CC BY
28
ш
УДК 621.317.33+621.317.335.3+621.317.411 ББК 31.232
ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛИНЕЙНЫХ ОДНОРОДНЫХ ВЕЩЕСТВ ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО ИЗМЕРЕННОЙ ЧАСТОТНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПОВЕРХНОСТНОГО ИМПЕДАНСА
А.Ю. Глухов, И.В. Негинский
Рассмотрен абсолютный метод определения параметров линейных однородных веществ по измерениям частотной зависимости поверхностного импеданса цилиндрических образцов. Оценено влияние точности определения импеданса и радиуса образца на полученные при решении обратной задачи значения проводимости, магнитной и диэлектрической проницаемостей.
Ключевые слова: решение обратной задачи, проводимость, магнитная проницаемость, диэлектрическая проницаемость, поверхностный импеданс.
В настоящее время современные методы и реализованные на их основе приборы позволяют получить только один из параметров материала [2-5] - либо относительную проводимость с, либо относительную магнитную проницаемость ц, либо относительную диэлектрическую проницаемость в, в то время как важным является знание всех трех параметров. Таким образом, становится актуальной задача разработки и технической реализации экспериментального взаимоиндукционного метода, позволяющего одновременно получить все три параметра материала. Метод позволяет, исходя из экспериментально полученной зависимости поверхностного импеданса цилиндрического образца, вычислить параметры среды. Он может быть применен для определения параметров линейных однородных материалов (как проводников, так и диэлектриков), что делает его особенно ценным как в научном, так и практическом плане.
Поверхностный импеданс является наружной характеристикой среды, позволяющей судить об амплитуде и фазе отраженной волны, не интересуясь внутренними микроскопическими процессами.
Решение электродинамической задачи расчета поверхностного импеданса Z(ю) в случае линейной однородной среды требует знания лишь параметров материала образца. Из уравнений Максвелла и материальных уравнений среды можно получить [1], что частотная зависимость поверхностного импеданса цилиндрического образца радиуса R проводимостью с, относительной диэлектрической проницаемостью в и относительной магнитной проницаемостью ц имеет следующий вид:
<и
X
г (Ю) = I- ^ .мт (!)
4 ' ^ (а + /теей) А.(МУ (1)
2 где р2 = -/юцЦо(с +./'®вв0);
<С
« о
1-ч
ю - частота электромагнитного поля; R - радиус цилиндрического образца; А1, - функции Бесселя первого рода первого и нулевого порядка соответственно;
ц0 - магнитная постоянная; в 0 - электрическая постоянная. Практический интерес представляет решение обратной задачи - исходя из экспериментально измеренной частотной зависимости поверхностного импеданса определить параметры с, в и ц. Для решения данной задачи вычислим производную ^'
, _ о2 + (ст + 'ювв0)[(<т + 'авв0)Я22 - R - 2]
2
(2)
2ю(а + 'авв0)
Разделяя мнимую и вещественную составляющие импеданса 2 = k +'т и его производной 2' = / +'п, получим уравнение:
Ас3 + В с 2 + Свс 2 + Бвс + Ев 2 с+ Fв 2 + Ов3 = 0 где введены обозначения А, В, С, Б, Е, К О:
(3)
А = х2Я = (к2 - т2)Я, В = -21а, С = -2ктЯав0, Б = 2а(т - па)в0, Е = 4х2Яа2вЦ = 4(к2 -т2)Яю2в02 К = -4(к + /ю)ю2в02, G = -8ктЯюъв1.
(4)
Входящие в (4) коэффициенты могут быть определены экспериментально. Таким образом, имеется принципиальная возможность определить внутренние параметры материала образца с, в и ц исходя из частотной зависимости поверхностного импеданса образца.
Решать уравнение (3) можно различными способами. Воспользуемся избыточностью исходных данных, то есть большим числом экспериментальных значений 2(ю).
Определим коэффициенты А-О в нескольких точках по частоте: А{ = А(ю.) ... О{ = О(ю.). Значение производной 2'(ю) получим из частотной характеристики 2(ю), аппроксимировав ее с помощью центральных разностей второго порядка точности.
