Приоритетное обслуживание двух ненадежныхлиний Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 519.872.1 MSC2010: 60K25

ПРИОРИТЕТНОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ ДВУХ НЕНАДЕЖНЫХ

ЛИНИЙ

© А. И. Коваленко, В. П. Смолич

Крымский федеральный университет им. В. И. Вернадского Таврическая академия факультет математики и информатики просп. Академика Вернадского, 4, Симферополь, 295007, Российская Федерация

e-mail: email@gmail.com

Priority repair of two unreliable lines.

Kovalenko A. I, Smolich V. P.

Abstract. The system under consideration consists of two unreliable lines. The first line is more effective then the second one. Both lines have Poisson failure flow. If the lines are in good working order, failure rate of the first line is ai, failure rate of the second line is вь If one of the lines is down, failure rate of the other equals a2 or в2 respectively. The system is serviced by a single repairman. Repair times of the lines are absolutely continuous random variables Wj, (i = 1,2) with finite expectations vi, cumulative distribution functions Fi(x) := P{wi ^ x}, corresponding density functions fi(x), reliability functions ФДж) := 1 — Fj(x), i = 1,2. Repair of the first line is a priority, that is the repairman leaves the repair process of the second line (while preserving the setup time) and begins to service the first line. The equilibrium probabilities of the system in terms of Laplace transforms of the functions fi(x) and (x) are obtained in the article. We deduce as well average number of faulty lines, probability of system failure, system availability factor, mean time between failures.

Keywords: queueing systems, unreliable system, priority repair, equilibrium probabilities, queueing systems with breakdowns

Введение

Рассматривается система, состоящая из двух ненадежных линий. При этом одна из линий является более эффективной при выполнении своих функций чем вторая. Назовём условно первую из них линией первого ранга, а вторую - второго ранга. Потоки отказов (поломок) линий будем предполагать простейшими с параметрами а\ и а2 для линии первого ранга соответственно когда обе линии исправны и исправна только линия первого ранга и с параметрами в и в2 для линии второго ранга соответственно когда обе линии исправны и исправна только линия второго ранга.

Обслуживание системы осуществляет один наладчик. Времена обслуживания линий ш1 (первого ранга) и ш2 (второго ранга) - произвольные непрерывные случайные величины, имеющие конечные математические ожидания. Обозначим через ^г(х) (г = 1, 2) - интенсивности случайных величин шг а через /¿(ж) и Фг(ж) - функции плотности распределения и надежности.

Поскольку шг являются положительными случайными величинами, то при х < 0 /¿(ж) = 0, Фг(ж) = 1. Обозначим через гг (г =1, 2) математические ожидания величин шг. Заметим, что имеют место формулы

Условия обслуживания системы наладчиком предполагают, что наладчик обязательно занят обслуживанием одной из вышедших из строя линий (разумеется, при наличии таковой), при этом обслуживание линии первого ранга является приоритетным, то есть если во время обслуживания линии второго ранга происходит отказ линии первого ранга, то наладчик оставляет обслуживание линии второго ранга (с сохранением времени наладки) и приступает к обслуживанию линии первого ранга.

Целью данной работы является получение основных вероятностных характеристик системы в стационарном режиме: вероятности состояний системы, среднее количество неисправных линий, вероятность отказа системы (когда обе линии отказали), загрузка наладчика, коэффициент готовности системы, средняя наработка между отказами.

Система может находиться в состояниях: (0) - обе линии исправны;

(1, ш1) - линия второго ранга исправна и функционирует, линия первого ранга вышла из строя, ш1 - время, затраченное наладчиком на её восстановление; (2, ш2) - линия первого ранга исправна и функционирует, линия второго ранга вышла из строя, ш2 - время, затраченное наладчиком на её восстановление.

Состояние системы, когда обе линии неисправны, разбивается на два подсостояния:

(3,Ш1,Ш2) - обе линии неисправны, ш1 - время, затраченное на наладку линии первого ранга (наладка продолжается), ш2 - отложенное время наладки линии второго ранга;

/¿(ж) = ^¿(ж)Фг(ж)

Фг(ж).

Математическое моделирование

(4,а>1) - обе линии неисправны, ш1 - время наладки линии первого ранга, к обслуживанию линии второго ранга наладчик не приступал.

Введем случайный процесс £(£) с фазовым пространством состоящим из рассмотренных выше пяти состояний. Аргумент £ > 0 трактуется как время. Диаграмма переходов состояний системы имеет вид:

О О

4 10 2 3

д\{х)

Вероятностные рассуждения и предельные переходы приводят к следующей системе интегро - дифференциальных уравнений и граничных условий:

V(г) + (а + 0Оро(£) = / ?1(*,ж)^1(ж) ¿ж + / ^2(£,у)Му) ¿у,

д51(г,ж) + + (02 + ^ (ж))?1 (г,ж) = о, 51 (г, 0) = а1Ро(г),

дг дж

д52(г,У) , д52(г,У)

дг

+

+ (а2 + ^2(у))?2(г,у) = 5з(г,ж,у)^1(ж)

52(г, 0) = 01Ро(г) + / ?4(г,ж)^1(ж) ¿ж,

<9^x,у) + д5з(г,ж,у) + ^1(ж)дз(г,ж,у) = 0, дз(г, 0,у) = «2^2(г,у),

дг дж

д^4(г, ж) + д^4(г, ж)

+ ^1(ж)54(г,ж) = (г,ж), 54(г,0) = 0.

