Исследование конечных элементов для расчета тонкостенных стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

Исследование конечных элементов для расчета тонкостенных стержневых систем

Д.т.н., профессор, заведующий кафедрой В.В. Лалин,

аспирант В.А. Рыбаков*, магистрант С.А. Морозов,

ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Ключевые слова: кручение; депланация; интерполяционные полиномы; деформация сдвига; бимомент; матрица жесткости; коэффициент влияния формы сечения

В прошлом номере журнала (№8(26), 2011) в статье [1] были рассмотрены новые тонкостенные конечные элементы, отличающиеся количеством степеней свободы, зависящим от способа аппроксимации функций деформаций (кручения и депланации): линейной, квадратичной и кубической.

Была рассмотрена проблема сложности расчета стержневых элементов тонкостенных конструкций и неприменимости к их расчету обычных теорий и методик. Это приводит к необходимости моделирования стержня одним из двух способов: либо в виде линейной оболочки и последующего моделирования с помощью метода конечных элементов в программных комплексах SCAD, Lira, SOFiSTiK и т.д. [2,3,4,5,6,7,8 и др.]; либо введением седьмой степени свободы тонкостенного стержня [9,10,11,12,13,14] в аналитических или численных методах.

Отмечалась доминирующая важность бимомента среди прочих статических силовых факторов, возникающих при стесненном кручении, и даже среди функций перемещений, ввиду того, что именно бимомент является силовым фактором, вносящим наибольший вклад в формулу для вычисления нормальных напряжений, отвечающих за прочность конструкции (первая группа предельных состояний). Данное обстоятельство подтверждено теоретическими и экспериментальными исследованиями [10,11,13 и др.].

В новом СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81*», введенном в действие с 20 мая 2011 г., бимомент В как силовой фактор фигурирует наравне с остальными силовыми факторами Мх, М у , о чем свидетельствует формула (43) этого нормативного документа для поперечно-изгибаемых элементов сплошного сечения:

Мх ± Му ± Ba <л

-х— y ±--—x ±-< 1 (1)

I R Y I R Y I R Y

хп y / c yn y I c a> y I c

и формулы (105) и (106), аналогичные формуле (1), но для элементов, воспринимающих продольную силу с изгибом.

Целью данной работы является реализация алгоритма метода конечных элементов для расчета тонкостенных стержневых систем по полусдвиговой и бессдвиговой теориям расчета.

В статье [1] были построены 4 типа конечных элементов (рис. 1 и 2), соответствующие разным теориям стесненного кручения и количеству степеней свободы, зависящему от способа аппроксимации:

• линейная аппроксимация функций кручения и депланации (рис. 1а);

• квадратичная аппроксимация функции кручения и линейная аппроксимация функции депланации (рис. 1б);

• квадратичная аппроксимация функций кручения и депланации (рис. 1в).

• кубическая аппроксимация функции кручения (рис. 2).

Предложенные матрицы жесткости являются универсальными в применении при расчетах методом конечных элементов как тонкостенных стержней открытого профиля (на основе теорий В.З. Власова [11] и В.И. Сливкера [15]), так и закрытого профиля (на основе теорий А.А. Уманского [16] и Пановко-Джанелидзе [15,17]), ввиду схожести соответствующих дифференциальных уравнений кручения и функционалов энергии деформации.

(а)

(б)

дг,-1 в2х д2Ш

ßu-, ГЛ> ßiM —□ -

/

(в)

Рисунок 2. КЭ по бессдвиговой теории

Рисунок 1. Конечные элементы по полусдвиговой теории: с четырьмя, с пятью и с шестью степенями свободы

В данной статье мы продолжим реализацию кубической аппроксимации и рассмотрим некоторые тестовые задачи о стесненном кручении тонкостенного стержня, имеющего различные граничные условия на концах с критической точки зрения - сходимости.

Также рассмотрим данные задачи с точки зрения поиска статических силовых факторов при стесненном кручении: бимомента, секториального крутящего момента и момента чистого кручения.

О коэффициенте влияния формы сечения

Напомним, что отличительной особенностью функционала энергии деформации тонкостенного стержня (2) для полусдвиговой теории [15,18] является то, что функции кручения

в(х) и депланации в(х) представляются как независимые функции:

1 1

Е (в, ß) = 2 J ( EI®(ß)2 + GId (в')2 + GI,

(в' -ß)2

■d-—)dx ■

у -1

(2)

В функционале вводится третье слагаемое - так называемая «сдвиго-депланационная» часть, зависящая от параметра у/ , определяемого на основе коэффициента влияния формы

сечения Цош , о которых далее пойдет речь:

1 + U®®Id . и =

Т 1 ^ Т > И-ШШ 2 1 с

Ir V L 5

r 1Ш (1 )

Т 1

ТГ J

1 s2

5°Ш ds,

(3)

где S - толщина профиля; s - дуговая (полярная) координата (рис. 3(2)); S(s)ою - статический секториальный момент:

Ir - полярный момент инерции:

S0® = J5® ;

s( Г )

тг = J(y2 +z2)dA ;

(4)

(5)

( А)

Т® - секториальный момент инерции:

Ш - секториальная координата:

Т® = J®2dA ;

( А)

ß)(s) = j rds ;

s( Г )

Id - момент инерции при свободном кручении.

(6)

(7)

В формуле (2) и далее Е и G - соответственно модули упругости и сдвига.

Как видно из формул (4)...(7), процесс вычисления коэффициента влияния формы и, соответственно, параметра у , достаточно трудоемкий. Рассмотрим это на примере швеллерового сечения (рис. 3).

Рисунок 3. Параметры швеллера и направление дуговой координаты

На рис. 3 введено обозначение координаты центра изгиба, вычисляемого по [11]:

Ь28 Ь 2

а =---=-

о,, И8 О, И ' (8)

2Ь8 +— 2Ь + -1 3 3

где 81 = 8 - соответственно толщины полок и стенки.

Секториальный момент инерции вычислим по [11] на основании момента инерции /у относительно горизонтальной оси:

/ш = 1 (Ь - 3а )Ь2 И2 + а2 /у; /у = ^ + ^. (9)

® 6 1 х у у 12 2

Момент инерции при кручении, по приближенной формуле Джанелидзе [17]:

2Ь + И ^

1Й 82. (10)

Определим секториальную координату по сечению швеллера и функцию статического секториального момента (таблица 1).

