержня получается, если во всех предыдущих рассуждениях положить М = 0, а в параметре Ь будем учитывать только нагрузку Р.

X

2. Представление решения с использованием двух первых форм колебаний

Ищем решение данной задачи в следующем

виде: У(ф, т) = Х1 (ф)Т1(т) + Х2(ф)Т2(т).

Первые две формы колебаний возьмем для консольно закрепленного стержня, являющегося частным случаем данной модели при М = 0 и Р = 0 [2]. Проведя стандартную процедуру метода Бубнова — Г алеркина, получим систему дифференциальных уравнений:

дТ (Т) дТ. (Т) 2 дт (Т) 2

---]—+5 •-1—+2а 2 а + 2 р „ Т„ (т) +

дТ2 дт „=1 дт „=1

2 2 дт (т)

+Ь 2 у т (т)+у2Р

і=1 і=1 дт

=0, ] =1,2,

где

1 дХг (ф) 1 д4X(ф)

а ,г=I—„—Х, (ф)^ф; Р„=I —— Х,(ф)^ф;

О дф о дф4

1д2 Хг (ф)

У и = I---2— Хи(ф)^ф'

о дф

Исследование на устойчивость проводится с использованием критерия Рауса—Гурвица для характеристического уравнения данной системы.

Определение границы устойчивости в пространстве параметров системы проведено численно. Число независимых параметров достаточно велико. Основной интерес представляет зависимость от скорости течения жидкости, поэтому зафиксируем все остальные параметры и будем с малым шагом увеличивать величину скорости жидкости V (в случае стержня увеличиваем величину нагрузки Р), пока не нарушится выполнение критерия. Разработанный с этой целью численный алгоритм позволяет проводить исследования при различных комбинациях фиксированных параметров.

3. Точное решение проблемы собственных значений

После подстановки решения задачи (3) в форме у(ф, т) = У(ф)е х получим краевую задачу на собственные значения, общее решение кото -рой имеет вид:

У = 2 ,

г = 1

где (X,а, Ь, у, 5), г = 1,4 — корни характеристи-

ческого уравнения,

^ (Ж) = (1 +уХ)Ж4 + ЬЖ 2 + 2аШ + 5Х + Х2 = 0. (4)

Для определения коэффициентов Аі, і = 1,4, из краевых условий задачи имеем систему четырех однородных алгебраических уравнений, определитель которой равен нулю:

Б = (Щ - Щ )(Щ - Щ )(еЩ+Щ Щ2 Щ2 +

+ еЩ +щ2щ2щ2) + (Щ -Ш3)(ША-ж2) х

х (+Щ4Щ2Щ2 + єЩ+ЩЩ2Щ2) + (Щ - Щ) х

х (Щ Щ )(еЩ +Щ ЩЩ2 + е№і+№4 W12 W42) = 0. (5)

Заметим, что собственные числа рассматриваются над полем комплексных чисел и имеют вид X = к + ім>.

Из характеристического уравнения (4) и равенства нулю определителя системы (5), разделяя мнимые и действительные части, получаем систему десяти нелинейных уравнений с десятью неизвестными.

В разработанном алгоритме для случая трубопровода на каждом шаге малого изменения потока жидкости (для стержня — нагрузки) от нуля до некоторого значения при заданных у и 5 итерационным методом Ньютона решается система уравнений и находятся собственные числа Хк. В качестве начальных значений берутся известные решения уравнения сИд/7 совд/^ +1 = 0 [2], к кото -рому сводится система, а в дальнейшем — значения, полученные на предыдущем шаге изменения параметров.

Исследования показали, что результаты подходов согласуются не только между собой, но и с известными из литературы [3]. В случае стержня обнаружен известный эффект дестабилизации от внутреннего трения и продемонстрирован парадокс Циглера [4]. В обоих подходах были построены годографы собственных значений системы в зависимости от скорости потока жидкости в случае трубопровода и нагрузки в случае стержня, качественно не отличающиеся друг от друга, которые показали, что потеря устойчивости трубопровода происходит по второй форме колебаний, а для стержня — по первой.

Список литературы

1. Фролов К.В. и др. Динамика конструкций гидроаэроупругих систем / Отв. ред. С.М. Каплунов, Л.В. Смирнов. М.: Наука, 2002. 397 с.

2. Цейтлин А.И. Справочник по динамике сооружений. М.: Стройиздат, 1972. 511 с.

3. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М.: Наука, 1961. 340 с.

4. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 384 с.

STUDYING NON-CONSERVATIVE STABILITY OF A PIPELINE WITH A LIQUID FLOW

AS A HYDRO-ELASTIC SYSTEM

D. V. Kapitanov

The methodology and the results of numerical-analytical study of the non-conservative stability of a cantilever pipeline as a typical hydro-elastic system and of a cantilever rod with a tracking force on the free end are presented. The study was conducted in two ways. The first one is based on representing the solution using the first two rod forms of natural oscillations, whereas the second one is reduced to the exact solution of the eigenvalue problem, as it is not limited by traditionally accounting only for a small number of the lowest oscillation forms. The algorithm is tested by comparing the obtained results with the results of classical and modern numerical and experimental investigations.

Keywords: hydro-elastic systems, non-conservative stability, cantilever pipeline, cantilever rod, Bubnov - Galerkin method, natural forms of oscillations, Zigler paradox, destabilization paradox.