CC BY
25
В.К. Балханов, Л.Х. Ангархаева, Ю.Б. Башкуев
ИМПЕДАНС СРЕДЫ
С НЕОДНОРОДНЫМИ
«_» _
МАГНИТНЫМИ СВОЙСТВАМИ*
Выписано уравнение для вектора магнитной индукции с учетом магнитной проницаемости неоднородной среды. Экспоненциально-интегральным преобразованием уравнение второго порядка для магнитной индукции расщепляется на два уравнения первого порядка. Получена формула для импеданса среды с неоднородными магнитными свойствами.
Ключевые слова: поверхностный импеданс, магнитная проницаемость.
Введение
Природная среда и технические материалы во многих случаях, помимо электрических свойств, обладают также естественными и искусственными магнитными свойствами. Электромагнитные свойства среды описываются проводимостью а (или удельным сопротивлением р = 1/ст), диэлектрической проницаемостью в и магнитной проницаемостью ц (в предположении, что среда сплошная). Уравнения Максвелла в единицах СИ имеют следующий вид:
V х E - гюБ
Vx1Б = --k2 E . ц ю
(1)
Здесь Е — вектор электрического поля, В — вектор магнитной индукции, х — векторное произведение, V — оператор наб-ла, га — круговая частота, квадрат волнового вектора
k = c2
га
\
v
s0ray
(2)
где с — скорость света, в0 — диэлектрическая постоянная.
Из уравнений (1) стандартным образом получаем уравнение для вектора магнитной индукции:
1 ^ ,, ^ Ук2 ( 1 - ^ („
V2- Б + k2 Б Ц
Vx-Б Ц .
-V
V— Б Ц .
- 0.
(3)
* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 15-41-04430 р_сибирь_а. ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2017. № 1. С. 27-31. © 2017. В.К. Балханов, Л.Х. Ангархаева, Ю.Б. Башкуев.
х
Здесь точка «•» означает скалярное произведение. Введем вместо В и к2 новые величины:
В
Вц=-' К2 = ЦК
2
Тогда уравнение (3) примет окончательный вид:
vкy
V2 Вц+Кц2 Вц
К
(5)
+
^ Ь^Л ) = 0
Обратим внимание, что это уравнение содержит только первые производные от электромагнитных параметров. Этого мы добились введением величин (4).
Подстилающая среда
Уравнение (5) выписано с учетом того, что среда по электромагнитным параметрам неоднородна. В общем случае не представляется возможным получить его решение. При численном же решении среду необходимо выбрать в виде двухслойной модели, где первый слой неоднородный. Второй слой, бесконечный по глубине, является однородным, с постоянными значениями стн, вн и цн (рисунок). Выбор такой модели неоднородной среды необходим для того, чтобы при численном решении уравнения (5) электромагнитные параметры случайно не приняли отрицательные значения. Последнее достигается определенным выбором толщины h первого слоя.
Для электромагнитного поля земной волны его компоненты зависят только от двух координат — координаты х вдоль направления распространения волны и координаты I, которую мы направим вглубь земли, причем на поверхности I = 0. От координаты х волна зависит как ехр(Ах), где параметр X определяется из условий задачи и математически называется параметром разделения переменных. Временная зависимость имеет следующий вид: ехр(-/'га?). Отличительной
Модель неоднородной по электромагнитным параметрам среды
2
чертой поля земной волны является то, что вектор магнитнои индукции имеет только одну ненулевую компоненту, ортогональную осям х и г. Компоненты электрического поля можно найти из уравнений Максвелла. Таким образом, вектор магнитной индукции для поля земной волны имеет следующие компоненты:
В = (0,ехр (-гюЬ + 1Хх) Ву (г),0). (6)
При нашем выборе направления оси г вглубь среды, приведенный поверхностный импеданс 5 определяется как:
« = -1
с
Г г- Л
п
V у Л=о
(7)
Нашей задачей будет определение импеданса (его модуля и фазы), когда среда имеет неоднородное распределение электромагнитных параметров.
Для свободного пространства уравнение (5) принимает следующий вид:
^ д2 д2 ^
дх ду
В
о у
2 Во у = 0
где k0 = ю/с. Магнитная индукция этого уравнения ищется в следующем виде:
В0у (х, г) = ехр (1Хх - - X2г). (8)
Подставляя (8) в (7), устанавливаем связь между X и 5:
X2 = V - ^З2. (9)
Это позволяет исключить X и сразу иметь дело с 5.