Таблица 1. Секториальные координаты и функция статического секториального момента по участкам сечения

№ участка Границы участка Формула для вычисления С(¿) Формула для вычисления 8оС(з)

1 И И - — <s<— 2 2 Ф) = 2 И И И = 8( + 2 (2 + ах ) + ахИЪ^ И3 ИЬ \ + (- + Ь) +---) 2 2 16 4

2 И И — < s <- + Ь 22 . ч ахИ И, И С(*) = - 2 + 2(*- 2) 2 3 ^о®= 8(Ъ-И(2ах -Ь)+1-) 4 4 16

3 И И , -—< s <---Ь 22 Ф) =ахИ - И (* - И ) 2 2 2 ЬИ ^2 ^о® = 8(^ (2ах - Ь) + ^ - 22 Ы .И ч ахИ ахИ ч --(— + ах) + —— + ——) 2 2 2 16

Для вычисления квадрата функции секториального статического момента и интеграла (3)

введем следующие обозначения постоянных а{ , Ь1 , С (где I - номер участка) и запишем значения интеграла для каждого участка:

= агэ2 + М + Сг . (11)

Тогда значение интеграла составит на каждом участке:

[ ^ ёз = | 2 + ^ + С)2 ёз = 1(0^ + ^ 4 + М+ЪС! 5 Ь С. 52 + С2 5)

(•!) 3 3 3 5 2 3 ' ' ' ^

Окончательно формула (12) для каждого участка представлена в таблице 2.

(i) ■

(12)

Таблица 2. Формулы для интегральной составляющей коэффициента влияния формы сечения

№ уч-ка Формулы для постоянных Формулы для вычисления интеграла

1 И ИИ а1 =3 —; Ь1 =3 — (— + ах); 1 4 1 2 2 с./ахи ,и 7Ч и3 ИЬ2 . с = 3(—— (-+Ь)+---) 1 2 2 16 4 И ! 3 ёз=3(а2((н+ь)5 - (и)5)+а2 ((2)4 - (и+ь)4)+ И 3 3 52 2 22 2 - И-ь 2 + ь+ъ С1) {(И+Ь)3 - (И)3) + ¿1С (ф2 - к+Ь)2) + С2Ь)

2 а а2 = -3^; Ь2 = 0; 2 4 2 х(ЬИ , ахИ2 с2 =3( 4 (2ах Ь) + х8 ) И 2 ^ ёз = 1 (2а2 (и)5 + 4ас (и)3 + с22и) ^ 3 3 5 2 3 2 2

3 с- И ИИ аз =3-; Ь3 =-3-(- + ах); 3 4 3 2 2 х с,ахИ к И3 ИЬ2 с3 = 3(-^~ (- + Ь) +---) 3 2 2 16 4 —+Ь ) ^ ёз=3 (а5 ((2+ь)5 - (И)5)+а2 ((2+ь)4 - (2)4)+ И 3 о 52 2 22 2 2 + (ь2 + 2а3С3) ((И + ь)3 - (2)3) + Ь3С3 ((^ + Ь)2 - (И)2) + с2ь)

h h ,

— —■+b 2 q2 2 Q2

Нетрудно доказать, что ! —®ёз = ! —® ёз.

•> л J А

, 3 И 3

—ь —

2 2

С учетом суммарного по участкам интеграла (таблица 2) искомый параметр ф, определяемый по формуле (3), составит:

-И И

т о2 г 2 о2 2 о2

/ = 1 + ёз = 1 + -f ■ (2 ёз + ёз). (13)

(I) 3 I® 3 И 3

2 2

Как показали численные эксперименты, значение параметра / для наиболее часто встречающихся на практике оцинкованных холодногнутых швеллеровых профилей колеблется в пределах от 1,0024 до 1,00086. Таким образом, с учетом малости деформации сдвига у®, третье слагаемое подынтегрального выражения функционала (2) представляет собой неопределенность 0

типа о , поэтому данный параметр требует особой точности при решении практических задач.

Аналитическое решение уравнения полусдвиговой теории

Пример 1. Тонкостенная консольная балка

Рассмотрим тонкостенный стержень (рис. 4), жестко закрепленный с одной стороны и консольно свисающий с другой стороны, загруженный равномерно распределенной нагрузкой q, приложенной с эксцентриситетом е:

Тогда внешний распределенный крутящий момент тх составит:

тх = ц • е

Рисунок 4. Стержень с одним заделанным и другим свободным концом

Согласно [15], дифференциальное уравнение кручения записывается в виде:

уШ0в"' - 0!а в = тх. (14)

Зададим граничные условия для левого и правого концов:

х = 0 :в = 0, в = 0 х = I: В = 0, М = 0 ,

(15)

где М - крутящий момент в сечении, состоящий из момента чистого кручения Н и момента стесненного кручения Мт :

М = Н + Ма = 01ав' + —--(в' -в); (16)

— -1

Вт - бимомент в сечении, определяемый в полусдвиговой теории [15] как

Ба=-Ы0Р' . С17)

Приравняв бимомент к нулю (17), получим:

в' = 0 . (18)

Домножив выражение (16) на ——1 и упростив его, получим:

—в' =в. (19)

Таким образом, граничные условия при х = I окончательно определятся выражениями (18)

и (19).

Введя обозначение в = а , перепишем дифференциальное уравнение (14) в классической математической постановке [19]:

и 12 тх

а - к а =—— (20)

где введено обозначение характеристического числа к =

крутильнои характеристикой для полусдвиговои теории.

GId

, являющегося изгибно-

Данное дифференциальное уравнение является уравнением 2-го порядка, решение которого имеет общий вид [19]:

т

а = Лск(кх) + В8к(кх) ———— (21)

к Vе1 о '

Проинтегрировав уравнение (21) по х, получим выражение для депланации в:

в = Лsh(kx) + Вск(кх)--тХ + С (22)

к к к уЕ1о

Зададим сформулированные выше граничные условия.

