Исследование надежности однолинейной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.873

ИССЛЕДОВАНИЕ НАДЕЖНОСТИ ОДНОЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ, ОБСЛУЖИВАЮЩЕЙ ДВА ПОТОКА ЗАЯВОК, С КОНЕЧНОЙ

ОЧЕРЕДЬЮ

© Коваленко А.И., Марянин Б.Д., Смолич В.П.

Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского

факультет математики и информатики

пр-т Вернадского, 4, г. Симферополь, 95007, Украина e-mail: svp54@mail.ru

Abstract. Stationary characteristics of a single-server queueing system, alternating between two Poisson streams are obtained.

Постановка задачи

Рассматривается система массового обслуживания, состоящая из одной линии и двух бункеров накопления конечных емкостей, предназначенных для заявок соответствующих типов. На систему поступают два независимых простейших потока заявок с интенсивностями Ai и Аг- Времена обслуживания заявок: из\ и W2 -произвольные непрерывные случайные величины с конечным математическими ожиданиями, интенсивности которых равны соответственно /лi(x) и ^(х). Требуется найти вероятностные характеристики состояний системы.

Правила обслуживания предполагают:

1. Поступающая на свободную систему заявка любого из двух типов начинает обслуживаться немедленно.

2. При непустых бункерах в момент окончания обслуживания линией заявки одного типа на обслуживание немедленно поступает одна из очередных заявок, при этом приоритетное право принадлежит заявке другого типа.

3. Система функционирует с потерями; поступающие на систему заявки в момент занятости линии и заполненности мест в бункерах, предназначенных для приема заявок соответствующего типа, теряются.

В работе получены вероятности состояний системы, а также вероятности потери заявок в стационарном режиме.

1. Математическое моделирование

Методику рассуждений проведем для случая одноместных бункеров накопления заявок.

Обозначим через k = 1, 2 - время ожидания заявки к^го типа в соответствующем бункере.

Введем случайный процесс £(i) {t - время), фазовое пространство которого состоит из возможных состояний системы:

1. (0) - система свободна от заявок

2, (/,-. ш. и} - линия обслуживает заявку А;—го типа

(к = 1,2) и в бункерах содержится соответственно т— заявок 1-го типа (т = 0,1) и п— заявок 2-го типа (п = 0,1),

Таким образом, для системы возможны 9 различных состояний. Граф переходов состояний выглядит следующим образом:

(0)

Рис. 1. Граф переходов состояний

Введем функции:

Р„(*) = ПФ) = (0) = Ш*) = и)},

<2*.о.о(*,*) = = (к,0,0),гик < х},к: = 1,2, (¡к.о.о{1,х

<?/,.|.п(/. X, у) = Р{£ (*) = (к, 1,0), и;к < X, 71 < у}., дкХо =

дЯк.<

0,0

дх дхду

Як..од х, г) = Р{£ (£) = (к, 0,1), и;к < х, 72 < г}, х, г)

д2Як.>

од

дхдг

Яклл^^.у) = = {к,1,1),ак < х.т < у, 72 < г}, х, у, г)

длЯклл дхдудг'

Введем обозначения для функций в стационарном режиме: Р0 = lim P0(t), Pk,m,n = Hm Pfc,m,n(i)

i—v+oо t—?-™t~oo

9kfifi(x) = lim Як,о,о(Ъх)> gk. 1)0 = lim qk,\fi{t,x,y),

t—?-™t~oo t—?-™t~oo

9k,o,i(x,z) = lim qkfitl(t,x,z),gk^i(x,y,z) = lim qkylyl(t,x,y, z)

t—S- + 00 t—?-™t~oo

Заметим, что имеют место соотношения:

оо оо

р

к, 0,0

9к, o,o(x)dx, к = 1,2; P\,i,o = dy gi,i,o(x,y)dx

сю сю

0 у сю сю

-^2,1,0 = J dx J g2,i,o(x,y)dy, Pi,o,i = J dx J gi,o,i(x, z)dz oo oo

СЮ СЮ oo oo oo

Р2.0Л = А.» = f dy f ix f Яш(х.у.г)Лг

0 У о oo oo oo

0 г

РШ = ] Лг ] Лх ] дш(^г)Лу

0 г 0

Проведя вероятностные рассуждения и предельные переходы, получим систему интегро-дифференциальных уравнений, начальные и граничные условия к ним:

(Ai + A2)P0= I 01,0,0{x)ßi(x)dx + I g2fifi{x)ß2{x)dx (1.1) о о

9[,о,о(х) + (Ai + A2 + (ii(x))giß,o(x) = 0 (1.2)

oo oo

oo oo

01,0,0(0) = Ai-Po + J dy J 01,1,0(x, y)fj,i(x)dx + J dy J g2,ifi(x^y)Mx)dx

Oy 0 0

92,o,o(x) + (Ai + A2 + №(x))g2,o,o(x) = 0 (L3)

