Исследование МАР-потока методом асимптотического анализа а?-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.В. Лопухова, А.А. Назаров

ИССЛЕДОВАНИЕ МАР-ПОТОКА МЕТОДОМ АСИМПТОТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

N -го ПОРЯДКА

Рассматривается МАР-поток. Выполнено исследование данного потока методом асимптотического анализа n-го порядка. Рассматривается также задача нахождения инфинитезимальных характеристик для одного из частных случаев МАР-потока - рекуррентного РН-потока - при заданных математическом ожидании и коэффициенте вариации.

Введение

Многочисленные исследования [1] телекоммуникационных потоков в реальных компьютерных сетях связи, выполненные зарубежными и отечественными специалистами, позволили сделать вывод о существенной неадекватности классических моделей случайных процессов (пуассоновских и рекуррентных) реальным информационным потокам, поэтому актуальной является задача существенного расширения класса математических моделей случайных процессов однородных событий, а также развитие методов их исследования.

dP) = ЕP M, t) ^ -XkP (k, 0, t) +

dt k

+Е P (k1,0,t) )k1kqk1k ,

k1

dP (k, m, t) ^ . .

—^t— = ЕP ( mt)%k -

k1

-XkP (k, m, t) + XkP (k, m -1, t) +

+EPP (, m -1t )- P ( m, t .

k1

Математическая модель

Пусть эргодическая цепь Маркова к (?) задана ин-финитезимальными характеристиками qkk 2, также заданы: набор неотрицательных чисел Хк > 0, вероятности ёк к2 для любых к1 Ф к2, при этом в матрице изменения состояния управляющей цепи Маркова события наступают с вероятностью ёкк2, также введем величину йш = 0.

Случайный поток однородных событий называется МАР-потоком [2, 3], управляемым процессом к(?), если для т(?) - числа событий МАР-потока, наступивших за время ?, - выполняются равенства

Р {(? + Д?) = т + 1, к (? + Д?) = к / т(?) = т, к (?) = к} =

= Хк Д + о(Д?),

Р {(? + Д?) = т, к (? + Д?) = к / т(?) = т, к (?) = к} =

= (1 - X к Д ) (1 + qkk Д) + о(Д),

Р {(? + Д?) = т + 1, к (? + Д?) = к2 / т(?) = т, к (?) = к1} =

= dklk 2 qk1k 2 Д? + о(Д?),

Р {(? + Д?) = т, к(? + Д?) = к2 /т(?) = т, к(?) = к1} =

= (1 — dklk2 ) )кгк2 Д? + о(Д?).

Нетрудно показать, что распределение вероятностей Р (к, т, ?) двумерной цепи Маркова (к (), т (?)) удовлетворяет системе уравнений Колмогорова

Метод асимптотического анализа МАР-потока

Обозначим

Н (, к, ґ) = ^£о)итР (к, т, ґ) = Р (к () = к) {е^/к (ґ) = к},

т=0

где ] = 7-ї - мнимая единица. Определим вектор-строку Н(м,ґ) = {Н (м,ї,ґ),Н (м,2,ґ), ...} .

Очевидно, что Н (м,0) = ^, где ^ - вектор стационарного распределения вероятностей состояний цепи Маркова к(ґ). Из (ї) следует, что для Н (м,ґ) можно записать

dH (u, t )

dt

= H

(u,t)p + (e(u -1)5}. (2)

Здесь Q - матрица инфинитезимальных характеристик управляющей потоком цепи Маркова к (?) и В -

сумма двух матриц Л и А, где Л - диагональная матрица с элементами Хк на главной диагонали, а А -матрица, составленная из элементов dkk^ • qkkí, тогда характеристическая функция числа т (?) событий, наступивших в рассматриваемом потоке за время ?, имеет вид Ме) = Н (и,?)Е, где Е - единичный вектор-столбец.

Выберем достаточно большое значение величины Т, полагая Т , и в уравнении (2) выполним замены

T = є, T = te = T, u = єи, H (u,t) = F1 (u, t, є), (3)

тогда (2) запишем в виде

ÖF, (и, т, е) . . с t ■ \ \

е 1 ^ = F (и, т, е){ + (e(■“-1)5}. (4)

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Если при е — 0 существуют пределы

1) lim Fl(u, т, е) = F1 (и, т),

е—>0 14 7 14 7

3F, ( и, т, е)

2) lim е--- ------ = 0,

е—0 дт

то F1 (и, т) имеет вид

F (и,т) = e^R , (5)

где R - вектор, определяемый системой

RQ = 0 (6)

и условием нормировки RE = 1, а величина ж1 определяется равенством

дН 2(u, t) dt

:Н2 (u, t) ¡Q + (e* -1)) - ju&J}, (9)

ж1 = R5E .