Во втором однородном слое, который начинается с глубины h, уравнение для магнитной индукции следует из (5) и имеет следующий вид:
( д2 д2 ^
в„„ + к,2 в„„ = о.
дх ду
Ну
'Ну
(10)
Отсюда, с учетом (9) и того, что параметр X как в свободном пространстве, так и в каждом слое один и тот же [1], находим магнитную индукцию:
ВНу (г) = сотЬ ехр
(11)
Здесь стн — значение проводимости ст(г) на границе £ = h, аналогично и для магнитной цн и диэлектрической вн прони-цаемостей.
Уравнение (5) — комплексное, его удобно разделить на действительные и мнимые части. При этом желательно понизить порядок производных. Этого можно достигнуть, применяя следующее экспоненциально-интегральное преобразование для магнитной индукции в неоднородном слое:
Ву (г) = сот1ц( г) ехр
^_/г г
с(0)|{ Юйг - г| Уйг
V
(12)
Здесь ц0 — магнитная постоянная, функции и(£) и К(г) — безразмерные, а(0) — значение проводимости ст(г) на поверхности £ = 0; последнее относится к в(0) и ц(0). Подставляя (12) в (7), находим искомый импеданс:
5 =
V
с
(0) У(0) + гЮ (0) гс ц' (0)
5(0)
гс(0) юц(0)
(0)
в„ю
гс(0)
в„ю
(13)
Здесь штрих ' означает дифференцирование по Как во второй однородной среде, так и на границе с градиентной средой, начиная с глубины £ = Н, все производные исчезают. Тогда из уравнений следуют два уравнения второй степени для определения функций ин и Ун. Из четырех решений выбирается только одно, которое должно согласоваться с функций (10). Отметим особенность численного решения, которое заключается в том, что искомые и(0) и У(0) входят в начальные значения ин и Ун, которые необходимы при численном решении уравнений для и(£) и К(г). Таким образом, задача вычисления поверхностного импеданса имеет самосогласованный характер.
в0ю
Заключение
Рассмотрено поле земной волны, распространяющейся вдоль неоднородной по электромагнитным параметрам земной среды. Учтено, что среда в общем случае обладает проводимостью, диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью. Написано уравнение для магнитной индукции. Для численного решения этого уравнения предложено экспоненциально-интегральное преобразование. Получена формула для импеданса среды с неоднородными магнитными свойствами.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Балханов В. К., Башкуев Ю. Б. Основы теории метода поверхностного импеданса. - Улан-Удэ: Изд-во БНЦ СО РАН, 2005. - 100 с. и^
КОРОТКО ОБ АВТОРАХ
Балханов Василий Карлович1 — кандидат технических наук, старший научный сотрудник, e-mail: ballar@yandex.ru,
Ангархаева Людмила Ханхараевна1 — кандидат
физико-математических наук, доцент,
ведущий научный сотрудник,
Башкуев Юрий Буддич1 — доктор технических наук,
профессор,
1 Институт физического материаловедения Сибирского отделения РАН.
UDC 537.12+ 537.226.2
Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2017. No. 1, pp. 27-31. V.K. Balkhanov, L.Kh. Angarkhaeva, Yu.B. Bashkuev IMPEDANCE OF THE MEDIUM WITH INHOMOGENEOUS MAGNETIC PROPERTIES
The equation for the magnetic induction vector with consideration the magnetic permeability of an inhomogeneous medium is written out. The equation of the second order for the magnetic induction disintegrates into two first-order equations with the help of the exponentially-integral transformation. The formula for the impedance of the medium with inhomogeneous magnetic properties was obtained.
Key words: surface impedance, magnetic permeability.
AUTHORS
Balkhanov V.K.1, Candidate of Technical Sciences, Senior Researcher, e-mail: ballar@yandex.ru,
Angarkhaeva L.Kh.1, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor, Leading Researcher, Bashkuev Yu.B.1, Doctor of Technical Sciences, Professor, 1 Institute of Physical Materials Science, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, 670047, Ulan-Ude, Russia.
ACKNOWLEDGEMENTS
The study was supported by the Russian Foundation for Basic Research, Grant No. 1541-04430.
REFERENCES
1. Balkhanov V. K., Bashkuev Yu. B. Osnovy teorii metoda poverkhnostnogo impedansa (Fundamentals of the theory of the method of surface impedance), Ulan-Ude, Izd-vo BNTs SO RAN, 2005, 100 p.
