Исследование квазискользящих процессов в релейных системах с переменным гистерезисом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 10, №3, 2008

УДК 62-50

ИССЛЕДОВАНИЕ КВАЗИСКОЛЬЗЯЩИХ ПРОЦЕССОВ В РЕЛЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ПЕРЕМЕННЫМ ГИСТЕРЕЗИСОМ

© 2008 В.Е.Вохрышев, Д.А.Рагазин

Самарский государственный технический университет

Исследованы квазискользящие процессы в релейных системах с алгоритмами управления, построенными с использованием в обратной связи экстремумов регулируемой координаты.

Релейными принято называть системы, у которых сигнал управления, поступающий непосредственно на исполнительное устройство объекта, а затем усиленный в нем или преобразованный в иную физическую величину - и на сам объект, изменяется скачком всякий раз, когда величина рассогласования между заданным значением регулируемой координаты и ее текущим значением достигает некоторого порогового значения, причем сам сигнал управления является дискретным по уровню и может принимать или два, или три, или несколько значений [ 1].

В практике управления динамическими объектами релейные системы получили широкое распространение благодаря простой конструкции, алгоритмической и программной реализации, высокому быстродействию и надежности [2, 3].

Существенным преимуществом релейного управления является также значительное упрощение исполнительного механизма системы за счет снижения требований к его характеристикам, возможность получения заданных динамических свойств системы при малых весах и габаритах исполнительных управляющих устройств. К релейным законам управления часто обращаются и в тех случаях, когда необходимо обеспечить высокую точность режима слежения на так назы-

ваемых ползучих скоростях [3].

Релейные автоматические системы обладают высоким быстродействием вследствие того, что управляющее воздействие в них изменятся практически мгновенно, “скачком”, и исполнительное устройство подвержено максимальному постоянному воздействию.

Функциональная схема релейной системы представлена на рис. 1.

Здесь обозначено: 1-регулируемый объект, 2 датчик, измеряющий регулируемую (выходную) координату объекта х (t), 3 - задатчик, или задающее устройство, устанавливающий заданное (номинальное) значения выходной координаты хk, 4 - сравнивающее устройство (сумматор), 5 - релейный регулятор, 6 - исполнительное устройство (исполнительный механизм), 7 - дополнительная обратная связь (например, по скорости изменения выходной координаты).

В частных случаях некоторые из этих элементов могут отсутствовать, например, дополнительная обратная связь. Если исполнительный механизм и датчик встроены конструктивно непосредственно в объект управления, их на функциональной схеме относят к объекту управления. Использование в системе микропроцессорной техники для реализации управления позволяет задающее устройство и сумматор также объединить в один блок.

А

Рис. 1. Функциональная схема релейной системы

818

Механика и машиностроение

Рис. 2. Структурная схема релейной системы

Структурную схему релейной системы обычно изображают следующим образом (рис. 2).

Здесь W1(s) - передаточная функция объекта, объединенного с датчиком и исполнительным механизмом, РР - релейный регулятор, так что управляющее воздействие U(t) действует непосредственно на объект,

В простейшем случае управление U(t) определяется отклонением регулируемой координаты x(t) от своего заданного конечного состояния xk и принимает лишь два значения +В или - В, которые соответствуют предельным значения управления при переключениях релейного регулятора. В общем же случае оно может зависеть и от иных величин, характеризующих состояние объекта (от производных, интегралов отклонения и пр.) [2, 4].

Управление U(t) как уравнение релейного регулятора можно записать следующим образом:

U(t) = Ф@) + В,,

где Ф(t) - оператор, зависящий от вида статической характеристики релейного регулятора, которая определяется функцией переключения, действующей на его входе, В0 -постоянная величина (смещение), необходимость введения которой обусловлена стремлением повысить точность управления в установившемся режиме работы объекта без астатизма или обеспечить симметричность автоколебаний регулируемой координаты возле заданного конечного состояния. Смещения может и не быть.

В соответствии со структурной схемой (рис. 2) объект управления предполагается линейным и задается передаточной функцией

W(s) = УУ

P(s) •

а движение объекта описывается линейным дифференциальным уравнением следующего вида:

P(P)x(t) = R(P)U(t) ,

гдеp - оператор дифференцирования d / dt.

Предполагается также, что многочлен P(s) (исходя из физической реализуемости) имеет более высокую степень, чем многочлен R(s).