где I - единичная диагональная матрица. Аналогично (3) в уравнении выполним замены

T = е2, T = tе2 = т , u = ей, Н2 (u, t) = F2 (и, т,е). (10)

Здесь важно отметить, что в заменах (3) и = о/Т, а в

заменах (10) и = и/ л/Т. Этот факт будет использован ниже при построении аппроксимации второго порядка. Выполнив замены (10) в (9), получим уравнение для

F2 (и, т, е) в виде

dF2(u, т, е) дт

: F> (и, т, е) ( + (е(ие -1) ) - уие®!) .(11)

(7)

Следствие. Для достаточно больших значений времени ? (? = т Т ^ да) имеет место равенство

Ме ) = Н (и, ? )Е = е ^ + О (1/ Т2), (8)

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Если при е — 0 существуют пределы

1) limF2 (и,т,е) = F2 (и,т),

dF2 (и, т, е)

2) lim е 2V ’ = 0,

е—0 дт

то F2 (и, т) имеет вид

(ju)2

F2 (и,т) = е 2 2 R

(12)

где О (1/Т2) - бесконечно малая величина порядка (1/ Т2).

Равенство (8) будем называть асимптотикой первого порядка характеристической функции процесса т (?).

Асимптотика первого порядка аналогично закону больших чисел дает детерминированную аппроксимацию процесса т (?), т.е. позволяет для процесса т (?) найти асимптотическое среднее значение, которое в рассматриваемом случае составляет ж1/. Величина ж1 имеет смысл интенсивности рассматриваемого МАР-потока [4].

Естественно, среднее значение недостаточно полно характеризует число т (?), поэтому возникает необходимость более детального исследования этого процесса.

Асимптотика второго порядка

Решение Н(и,?) уравнения (2) будем искать в виде

Н (и,?) = е^Н2 (и,?) , тогда для Н 2 (и, ?) получим уравнение

где ж2 определяется равенством

ж2 = ЯВЕ + 2ф1 ВЕ, (13)

в котором вектор ф2 является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

ф^ = Я {^I — В} , (14)

удовлетворяющим условию ф2Е = 0 .

Следствие. Для достаточно больших значений времени ? (? = тТ ^ да) имеет место равенство

[ (и)2 1

Ме1ит(() = Н (и, ?)Е = е1- 2 ^ О (1/Т). (15)

Равенство (15) будем называть асимптотикой второго порядка характеристической функции процесса т (?).

Отметим, что асимптотика второго порядка позволяет найти не только асимптотическое среднее значение процесса т (?), но также построить гауссовскую аппроксимацию дискретного распределения вероятностей Р (т (?) = т), поэтому асимптотику второго порядка будем также называть гауссовской аппроксимацией.

Для применения асимптотических результатов в допредельном случае найдем последовательность Q2 (т, ?), т = 0, 1, 2, ..., для которой выполняется равенство

X 62(m, t )ejum = exp{ ju^t + ж2t},

m=0 2

которая в силу (15) дает аппроксимацию распределения P (m, t) = X P (к, m, t). Очевидно

X Q2(m, t )cos(um) + j X Q2(m, t )sin(um) =

m=0 m=0

= {cos(us1t) + j sin(us1t )}e

да —

X Q2 (m, t) cos(um) = cos(us1t)e

Очевидно, что /'(у) = —— /(у) - линейное диф-

в2?

ференциальное уравнение первого порядка, его решение, удовлетворяющее начальному условию

1да и2 -1

Г *7? 1

/(0) = -[е 2 2 du = п 0

имеет вид

V2

ЛЖ,/

(18)

Сделав замену y = m - s1t, получим

u

----*,t

2 2

u

-----ъ9 t

2 2

G (m, t) = f (m - s1t) =

( m-^t) 2ъ?t

.^2ns2t

X Q2 (m, t) sin(um) = sin(us1t )e

Lm=0

u

----*,t

22

(16)

Умножим уравнения системы (16) на 2 cos(un), 2 sin(un) соответственно и получим

да

X Q2 (m, t) {cos (u (n - m)) + cos (u (n + m))} =

m=0

- —ъ t

= |cos (u (n - Sjt)) + cos (u (n + Sjt))}e 2 2,

да

X Q2 (m, t) {cos (u (n - m)) - cos (u (n + m))} =

m=0

- —ъ t

= |cos (u (n - Sjt)) - cos (u (n + Ъ/)} e 2 2 . Сложив эти уравнения, получим равенство