дг дж

Предполагая, что при г = 0 обе линии работоспособны, выпишем начальные условия:

Ро(0) = 1, 51(0,ж) = 52(0,у) = ?з(0,ж,у) = 54(0,ж) = 0. Для решения системы (1) будем использовать преобразование Лапласа. Обозначим:

те те

Рз(5) := ехр(—(г) ¿г, (г = 0, 4), дЗ(з,ж):= ехр(—ж) ¿г, (к = 1, 2, 4),

5з(5,ж,у) := / ехр(-5г)5з(г,ж,у) ^

/З(5) := У ехр(-з^)/(ж) ¿ж, Ф°(з) := у ехр(-(ж) ¿ж (к = 1, 2). оо Применим преобразование Лапласа ко всем соотношениям системы (1):

те те

зро(5) - 1 = -(а1 + 01)ро(5)+ [ 5З(5,ж)^1(ж) ¿ж + [ ?З(5,у)^2(у) ^ (2 д^З(5,ж)

дж

оо

+ (5 + 02 + Мж)Ж(з,ж) = 0, (5,0) = а1р°(з), (3)

dq*(s, y) I

2 ' +(s + a2 + ^2(y))q2 (s,y)= q*3 (s,x,y)Mx) dx, (4)

0

oo

dy

q2(s, 0) = ^ip0(s) + J q*4 (s,x)^i(x) dx 0

dqt (s,x,y)

dx

dql (s,x)

+ (s + ^i(xM(s,x,y) = 0, q3(s, 0,y) = a2q2(s, У), (5) + (s + ^i(x))q4(s,x)= ^2q*(s,x), q4(s, 0) = 0. (6)

dx

Решение системы (2)-(6). Из уравнения (3) найдем

q *(s, x) = a ip0(s)exp(-(s + i(x), (7)

oo

p*(s) = / q*(s, x) dx = aip0(s^i (s + &), (8)

0

oo

j q *(s,x)^ i(x) dx = a ip0(s)/*(s + &). (9)

0

Из (5) получаем

q3 (s,x,y) = a2q2 (s,y)e-sx^ i(x), (10)

oo oo

p3(s) = / q3(s,x,y)dxdy = a2P2(s)$! (s) (11)

00 00

J q3(s,x,y)^ i(x) dx = a2q2(s,y)f*(s). (12)

0

Из (6) и (7) следует

q4(s,x) = a ip0(s)$i(x)e-sx(1 - е-в2Х), (13)

oo

P4(s)^ q4 (s,x) dx = a ip0(s)(^ *(s) - $*(s + &)), (14)

0

oo

j q4(s,x)^ i(x) dx = a ip0(s)(/i(s) - /i(s + e2)). (15)

0

Из (4), (12) и (15) находим

52(5, 0)= (А + а 1 (Л» - /0(5 + &)))Р0(«), (16)

52(5, у) = 92(5, 0) ехр(-(5 + а2(1 - /З(*0))у)Ф2(у), (17)

те

р2(5) = / ^ (5, у) ¿у = ^ (5, 0)Ф2(5 + а2 (1 - /0(5))), (18)

о

те

[ ^(5,у)^2(у) ¿у = (5,0)/З(5 + а2(1 - /0(5))). (19)

Наконец, из (2), (9), (16) и (19) следует

р0(«) = 5 + а 1 + в - а 1/°(5 + 02)-/ {в + а2(1 - /З(в))) (01 + а 1 (/0(5) - /0(5 + 02)))! - 1. (20)

4

Применив преобразование Лапласа к тождеству У] Р-(г) = 1, получим

г=0

41

'^2Р'з(в) = _. Последнее равенство используем для контроля правильности вычис-

¿=о ¿ 5

1 - /0(5)

лений. При проверке воспользуемся соотношением Ф0(5) =---.

4

^ р0(5) = Ро (5) + а 1Р0(5)Ф 0(5 + во) + р2(5) + аор2(5)Ф 1 (5) +

¿=0

+а1р0(5)(Ф0(5) - Ф 1(5 + во)) = Р0(5)(1 + а1Ф 1(5)) + р2(5)(1 + аоФ0(5)) = = р0(5)(1 + а1Ф1 (5)) + ро(5)Ф2(5 + ао(1 - /0(5))) (в1 + а/(5) - /(5 + во))) х

х (1 + аоФ1 (5)) = р0(5) (1 + а1Ф1 (5) + 1 - /0+5+(12(1:(/;)(5))) х

V 5 + а2(1 - Д (5))

X (в1 + а/(5) - /0(5 + 00))) (1 + ао 1 - /З(5) ^ (5(1 + а1) + (1 - /(5 + ао(1 - /0(5)))) х