В данной статье исследуются процессы в релейных системах, управление в которых построено с использованием в обратной связи экстремумов регулируемой координаты [5], что позволяет существенно повысить его эффективность без использования в законе управления производных, а также организовать квазискользящие процессы в системе.

Пусть линейная часть системы имеет передаточную функцию

W(s)

s ■ (T s + \) ’

(1)

а движение объекта описывается линейным дифференциальным уравнением следующего вида

(T ■ p2 + p) ■ x(t) = k ■ U(t), (2)

d

где p = —. dt

Подобное уравнение в первом приближении имеют электромеханические объекты, системы вентиляции и отопления, следящие системы [6, 7].

В качестве нелинейной части будем использовать двухпозиционный регулятор [8]

U(t) = В ■ sigr(M(t)) (3)

с функцией переключения M(t) = xk + k ■ (x1e(t) — xk) — x1(t), (4) где x1e(t) - экстремальные значения регулируемой координаты (ее максимум xlm (t) или минимум xi min (t) ),

k - постоянный коэффициент, - 1<k< 1,

Sign - знаковая функция, принимающая значения +1 или -1 в зависимости от знака функции переключения M( t),

В - величина управляющего воздействия.

Из соотношения (4) видно, что величина (x1e(t) — xk) ) есть ни что иное, как амплитуда входного сигнала, а сама функция M(t) на протяжении управления при переводе объекта из заданного начального состояния в предписанное конечное может менять знак

819

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 10, №3, 2008

не менее чем один раз. Статическая характеристика регулятора для случая, когда 0<k<1 представлена на рис. 3.

Это релейный регулятор с отрицательным переменным гистерезисом, ширина которого поставлена в линейную зависимость от амплитуды автоколебаний.

Без потери общности анализа будем считать %k = 0 и найдем сигнал, действующий на входе релейного регулятора (функцию переключения )

M(t) = к ■ xJt) - x1(t).

Переключения управления происходят, когда функция М(t) обращается в нуль.

M(t) = 0. (5)

Полагая в уравнении (2)

x(t)

dxx (t) dt

x2 (t) , получим систему

дифференциальных уравнений

xi(t) = x2 (t)

x = x2 (t) ( KoU(t) x2 (t) =-— + ----У---, (6)

T T

* 0 0

u xk ' B xk+k(ximax-xk)

1 ' i

Xk+k(X1min-Xk) x()

- B

Рис. 3. Статическая характеристика регулято ра с отрицательным переменным гистерезисом

Рис. 4. Фазовые траектории и линии переключения

Движения изображающей точки (ИТ) на фазовой плоскости определяется соотношением:

dxi = T0 ■ x2 (t)

dx2 K0 ^ U(t) - x2 (t) ' (7)

Уравнение линии переключения (5) на фазовой плоскости представляет собой прямую, которая параллельна оси х() и проходит через точку с координатами

(k ■ xie(t)0) .

Если функция переключения

M(t) = к ■ xJt) - xi(t)) > 0,

т. е. x1(t) > k ■ x1e(t) , то изображающая точка (ИТ) находится справа от линии переключения, а управление U(t)=-В. Уравнение движения при, U(t)=-8, полученное решением дифференциального уравнения (7), имеет вид

x (t) = -T0 ■ (x2(t) -B ■ K00 ■ ln(B ■ K00 + x2(t))+С .(8) Если М(t) < 0, т.е. xx(t) < k ■ xle(t) (ИТ слева от линии переключения), то управление Щ^=+В, а уравнение движения

x1 (t) = —T) ■ (x2(t) + B ■ K0 ■ ln(-B ■ K0 + x2(t))+С .(9) Понятно, что если в качестве линий переключения использовать уравнения фазовых полутраекторий (8 и 9), ведущих в начало координат фазовой плоскости, перевод ИТ из произвольного начального состояния в начало координат осуществлялся бы за одно переключение релейного элемента, а управление было оптимальным по быстродейстсвию. Фазовые траектории для различных граничных условий при одном переключении представлены на рис. 4.

Однако сложности реализации подобного управления, связанные главным образом с необходимостью измерения скорости выходной координаты в условиях помех, а также причины, обусловленные приближенностью математического описания реального объекта и элементами его неопределенности, вынуждают чаще всего отказываться от подобного решения и аппроксимировать эти полутраектории более простыми функциями [5, 9].