Подставив значение депланации в начале стержня (15) в (22), получим:

В „

- —= С . (23)

к

Подставим граничное условие (18) в (22), получим:

Bsh(kx) тхх

А =--+ -Х-. (24)

с^кх) к уЕ1 осЫкх)

Далее, для того, чтобы воспользоваться двумя другими граничными условиями, выразим функции 0 и вдруг через друга. В [15] приведено выражение:

// г 1СЛ ,

Шар" -Г-±Л(0 -в) = 0 , (25)

^ЮЮ

откуда:

БТ

О =ß- -G-. Aß" (26)

r GA

(V-1) 1Г 2 1

По определению (3), Мош=-, а квадрат радиуса инерции г = —. Тогда (26)

Id

можно переписать в виде:

О ß 1 а"

0 =ß--~Yß . (27)

ц/к

Выразив из граничного условия (19) 07 и подставив его в (27), получим

ß" = к2ß . (28)

Далее 2 раза продифференцируем выражение (22) и получим:

ß" = kAsh(кх) + kBch(кх). (29)

Подставив (22) и (29) в (28), а также положив х = I , получим:

тх1

С =

к 2^EIÜ

(30)

Тогда, выразив В из (23) и подставив в (27), получим еще одну неизвестную постоянную:

В =

тх1

к—Е1а

(31)

Тогда формула (24) перепишется в виде:

тх

А

тх1

к 2 —Е1т ск(к1) к —Е1т сЫ(кх)'

(32)

Подставив найденные константы А и В в выражение (21), а затем - в (17), получим выражение для бимомента в каждом сечении стержня по длине:

Бт (х) =

- ту

2

к — • ск(к1)

(ск(кх) - ск(кI) + к1 • sh(k(I - х)))

(33)

Согласно [12, стр.61] бимомент по теории В.З. Власова для консольного стержня выражается зависимостью:

Б (х) =

- т

х

*2 * к • сЫ(к I)

(сЫ(к х) - сЫ(к I) + к I • sh(k (I - х)));

к * =

1

01,

Е1т

(34)

(35)

Таким образом, полученное решение по своей форме идентично решению В.З. Власова для «бессдвиговой» теории тонкостенных стержней и отличается от него лишь только наличием в знаменателе параметра — и отличием выражений для изгибно-крутильной характеристики к .

Подставив константы (30),(31) и (32) в (22), получим выражение для депланации:

т

в( х) =

Е1тк3 • сЫ^к!)

[к(I - х) • сЫ(кх) + sh(kx) - кI • сЫ(к(I - х))],

(36)

которое также совпадает с выражением по Власову [12, 17] с точностью до аналогии величин к

и к *.

Пример 2. Жестко защемленная с двух сторон тонкостенная балка

Рассмотрим тонкостенный стержень, жестко закрепленный с двух сторон, загруженный равномерно распределенной нагрузкой q, приложенной с эксцентриситетом е (рис. 5).

Рисунок 5. Стержень, жестко защемленный с двух сторон

Дифференциальным уравнением кручения стержня будет служить уравнение (14), а его решением - выражение (22).

Граничные условия для обоих концов (х = 0 и х = I):

в = 0.

(37)

В силу идентичности условий закрепления на левом конце с предыдущей задачей останется в силе выражение (23).

Закрепление на правом конце (выражение для депланации (22)):

А В т 1

—ьЪ(к1) + — ек(к1)--— + С = 0

к к к 2щЕ!а

(38)

В силу симметрии условий загружения и опирания, центральное сечение не может

1

депланировать в ту или другую сторону. Поэтому это же условие выполнится и при х = :

mxl

A у ,kl. B , klч —sh(—) + — ch(—) -- „

k V k V 2k2¥EIa

+ C = 0

(39)

Подставим (23) в (38) и (39) и запишем получившуюся систему уравнений относительно постоянных А и В, перегруппировав слагаемые:

А ■ sh(kl) + В ■ (ch(kl) -1)

mxl

k^I а

mxl

A ■ sh(—) + B ■ (ch(—) -1) -

2 2 2ky/EI а

(40)

Решая систему (40), получаем:

А

mxl

B =

2k^EIа ■ sh(kl) mxl

(1 + ch(kl))

(41)

2k^EI а

Подставив найденные константы А и В в выражения (23) и затем (22), получим выражение для функции депланации:

X) = т^_ (*Кк (х -1)) + эКЬс) 1 +1 - 2 х) Данное выражение можно преобразовать с учетом свойств гиперболических функций:

(42)

mv

sh(k (x -1)) l

ß( x) = ^ (--j2- +--x)

GId иЛК 2 d sh(-j)

(43)

Данное выражение полностью совпадает с выражением, полученным В.З. Власовым [12] c точностью до выражения изгибно-крутильной характеристики к (см. формулу (35))

Продифференцировав (43) и домножив на секториальную жесткость (17), получим выражение для бимомента:

Bа (X) =

mv

ц/kz

kl

ch(k (x - 2)) 2

sh— 2

(44)

Проинтегрировав формулу (27) ивзяв в качестве незадействованного граничного условия равенство нулю угла поворота в начале стержня (0(0) = 0), получимугол закручивания:

0( х) =

т

Е1ок:

, кх , к (х -1)

, , sh — sh —-1

кх(х -1) -1_2 2

2

, к1 sh — 2

(45)

Численные решения уравнения полусдвиговой теории

Рассмотрим ниже основные типы линейных одномерных задач с использованием конечных элементов, предложенных в [1,20, 21, 22].

В качестве модели исследования возьмем тонкостенный профиль производства ООО «Балтпрофиль» по ТУ 1121-001-1383-0080-2003. Профили стальные оцинкованные для системы каркасного строительства (рис. 6).

Рисунок 6. Тонкостенный профиль ПН 150-1,5 Таблица 3. Геометрические характеристики профиля ПН 150-1,5

Рисунок 7. Схема приложения нагрузки

Параметр Значение Единицы измерения

Момент инерции при свободном кручении 0,028125 см4

Секториальный момент инерции 351,5625 см6

1и Максимальный момент инерции 126,5625 4 см

ах Координата центра изгиба по оси У 1,6667 см

С=0,81*106 кгс/см2 и Е=2,1*106 кгс/см2 - модули сдвига и упругости стали С-255.

В качестве «тестовой» нагрузки приложим равномерно распределенную по длине единичную нагрузку д=1 кгс/м с эксцентриситетом е .

