Конечные элементы для расчета ограждающих конструкций из тонкостенных профилей Текст научной статьи по специальности «Физика»

Конечные элементы для расчета ограждающих конструкций

из тонкостенных профилей

Д.т.н., профессор, заведующий кафедрой В.В. Лалин;

аспирант В.А. Рыбаков*,

ФГБОУ ВПО Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Ключевые слова: термопанель; кручение; депланация; интерполяционные полиномы; деформация сдвига; бимомент; матрица жесткости

В последние годы в России и за рубежом [1, 2] наблюдается широкое применение металлоконструкций в промышленном и гражданском строительстве. Особое место в строительной индустрии занимают легкие стальные тонкостенные конструкции, имеющие ряд технологических и эксплуатационных достоинств (легкость, быстровозводимость и т.д.) [3, 4].

В сборно-монолитном и каркасном строительстве, объемы которого постоянно растут, в качестве эффективных и экономичных ограждающих конструкций можно использовать так называемые термопанели [5, 6]. Термопанели - это панели наружных стен с каркасом из тонкостенных термопрофилей [7]. Из термопанелей строятся наружные стены многоэтажных зданий на железобетонном или стальном каркасе, которые воспринимают ветровую нагрузку, действующую на фасад, и переносят её на основной несущий каркас здания (рис. 1).

Рисунок 1. Вариант ограждающей конструкции: навесная конструкция стены

Теории расчета обычных (толщиной, как правило, более 4 мм) конструкций оказываются неприменимы к тонкостенным, являющимися основными, конструкциям термопанели, ввиду малой толщины профилей.

Для повседневного решения инженерных задач расчета элементов тонкостенных конструкций можно выделить принципиально 2 группы способов расчета: основанные на оболочечном моделировании и на стержневом.

Первая группа связана с представлением тонкостенного стержня в виде оболочки и дальнейшим численным расчетом, как правило, с помощью метода конечных элементов, в программных комплексах SCAD, Lira, SOFiSTiK и т.д. [8-12 и др.]. Такие способы расчета являются достаточно точными, но весьма трудоемкими в инженерно-конструкторской деятельности, особенно с точки зрения комплексного расчета конструкции.

Во второй группе способов можно выделить аналитические и численные методы расчета тонкостенных стержней, связанные с введением дополнительной «седьмой» степени свободы [13, 14].

Как нами отмечалось ранее в [15, 16], аналитические методы решения [17-20], как правило, являются трудоемкими для повседневного применения ввиду сложности математических

уравнений и функций, и возникает необходимость использования численных методов расчета, например, метода конечных элементов (МКЭ) [21, 22].

Так, в диссертации Туснина А.Р. [23] предлагается так называемый метод тонкостенных конечных элементов, анализируя который, следует отметить следующее.

1. Безразмерные коэффициенты g.a,A при компонентах матриц жесткости являются отношением гиперболических функций, например,

_ kl(klch(kl) - sh(kl)) (1)

¡¡~ klsh(kl) - 2ch (kl) + 2' знаменатель которых при определенных значениях параметров может быть вырожден.

2. Не решена задача учета деформаций сдвига при кручении в тонкостенных стержнях. Принимаемое в теории В.З. Власова [10] допущение о равенстве нулю угла сдвига ут_ 0, автоматически влечет за собой зависимость между углом закручивания в(х) и мерой депланации ß(x):

в' _ß. (2)

3. Метод тонкостенных конечных элементов неприменим для расчета тонкостенных стержней замкнутого профиля (коробчатый, составной и др.).

С другой стороны, в различных теориях тонкостенных стержней фигурирует понятие дополнительного силового фактора, бимомента, отвечающего «седьмой степени свободы» -депланации тонкостенного стрежня [14, 18].

Следует отметить, что в инженерной практике бимомент является важной характеристикой, поскольку он напрямую влияет на нормальные напряжения [14, 18]:

N Мх M B (3)

а _ — + —- + —- + —. (3)

F Wx Wy Wa

Как известно, нормальные напряжения относятся к первой группе предельного состояния конструкции, нормируются строительными нормами, отвечают за прочность и устойчивость конструкции и, соответственно, нуждаются в точном вычислении.

Также следует отметить, что в новом СП 16.13330.2011 «Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II-23-81*», введенного в действие с 20 мая 2011 г., бимомент как силовой фактор фигурирует наравне с остальными силовыми факторами: формула (43) для поперечно-изгибаемых элементов сплошного сечения; формулы (105) и (106) - для элементов, воспринимающих продольную силу с изгибом.

