Робастные самонастраивающиеся линейные и нелинейные системы управления динамическими объектами с сигнальной адаптацией Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.6-52

РОБАСТНЫЕ САМОНАСТРАИВАЮЩИЕСЯ ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ С СИГНАЛЬНОЙ АДАПТАЦИЕЙ

© 2014 А.С. Бакланов, В.Е. Вохрышев

Самарский государственный технический университет

Поступила в редакцию 07.11.2014

Исследованы статические и динамические свойства самонастраивающихся с сигнальной (пассивной) адаптацией робастных структур линейных и нелинейных автоколебательных систем стабилизации с полной инвариантностью статических ошибок при постоянных воздействиях без использования интегрирующих элементов в основном контуре системы. Показано, что системы обладают низкой чувствительностью к вариациям параметров объекта и управления, обладают большей "живучестью". Проведены методом компьютерного моделирования сравнительные исследования качественных характеристик переходных процессов в самонастраивающихся системах с предложенными алгоритмами в условиях параметрических и сигнальных возмущений.

Ключевые слова: робастная система, самонастраивающийся алгоритм, сигнальная адаптация, чувствительность динамических систем, релейная система управления, статическая ошибка.

Качество любой системы автоматического управления оценивается величиной ошибки в переходном процессе и в установившемся режиме работы (при t ^ <х>) , запасом устойчивости, чувствительностью к вариациям параметров объекта и внешним воздействиям и эффективностью, которая определяется соотношением полезности результатов применения системы по назначению с затратами и потерями, обусловленными ее созданием и эксплуатацией.

Многие современные подходы к синтезу эффективного управления делают акцент на роба-стность систем, которые обладают допустимыми изменениями качества при изменении динамики системы и параметров среды в ограниченном диапазоне [1].

В настоящей статье предлагаются способы построения робастных систем в классе самонастраивающихся с сигнальной (пассивной) адаптацией, в которых эффект самонастройки достигается с помощью компенсирующих сигналов, без изменения параметров управляющего устройства.

Линейные системы. Точность системы определяется величиной, равной разности между требуемым Xo(t) и действительным значениями регулируемой величины x(t): e(t) = x0(t) - x(t). Знание ее мгновенного значения в течение всего времени работы объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах системы его управления. Конкретные величины ошибок при типовых воздействиях в установившемся и переходном режимах определяются динамическими свойства-

Бакланов Александр Сергеевич, аспирант. E-mail: [email protected]

Вохрышев Валерий Евгеньевич, доктор технических наук, профессор. E-mail: [email protected]

ми системы и могут быть определены аналитически или методом компьютерного моделирования по ее математическому описанию [2]. Однако возможность их уменьшения с использованием известных методов оказывается ограниченной (условиями устойчивости и местом приложения возмущающих воздействий в астатических системах). Ниже предлагается и исследуется новый закон управления [3], обеспечивающий улучшение динамических свойств систем стабилизации и полную инвариантность статической ошибки при задающих и возмущающих воздействиях в статическом режиме без интегрирующих элементов в основном контуре системы.

Решение осуществляется введением в замкнутую систему дополнительной (параллельно единичной) положительной обратной связи:

и ос = kl -j" (х0 - x(t))dt

где х(Ь) - текущее значение регулируемой координаты, к{ постоянный коэффициент.

На рис.1 представлена структурная схема самонастраивающейся системы (СНС).

Дополнительная обратная связь вместе с входящим в него исполнительным устройством в виде интегрирующего звена выполняет функцию контура сигнальной (пассивной) адаптации. Закон управления объектом определяется соотношением

u(t) =

k2 x0 - x(t) + k1 -" (x0 - x(t))dt

k.