Дело в том, что при приложении равномерно распределенной нагрузки и доведении ее до максимального (разрушающего) значения ввиду достаточно большой податливости профиля верхней полки, которая будет существенно деформироваться, профиль потеряет свою первоначальную геометрическую форму. Нагрузка, в большинстве случаев являясь «штамповой», т.е. более жесткой, чем профиль по своей природе, будет уже невплотную прилегать к полке. Для косвенного учета этой геометрической нелинейности приложим нагрузку не равномерно по полке, а по закону треугольника [10]. Тогда результирующий вектор нагрузки пройдет через центр тяжести эпюры нагрузки, лежащей в точке пересечения медиан треугольника, т.е. на расстоянии Ь

— от края стенки.

3

Как видно из рисунка 7, полный эксцентриситет приложения нагрузки будет складываться из эксцентриситета, обусловленного несовпадением центра тяжести и центра изгиба поперечного сечения ах, (равного УЬ-координате центра изгиба по оси у) и непосредственного эксцентриситета приложения нагрузки, равного:

e = ax + Ь = 1,682 + 5 =3,35 см. x 3 3

(46)

Решение задачи в бессдвиговой теории

Рассмотрим стержень, опорные сечения которого закреплены от перемещений как в плоскости этого сечения, так и из плоскости. Это значит, что опорные сечения не только не имеют углов закручивания, но также не могут перемещаться из своей плоскости. Граничные условия в этом случае будут:

прих = 0, 1)0 = 0; 2)0'= 0;] прих = /, 3)0 = 0; 4)0 = 0 I

(47)

Аналитические решения в такой задаче для функций кручения и депланации, бимомента, секториального крутящего момента и момента чистого кручения согласно [11] составят соответственно:

0 =

qe

Elak

0=

k z(x - l) 2~

qe

*2 Ek Ia

B

qe

a

k

x

_ 2

* *

, k x ,k (x -1)

sh-sh-

2

2

sh

k l 2

*l lsh(k (x -

2sh

k___ 2

1 -

k

*_ch(k (x - 2))

2

sh

k i 2

(48)

(49)

(50)

Чтобы получить численные решения для обозначенной задачи, зададим граничные условия (47), преобразовав матрицу жесткости системы (2.17).

[K (0][U(0] = [ Р(0] или

k(10 + +...+k«e> = p

k21 )01 + k2201 + ... + ^"2« 02 = P2

ЛГ)п1

(i)a' -

(51)

kn10 + k%e[ +...+k«0 = Pn

(Од/ -

Первые две строчки системы уравнений (51) свидетельствуют о равенстве нулю соответственно угла закручивания и депланации, т.е. могут быть записаны в виде:

k1(1)01 = 0; k22)01/ = 0 .

Аналогичным образом на другом конце стержня:

с® ь22

k 3ПЧ+1 = 0; k 201 = 0.

(52)

(53)

3

)

2

Однако в силу теоремы Бетти [23], матрица жесткости системы является симметричной матрицей, т.е. к■ ■ = к■ ■. Поэтому для автоматического выполнения условий (52) и (53),а также

'У У

теоремы Бетти, при разбиении данного стержня на любое количество конечных элементов нужно:

1) «обнулить» две первых и две последних строчки и столбца матрицы [К] за исключением элементов главной диагонали, как это показано на примере разбиения на 4КЭ для данной задачи (рис. 8);

21365 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 39602813 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 42729 0 -21365 789778,1 0 0 0 0

0 0 0 79205625 -789778 19630547 0 0 0 0

0 0 -21365 -789778 42729 0 -21365 789778,1 0 0

0 0 789778 19630547 0 79205625 -789778 19630547 0 0

0 0 0 0 -21365 -789778 42729 0 0 0

0 0 0 0 789778 19630547 0 79205625 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 21365 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 39602813

0

0

2,5115

0

2,5115

0

2,5115

0

0

0

Рисунок 8. Пример матрицы жесткости и столбца нагрузок (с условием заделки с двух сторон)

2) «обнулить» две первых и два последних числа столбца вектора нагрузок [Р] (рис. 8, правая часть).

Решая систему уравнений (51) при разных шагах разбиения стержня, получим ряд зависимостей функций перемещения и усилий от координаты по длине балки (рис. 9-11).

Результаты, показанные на графиках, сведены в таблицу 4.

Рисунок 9. График функции кручения по бессдвиговой теории

0,00001

ОдЗОООСб

-0/)000С5

Ш СМ'1 - - "Аналитическоерешение

3,104 22 Е-Об (по Е. ¿Власову;

920Е5Е-С6 16 ЗЛ&ПЁНТОВ

В элементов

-4 элемента

X , СМ

0 37,5 75 112.5 15 ц !. 187,5 225 262,5

- з^гее&йа^и 22Е-06

Рисунок 10. График функции депланации Рисунок 11. График распределения бимомента по бессдвиговой теории по бессдвиговой теории

Таблица 4. Результаты численного эксперимента по бессдвиговой теории

№ п/п Кол-во КЭ Размер КЭ, см Характерные значения параметров

#max , 10-4 ßmax , 10-6см-1 лОП * 2 B т , кгс*см BqP , кгс*см2

1 1 300 - - - -

2 2 150 8,94648 0 -176,13 176,13

3 4 75 8,94669 8,92095 -222,93 130,36

4 8 37,5 8,94693 8,92128 -235,70 119,62

5 16 18,75 8,94695 9,10422 -239,08 116,98

6 аналитическое решение 8,94695 9,10422 -240,24 116,10

Сходимость данного вида аппроксимации достаточно очевидна; точное решение в пределах допустимой инженерной погрешности достигается уже при разбиении на 8 конечных элементов, однако данный метод не подходит для решения задач о стесненном кручении тонкостенных стержней открытого и комбинированного профилей.

Решение задачи в полусдвиговой теории при линейной аппроксимации

функций кручения и депланации

В данном параграфе рассмотрим универсальный метод, позволяющий решить задачи о стесненном кручении тонкостенных стержней любых типов, основанный на полусдвиговой теории [15], на примере, приведенном в предыдущем разделе.

Решая систему разрешающих уравнений, аналогичную (51) и сформированную на основании матриц жесткости конечных элементов, предложенных в [1], получим графики зависимости функций кручения и депланации, а также бимомента (соответственно рис. 12,13,14).