Формулы (43), (105) и (106) СП 16.13330.2011 по своей сути являются модификацией формулы (3), приведенной выше.

Согласно теоретическим и экспериментальным исследованиям [9, 14, 18, 19, 23, 24 и др.], в тонкостенных конструкциях, находящихся в условиях изгибного кручения, составляющая нормальных напряжений от бимомента может значительно превышать составляющую от изгибающего момента, а влияние касательных напряжений на напряженно-деформированное состояние мало по сравнению с влиянием нормальных напряжений.

Поэтому, с учетом того, что бимомент является производной некоторого порядка от функций перемещений, в данной статье рассмотрим различные способы аппроксимаций функций перемещений, влияющих на точность вычисления бимомента.

Итак, целью работы является разработка численного метода расчета тонкостенных стержневых систем по полусдвиговой и бессдвиговой теориям расчета. В данной статье рассмотрим первый этап разработки численного метода - построение тонкостенных конечных элементов различных типов в зависимости от способа аппроксимации функций деформаций (кручения и депланации): линейной, квадратичной и кубической.

1. Кубическая аппроксимация функции кручения для бессдвиговой теории тонкостенных стержней В.З. Власова

Согласно [24], выражение энергии деформации Е тонкостенного стержня можно представить как функционал от функций перемещений ,П, являющийся частью

функционала Лагранжа: 1 1

Е(£,О,£,п) = -1((ЕЛ(^)2 + Е1 у (С//)2 + Е1,(п")2 + Е1т(О")2 + 01,(О')2)А, (4)

2 0

где ЕЛ, Е1 , Е1 - жесткости на растяжение-сжатие и изгиб в двух плоскостях; Е1 т и 01, - жесткости на депланацию и кручение соответственно.

Поскольку функции £ = £(х),£ =£(х),ц = ц(х) описывают деформации соответственно растяжения-сжатия и изгиба в двух направлениях и являются независимыми от функции кручения О = О(х) , то в дальнейшем будем опускать составляющие подынтегрального выражения с их участием и рассматривать только функцию кручения как независимую:

1 '

Е(О) = -1(Е1а(О11)2 + 01,(О1)2)ёх. (5)

2 0

Разобьем тонкостенный стержень, имеющий длину Ь, на п двухузловых конечных элементов.

Рассмотрим ¡-й конечный элемент длиной I с 4 степенями свободы: два узловых поворота относительно оси х, отвечающих углам закручивания Оi и Оi+1; две меры депланации ОО и О/+1 (рис. 2).

3

в! в'

I

Рисунок 2. Двухузловой конечный элемент с 4 степенями свободы (по бессдвиговой теории)

Столбец узловых перемещений в пределах одного КЭ:

( О \

[и(г)] =

(6)

V 1+1 у

Для применения метода конечных элементов к теории тонкостенных стержней представим функцию кручения О(х) в пределах одного конечного элемента с помощью кубических

интерполяционных полиномов Эрмита Э(1) [25], умноженных на узловые неизвестные:

0( х) = Э( О + Э< О + эЗО + э4 )о/+1 . (7)

Поскольку в выражении функционала (5) максимальная степень производной от входящей в него аппроксимируемой функции перемещений О - вторая, то минимальной степенью интерполяционных полиномов будет третья степень.

Запишем в матричной форме функционал энергии деформации (4). Для этого функцию О(х) представим в виде матричного произведения:

О(х) = [Э(1 )][и(1)], (8)

где [ Э(г -1] - матрица-строка, состоящая из 4 полиномов третьей степени, вид которых приводится, например, в [25]:

[Э (°] = [3(0(x), Э«(х), Э«(х), Э«( х)].

Подставляя (8) в функционал (5), получим:

Е = 2[и(г Т [ к?][и(г}]+2[и (г)]Т [ к« )][и(г}],

где введены обозначения:

(9)

(10)

[Kf ] = EIа J[Э" f [Э" ]dx ; [Kd) ] = GId J[Э7 ]Т [Э']dx.

о

(11)

Матрицы [К^г)] и [К^г)], имеющие размер 4х4, являются соответственно депланационной и крутильной составляющими матрицы жесткости /'-го элемента [К(г)]:

[ к(i)]=[Kf]+[ Kd)].