Тогда соотношение (3) примет вид:
ВСБЕЕ 12 АСБЕК,
СБЕЕ„
-(АБЕЕ12з45а + ВБЕЕ^)
(5)
где выражения для коэффициентов АБЕК12345-ВБЕК12345 определяются по пяти различным отсчетам 2(ю.) (см. таблицу).
С математической точки зрения решением является также вариант с = 0. И импеданс, и его производная в этом случае чисто мнимые величины. Решение уравнения (3) тогда примет вид:
т22 (—- + п1) + т12 (— + п2)
м=-
/л0Я(т2 - т1 )
в = ■
т1 т2 п1 - п2 +—1 -—-а1 а2
(6)
в0Я(т2 -тг)
1
ь = —
Таким образом, получив экспериментальную частотную характеристику поверхностного импеданса цилиндрического образца радиуса R, можно вычислить параметры с, в и ц материала образца.
Оценим методические погрешности данного метода восстановления параметров среды по экспериментальным результатам. При измерениях с помощью экспериментальной установки определяются вещественные и мнимые составляющие комплексного импеданса цилиндрического образца. Также существенным параметром является радиус образца R.
Значения коэффициентов (4) для пяти различных частот ю1 ю5
Л = А(а) Gl = Д(а)
А = Л(®5) G5 = Д(а)
ЛЛ12 = ЛД2 - Л2 G1, ЛЛ56 = A5G6 - ЛД,
ВВ12 = BlG2 - B2Gl, ВВ56 = В5^5 - B6G5,
СС12 = СД2 - С 2 G1, СС56 = С5Д6 - C6G5,
DD12 = D1G2 - D2G1 , ••• DD56 = D5G6 - D6G5,
ЕЕ12 = E1G2 - Е2 G1, ЕЕ,, = ЕД - ЕД, 56 5 6 6 5
РРи = ^2 - Р2 ^ FF56 = F5G6 - F6G5■
Л^23 = ^12^23 - ЛЛ23 ^456 = AA45FF56 - ЛЛ56FF45,
BFm = ВВ12^^23 - ВВ23^/?2, BF456 = ВВ45 FF56 - ВВ^,
СЕ = СС - СС ^ ^ 123 12 1 23 23 -1 12 СЕ =СС ЕЕ -СС ЕЕ ... 456 ^^45^ 56 ^^56^ -1 45 =
DF123 = DD12^23 -DD23^ DF456 = ^45^56 -ВВ56^
ЕИ123 = ЕЕ12И-И23 EE23FF12 ЕЕ456 = ЕЕ45 ЕЕ56 EE56FF45■
ЛЕИ1234 = ЛЕ123ЕЕ234 - ЛЕ234ЕЕ123 ЛЕЕ?456 = ЛF345EF456 - ЛЕ456ЕЕ345,
ВЕИ1234 = ВЕ123ЕЕ234 - ^234^ ^ BEF3456 = BF345EF456 -^^"^456EF345,
СЕИ1234 = СЕ123ЕЕ23А - СЕ234ЕЕ123, CEF3456 = CF345EF456 - CF456ЕЕ345,
DEE1234 = ^123^234 - ^234Е^23 DEF3456 = DF345EF456 - ^456Е^345 .
