Система массового обслуживания с ненадежной линией и нетерпеливыми заявками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.872

ОИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕНАДЕЖНОЙ ЛИНИЕЙ И НЕТЕРПЕЛИВЫМИ ЗАЯВКАМИ

© А. И. Коваленко, Б. Д. Марянин, В. П. Смолич

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В. И. ВЕРНАДСКОГО ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

пр-т Вернадского, 4, г. Симферополь, Крым, Украина, 95007 e-mail: svp54@mail.ru

Abstract. A queueing system of type M/M/1 with customers impatience is considered. The system as a whole suffers occasionally a disastrous breakdown, upon which all present customers are cleared from the system and lost. A repair process then starts immediately. The equilibrium probabilities of the system, expected number of customers in the system, proportion of customers served, mean sojourn time of a served customer are obtained in the article.

Введение

К настоящему времени имеется значительное количество работ по системам массового обслуживания с поломками. Модели, в которых заявки проявляют нетерпение и могут не дождаться обслуживания также изучались многими авторами в прошлом. В работе [2] рассматриваются системы типа М/М/с с поломками в которых в процессе ремонта может накапливаться очередь, но при этом заявки проявляют нетерпение. Там же имеется список литературы по данной тематике. Авторы обобщают результаты работы [2] для системы М/М/1.

1. Постановка задачи

На систему, состоящую из одной линии и бесконечного множества мест для очереди, поступают простейшие потоки заявок: с параметром А1, если линия исправна и с параметром Ао, если линия вышла из строя (поломалась). Время восстановления линии распределено экспоненциально с интенсивностью 7. Время обслуживания заявки исправной линией распределено экспоненциально с интенсивностью Во время обслуживания линия может выходить из строя с интенсивностью п, то есть время безотказной работы линии — показательно распределенная случайная величина с параметром п, при поломке линии все заявки (обслуживаемая и находящиеся в очереди) теряются. Тем не менее, пока линия восстанавливается, заявки продолжают поступать в систему, возможно с меньшей интенсивностью. Заявки, находящиеся в

очереди, проявляют «нетерпение»: время пребывания заявки в очереди — показательно распределенная случайная величина, но интенсивность её зависит от состояния линии; если линия функционирует, то интенсивность равна если же линия неисправна, то потребуется найти вероятностные характеристики системы в стационарном режиме. Диаграмма переходов состояний системы представляется в виде:

Нумерация состояний осуществляется двумя индексами к), где ] = 1, 0 (отмечает исправность и неисправность линии), к = 0,1, 2,... (отмечает количество заявок в системе, включая и обслуживаемую).

Через Р^к обозначим стационарные вероятности состояний (], к) системы.

2. Математическое моделирование задачи

Предполагая, что система входит в стационарный режим, составим уравнения баланса.

Для состояний ] = 1 (линия исправна):

Рю(А1 + п) = Ри» + Роо 7

Рц(А1 + п + ») = Р10А1 + Р12(» + $1) + Р017 Р12(А1 + п + (» + $1)) = Р11А1 + Р1з(» + 2$1) + Р02 7 Р1з(А1 + п + (» + 2$1)) = Р12А1 + Р14(» + 3$1) + Роз 7

Р1п(А1 + п + (» + (п - 1)$1)) = Р1(п-1)А1 + Р1(п+1)(» + п$1) + Ро„7

Для состояний ] = 0 (линия в ремонте):

Роо(Ао + 7) = Ро^о + Р1.П Дл(Ао + 7 + ¿о) = ДЛ + РооАо Ро2(Ао + 7 + 25о) = ДоэЗ^о + РоАо Доз(Ао + 7 + 35о) = Дм4£о + Ро2Ао

Доп(Ао + 7 + п£о) = До(п+1)(п + 1)5о + Ро(п-1)Ао

где через Р,. = ^ Р,га = 1, 0) обозначены стационарные вероятности функционирования системы при исправной и неисправной линии (Р1в + Ро. = 1).

Введем производящие функции для числовых последовательностей {Р1га}^о и {рога}5^=о:

С,(г):= £ 3 = 0,1

п=о

Нетрудно получить дифференциальные уравнения для производящих функций:

¿1 ф - 1)С1(г) + (А1 г(1 - г) + (¿1 - ^)(1 - г) + п^Сф) = 7гСо(г) + (¿1 - ^(1 - г)Рю, Я^О) = Рю

¿о(г - 1)Со(г) + (7 + Ао(1 - г))Со(г) = пА., Со(0) = Д

оо

При г =1 получаем пР1» = тРо*, и с учетом нормировки Р1в + Ро. = 1 находим:

Ро. = Р„- 7 ■

7 + п 7 + П

Решение уравнения (2) выписывается по известной формуле [1]:

Со(г) = I Роо - / е-'(1 - *)^^ I е*(1 - г)-

Поскольку при г ^ 1 множитель за скобками стремится к то, то выражение в скобках стремится к нулю, тогда

1

пР1. А --1

Роо = ^ I е-'(1 - *)4

¿о

о

и окончательное выражение для Со (г) получается в виде:

1

Со(г) = ^е^х(1 - г)-«0 [ е-^'(1 - г)«0(4) $о

X

Заметим, что в точке г =1 функция Со(г) доопределяется по непрерывности

Со(1) = 11ш Со(г) = Ро.