Граничные условия зададим по формулам, аналогичным (52) и (53), полагая в вместо в!, и далее - «обнулением» соответствующих строчек.

Результаты вычислений сведены в таблицу 5.

Таблица 5. Результаты численного эксперимента для балки, жестко защемленной по краям при линейной аппроксимации функций перемещений

№ п/п Кол-во КЭ Размер КЭ, см Характерные значения параметров

Omx ,10-4 ßmax ,10-6см-1 D оп * 2 B ,кгс*см со ' Впр ,кгс*см2 со '

1 1 300 - - - -

2 2 150 0,161635 0,00000 0,000 0,000

3 4 75 0,644649 0,644649 -6,346 6,346

4 8 37,5 2,04298 2,0078 -34,667 24,671

5 16 18,75 4,8821 4,88049 -104,171 55,895

6 32 9,375 7,48119 7,53879 -178,034 88,742

7 64 4,6875 8,62977 8,7033 -216,569 106,315

8 аналитическое решение 8,67662 9,17292 -240,35 115,163

По результатам численного эксперимента, отображенным на графиках (рис. 12-14) и сведенным в таблицу 5, можно сделать следующие общие выводы и замечания.

1. При линейной аппроксимации функций перемещения в и в наблюдается очень низкая скорость сходимости. Численные решения, удовлетворяющие инженерной точности, достигаются лишь при разбиении на 64 КЭ.

2. Сходимость бимомента, как наиболее важного силового фактора, наблюдается также при разбиении на 64 конечных элемента.

3. Такие силовые факторы как бимомент и момент чистого кручения являются постоянными величинами в пределах одного конечного элемента. Данное обстоятельство сказывается на том, что значения этих силовых факторов в опорных сечениях без дополнительной интерполяции определить не удается.

4. Секториальный крутящий момент является линейной функцией и потому может быть определен в узловых сечениях. Однако значения на правом и левом узлах двух соседних конечных элементах существенно друг от друга отличаются, вплоть до знака. Представленные на графике узловые значения, взятые как среднее арифметическое, имеют слабую сходимость, даже при разбиении на 64 конечных элемента не удовлетворяющую требованиям инженерной точности.

Из вышесказанного следует, что линейная аппроксимация функций перемещений не рекомендуется для расчетов тонкостенных стержневых элементов.

Рисунок 12. График функции кручения по полусдвиговой теории при линейной аппроксимации функций перемещений

Рисунок 13. График функции депланации по полусдвиговой теории при линейной аппроксимации функций перемещений

Рисунок 14. График распределения бимомента по полусдвиговой теории при линейной

аппроксимации функций перемещений

Решение задачи в полусдвиговой теории при линейной аппроксимации функции кручения и квадратичной аппроксимации функции депланации В данном параграфе рассмотрено решение ранее обозначенной задачи, но при квадратичной аппроксимации функции кручения. При данном типе аппроксимации производная в1

окажется линейной функцией и, таким образом, разность двух линейных величин в1 ив, входящая в третье слагаемое функционала (2), будет вычислена более точно. Данное обстоятельство повысит точность алгоритма и, соответственно, скорость сходимости неизвестных.

На рис. 15-17 представлены графики зависимости функций кручения и депланации, а также бимомента.

Рисунок 15. График функции кручения по полусдвиговой теории при линейной аппроксимации функций кручения и квадратичной аппроксимации функции депланации

Рисунок 16. График функции депланации по полусдвиговой теории при линейной аппроксимации функций кручения и квадратичной аппроксимации функции депланации

Рисунок 17. График распределения бимомента по полусдвиговой теории при линейной аппроксимации функций кручения и квадратичной аппроксимации функции депланации

Таблица 6. Результаты численного эксперимента для балки, жестко защемленной по краям, при линейной и квадратичной аппроксимациях функций перемещений

№ п/п Кол-во КЭ Размер КЭ, см Характерные значения парамет ров

0тах ,1с-4 ßmax ,10-6см-1 поп * 2 B ,кгс*см2 со B пр ,кгс*см2 со

1 1 300 - - - -

2 2 150 0,16153 0 - -

3 4 75 6,9319 9,0360 -133,422 133,422

4 8 37,5 8,55584 8,9434 -186,512 116,953

5 16 18,75 8,89579 9,1036 -213,065 116,093

6 32 9,375 9,05818 9,16211 -226,491 116,018

7 аналитическое решение 8,9745 9,17292 -240,35 115,163

По результатам численного эксперимента, отображенным на графиках (рис. 15-17) и сведенным в таблицу 6, можно сделать следующее заключение: при данном типе аппроксимации функций 0 и в наблюдается достаточно высокая скорость сходимости. Так, например, численные решения, удовлетворяющие инженерной точности, достигаются уже при разбиении на 8 КЭ.

Однако функция бимомента оказывается ступенчатой. Как показали предварительные исследования, простые виды аппроксимаций (осреднение значений по элементам в узле либо принятие полученных постоянных на элементе значений только в центре соответствующих элементов) являются неэффективными с точки зрения точности.

Далее в статье рассмотрим два варианта решения данной проблемы:

1) использование квадратичной аппроксимации функции депланации, приводящей к линейному распределению бимомента в пределах элемента (п. 3.4);

2) сопряженная аппроксимация узловых значений с сохранением линейной аппроксимации функции депланации (п. 3.5).

Решение задачи в полусдвиговой теории при квадратичной аппроксимации

функций кручения и депланации

На рисунках 18-20 представлены графики зависимости функций кручения и депланации, а также бимомента, для ранее обозначенной задачи, но при способе квадратичной аппроксимации. Конечные элементы, необходимые для решения данной задачи, построены ранее в [1].