(0-

(12)

После подстановки (9) в (11) и проведения вычислительных операций дифференцирования, а затем - интегрирования, эти составляющие матрицы жесткости окажутся равными:

K°] =

Г к (° к (° к12 к( ) к13 к14

к (° к 21 к а) к22 к( ) к23 к О к 24

к (° 31 к( ) 32 к( ) 33 к (° 34

к (° V к 41 к( ) к42 к( ) к43 к (° 44 У

= EE

[Kd}] =

Г к (° л 11 к (° 12 к (° 13 к (° 1 14

к (° 21 к (° 22 к (° 23 к (° 24

к (° л 31 к (° 32 к (° 33 к( ) 34

к (° V 41 к (° 42 к (° 43 к (° 44 У

Г 12

l3

_6

l2 12

У 6_

V l2

г 6

51

= Gl

6_

¥ 4

l2 2_

Т

1 10

15

12

Т2 _б

' l2 6 12

l3 _6

l2

_6_ 5/

10

61—6.

5 10 5l

-I -—l 1

10 30

_6 ^ l2 2

6 l2 4

l

У

J_

10

^ 2, -1 - 1l

30 1 10

—l 10 15

(13)

(14)

Окончательно выражение для энергии деформации конечного элемента запишется как:

1

Е = 2[и ()]Т [ К (0][и(г)].

Силовой потенциал, согласно [22], запишем в виде:

1 l

ns (u) = 2 J (&x + ПРу +Cpz + 0mx + nrnz my - °mB )dx,

(15)

(16)

где рх, ру, рг, тх, тг, ту, тв - распределенные по длине внешние силовые факторы

соответственно: 3 силовых нагрузки вдоль осей х,у и г, далее 3 моментных нагрузки относительно осей х,у и г, и внешний распределенный бимомент.

l

Если выделить составляющие работы кручения и депланации, связанные только с функцией О(х) , то выражение (16) упростится до следующего:

I

П5(О) = |(Отх -О1 тв)ск. (17)

0

С учетом выражения (8):

I

П5(и) = |([Э(г )][и(1)]тх - [Э(1)][и(г)]тв, (18)

0

или:

П(и) = [Р(г)][и(г)], (19)

где [ Р(г)] - столбец узловых нагрузок, выражаемый равенством:

I

5(1 )т_ |7п(1 _п(1)

[Р(')] = |([Э(1 ]]тх -[Э()]тв)ёх . (20)

Стоит отметить, что второе слагаемое подынтегрального выражения (20) практически может быть приравнено к нулю ввиду того, что внешней нагрузки в виде распределенного бимомента в инженерной практике не встречается.

Если обратиться к общей формуле для функционала Лагранжа Ь(и) [14] в виде:

Ь(и) = Е(и) - П3 (и) , (21)

то условие минимума лагранжиана на кинематически допустимых полях перемещений сводится к уравнениям Эйлера для этого функционала, являющимися в нашем случае уравнениями равновесия стержня:

[К(г)][и(1)] = [Р(г)]. (22)

2. Полусдвиговая теория расчета. Линейная аппроксимация функций кручения и депланации

В книге Сливкера В.И. [24] предлагается особый вид функционала энергии деформации:

Е(О, в) = 1}(Е1т(в')2 + 01,(О1)2 (О1 -Р)2)йх, (23)

20 V- 1

основанного на так называемой полусдвиговой теории тонкостенных стержней, в которой, в отличие от бессдвиговой теории, условие (2) не выполняется. Поэтому функции кручения и депланации (0=0(х) и в=в(х) соответственно) являются независимыми.

В формуле (23) введено обозначение у - параметр, определяемый коэффициентом влияния формы Ушш, вычисляемый на основе геометрических характеристик и эпюры секториальных координат.

Данная теория, учитывающая часть энергии сдвига (третье слагаемое подынтегрального выражения (23)) и подходящая для расчета тонкостенных стержней не только открытого, но и замкнутого профилей, в настоящее время не реализована.

Рассмотрим двухузловой ¡-й конечный элемент длиной I, имеющий 4 степени свободы: 2 поворота и 2 возможности депланировать из плоскости сечения в каждом узле (см. рис.3).

3

я

в

i+I

®

ß,

i+1 a

x

I

Рисунок 3. Двухузловой конечный элемент с 4 степенями свободы (по полусдвиговой теории)

Начало координат совместим с левым узлом ¡.

Функции перемещений представим в виде произведения суммы линейных полиномов и значений перемещений в узлах:

О(х) = Э(г)Ог + Э^ , (24)

(25)

ß(х) = Э(ß + ,

(0,

где Э1 ,Э2 - линейные интерполяционные полиномы:

Э«( х) = -1 х +1,

(26)

ЭГ( X) = jx.