X—^ 1

Все стационарные вероятности состояний системы (с неисправной линией (0)

ей) получаются по формулам: Роп =-;—, п = 0, 1, .... К примеру,

п!

Ро1 = Со(0) = —о + ^ оо-п 1*. Отсюда одним из необходимых условий су-

о $о

ществования стационарного режима является:

0 < (Ао + 7)Роо - пР1. < 1 $о

Точки г = 0 и г =1 являются особыми точками для уравнения (1), и потому готовая формула с начальным условием при г = 0 не может быть использована. Однако на интервале (0; 1) выполняются условия Коши (существования и единственности решения) для любого начального условия искомой функции в любой точке го Е (0; 1). В самом уравнении (1) удобно перейти к другой функции. Обозначим

через /(г) = -(С1(г) — Р1о). Для упрощения выкладок введем еще обозначение

г

3(*) = £ (7^о(г) - (А1(1 - г) + п)Рю)

Тогда уравнение (1) примет вид:

ч . ( А1 , » п ^ ч и ч

/(г)Ч-$1" + ^ - /(г) = -го-гу, /(го) =Уо

Решение этого уравнения также выписываем по известной формуле, и после некоторых преобразований получаем:

X__I __П

/ (г) = е 51 г «1 (1 - г) «1 ■

П / + II П 1

/(го)е-^Х0го51 (1 - го)^ - ^(г)е-^Ч-1(1 - г)

Ч х0

Переходя к пределу при го ^ 0, найдём:

I П I + II П 1

/(г) = -е^хг-(1 - г)-^ ^(г)е- «Г7-1(1 - г) -1

г

г

Это решение по непрерывности доопределяется в точках г = 0 и г =1, при этом на функцию накладывается ограничение

1

/А1 + Д 1 П 1

д(£)е-^чтг-1(1 - ¿)Т1-1 ^ = 0

о

Из последнего соотношения вычислим Р1о:

1 Ат

P

10

-а Д 1 П 1

7/Go(t)e-Л1*t-1(1 - t)-1dt

1 ^l + Д 1 П 1

/(n + Ai(1 - t))e-^T*t-1(1 - t)-1dt

0

Итак, решение уравнения (1) имеет вид:

Л1 , 1 Д vi Л1 + Д 1 П 1

G^z) = -e^Tzz1-T (1 - z)-Q(t)e-1 tT-1(1 - t)T-1dt + Pw (5)

0

Заметим, что функция G1(z) доопределяется по непрерывности в точках z = 0 и z =1:

G1(0) = lim G1 (z) = P10, G1(1) = lim G1(z) = Pu.

Все стационарные вероятности состояний системы (с исправной линией) получаются

G(ra) (0)

по формулам: P1n =-:—, n = 0,1,....

П!

z

3. Длины очередей и время нахождения заявки в системе.

Средние длины очередей при работающей и неисправной линии равны соответственно Р1 = G/1(1) и Ьо = СО(1). Эти величины можно получить, используя уравнения (1) и (2). Поскольку ^Ри = 7Р). = 7Со(1), то из (2) следует

Ао^ 7 Со(г) - Со(1)

до ¿о г - 1

и при г ^ 1 после некоторых преобразований получаем:

Ьо = со(1) = ( + У + Л) (6)

(7 + П)(7 + ¿о)

Аналогично из (1) следует

^ А1г + (¿1 - у) ¿1 - У р , 7Со(г) - ПС1(г) ¿1С1(г) =-СЦг)--Рю +----,

г г г — 1

и при z ^ 1 получаем:

AiP10 + - ц + Ai)(Pi^ - P10) + 7L0

П + ¿1

Обозначим общее время пребывания заявки в системе, независимо от того завершено её обслуживание или нет, буквой Ш. И вычислим его математическое ожидание по формуле Литтла:

М [Ш] = ^ А

У нас А = А0Р0. + А1Р1. и Ь = Ь0Р0. + ¿1Р1», следовательно

Ь0Р0» + Ь1Р1»

M [W ]