х(в1 + а/(5) - /0(5 + 00)))^ =

«Таврический вестник информатики и математики», №1 (34)' 2017

s + а 1 - а if (s) + £i + а if (s) - а if* (s + £2) - f* (s + «2(1 - f* (s))) х х (ft + а 1 (f (s) - f (s + £2))) ) = 1 (учитывая (20)).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Поскольку случайный процесс £(t) имеет конечное число состояний и все состояния сообщающиеся, то он обладает свойством эргодичности. Обозначим финальные вероятности состояний системы

pi := lim pj(t) = lim sp*(s), (i = 0, 4)

Заметим, что имеют место соотношения

f (0)=/ f(t) dt = 1, f '(0) =

df(s)

ds

(-t)e f^t) dt

s=0

s=0

Ф* (0) = ИтФ* (s) = lim Найдем финальные вероятности состояний системы:

po = lim sp0(s) = lim s ■ s + а i + £i - а if (s + £2)-s—»0 s—> 0

1 - f (s)

= -f (0) = r,

- f (s + а2(1 - f (s))) [ßi + а i(f (s) - f (s + £2)) 0

-1

0

lim

s-)- 0

1 - а if '(s + £2) - f'(s + а2(1 - f (s) ■ (1 - а2Л* '(s)) ■ (в i + а i(f (s) - f (s + £2))) -- f (s + а2(1 - f (s)))(« i(f '(s) - f '(s + £2)))

1 - а if '(£2) - f'(0)(1 - а2Л*'(0))(в i + а i(1 - f (£2)«-

- а i (f*'(0) - Л*'(в2))

-l

1 + r2(1 + а2Г i)(£i + а i(1 - f (£2))) + а ir i:

pi = lim sp*(s) = lim а isp0(s^i(s + £2) = а 1РоФ i (£2), Р2 =lim sp2(s) =lim sp0(s)Ф2(s + а2(1 - f(s)))

£i + а i(f (s) - f (s + £2» РоФ2(0)(£ + а i (1 - f (£2))) = Por2(£i + а i (1 - f* (£2))),

s

s

1

Рз = lim= limа2зр2(з)Ф1(з) = аоРоГ^А + - f (во))),

Р4 = limsp4(s) = limа15р0(в)(Ф 1(s) - Ф1(s + во)) = aiPo(ri - Ф{(во)).

s^ü s^ü

4

Проверим выполнение равенства У] pi = 1:

i=0

= Ро(1 + а1Ф 1(0о) + (01 + а1(1 - /0(02)^Г2+

¿=0

+ао{01 + а1(1 - /0(02)))г1Г2 + а1 (п - Ф 0(0о))^

= Ро (1 + {01 + а1(1 - /0(0о)))го(1 + аоГ1) + аЛ) = 1.

Среднее количество неисправных линий Ь = р1 + р2 + 2рз + 2р4. Вероятность отказа системы (обе линии отказали) Р = рз + р4. Загрузка наладчика (вероятность того, что он занят = доля времени занятости наладчика) 1 - р0. Коэффициент готовности системы (вероятность того, что система работоспособна = вероятность того, что хотя бы одна линия исправна)

К = Ро + Р1 + Р2 = Ро{1 + Г201 + а1Ф1(02)(1 - Г20о)).

Для определения средней наработки Т между отказами найдем интенсивность Л потока отказов системы:

4 2

Л = хх р^',

3=з ¿=0

где А^ - интенсивность перехода из состояния г в состояние з - определяется из соотношений:

+ к) = 3 Ш = г} = А»,к + о(к), к ^ 0.

В рассматриваемой задаче

А0з = 0, А04 = 0, А1з = 0, А24 = ° А14 = 02, А2з = а2.

Л = Р102 + Роао = а1РоФЦ(02)02 + (01 + а1(1 - Я (02)))РоаоГо =

= а1РоФ1(02)02 + {01 + а102Ф1(02))роа2Г2 = ро( ао01Го + а^о(1 + ао ^Ф^о) Величина Т получается из соотношения

Т = к 1 + г201 + а1Ф1(0о)(1 - Г202)

Л аов1 г 2 + а1во(1 + а2Г2)Ф1(во)'

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коваленко, А. И., Марянин, Б. Д., Смолич, В. П. Система массового обслуживания с ненадежной линией и нетерпеливыми заявками // Таврический вестник информатики и математики. — 2013. — №1. — C. 53-60.

KOVALENKO, A. I, MARYANIN, B. D, SMOLICH, V. P. (2013) Queueing system with unreliable line and impatient customers. TVIM. 1. p. 53-60.

2. KOVALENKO, A. I, SMOLICH, V. P. (2015) M/G/1 queue with system disasters and impatient customers when system is down. TVIM. №4. p. 7-16.

3. Смолич, В. П., Коваленко, А. И. Метод дополнительной переменной в задачах ТМО и теории надежности. — Lambert Academic Publishing (Германия), 2014. — 232 c.

KOVALENKO, A. SMOLICH, V. (2014) The supplementary variable method applying to the problems in queueing systems and reliability. Lambert Academic Publishing. Germany.