(27)

Отметим, что в выражении функционала (23) обе функции О ив имеют только первую производную. Поэтому минимальной степенью интерполяционных полиномов будет первая степень.

Столбец неизвестных представим в виде:

'в Л

ud)]=

ß

в+

(28)

Ч^ г+1 У

Запишем в матричной форме функционал энергии деформации (23).

Для этого выражения (24) и (25) для функций О(х) и в(х) перепишем в виде матричных произведений:

в(х) = [Э(i)][U()], ß(х) = [Э(i)][U,

r(i )

(i)

(i)

(29)

где [Э(г)] - матрица-строка, состоящая из 2 полиномов (26) и (27):

[Э(i)] = Э)(х), Э^(X)];

(О/

[ud^] и [U^] - столбцы перемещений одного вида:

'в ^ Чв+1 у

; №)]

'ß, Л

4ß+i у

Разность (в1 - ß) представим в виде:

в (х) -ß(х) = [Ф(i)][U(i)],

T(i )l

где [Ф(г)] - матрица-строка, имеющая вид:

[Ф(i}] = [

АЭ(}(х)

,-Э«( х)

Э}(х)

-э2 Чх)].

(30)

(31)

(32)

(33)

йх йх

Подставляя (29) и (32) в функционал (23), получим:

Е = (г)]Т [ К^]\и (г +2[и(г )]Т [ (г +1[и(г)]Т [ (г,

где введены обозначения:

[К1)] = Ыа\[Э']Т [Э']±с ; [К,)] = 0/й|[Э']Т[Э']±с; [К«] = Ц0_1{[Ф]Т[Фф.

(34)

(35)

Матрицы [ К %)] и [ К()], имеющие размер 2х2, и матрица [ , имеющая размер 4х4,

-а)

являются соответственно депланационной, крутильной

составляющими матрицы жесткости /'-го элемента [К(г)]:

и депланационно-крутильной

[К (г)]=[К«] + К)] + [К«].

(36)

После подстановки (30) и (33) в (35) и проведения вычислительных операций дифференцирования, а затем интегрирования, эти составляющие матрицы жесткости, с учетом перехода от размеров 2х2 к 4х4, окажутся равными:

Г о

: о

= Е/ г '

[ К С)] =

Г о о о о

о

к ('')

/V

"22

о

к ('')

42

о о о о

о ^

к.(г)

24

о

к (г)

44 У

0

1

[ К«] =

Г к (') к11

о

к 0) к31

V о

о о о о

к« о

13

о

к( )

к33

о

= 0/,

[ к£) ] =

Г к (г) 11 к (г) 12 к (г) 13 к(г) ^ 14

к (г) 21 к (г) 22 к (г) 23 к (г) 24 II / а.

к (г) 31 к (г) 32 к (г) 33 к (г) 34 Ц _ 1

к (г) V 41 к (г) 42 к (г) 43 к (г) 44 У

о о

Г 1

Г1

/ 1

/ о

1

2

Силовой потенциал, согласно [24], запишем в виде:

1 /

о о о о

о о о о

_ 1

_ 1

0

1

1 о

0 ^

1

1

Л

0

1

/ У

о о о о

У

1 1 1 >

2 _ 1 2

1 / 1 1 /

3 2 6

1 1 1

2 1 2

1 / 1 1 /

6 2 3У

(37)

(38)

(39)

П8 (в, в) = | (в^ _вшв )ёх .

(40)

С учетом выражений (29):

П = |([Э(')][и()]тх _ [Э(')][и(->в)ёх ,

или:

П = [Р(г)][и(г)],

где [ Р(г)] - столбец узловых нагрузок, выражаемый равенством:

/

[Р(г)] = |([Э(г V _[Э(г)]шв)ёх .

о

(41)

(42)

(43)

/

о

1

/

о

2

1

3. Линейная аппроксимация функции депланации и квадратичная аппроксимация функции кручения в полусдвиговой теории

Как показали численные эксперименты, скорость сходимости построенного линейного конечного элемента достаточно низка. Так, например, численное значение максимального угла закручивания 3-метровой швеллеровой балки под нагрузкой от распределенного крутящего момента имеет приемлемую 5%-ю погрешность лишь при разбиении стержня на 64 конечных элемента.

Возникает необходимость в более точной аппроксимации функций перемещения. В связи с этим перейдем к рассмотрению параболической аппроксимации функции кручения в с сохранением линейной аппроксимации функции депланации в.

