Исследование ММР-потока асимптотическим методом m-го порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008

Управление, вычислительная техника и информатика

№ 3(4)

УДК 621.391.1; 519.21

С.В. Лопухова

ИССЛЕДОВАНИЕ ММР-ПОТОКА АСИМПТОТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ m-го ПОРЯДКА

В работе рассматривается марковски модулированный пуассоновский поток событий (ММР-поток). Выполнено исследование данного потока методом асимптотического анализа ш-го порядка.

Ключевые слова: ММР-поток, метод асимптотического анализа ш-го порядка, асимптотика ш-го порядка, аппроксимация ш-го порядка.

Пусть эргодическая цепь Маркова k(t) с конечным числом состояний k = 1, 2,..., K задана матрицей инфинитезимальных характеристик Q с элементами qklk2. Также задан набор неотрицательных чисел Xk > 0. Обозначим n(t) - число событий определяемого случайного потока, наступивших за время t, то есть на интервале [0,t) [1].

Случайный поток однородных событий будем называть марковски модулированным пуассоновским потоком (ММР-потоком) [2], управляемым эргодической цепью Маркова k(t), если выполняются равенства

Пусть в некоторый момент времени гт цепь Маркова перешла в состояние к\. В этом состоянии цепь будет находиться до момента гт+1. Длина (гт+1 - гт) интервала постоянства состояния цепи Маркова распределена по экспоненциальному закону с параметром (-д^). В течение времени пребывания цепи Маркова в состоянии к\ наступают события потока с интенсивностью Хк1. В момент времени гт+1 цепь Маркова перейдет в некоторое состояние к2. Далее процедура повторяется. Эти состояния к1, к2 управляющей цепи Маркова будем также называть состояниями ММР-потока.

Очевидно, процесс п(1) является немарковским, поэтому определим двумерный процесс {к(г), п(г)}, который является двумерной цепью Маркова с непрерывным временем. Тогда для распределения вероятностей ее значений

нетрудно составить систему дифференциальных уравнений Колмогорова

1. Описание и математическая модель

P {п (t + At) = n +11 n (t) = n, к (t) = kj} = A t + o (A t), P{n(t+ At) > n + 1 n(t) = n,к(t) = kx) =o(At).

P {k (t) = k, n(t) = n} = P (k, n, t)

(1)

(2)

при заданном начальном условии

где Л(к) - стационарное распределение вероятностей состояний цепи Маркова к(^, определяемое однородной системой линейных алгебраических уравнений и условием нормировки

* (v) чи = о,

< У (4)

|! * (к) = 1. ()

. к

Обозначим функции

Н (к, и, ? )= £ е]ипР (к, п, ? ) = Р {к (?) = к)Ы {п«/к (?) = к}, (5)

п= 0

где ] = V-! - мнимая единица. Для этих функций из системы (2) можно записать дН(!’М’*) = IН(V,и,*)дх,к + (( -1)Н(к,и,*). (6)

01 V

Здесь решение Н(к, и,г) удовлетворяет начальному условию Н (к, и, 0) = Я(к).

Учитывая результаты, полученные в [3], найдем асимптотику более высокого порядка, полагая

нт_і (к, и, г ) = ехр

({ . \т_1 \}и)

(т -1)!

Кт_1г

Нт (к,и,г), где т > 3 .

(7)

2. Асимптотика т-го порядка

Пусть функция Нт-1 (к, и, г) является решением системы уравнений

дНт_дк,иг) = ІНт_і(V,и,г+ ( ( -1)к - І2иіКг. 1 іі,и,г),

01 V \ І = 1 I !

тогда для функций Нт (к, и, г) с учетом (7) можно записать дНт (к, и, г)

дї

= Е Нт (V, И, I)дл + ((и -1) - 2 -у-і Нт (к, « I). (8)

1 Н

Обозначив гт = ^, в системе (8) выполним замены

= Т , и = SW , Нт (к, и, г) = Рт ( к, М>, Т, 6) , т дРт ( к ^ Т е )

получим

дт

і Л

= Е ( ^ Т еКк + Рт ((> ^ Т е) (7 - Щк - Е ЦЦК

V ^ 1=1 '

Теорема 1. Если существует предел Нт Рт (к, ж, т, г) = Рт (к, ж, т), то

Ё^0

Рт (к, т) = Я (к)ехр

т

(№)

----¡—К т Т

т!