00 00 00 00

9,o,o(0) = Л2Р0 + / iz/9,„д(х, z),l{x)äx + jdz ¡,1>1л{х. г),12(X)dX

0 г

0 0

dx dy

%2,1,0 %>,1,0

dx dy

+ (A2 + fJ'i(x))gitifi(x,y) = 0, 0 < у < x

51,1,0(^,0) = Ai0i,o,o(^) (1-4)

+ (A2 + (i2(x))g2,i,o(x, y) = 0, 0 < x, 0 < у

сю оо

02,1,о(я,О) = Ai02,о,о(х), 02д,о(О,у) = J dz J gi,i,i(x,y,z)fj,i(x)dx (1.5)

о у

00i,o,i . 001,0,1

+

+ (Al + fj,i(x))gifiti(x, z) = О, О < х,0 < z

сю сю

дх dz

01,0,1 (z>0) = A25i,о,о(ж), 51,0,1(0,2) = I dy I g2,i,i{x,y,z)fJv(x)dx (1.6) 002,0,1 , 0^2,0,1

дх ^ dz 00i,i,i . 00i,i,i . 00i,i,i

О г

+ (Ai + ¿¿2(20)02,0,1 (ж, z) = 0, 0 < г < х 02,0,1 (х, 0) = А202,О,о(ж)

+

+

+ /"1(^)01,1,1 (х, у, z) = О, 0 < у < х,0 < z

+

+

+ Mx)92,i,i(x,y,z) = О, О < Z < х,0 <у

(1.7)

дх ду dz

0i,i,i(х, О, z) = Ai<7i,o,i(ж, г), 0i,i,i(ж, у, 0) = А201,1,о(ж, у) (1.8) 002,1,1 . 002,1,1 . 002,1,1

дх ду дz

02,1,1 (х, 0, z) = А1У2,од(ж, г), 02,1,1 (х, у, 0) = А202д,о(ж, у) (1.9)

Далее выписываем решение системы и получаем алгебраическую линейную систему уравнений относительно вероятностей состояний в стационарном режиме. Из (1.2) и (1.3) имеем:

01д,о (ж) = 0i,o,o (0)e^Al+A2^<í>i (ж), у2,0,о(аО = 02,о,о(О)е-(А1+А^Ф2(а;) (1.10)

X

— f fi/¡(t)dt

где Ф/С(х) = е 0 — функции надежности случайных величин wk, к = 1,2.

сю

Введем обозначения для преобразования Лапласа: Ф£(з) = f e^sxФk(x)dx, к = 1,2.

о

Учитывая (*), получаем:

n,o,o = 0fc,o,o(OM(Ai + A2), А; = 1,2

Из (1.4)—(1.7) имеем

01,1,о(х, у) = Ai<7i,o,o(ж - у)е Х2Уе

I vi(t)dt

О < у < х

(1.11)

(1.12)

02,1,0 (Х; У)

- f fl2(t)dt _ AI02,O,O(Х ^ у)е *-v е Л'2У, 0 < у < х

х

- f Д2 (t)dt _ .

02,i,о(0, у — х)е о е 0 < х < у

(1.13)

- / 1п(1)сЛ

Л201,о,о(я — г)е х~* е , 0 < г < х

X

— / ¡Л\(<)<Й

01,од (0, г - х)е о ( Х| Г. О < х < г

- I №(*)<й

£2,0,1 (ж, .г) = Л202,о,о- е , 0 < г < х

Для соответствующих постоянных получаются выражения

оо сю

А,1,0 = Ат,о,о(0) [ е-х*Чу [ е-(А1+А^Ф1(а: + у)<1х

(1.14)

(1.15)

(1.16)

А,1,0 = ^102,о,о(0) / е А2?/ф / е (А1+А2)жФ2(а; +

сю сю сю

+ Ф2(Л2) J dy J dz J 01,1,1 (ж, у, г)ц,1(х)д,х (1.17)

о о у

А,0,1 — А201,0,0 (0) / « / е

а; + г)с!я;+

сю сю сю

+ Ф*(Л1) J ^ / ^ J 92,1,у, г)fJ,2(x)dx (1.18)

О О г о сю

-£2,0,1 = А202,о,о(О) / е А1гс1г / е (А1+А2)жФ2(а; + г^х

(1.19)

Из (1.8)—(1.9) имеем:

91,1,1{х,у,г)

92,1,1(х,у,г)

А2А101,о,о(О)Ф1(я;)е-(А1+А2)(^?/) • 0 < г < у < х А1А201,о,о(О)Ф1(я;)е-(А1+А2)(ж-г) • , 0 < у < г < х (1.20)

А101,од(О, г - х)Ф1(х)е-Х1(х-у), 0<у<х<г

А1А202,о,о(О)Ф2(я;)е-(А1+А2)(^г) • 0 < у < г < х Х1Х2д2у0у0(0)Ф2(х)е-{Х1+Х2){х-у) • е-Х2(у-г), 0 < г < у < х (1.21)