Рисунок 18. График функции кручения по полусдвиговой теории при квадратичной

аппроксимации функций перемещений

Рисунок 19. График функции депланации по полусдвиговой теории при квадратичной

аппроксимации функций перемещений

Рисунок 20. График распределения бимомента по полусдвиговой теории при квадратичной

аппроксимации функций перемещений

Таблица 7. Результаты численного эксперимента для балки, жестко защемленной по краям, при квадратичной аппроксимации функций перемещений

Характерные значения параметров

№ п/п Кол-во КЭ Размер КЭ, см втах ,10-4 втах ,10-6см-1 п оп * 2 В ,кгс*см со ' Впр ,кгс*см2 со '

1 1 300 - - - -

2 2 150 0,9022 0,0000 -14,59 14,59

3 4 75 7,4846 9,00447 -123,19 99,51

4 8 37,5 8,86446 8,92597 -201,67 115,20

5 16 18,75 9,07076 9,09709 -232,10 116,48

6 аналитическое решение 8,9745 9,17292 -240,35 115,163

Как видно из таблицы 7, наблюдается достаточно приемлемая скорость аппроксимации, и требуемая сходимость достигается при разбиении на 8 конечных элементов, а сходимость бимоментов по краям - при 16 элементах.

Сопряженная аппроксимация бимомента и момента чистого кручения

Одним из недостатков применения линейных интерполяционных полиномов функции является невозможность получения градиентов как функций х. Градиент и любая связанная с ним величина получаются постоянными внутри элемента. Чтобы иметь более приемлемые значения узловых величин применяются различные методы усреднения. Можно, например, в качестве значения градиента в данном узле принять среднюю по двум соседним с этим узлом элементам величину, что является самым простым и, соответственно, самым приближенным способом.

Узловые значения усилий элемента (бимомент, секториальный крутящий момент и др.) можно также получить с помощью теории сопряженной аппроксимации. [24,25,26]. Этот способ дает значения статических силовых факторов элемента, согласованные с аппроксимирующими полиномами для векторной или скалярной величины.

Представим бимомент как линейную функцию в пределах одного конечного элемента (/):

В®)( х) = Э() в 21 -1 + Э 2

где Э\1),Э2() - линейные полиномы [1].

Тогда узловые значения бимомента получаются решением системы уравнений:

[С] ■ [В®]=[Щ],

где [в®] - столбец узловых бимоментов:

[в®] = ( в в3 ... в .. вп+1 Г

[С] - матрица размерностью п х п, определяемая как сумма матриц элементов вида:

I

[С(0] = ! [Э(0]г ■ [Э(0]йХ =

о

[Щ] - столбец, являющийся суммой поэлементных векторов, определяемых равенством:

I

[щ «] = ! В® ■ [Э(г)]Т ёх ,

)(i) В 72 ^i+l '

}(i) o(i)

Г i l 1

3 6

l l

V 6 3 У

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

где В®) - бимомент в пределах одного конечного элемента, являющийся постоянной величиной на элементе.

Или, с учетом постоянства исходного бимомента в пределах конечного элемента:

[ R (°] = В,

Г _ л

2 _

V 2 у

(59)

Распишем систему уравнений (55):

( Г (!) ^11 Г (1) 21

0

[ К ] =

Г (1) 12

с (1) + с (2) 22 11

0

Г

(2)

Г (1) 12

с (1) + с (2) 22 11

0 0 0

0 0 0

0 0 0

С^('-1) + (-<(')

22 11 1

0

0

0

0

Г(п) г (п)

12

22 У

( В1 > В2

Вз

В..

V В«+1 У

Я(1) ^ я2) + Я12) я,(2) + я,(3)

я2г -1)

я

+ Я

(П)

( )

(60)

и определим узловые неизвестные (56).

Аналогичным образом можно определить столбец узловых значений момента чистого кручения.

Далее рассматривается пример использования сопряженной аппроксимации для значений бимомента, вычисленного по полусдвиговой теории при линейной аппроксимации функции депланации и квадратичной аппроксимации функции кручения. Результаты сведены в таблицу 8 и представлены в виде графика (рис. 21).

Рисунок 21. График распределения бимомента по полусдвиговой теории после

сопряженной аппроксимации

Таблица 8. Результаты сопряженной аппроксимации функции бимомента

0

0

0

0

№ п/п Кол-во КЭ Размер КЭ, см Значения В т , кгс*см2 при х, см

х = 0 х = 75 х = 150 (центр) ю см А * о о 1? *

МКЭ сопряж. МКЭ сопряж. МКЭ сопряж. симметрично симметрично

В справа Ва г) слева Вю В справа Ва и слева Вю В справа В т

1 1 300 - - - - - - - -

2 2 150 0,0000 - 0,0000 0 - 0 0 -

3 4 75 -88,948 -133,422 -88,948 88,948 0 88,948 88,948 133,422

4 8 37,5 -155,717 -186,515 -20,356 66,373 34,7809 109,3425 109,3425 116,953

5 16 18,75 -194,495 -213,065 7,2018 50,5179 30,908 114,3377 114,3377 116,093

6 32 9,375 -217,137 226,491 19,4555 41,0854 30,7472 115,5802 115,5802 116,018

Аналитич.реш -240,35 30,77 115,163

Сходимость бимомента, полученная методом сопряженной аппроксимации, наблюдается также при разбиении на 8 конечных элементов. Однако бимомент в опорно-концевых сечениях даже при разбиении стержня на 32 конечных элемента не дает требуемой инженерной точности, что свидетельствует о недостаточности разбиения.

Из вышесказанного следует, что линейная аппроксимация функций кручения и квадратичная аппроксимация функции депланации при сопряженной аппроксимации узловых неизвестных может быть использована для расчетов при разбиении минимум на 8 КЭ.

Выводы

1. Получены формулы для вычисления коэффициента влияния формы сечения для швеллерового профиля, необходимые для применения полусдвиговой теории стесненного кручения тонкостенных стержней.

2. На конкретных примерах (рис.3) показана сходимость предложенных конечных элементов, скорость которой зависит от типа аппроксимации базисных функций.

3. Показано, что линейная аппроксимация функций перемещений не может быть рекомендована для расчетов тонкостенных стержневых элементов при разбиении стержня менее чем на 64 КЭ.

4. Показано, что линейная аппроксимация функций кручения и квадратичная аппроксимация функции депланации при сопряженной аппроксимации узловых неизвестных может быть использована для расчетов при разбиении минимум на 8 КЭ.

5. Метод квадратичной аппроксимации базисных функций предложен как наиболее подходящий для практических расчетов на прочность тонкостенных конструкций, имеющий оптимальное соотношение между скоростью сходимости и простотой реализации.