Коэффициент &2 < 1 в прямой цепи системы позволяет при больших отклонениях регули-

k

(k 2 ).wl(s)-W(s)

W 3C(s) — ■

k1

1 + (1 + -1 )W1 (s)W(s)) s

ki

(4)

(k 2 +-L ).Wi (s)W(s)

WPC (s) =-kf-

1 + W1 (s)W(s)) s

(5)

x(t\,-

k + k ).Wi(p)■ W(p)x p_

1+(1+^ )W(p)W(p)) _ p

W(p)W(p). f i+(i+k )■ W(p)W(p))

-xo; (6)

+ k2) ■ Wi(p) ■ W(p)x0 x(t),- - -p-

1 + k ■W1(p)W(p) p

W(p)W(p).f

1 + k ■W1(p)W(p)) p

• (7)

Рис. 1. Структурная схема самонастраивающейся системы: W(s) - передаточная функция объекта, Ш1(р)=к -пропорциональный регулятор, кх и к2 - постоянные коэффициенты, к2 < 1.

X — регулируемая координата; х0 - уставка

руемой координаты (например, при пуске, когда х0 >> х ) обеспечить плавный перевод объекта в заданное состояние без перерегулирования. Интегрирующее звено, включенное в контур самонастройки, выполняет автоматическое масштабирование задающего воздействия (уставки) х0 в функции ошибки и позволяет при соответствующем выборе коэффициентов к, к1 и к2, обеспечивающих сходимость процессов в системе во всем ограниченном диапазоне изменения параметров объекта и среды, устранять статические ошибки при действии как задающих, так и возмущающих параметрических и сигнальных воздействий без интегрирующих звеньев в прямой цепи управления. Динамические свойства данной структуры при Е( 5) = 0 определяются передаточными функциями в замкнутом и разомкнутом в основном контуре состояниях, которые имеют вид (4) и (5):

Передаточная функция разомкнутой системы без контура самонастройки имеет вид:

Ж рс (5 ) = Ж 1( 5 ) -Ж (5 ) . (8)

В линейной системе предельное значение коэффициента усиления, при котором система еще сохраняет устойчивость, определяется в соответствии с критерием Найквиста [1,2] из соотношения (9) путем составления уравнений для мнимых и действительных его частей

АО) = — кпр, (9)

где А(у®) - характеристический полином частотной передаточной функции (8), кпр - предельное значение коэффициента усиления, равное кпр = к - к0, ко - коэффициент усиления объекта. Предельное значение коэффициента усиления характеризует запас устойчивости системы к действию параметрических возмущений на объект.

Если передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

к ■ к

Жрс (5) = -0- (10)

Р (Т^ + 1 )(Т25 + 1 )(Т35 + 1) , (10)

то предельное значение коэффициента усиления системы, как произведение коэффициентов усиления регулятора и объекта, получим из решения соотношения (9)

к = (т + т + т )(!. + — + —) — 1.

пр >1 2 ГТ! Т7

Т1 Т2 Т3

Для определенности положим

Т = 1сек, Т2 = 0.5 сек, Т3 = 0.1сек .

Тогда кпр =19.8.

При этом динамические свойства СНС оказываются не хуже динамических свойств системы, содержащей в основном контуре ПИ-регулятор. Действительно, передаточная функция замкнутой системы с ПИ-регулятором имеет вид

Записав эти соотношения в операторной форме в виде дифференциальных уравнений, можно показать, используя теорему о предельном переходе, что x0 - x(t) как в замкнутой, так и в разомкнутой (в основном контуре) системах при Xo - Const и f — Const.

W зс (s) —

(k 3 + ^ )W (s)

_s_

1 + (k 3 + k^)-W(s))

(11)

Если приравнять уравнения (4) и (11), то при

К — 1

k3 = k и , k4 — ^k

(12)

они совпадают.

При изменении параметров системы в качестве меры робастности используют дифференциальную чувствительность системы, под которой

x

понимается отношение изменения ее передаточной функции к изменениям передаточной функции (или параметров управления) при условии их малости. Чувствительность замкнутой системы (4) к изменению коэффициента усиления регулятора в основном контуре определяется соотношением [2]:

W _ dW3C W1 Sw1 _

1

dW W3C 1+(1+h.WW

s

. (13)

Чувствительность же системы (11) к изменению коэффициента усиления регулятора &3 будет иной (в к3 раз больше чувствительности системы (4)):

SWc _ dW3Ck3

k

dk 3W3C

k

1 + (k3 • W

s

(14)

Чувствительность системы (11) к изменению передаточной функции объекта Жбудет равна

w _ W W1

<?W3C _

SW -'

1

dW W„

k

1 + (k 3

s

(15)

Понятно, что чувствительности систем (4) и (11) к изменению передаточной функции Ж при выполнении условия (12) будут совпадать.