да

X Q2 (m, t) cos(u (n - m)) = cos(u (n - Sjt))e

Это равенство будем называть гауссовской аппроксимацией. Найдем модуль разницы между гауссовской аппроксимацией О (т, ?) и аппроксимацией второго порядка Q2(m, ?):

^2 (т,?) — О(т,?)| < Д(ж2(), величина Д(в2?) для разных значений в2? равна

ffi2t 1 2 3

A(s2t) 0,002 8,232 -10-6 3,947 -10-8

u

----*,t

22

Теперь проинтегрируем его по u в интервале [0, u], найдем

1 п u2 ъ t

Q2(m, t) = — J cos (u (m - s1t))e 22 du . (17)

П 0

Полученное равенство будем называть аппроксимацией второго порядка допредельного распределения P (m, t). Из нее можно получить гауссовскую аппроксимацию следующим образом. Пренебрегая значением

1 да u2 t

величин Q2(m, t) =—J cos (u (m - s1t ))e 22 du, рас-

П 0

1да u2

/• -----------*2t

смотрим функцию f (y) = — I cos(uy)e 2 du , опреде-

0

ляющую равенство (17).

Таким образом, при Д(ж2?) > 2 можно пользоваться гауссовской аппроксимацией О (т,?) вместо аппроксимации второго порядка Q (т, ?) для распределения

Р (т, ?).

Асимптотика более высокого порядка

Найдем асимптотику более высокого порядка, полагая

Н (U, ? )= Нп (U, ?)еХР {¡¡-1 Вт? 1 . (19)

^ т-1 т! J

Подставляя это выражение в уравнение (2), получим уравнение относительно Нп (и,?)

ш- <",t >+и, (u, t )|X jL J

dt

im-1 m!

= Ип (u,t)( + ( -1)5), которое перепишем в виде

к

m=0

m=0

dH (u, t) , .1 , . s ^4 (ju )m І

^lj=h„ (u t >jo+(• - i)B-x ^ [. (20)

В уравнении (20) выполним замены

T = є” , T = t£” =т , u = єи, Hn (u, t) = F„ (и, T, є). (21)

Получим

, dFn (u, t, є) dl

( n-1 ( /иє) ^

= Fn(u,t,є) ß+(¿“-ЇВ-'^-L'SJ

m=i m!

. (22)

Можно доказать следующее утверждение. Теорема 3. Если при е — 0 существуют пределы

1) Ип1 Fn (u,x,е) = Fn (иx),

е—0 ' 7 ' 7

дF (и, т, е)

2) lim еп nV ’ = 0,

е—0 дт

то Fn (и, т) имеет вид

(ju)n

Fn (и, t) = e n! "R,

(23)

где величина жт определяется равенством

®m = RBE + X BE ,

(24)

а векторы фу при у = 1, 2, ..., п-1 определяются ре-куррентно последовательным решением систем уравнений

9iß = R {®iI - B},

m-1

9mß = R {m1 - B} + X Cm9m {®m-V1 - B}

Mejum(t) = H (u, t)E = exp jX^T-ffivt f + о І — I. (27)

(ju )V

^"1 V!

v=1 v •

T

Выбор матрицы инфинитезимальных характеристик по заданным среднему и коэффициенту вариации

Рассмотрим один из частных случаев МАР-потока -рекуррентный РН-поток [2, 3]. Для этого потока определим матрицу инфинитезимальных характеристик при заданных математическом ожидании а и коэффициенте вариации V = —.

а

Обозначим фк (а, ґ) = М {е-аі; |к (ґ) = к} - характеристическая функция времени перехода из состояния к в состояние у при условии ф^ (0) = М {е° |к (ґ ) = к} = -

Vk, ] .

Пусть в рекуррентном РН-потоке событие наступает в момент попадания цепи в репродуктивное состояние 5. Имеем следующие условия:

ф’„ (0) = -М% = -а, ф! (0) = М^ = а (ї + V2), фь (а, ґ + Дґ) = М {е-ай+Аґ) \к (ґ) = к, к ( + Дґ) = 5-Ук . (28)

ф„ (а t -At) = (1+q.At) (1 - aAt) (а t)+

+X чл A%s (а t)+о (At),

k * s

Фь (а t -At) = (1+q»At) (1 - aAt) Фь (а t)+

+X q»1 A4s (а t)+о (At), k *s,

kj *k k * s

(qss -aKs (а)+X qsk Фks (a) =0,

k1 * s

(29)

(25)

и выполнением условий фтЕ = 0 .