6. Получены аналитические решения для основных силовых факторов и деформаций по полусдвиговой теории для четырех наиболее часто встречающихся в инженерной практике простых расчетных схем, загруженных равномерно распределенной нагрузкой с эксцентриситетом.

Литература

1. Лалин В. В., Рыбаков В.А. Конечные элементы для расчета ограждающих конструкций из тонкостенных профилей // Инженерно-строительный журнал. 2011. №8(26). С. 69-80.

2. Гордеева А. О., Ватин Н. И. Расчетная конечно-элементная модель холодногнутого перфорированного тонкостенного стержня в программно-вычислительном комплексе SCAD Office // Инженерно-строительный журнал. 2011. №3(21). С. 36-46.

3. Смазнов Д. Н. Конечноэлементное моделирование работы жестких вставок тонкостенных холодноформованных стальных профилей // Научный журнал КубГАУ. 2011. №67(03). С. 1-13.

4. Айрумян Э. Л., Белый Г. И. Исследование работы стальной фермы из холодногнутых профилей с учетом их местной и общей устойчивости // Промышленное и гражданское строительство. 2010. №5. С. 41-44.

5. Шатов Д. С. Конечноэлементное моделирование перфорированных стоек открытого сечения из холодногнутых профилей // Инженерно-строительный журнал. 2011. №3(21). С. 32-35.

6. Юрченко В. В. Проектирование каркасов зданий из тонкостенных холодногнутых профилей в среде SCAD Office // Инженерно-строительный журнал. 2010. №8(18).С. 38-46.

7. Bayan Anwer Ali, Sariffuddin Saad, Mohd Hanim Osman, Yusof Ahmad. Finite Element Analysis of Cold-formed Steel Connections // International Journal of Engineering (IJE). 2011. Volume 5, №2. Pp. 55-61.

8. Schafer W., Pekoz T. Computational modeling of cold-formed steel: characterizing geometric imperfections and residual stresses/Journal of Constructional Steel Research. 1998. Vol. 47. Pp. 193-210.

9. Ватин Н. И., Рыбаков В. А. Расчет металлоконструкций: седьмая степень свободы // СтройПРОФИль. 2007. № 2(56).С. 60-63.

10. Рыбаков В. А. Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: учеб. пособие. СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2010. 206 с.

11. Власов В. З. Тонкостенные упругие стержни (прочность, устойчивость, колебания). М. : Госстройиздат, 1940. 276 с.

12. Кузьмин Н. А., Лукаш П. А., Милейковский И. Е. Расчет конструкций из тонкостенных стержней и оболочек. М. : Госстройиздат, 1960. 264 с.

13. Туснин А. Р. Расчет и проектирование конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля: Автореф. дис. на соиск. учен. степ. д.т.н. М. , 2004. 37 с.

14. Sedlacek G., Bild J., Ungermann D. On the buckling of plates - Some recent developments in light weight structures// 4th international conference on aluminium weldments. Tokyo: 1988.

15. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие. М.:Издательство ассоциации строительных вузов, 2005. 736с.

16. Уманский А. А. Строительная механика самолета. М.: Оборонгиз, 1961. 569с.

17. Джанелидзе Г. Ю., Пановко Я. Г. Статика упругих тонкостенных стержней. М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. 205 с.

18. Перельмутер А. В., Сливкер В. И. Устойчивость равновесия конструкций и родственные проблемы. Т.1: Общие теоремы. Устойчивость отдельных элементов механических систем. М. : СКАД СОФТ, 2010. 681 с.

19. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М. : Наука, 1969. 424 с.

20. Рыбаков В. А., Лалин В. В.. Разработка алгоритма метода конечных элементов для полусдвиговой теории тонкостенных стержней // XL Неделя науки СПбГПУ: материалы международной научно-практической конференции. Ч.1. СПб.: Изд-во Политехн.ун-та, 2011. С. 212-214.

21. Рыбаков В.А. Применение метода конечных элементов для полусдвиговой теории тонкостенных стержней // Материалы Пятого Всероссийского форума студентов, аспирантов и молодых ученых. СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2011.С. 30-32.

22. Морозов С. А., Рыбаков В. А. Применение численных методов для разложения матрицы жесткости систем тонкостенных конечных элементов // XL Неделя науки СПбГПУ: материалы международной научно-практической конференции. Ч.1. СПб.: Изд-во Политехнического ун-та, 2011. С.210-212.

23. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. Строительная механика. М. : Высшая школа, 1986. 607 с.

24. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М. : Мир, 1976. 464 с.

25. Oden J. T., Reddy J. N. Note on an approximate method for computing consistent conjugate stresses in elastic finite elements // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1973. Vol. 6, №1. Pp. 55-61.

26. Oden J. T. A general theory of finite elements. I. Topological consideration // International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1969. Vol. 1, №2. Pp. 201-205.

*Владимир Александрович Рыбаков, Санкт-Петербург, Россия Тел. моб.: +7(964)331-29-15, эл. почта: [email protected]

The Finite Elements Research for Calculation of Thin-Walled Bar

Systems

V.V. Lalin

Saint-Petersburg State Polytechnical University, Saint-Petersburg, Russia

V.A. Rybakov

Saint-Petersburg State Polytechnical University, Saint-Petersburg, Russia

S.A. Morozov

Saint-Petersburg State Polytechnical University, Saint-Petersburg, Russia +7 (964) 331-29-25; e-mail: [email protected]

Key words

torsion; warping; interpolation polynomials; shear deformation; bimoment; stiffness matrix; factor of cross-section influence

Abstract

This article is written to continue the article of recent issue of the journal (Lalin V.V., Rybakov V.A. The finite elements for design of building walling made of thin-walled beams) considered the creating of 4 types of finite elements - depending on a way of function approximation of deformations (torsion and warping):

1. Linear approximation of torsional functions with a 2-central finite element having 4 transitions;

2. Square-law approximation of torsional functions and linear approximation of warping function with a 3-central finite element having 5 transitions;

3. Square-law approximation of functions of torsional and warping functions with a 3-central finite element having 6 transitions

4. Cubical approximation of functions of torsional with a 2-central finite element having 4 transitions

In the article we continue realization of finite elements method algorithms and we consider some test examples about the torsion of the thin-walled beam having various boundary conditions on the ends. Also the given problems are considered from the point of view of search of static power factors at the constrained torsion: a bimoment, a sectorial torsion moment and the moment of free torsion.