A0P0^ + A1PU

Обозначим общее время пребывания заявки в системе при условии, что она дождется обслуживания, если она поступил в систему в состоянии п). Так как новое прибытие заявок не влияет на время нахождения данной заявки в системе, мы имеем

М [Шю] Ц ^ 1

ц + п \Ц + п

Заметим, что М[Ш10] < —. Естественно, если заявка закончила обслуживаться до

Ц

того как в системе произошла поломка, то её время обслуживания будет меньше

среднего. Также, при п ^ 0, М[Ш10] ^ —. Рассмотрим случаи, когда п > 1

ц

ц + 41 / 1 ц

M [W11] = —^г- +

ц + + п \ц + + п (ц + п)(ц + п) M ---ц + 241 ц+41

ц + 2^1 + п ц + 2^1 + п ц + 2^1 + п ц + + п

1 ц

+

ц + 41 + п (ц + п)(ц + п)

,,ГТ17 , ц + n41 / 1 Л n — 1

M[W1n] = ,, ц + , М ., , ^ , „ + M[W1,n-1 Г

ц + n41 + п \ц + n41 + п ' ) n

Проведем аналогичные выкладки для нерабочего состояния системы.

M[W00] = (Г + M [W10]

Y + 4^ V Y + 40

Для n > 1:

MWon] = + ( Y+1U ( + ( 1+1)Л + M+

Y +(n +1)io VY + (n + 1)1o J (9)

(n + 1)1o n V 1 Л

Y + (n + 1)1o n + 1\ Y + (n + 1)1o J

Рекуррентные формулы (8), (9) позволяют последовательно находить математические ожидания M[Wjj]. По формуле полной вероятности, среднее время M[Ws] пребывания заявки в системе, при условии, что она дождется обслуживания, равно

те те

M[Ws] = Y M[Woj]Poj + Y M[Wij]Pij j=o j=o

Напомним, что система страдает от двух типов потерь: (1) — все заявки уходят, если система ломается и (2) — заявки могут покидать систему из-за нетерпения во время ремонта системы. Когда система в состоянии (1, n) n > 1, n — интенсивность поломки системы, а n — количество потерянных заявок мы можем найти интенсивность потерь заявок в единицу времени:

те

R = Y nnPin = nLi (10)

n=i

Интенсивность отказов из-за «нетерпения» в работающей системе:

те

Ri = Y 1i(n - 1)Pin = 1i(Li - Pii) - 1i(Pi^ - Pio - Pii) =

n=2

= 1iLi - 1i(Pu - Pio) (11)

Интенсивность отказов из-за «нетерпения» в неработающей системе:

те

Ro = Y 1onPon = 1oLo (12)

n=i

Аналогично, среднее количество заявок, обслуживаемых за единицу времени

S = MPu - Pio).

В стационарном режиме общая интенсивность Л входящего потока заявок естественным образом разлагается в сумму четырёх слагаемых:

Л = R + Ro + Ri + S = nLi + 1oLo + № - 1i(Pu - Pio) + ^(P^ - Pio),

Л = (n + 1i)Li + 1oLo + (^ - 1i)(Pu - Pio) (13)

Из (13) можно другим способом определить L1:

L1

A — 4q£q — (ц — 4j)(P^ — P10)

(п + 41)

что, как нетрудно показать, совпадает с (7). Из (13) найдём долю обслуженных заявок:

ц,р О \ _ ц(р1^ — р10) T(pu — р10) =-

Заключение

В данной статье рассмотрена система массового обслуживания типа М/М/1, т.е. система с одной линией обслуживания, пуассоновскими потоками поступающих заявок, экспоненциальной функцией распределения времени обслуживания, отказами линии и восстановлением (ремонтом). Время исправной работы линии, как и время ее ремонта — случайные величины, имеющие показательное распределение. Потоки заявок, поступающих на работающую и ремонтируемую линию имеют разную интенсивность. Заявки, находящиеся в очереди проявляют «нетерпение», при этом интенсивности «нетерпеливости» заявок в работающей и ремонтируемой системе различны. Найдены производящие функции распределений вероятностей функционирующей и неисправной линии, средние длины очередей, доля обслуженных заявок, среднее время пребывания в системе заявки, дождавшейся обслуживания.

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. — М.: Наука, 1965. — 367 с.

2. Uri Yechiali. Queues with system disasters and impatient customers when system is down / Yechiali Uri // Queueing Systems, 56 (2007). — P. 195-202.

3. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. — М.: Наука, 1966. — 301 с.

4. Бочаров П. П. Теория массового обслуживания / П. П. Бочаров, А. В. Печинкин. — М. Рудн, 1995. — 529 с.

5. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания / Л. Клейнрок. — М. Машиностроение, 1976. —

Описок литературы

214 с.

Статья поступила в редакцию 27.05.2013