Из соотношений (13) - (15) следует, что чувствительность систем (4) и (11) будет изменяться при изменении параметров объекта. Однако за счет изменения коэффициентов усиления и &2 она может быть ограничена условиями устойчивости. При этом чувствительность системы (4) будет не больше чувствительности системы (11) к изменению параметров объекта.

Самонастраивающаяся система (4) проще в эксплуатации, поскольку коэффициенты к1 и к расположены в разных, невзаимосвязанных контурах и могут настраиваться раздельно с обеспечением желаемых показателей переходных процессов. Следует также отметить, что структура СНС будет решать задачу стабилизации регулируемой координаты с устранением статической ошибки, как это следует из соотношения (7), в условиях обрыва отрицательной обратной связи в основном контуре, то есть она обладает большей "живучестью" по сравнению со стандартными схемами (с ПИ-регулятором в основном контуре). Можно также показать, что система рис. 1 сохраняет структурную устойчивость, если основной контур системы является астатическим.

Следовательно, управление, представленное в системе на рис. 1 оказывается предпочтительней во всех отношениях - отсутствия статических ошибок, запаса устойчивости, чувствитель-

ности к изменениям параметров управления и затрат на обслуживание.

Нелинейные автоколебательные системы.

Большой класс нелинейных автоколебательных систем образуют релейные системы управления, обладающие простотой конструкции, алгоритмической и программной реализацией, высоким быстродействием, надежностью и высокой степенью инвариантности к вариациям параметров объекта [4]. Простейший релейный закон управления при симметричном управляющем воздействии имеет следующий вид:

U = B ■ sign(M(x)) , (16)

где M (x) - функция переключения, M(x) = x0 - x(t), sign - знаковая функция, sign (M (x) =1, если аргумент функции больше нуля, и sign(M(x) =-1, если аргумент функции меньше или равен нулю, В - величина управляющего воздействия.

При асимметричном управлении уравнение (16) принимает вид:

B, при M (x) > 0, 0, при M(x) < 0. (17)

Внешние возмущающие воздействия и асимметричность управления вызывают смещение среднего значения автоколебаний относительно заданного, которое понимается здесь как статическая ошибка. Качество работы релейных автоколебательных систем обычно оценивается по величине амплитуды автоколебаний в установившемся режиме работы, а в переходном - временем затухания колебательных процессов, перерегулированием и числом колебаний, превышающих амплитуду автоколебаний в установившемся режиме работы.

Рассмотрим статику и динамику системы управления рис.1, в которой пропорциональный регулятор W (p) заменен релейным регулятором с законом управления вида (18),

U _

U _

B(t) при M1(x) > 0, 0, при M 1(x) < 0.

где функция переключения

(18)

Mi(x) = xQ(t)-x(t)=к2xo -x(t)+кх • J(x0 -xCp)dt,

0

хср - среднее значение амплитуды автоколе-x + x

s « мах min

бании, xCp =-^-,

xMax и xmin - экстремальные значения регулируемой координаты, B(t) - величина управляющего воздействия, t

B(t) = B0 + к3 J(Z - A)dt, B0 < B(t) < B1, (19)

В0 ,В1 - постоянные ограниченные величины, Ъ - заданное значение амплитуды автоколебаний А = |х0 - хэ |, хэ - экстремальные значения регулируемой координаты.

Таким образом, управление (18) обеспечивает стабилизацию амплитуды автоколебаний и их симметричность относительно уставки в условиях неопределенности параметров объекта и среды путем изменения соответственно сигнала В(1) и масштабирования уставки.

Гармоническая линеаризация нелинейности (18) при симметричных автоколебаниях и В(1) = В0 приводит к выражению:

2 • Во

W(A) = ■

п • A

Значения амплитуды и частоты автоколебаний для заданного объекта определяются из уравнения гармонического баланса [1]:

W (» = -

1

W (A)

путем составления уравнений для мнимых и действительных его частей.