(9)

(10)

()

где Л(к) определено выше, величина кт определяется равенством (17).

Доказательство.

Этап 1. Выполнив предельный переход при 0 в системе (10), получим систему

Е Рт (V Т)^к = 0 ,

решение которой можно записать в виде

Рт ( к, т) = К ( к) Фт ( ^ Т) .

Этап 2. Решение Ет (к, т, г) системы (10) запишем в виде разложения

т-1 (уи ) г=1 г!

Рт (к, и т, г) = фт (и тЦЯ (к)+ £ г! /м (к )^ + О (гт 1).

Тогда (10) примет вид

(12)

(13)

т-1

О ( ) = 2 Рт ( Т е)?ук + Ё ^£ ) (^к -К ) Рт (к, Т £).

V ^ 1—\ 1 ■ У

Подставив в это равенство разложение (13), получим

I \ I Г т-1 ( /^8 У

О ( } = Ф„ (*, х)^ Л (V) + I /м (V) <

=1 I!

Гт-1 ( г^£ ) т-1 ( Г^£ )

Ё ^(^-к) Я(к) + Ё (-^/1+1 (к)

=1 I ■

о () = ЕЕ1 ^ /м (V )дук + Е ((к-к ) (к)

х ' .. , , 7 ! ,, 7 !

=1 I ■

=1 I!

1 7!

(14)

Найдя произведение двух указанных сумм

т-2 ( jwГ) т-2 ( г^£)* т-2 т-2 ( )+*

Е ^ /г+1 (к) Е (К - к*) = ЕЕ ^гЦ/;+1 (к )(к -к) =

г=1 г!

*=1 ^!

т-1 ( 7^8 ) 1-1 / \

= Е Е С /м {к)(к-км)+о (т),

1 =2 1! г=1

равенство (14) запишем следующим образом:

т-1 (/>г ) т- (/мг)'

О(гт) = Е Е ^/г+1 (V) ^ + Е^(к - К ) (к) +

4 ' V ¿=1 I ! ¿=1 I!

т-1 (7w8 )11 -1

+ Е 7хЕс;/г+1 (к)((к -к-г).

1= 2 1! г=1

Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях е, получим следующие системы уравнений:

'Е /2 (v) Ч^к + (^к -К1 (к) = 0,

У т-^ (15)

Е /т (■V)Ччк + Е С‘т-I (к - Кт-1-г )Л+1 (к) + к - Кт-1) ^ (к) = °-

. V ¿=1

V

рекуррентно определяющие все величины / (к), / (к)/т (к), удовлетворяющие условиям ^ (к) = 0 при г=2,3,...,от.

к

Матрица инфинитезимальных характеристик 0 вырождена и для эргодической цепи Маркова к(?) имеет ранг на единицу меньше своей размерности, поэтому для того, чтобы эти системы имели решения /т (к), необходимо выполнение следующих равенств:

ГЕ * (к) (К к — к) = 0,

к

< I т-1 Л (16)

Е I * (к)(к — Кт )+ Е ст/г+1 (к)(к — Кт-/ ) ) = 0,

I к V /=1 У

которые определяют значения параметров к, К2кт .

Этап 3. Для нахождения функции Фт (ж,т) просуммируем все уравнения системы (10) по к, обозначив

Е Рт ( к, Щ Т, 6 ) = ^ ( Щ Т, 6 ) ,

запишем

дРт (к, м>, т)

т-1

= Е (е-1)** - Е

дт

)

і л

\

і=1 I!

Рт (к, Т, Є) =

= Е Е-к)+рт(к,т,Є)+о((+1).

. , 7 І УУІ I ' /

11^1 (Х,-к,)+

к \ ,=1 I! т! ;

Подставляя в это равенство разложение (13), получим

т дФт (^ т) _

=Ф„ МЕ |Е^ (X,-к,)+х

дт

т \(

к \ і=1

т!