ADEF12345 = AEF1234DEF2345 - ЛЕИ2345DEE234,
BDEFl2345 = ВЕИ^ЕИ^ -ВЕ^2345ВЕ^,
СВЕЕ,12345 = CEF1234DEF23345 - СЕИ2345DEFl234,
ADEF23456 = AEF2345DEF3456 - ЛЕИ3^ЕИ23А„
BDEF23456 = BEF2з45DEFз456 - BEFз456DEF2345,
CDEF23456 = CEF2345DEF3456 - CEF3456DEF2345■
ACDEF123456 = ADEF12345 23456 23456 12345
ВОВЫ?^ = BDEFl2345CDEF23456 - BDEF23456CDEFl2345,
Рассмотрим влияние точности определения Z(ю) и R на вычисленные в рамках метода с, в и ц. Оценим влияние точности определения радиуса на точность восстановления относительной проводимости. Для этого представим с = с0 + Ас и R = R0 + Подставляя последние выражения в (3) и (4), делая необходимые преобразования, получим следующее выражение для относительной погрешности проводимости:
Аа х2а. АR - 2аее0кта0 АR + 2аее0(т - па)
а0 41аа0 + 4аее0кта.Я. -3х2Я0а2 - 2а(т -па)ее0 ' (7)
Производя аналогичные вычисления для в = в' + Дв и Я = Я0 + ДЯ, можно оценить влияние точности определения радиуса на ошибку восстановления относительной диэлектрической проницаемости в:
Дв _ х2о2ДЯ - 2ав'в0 кто ДЯ
в' 2ав'в0 ктоЯ0 - 2ав'в0(т - па). (8)
Анализ соотношений (7) и (8) показывает, что погрешность для проводимости и диэлектрической проницаемости практически линейно зависит от погрешности определения радиуса образца.
Численное моделирование использования метода восстановления параметров для цилинд-бе ■^апёТ 31 Т абадоа бааеопа Я = 4,5 мм дает следующие результаты.
Рис. 1. Зависимость восстановленного значения проводимости Sigma медного образца
с проводимостью ст = 58,8 106 См/м
Как видно из рисунка 1, отклонение восстановленного значения проводимости от исходного не превышает 1,4 10-4%.
Аналогичная ситуация наблюдается и с алюминиевым образцом проводимостью ст = 36 106 См/м (рис. 2). В этом случае ошибка не превышает 4,5 10-5%.
Рис. 2. Зависимость восстановленного значения проводимости Sigma алюминиевого образца
с проводимостью ст = 36 106 См/м
Из графиков (рис. 1 или рис. 2) видно, что ошибка в восстановленном значении относительной проводимости цилиндрического образца возрастает с возрастанием частоты. Это
связано с особенностью программного расчета самих значений импеданса 2(ю), а не с точностью метода, поскольку для его реализации используются только простейшие арифметические операции.
Таким образом, теоретически обоснована и численно проверена возможность определения параметров материала с, в и ц цилиндрических образцов по интегральным измерениям частотной характеристики поверхностного импеданса. Анализ точности метода показывает довольно высокую чувствительность результатов восстановления к погрешности определения радиуса образца.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Игнатьев, В. К. Измеритель поверхностного импеданса / В. К. Игнатьев, И. В. Негинский // ПТЭ. -1998. - № 2. - С. 60-66.
2. Матвейчук, В. Ф. Измерения электромагнитных свойств материалов с низкими потерями на СВЧ методами диэлектрического резонатора / В. Ф. Матвейчук, С. Н. Сибирцев, Н. М. Карих // Измерительная техника. - 2004. - №№8. - С. 30-35.
3. Пчельников, Ю. Н. Радиоволновые методы контроля электромагнитных параметров радиопоглоща-ющих материалов / Ю. Н. Пчельников, А. А. Елизаров // Измерительная техника. - 1994. - N° 12. - С. 9-11.
4. Сандовский, В. А. Методика измерения и аттестации образцов удельной электрической проводимости / В. А. Сандовский, В. В. Дякин, М. С. Дударев // Измерительная техника. - 2005. - № 9. - С. 59-65.
5. Чечерников, В. И. Магнитные измерения. Изд. 2-е / В. И. Чечерников. - М. : Изд-во МГУ, 1969. - 386 с.
RESEARCH OF THE METHOD OF RECOVERING THE PARAMETERS OF LINEAR HOMOGENEOUS SUBSTANCES EXPERIMENTALLY MEASURED FREQUENCY DEPENDENCE OF THE SURFACE IMPEDANCE
A. Yu. Glukhov, I. V Neginsky
Considered an absolute method of determining the parameters of linear homogeneous materials by measuring the frequency dependence of the surface impedance of cylindrical samples. The influence of the accuracy of the impedance and the radius of the sample obtained by solving the inverse value of conductivity, magnetic and dielectric constant.
Key words: inverse problem, conductivity, magnetic permeability, dielectric constant, the surface impedance.