Понятно, что амплитуда автоколебаний в самонастраивающейся системе при прочих равных условиях в установившемся режиме работы будет не больше, чем в системе без самонастройки. Качественные же показатели и их особенности в переходном режиме в подобных системах проще выявить методом компьютерного моделирования с использованием модели одного и того же объекта (рис. 2).

Из рис. 2, где представлены процессы в релейной (с управлением (17)) и самонастраивающихся системах (с управлением (18)

при В(() = В0 и В(1) в виде соотношения (19) и увели-ченным на 30% коэффициентом усиления системы) с объектом (10), видно, что переключения управления в самонастраивающихся системах происходят в переходном процессе с опережением по отношению к уставке Хо . В них существенно меньше перерегулирование, отсутствует статическая ошибка, за счет масштабирования уставки, а время затухания переходных процессов практически не превышает длительности переходного процесса в релейной системе без самонастройки.

ВЫВОДЫ

1. Исследованы статические и динамические свойства робастных самонастраивающихся линейных и релейных автоколебательных систем управления динамических объектов, алгоритмы которых обеспечивают полную инвариантность статических ошибок при постоянных задающих и возмущающих воздействиях без использования интегрирующих элементов в основном контуре.

2. Показано, что запас устойчивости в самонастраивающихся линейных системах не меньше, чем в системах, содержащих интегрирующие элементы в основном контуре.

3. Линейная система с исследованным алгоритмом проще в настройке, ее управление не превосходит по сложности реализации стандартный ПИ-регулятор, и она не теряет работоспособности при обрыве обратной связи в основном контуре.

4. Исследована чувствительность линейных систем к изменению параметров объекта и управления. Установлено, что чувствительность самонастраивающихся систем к изменению в ограни-

Рис. 2. Процессы в замкнутых релейных системах (объект (10): сплошные тонкие и утолщенные линии соответственно - самонастраивающиеся системы, в которых B(t) = Bq и в виде соотношения (19) при увеличении ko на 30%, пунктирные - релейная система с управлением (17), k 2 = 0.1)

ченном диапазоне параметров объекта при прочих равных условиях не больше, чем в системах содержащих ПИ-регулятор и существенно меньше - к изменению коэффициента усиления управления в основном контуре.

5. Показано, что качественные характеристики переходных процессов в самонастраивающихся системах с исследованными алгоритмами в условиях параметрических и сигнальных возмущений оказываются не хуже, чем в системах, использующих стандартные управляющие устройства, а по некоторым показателям (в автоколебательных системах) существенно их превосходят.

6. Исследованный самонастраивающийся алгоритм управления релейными системами обеспечивает стабилизацию амплитуды автоколебаний и их симметричность относительно уставки в условиях неопределенности параметров объекта

и среды путем изменения соответственно сигнала

управления и масштабирования уставки.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления [пер. с англ.]. М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. 832 с.

2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768 с.

3. Вохрышев В.Е. Самонастраивающееся устройство для устранения статической ошибки в автоматических системах стабилизации динамических объектов. Пат. Российская Федерация. № 2505847. Опубл. Бюл. 2014, №3.

4. Фалдин Н.В. Релейные системы автоматического управления // Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления [под ред. К.А.Пупкова, Н.Д.Егу-пова]. М.: МГТУ им. Баумана, 2004. С.573-636.

ROBUST SELF-ADAPTING LINEAR AND NON-LINEAR AUTOMATIC SYSTEMS OF DIRECTION BY DYNAMIC OBJECTS WITH SIGNAL ADAPTATION

© 2014 A.S. Baklanov, V.E. Vohryshev

Samara State Technical University

The article researches static and dynamic characteristics of the self-adapting robust linear and non-linear automatic oscillation systems with passive adaptation and stabilization on the basis of full invariant of static mistakes under constant influences without using integrated elements in a main contour of the system. It's shown that systems possess low sensitivity to variations of objects and direction and have big robustness. The quality properties of transitive processes in self-adapting systems with given algorithms in the conditions of parametrical and signal revolts are comparatively investigated by method of computer modeling. Key words: Robust system, self-adapting algorithm, signal adaptation, dynamic system sensitivity, relay direction system, static mistake

Alexander Baklanov, Graduate Student. E-mail: [email protected] Valery Vohryshev, Doctor of Technics, Professor. E-mail: [email protected]