Если коэффициент k в функции переключения (6) подобрать или вычислить тем или иным образом так, чтобы линия переключения (5) проходила через точку “а” или точку “в” на рис. 3, то протекающие в системе процессы также будут оптимальными по быст-

820

Механика и машиностроение

родействию. Следует обратить внимание на то, что ИТ не может быть переведена управлением (3) в начало координат за одно переключение при движении ее из области начальных условий, расположенной правее по-лутраетории (9), ведущей в начало координат во втором квадранте фазовой плоскости, и осью ординат или из области - левее полутраектории (8), ведущей в начало координат, и осью ординат в четвертом квадрарте. Для этого необходимо как минимум выполнить два переключения так, как показано на рис. 5. Движение ИТ на этом рисунке начинается из точки “с”. В точке “в” происходит первое переключение, а в точке “а” - второе. Это обусловлено тем, что знак на первом интервале управления при использовании функции переключения (4) всегда отрицательный, если в начале управления ИТ располагается справа от оси ординат, и положительный - в противном случае. Тогда как знаки на первом интервале управления в выше обозначенных областях при оптимальном по быстродействию управлении всегда положительны и отрицательны соответственно. Поэтому в этих областях фазовой плоскости управление (3) дополнительно один раз меняет знак.

Если коэффициент к в функции переключения (4) положить больше оптимального (так, чтобы линия переключения (4) проходила на фазовой плоскости правее точки “в” или левее точки “а” на рис. 3) в системе всегда будут возникать квазискользящие процессы, как показано на рис. 6, а переходный процесс заканчиваться без перерегулирования (рис. 7). Это обусловлено тем, что ИТ в момент переключения не может остаться на линии переключения (как это имеет место в

по быстродействиюпроцессы

"-лад

А А А ~г~

\ \

Рис. 6. Фазовый портрет

релейных системах с линейной функцией переключения [6, 9]), а продолжает двигаться по траектории (9), до момента пересечения траекторией оси абсцисс. Появление экстремума регулируемой координаты приводит к скачкообразному перемещению линии переключения M(t) левее этого экстремума, и управление (8) вновь меняет знак В конечном состоянии управление удерживает ИТ в начале координат фазовой плоскости.

В заключение отметим, что использование релейного регулятора (3) в системах управления динамическими объектами позволяет существенно упростить техническую и алгоритмическую реализацию управления, наделить систему адаптивными свойствами к действию сигнальных возму-щ ений и ре ализовать в системе вто рого порядка (при некоторых несущественных для практики ограничениях) оптимальное по быстродействию управления с использованием только выходной координаты или ошибки системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фалдин Н.В. Релейные системы автоматического управления // Математические

Рис. 7. Переходный процесс в релейной системе с отрицательным переменным гистерезисом

821

Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 10, №3, 2008

модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупо-ва. М.: МГТУ им. Баумана, 2004.

2. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.:Наука, 1974.

3. Руднев С.А., Фалдин Н.В. Исследование периодических движений в релейных системах, содержащих звенья с ограничителями // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2007. №2.

4. Бурляев В.В. Условия возникновения полигармонических колебаний в двухпозиционных регуляторах с отрицательным гистерезисом // Изв. Вузов. Электромеханика. 1970. №6.

5. Вохрышев В.Е. Метод диверсификации экстремумов фазовых координат в прикладных задачах синтеза управления динамическими объектами. Самара: СамНЦ РАН, 2004.

6. Бесекерский В.А. Попов Е.А. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1979.

7. Kurman J. Ventilation and air conditioning // Landis and Staefa Basic Training, 1981.

8. Пат. Российская Федерация. № 2302029 Регулятор с релейной характеристикой / В.Е. Вохрышев. Опубл.: 2007. Бюл. № 18.

9. СтариковаМ.В. Автоколебания и скользящий режим в системах автоматического регулирования. М.: Машгиз, 1962.

INVESTIGATION OF QUASISLIDING PROCESSES IN RELAY SYSTEMS WITH VARIABLE HYSTERESIS

© 2008 VE. Vokhryshev, D.A. Ragazin

Samara State Technical University

The article researches quasisliding processes in relay systems with direction algorithms based on using regulated coordinate extremes in a feedback.

822