Замечание. Условия теоремы не выполняются при нарушении хотя бы одного из условий

]1т в2т = (-1)т в2т < 0 при т > 1. (26)

Следствие. Для достаточно больших значений времени ? (? = тТ ^ да) имеет место асимптотическое равенство

(30)

-«Фь (а)+X qkk1 Фk1s (а) =0, k *s.

k *s

Дифференцируем систему (29) по а :

(qss- aKs (а)- Фss (а)+X qsk фі (а) =0,

^1 *s

-аФks (а)- Фks (а)+X qkk1 ф^ (а) =0, k *s.

k1 * s

В этой системе положим а = 0 :

qss ФSs (0)- Фss (0)+X qsk фі (0) =0,

k *s

-Фks (0)+X qkk1 ФklS (0) = 0 k *s.

k * s

Подставив в полученную систему условия (28), имеем

Это равенство будем называть асимптотикой п-го порядка характеристической функции случайного процесса т (?).

-aqss-1+X qsk фі (0 )=0,

-1+X q/kn ФklS (0)=0, k *s.

k1 * s

V = 1

V = 1

Дифференцируем систему (30) по а :

(?« - а) фі (а)- 2фі5 (а) + X 4*фкг (а) = 0,

к, * 5

-афь (а)- 2ф’ь (а) + X 4кк, фкк,5 (а) = 0 к * 5

к, *5

Положим а = 0:

4*ф! (0) - 2ф5* (0) + X 4 лфк5 (0) = 0

к- *5

-2фк5 (0) + X 4кк, фк,5 (0) = 0, к * 5

к, * 5

Подставив условие (28), имеем

-а (- + V2) + 2а + X 4 кфк* (0) = 0

к, *5

-2фі (0) + X 4кк, фк’,5 (0) = 0, к * 5

к, *5

(3,)

Пусть управляющая цепь Маркова задана двумя состояниями, т.е. к (ґ) = {0Д} . Репродуктивным состоянием является нулевое состояние, т.е. 5 = 0. Тогда система (29) примет вид

[((ю - а)ф00 (а) + 4сіфі0 (а) = 0 [(, -а)ф,0 (а)+ = 0 к * 5

(32)

Система (30)

[(?00 - а)ф0с (а) - ф00 (а) + ^ифш (а) = 0, К -а)ф,0 (а)-ф,0 (а) =0;

ф,0 (0)= •

4п

Система (31) примет вид

Г(^00 - а) ф0о (а) - 2ф00 (а) + 9°^!° (а) = 0,

[(п - а) ф1о (а)- 2ф1° (а) = 0.

Система (32) примет следующий вид:

{-а (1 + V2) 9°° + 2а + ?о1ф!о (0) = 0,

Г-2ф1о (о) + ?"ф1о (0) = 0,

ф,'о (0 ) = = А-

9и 9и

2

- а (1 + V 2 )оо + 2а + 9о1 2 = °.

9и

Получаем следующую систему уравнений:

-а4о0 - , + 40, — = 0 Чп

2

-а ( + V 2 ) 400 + 2а + q0l —г = 0;

9и

9и =

400

, + аЧ00

-а ( + V2) 400 + 2а - 400 2 (l + а^00) = 0;

400

4п =■

400

Решим квадратное уравнение

-а ^ - V2 ) 4002 - 2а400 - 2 = 0

Б = а2 (2V2 -!) > 0, следовательно, V >

а + ал/ж2-’ Л ,

400 =-----————— < 0, следовательно, V <!.

а

(, - V2)

400 = '

4п =■

! +

Можно найти инфинитезимальные характеристики управляющей цепи Маркова с двумя состояниями, если

выполняется условие —^ < V <,:

л/2

е =

г(г2 +V2V2 -,) а(V2 + л/2V2 -,)

Если условие не выполняется, то необходимо рассматривать цепь Маркова с большим числом состояний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильницкий С. Влияние эффекта самоподобности на работу сетевых серверов // Массовое обслуживание. Потоки, системы, сети: Материалы

международной научной конференции «Математические методы повышения эффективности функционирования телекоммуникационных сетей». Минск: БГУ, 2005. С. 42-48.

2. Дудин А.Н., КлименокВ.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Мн.: БГУ, 2000. 175 с.

3. ГнеденкоБ.В., КоваленкоИ.Н. Введение в Теорию массового обслуживания. 3-е изд. М.: КомКнига, 2005. 400 с.

4. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование моментов высших порядков МАР-потока, управляемого эргодической цепью Маркова // Материалы

Х Всероссийской научно-практической конференции «Научное творчество молодежи». Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. Ч. 1. С. 156-158.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2006 г.