А202д,о(О, у - х)Ф2(х)е-х^х-г\ 0<г<х<у

Учитывая (*), вычисляем Р\дд и -Р2дд:

оо сю

Рг,1,1 = А1А201)о)о(О) [ [(е-а1г + е^х'2У)йг йу I е^+^Ф^х + у + г)йх+

0 0 о

сю сю

+ \lA2J йу I е-Х1ХФ1(х + у)4х (1.22) о о

Р2ДД = А1А252)о,о(0) / / (е-А1г + е^х'2У)йг йу / е-(А1+А^Ф2(а; + у + г)йх+

0 0 о

сю сю

+ А2Ах J dy J е'Х2ХФ2(х + у)йх, (1.23) о о

где

сю сю сю сю

А-1 = J 02,1,0(0,?/)% = j йу j йг j д1ЛЛ(х,у,г)ц1(х)6х

О О 0 у

сю сю сю сю

Л2 = /9,од(0, г)Л =

О О О г

Для Ах и А2 имеют место соотношения:

Аг = А1А2у1,0,о(0) (е^1* + еГХ2У)йг йу / е-{Х1+Х2)х }\{х + у + г)йх+

0 0 о

сю сю

+ АlA2J йу I е-Х1Х}\{х + у)йх (1.24) о о

Д^АхАг^о^О) / (е-х^ + е-х2у)йуйг / е^+^Мх + у + г)йх+

0 0 о

сю сю

+ А2^1 J dz J е^х'2Х/2(х + у)йх, (1.25) о о

где Д = ц,к{х)Фк{х).1 к = 1, 2 - плотности распределения случайных величин и}\ и и;2.

Наконец, получаем соотношения для <71,0,0 (0) и </2,0,0 (0):

оо сю

Si,o,o(O) = AiPo + Ai0i,o,o(O) J е~х>Чу J e^^/i^ + y)dx+

о о

сю сю

+ AI02,o,O(O) [ е~х*Чу [ e-^+x^f2(x + y)dx + Alf;(X2) (1.26)

Ö2,o,o(O) = A2Po + A202,o,o(O) J e-^dy J h{x + y)dx+

о 0

00 00

+ A20i,o,o(O) [ e~Xiydy [ e-^+x^fl{x + y)dx + A2fl{Xl) (1.27)

Постоянные величины: Pq] P\ о о 5 -P200; -Piioj -P210; -Pioij -P201; -Piiij P211] ^4-ij A2; 9i,o,o(0); 02,0,0 (0) можно найти из алгебраической системы линейных однородных уравнений (1.11), (1.16)—(1.19), (1.22)—(1.27), добавив к ним нормировочное соотношение

Po + -Pi,О,О + -?2,0,0 + -Pi,1,0 + -£2,1,0 + -Pi,0,1 + -£2,0,1 + -Pi,1,1 + -Р2ДД = 1 (1.28) Полученное из (1.1) соотношение

(Ai + А2)Ро = 01,0,о/Г (Ai + А2) + 02,o,O(O)/2*(Ai + А2)

можно использовать для проверки.

Вероятности потери заявки к-го типа Рк,к = 1,2 в стационарном режиме выражаются следующим образом:

-Pi = -Pi ,1,0 дд + Р2 дд l'j = l'j.l.n + /'l.l.l + I 2.1.1

Заключение

В работе получены вероятностные характеристики состояний системы в стационарном режиме, а также вероятности потери заявок 1-го и 2-го типов.

список литературы

1. Анисимов В.В., Закусило O.K., Донченко B.C. Элементы теории массового обслуживания и асимптотического анализа систем. - Киев: «Выгца школа», 1987. - 246 с.

2. Беляев Ю.К. Линейчатые марковские процессы и их приложения к задачам теории надёжности / / Труды VI Всесоюзного совещания по теории вероятностей и математической статистике -Вильнюс. 1962 - С. 309-323.

3. Коваленко А.И., Стрыгина Н.З. Вычисление стационарных характеристик надёжности четы-рёхэлементной иерархической системы с восстановлением / / Автоматика и телемеханика — М: Российская АН, 1992. - №1. - С. 156-164.

4. Коваленко А.И., Смолич В.П. Анализ надёжности двухэлементной системы, обслуживаемой двумя наладчиками // Динамические системы. - 2000. — Вып. 16 — С. 137-142.

5. Коваленко А.И., Марянин Б.Д., Смолич В.П. Исследование системы массового обслуживания M/G/1/1. // Учёные записки ТНУ, 2002, серия «Математика. Механика. Информатика и кибернетика», №2, С. 40-42.

6. Коваленко А.И., Марянин Б.Д., Смолич В.П. Стационарные характеристики системы M/G/2/0 с поочерёдным обслуживанием заявок двумя линиями // Динамические системы. - ТНУ, 2008. — Вып. 24 - С. 69-82.

Статья поступила в редакцию 02.06.2009