т-1

ВД+ Е^^+і (*) +о(єт+ )=

=1 I!

= Фт (*, т) ЕІХ. к * (к) + Е ст /+1 (к )(-Кт-)| + О (єт+1),

т! к 1 • 1 1

т-1

і=1

дф (^ т) (/^)т ( т-1 і

д Т) = Фт К т) Е ( X к * (к) + Е ст /і+1 (к)( -Кт-і ) | .

дт т! к \

і=1

Полагая, что величины (к), г = 1, т -1 удовлетворяют условиям

Е /¡+1 (к) = 0, обозначим

кі = Е х к К (к),

т-1

К т = К1 + ЕЕ ст X к /¡+1(к ). к ¡=1

к

к

к

\Ш

дФт (V, т) (

ПолУчим -----^= фт ( V т) ■^кт •

дт т!

Решение Фт (V, т), которое удовлетворяет начальному условию Фш (^,0) = 1, имеет вид

Фт (w> Т) = exp

f / • \m \

(Jw)

-—— КтТ

m!

v

(18)

Подставляя (18) в (12), получим равенство (11).

Теорема доказана.

Следствие. В силу замены (9) имеет место равенство

Нm (к, И, t) = Fm ( к, W, Т, S) .

В теореме доказано, что выполняются равенства

Г ( . \ТП

lim Fm (к, w т, s) = Fm (к, w т) = R (к) exp JW} кmт ё^о I m!

u

Выполнив в экспоненте обратные к (9) замены w = —, т = tzm , получим равенство

s

[ (jw)m 1 [ (jU )m I

exp i------—KmТ \= exp i---—Kmt \ .

[ m! J [ m! J

Используя записанные равенства, определим функции

hm (k «> * ) = R (k )eXP j ^T" Km* [ ,

[ m! J

которые будем называть асимптотиками m-го порядка для допредельных функций Hm (к, и, t) из равенства (7).

Так как = £ H (к, u, t), то из равенства (7) получим

к

Mejun(t) = eju,ltzH2 (k,„,t) = eXp WK;t 12Hm (k,u,t) .

k [ i=1 I! J k

Тогда, заменив допредельные функции Hm (k, и, t) асимптотиками m-го порядка hm (k, u, t), определим функцию

hm (Иt) = exp m- Kitj Z hm (k, И, t) = exp ji] Kitj , (18)

которую будем называть асимптотикой m-го порядка для допредельной характеристической функции n(t) - числа событий, наступивших в ММР-потоке за время t.

Применяя асимптотику m-го порядка hm (и, t), аппроксимацию m-го порядка Pm (n, t) допредельного распределения P (n, t) запишем в виде равенства

1 п

Pm («. t) = — j e-]mhm (и, t)du ,

2п -П

где hm (и, t) определяется (18).

Заключение

Наиболее принципиальной частью модификации метода асимптотического анализа [2] являются замены (7), позволяющие находить асимптотики hm (u, t) все

более высоких порядков т.

Одним из основных результатов этой работы является тот факт, что асимптотика m-го порядка hm (u, t) для допредельной характеристической функции

^ имеет достаточно простой вид

hm (и,t) = exp jfjкtj ,

и определяется лишь параметрами к;, i = 1, m , которые при t = 1 имеют смысл семиинвариантов числа событий, наступивших в ММР-потоке за единицу времени. При t Ф 1 асимптотические семиинварианты к¡t пропорциональны длине t интервала наступления событий в потоке. Показано, что параметры к; определяются равенствами (17), в которых величины f (к) являются такими решениями

систем (15), которые удовлетворяют условиям ^ fi (k) = 0 для всех i = 2, 3,...

k

ЛИТЕРАТУРА

1. Назаров А.А., Моисеева С.П. Метод асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2006. 112 с.

2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 3-е изд. М.: КомКнига, 2005. 400 с.

3. Лопухова С.В., Назаров А.А. Исследование МСМР-потока асимптотическим методом третьего порядка // Вестник КемГУ. Оерия Математика. Вып. 4 (24). Кемерово, 2005. С. 218 - 227.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 12 февраля 2008 г.