Formulas for cross-sectional form for channel influence factor calculation, which are necessary for application of the semisheared theory of thin-walled beams, are received. Analytical decisions for the basic power factors and deformations under the semisheared theory for simple schemes most often meeting in engineering practice loaded by in regular intervals distributed loading with excenterisity are received. Convergence of the offered finite elementswhich speed depends on the type of basic functions approximation is shown on concrete examples.

Recommendations and conclusions concerning application of various finite elements are formulated.

References

1. Lalin V. V., Rybakov V. A. Magazine of Civil Engineering. 2011. No. 8(26). Pp. 69-80. (rus)

2. Gordeeva A. O., Vatin N. I. Magazine of Civil Engineering. 2011. No. 3(21). Pp. 36-46. (rus)

3. Smaznov D. N. Nauchnyy zhurnal KubGAU [Scientific Magazine of KubGAU]. 2011. No.67(03). Pp. 1-13. (rus)

4. Airumyan E. L., Belyi G. I. Promyshlennoye i grazhdanskoye stroitelstvo [Industrial and civil engineering]. 2010. No. 5. Pp. 41-44. (rus)

5. Shatov D. S. Magazine of Civil Engineering. 2011. No. 3(21). Pp. 32-35. (rus)

6. Yurchenko V. V. Magazine of Civil Engineering. 2010. No. 8(18). Pp. 38-46. (rus)

7. Bayan Anwer Ali, Sariffuddin Saad, Mohd Hanim Osman, Yusof Ahmad. Finite Element Analysis of Cold-formed Steel Connections.International Journal of Engineering (IJE). 2011. Volume 5,No. 2.Pp. 55-61.

8. Schafer W., Pekoz T. Computational modeling of cold-formed steel: characterizing geometric imperfections and residual stresses. Journal of Constructional Steel Research. 1998. Vol. 47. Pp. 193-210.

Lalin V.V., Rybakov V.A., Morozov S.A. The Finite Elements Research for Calculation of Thin-Walled Bar Systems

9. Vatin N. I., Rybakov V. A. StroyPROFIL. 2007. No. 2(56).Pp. 60-63. (rus)

10. Rybakov V. A. Osnovy stroitelnoy mekhaniki legkikh stalnykh tonkostennykh konstruktsiy [The fundamentals of light steel thin-walled structural mechanics]. Saint-Petersburg: SPbGPU, 2010. 207 p. (rus)

11. Vlasov V. Z. Tonkostennye uprugiye sterzhny (prochnost, ustoichivost, kolebaniya) [Thin-walled elastic beams (strength, stability, rippling)]. Moscow:1940. (rus)

12. Kuzmin N. A., Lukash P. A., Mileikovsky I. E. Raschet konstruktsyi iz tonkostennykh sterzhey i obolochek [The design of thin-walled bar and membranous constructions]. Gosstroyizdat, 1960. (rus)

13. Tusnin A. R. Chislennyy raschet konstruktsiy iz tonkostennykh sterzhney otkrytogo profilya [Numerical calculation of structures made of open-section thin-walled bars]. Moscow: ASV, 2009. 143 p. (rus)

14. Sedlacek G., Bild J., Ungermann D.On the buckling of plates - Some recent developments in light weight structures.4th international conference on aluminium weldments. Tokyo: 1988.

15. Slivker V. I. Stroitelnaya mekhanika [Structural mechanics]. Moscow: ASV, 2005. 736 p. (rus)

16. Umanskiy A. A. Stroitelnaya mekhanika samoleta [The aircraft Structural Mechanics]. Moscow: Oborongiz,1961. 569 p. (rus)

17. Dzhanelidze G. Yu., Panovko Ya. G. Statika uprugikh tonkostennykh sterzhney [Statics of elastic thin-walled].Moscow: 1948. 208 p. (rus)

18. Perelmuter A. V., Slivker V. I. Ustoychivost ravnovesiya konstruktsiy i rodstvennyye problemy. T.1: Obshchiye teoremy. Ustoychivost otdelnykh elementov mekhanicheskikh sistem [The stability of constructions and related problems. Vol1: The general theorems. Stability of separate elements of mechanical systems]. Moscow: SKAD SOFT, 2010. (rus)

19. Elsgolts L. E. Differentsialnyye uravneniya i variatsionnoye ischisleniye [Differential equations and calculus of variations].Moscow: Nauka, 1969. (rus)

20. Rybakov V. A, Lalin V. V. XL Nedelya nauki SPbGPU: materialy mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii. Ch.1[XL Science Week SPbSPU: Proceedings of the International Scientific Conference. Part 1]. Saint-Petersburg: Izd-vo Politekhnicheskogo un-ta, 2011. Pp. 212-214 (rus)

21. Rybakov V. A. Materialy Pyatogo Vserossiyskogo foruma studentov, aspirantov i molodykh uchenykh [Proceedings of the Fifth All-Russian forum of students and young scientists]. Saint-Petersburg : Izd-vo Politekhnicheskogo un-ta, 2011. Pp. 30-32. (rus)

22. Morozov S. A., Rybakov V. A. XL Nedelya nauki SPbGPU: materialy mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii. Ch.1[XL Science Week SPbSPU: Proceedings of an international scientific conference. Part 1].Saint-Petersburg : Izd-vo Politekhnicheskogo un-ta, 2011. Pp. 210-212. (rus)

23. Darkov A. V., Shaposhnikov N. N. Stroitelnaya mekhanika [Structural mechanics]. Moscow: 1986. 607 p. (rus)

24. Oden J. Konechnyye elementy v nelineynoy mekhanike sploshnykh sred [Finite elements in nonlinear continuum mechanics]. Moscow : Mir, 1976. (rus)

25. Oden J. T., Reddy J. N. Note on an approximate method for computing consistent conjugate stresses in elastic finite elements. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1973. Vol. 6, №1. Pp. 55-61.

26. Oden J. T. A general theory of finite elements. I. Topological consideration. International Journal for Numerical Methods in Engineering.1973. Vol. 6, №1. Pp. 201-205.

Full text of this article in Russian: pp. 53-73