Рассмотрим трехузловой /-й конечный элемент длиной I, имеющий 5 степеней свободы: 3 поворота в каждом узле и 2 возможности депланировать из плоскости сечения в крайних узлах (рис. 4).

Äw 0

/

Рисунок 4. Трехузловой конечный элемент с 5 степенями свободы

Функции перемещений в и в представим в виде произведения суммы полиномов и значений перемещений в узлах:

в( х) = Э?+ Э({в21 + Э«в2М, (44)

(45)

ß( х) = Э( + Э( ß

(i) ,

где Э3), Э4), Э5) - квадратичные интерполяционные полиномы:

2

3

4

4

2

1

Э3г)(х) = -гх2 --х +1; ЭГ(х) = --х2 + -х;Э?)(х) = -х2 --х. Столбец неизвестных в таком случае будет выглядеть следующим образом:

С в ^ в2,-1

в-1 в

(46)

[U(i)] =

a

2i+1

(47)

\в2г+1 )

Запишем в матричной форме функционал энергии деформации (23).

Для этого выражения (44) и (45) для функций в(х) и в(х) перепишем в виде матричных произведений:

(48)

a( х) = Э )][ud)], ß( х) = [Э (г)][Ц;)],

где [Э0)] - матрица-строка, состоящая из 2 полиномов (формула (30)), а [Э^-1] - матрица-строка, состоящая из 3 полиномов (46):

[Э«] = [Э3г)(х), Э«(х),Э5г)(х)]; (49)

[иУ] и [и£г)] - столбцы перемещений одного вида:

Uг)]

a

2i

\a2i+1 J

; [U «)]

r ß Л H2i-1

\ß2i+1 J

(50)

Разность (в1 - в) представим в виде:

е\х) -в( х) = [ФКВ) лин ][иЧ,

где [Ф^е/лин ] - матрица-строка, имеющая вид:

[Ф°) ] = [

кв / лип J I-

dЭ^)( х)

-Э®( х),

dЭ4)(х) dЭ5(г)(х)

-Э2°(х)].

(51)

(52)

dx dx dx

Подставляя (48) и (51) в функционал (23), получим формулу (34) для выражения энергии деформации, но уже для случая квадратичной аппроксимации функции кручения и линейной аппроксимации функции депланации.

Компоненты матрицы жесткости (36), имеющей размер 5х5, для данного случая будут следующими:

[ к(:)]=

Г 0 0 0 0 0 1

0 к (° 22 0 0 к (') 25

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

V 0 к (° 52 0 0 к (') 55 У

= ЕЕ

Г 0 0 0 0 0 1

1 1

0 0 0

7 -7

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

1 1

0 0 0

[ к°] =

[ К2] =

Г к (г) Л п 0 к (г) 14 0 1

0 0 0 0 0

к (') л (! 0 Л(( к ('') 34 0

к41 0 к ('■) 43 к (° 44 0

V0 0 0 0 0 У

Г к (° К п к о 12 к (г) 13 к о 14 к ('') 15

к (° К 21 к о 22 к о 23 к о 24 к ('') 25

к (° л (1 к о (2 к о к о 34 к ('') 35

к (г) 41 к (° 42 к о 43 к (° 44 к ('') 45

к (г) 51 к о 52 к о 53 к о 54 к ('') 54

= О/

Г 7_

37 0 8

37

0 0 0

8

37 0 16

з7

1

37 0 8

37

I У 0 0 0

О1„

у -1

1 8 7

0 0

37 - 37 37

0 0 0 0 0 У

Г - 5 8 1

31 6 - 37 37 6

5 1 2 1 7

6 3 3 6 6

8 2 16 8 2

31 3 37 - 37 3

1 1 8 7 5

31 6 - 37 37 6

1 1 2 5 1

V 6 6 3 6 3 У

(53)

(54)

(55)

Силовой потенциал П3(в,в) и столбец узловых нагрузок[Р(г)] можно выразить с

помощью формул (40)-(43), но вкладывая в обозначения уже смысл, заключенный в формулах (49)-(50).

4. Квадратичная аппроксимация функций кручения и депланации

в полусдвиговой теории

При использовании линейной аппроксимации функции депланации в на конечном элементе значение бимомента окажется постоянной величиной в пределах одного конечного элемента. Таким образом, эпюра бимоментов окажется ступенчатой в пределах длины стержня, если не производить никаких сглаживаний функций.

/

Рассмотрим трехузловой /-й конечный элемент длиной I, имеющий 6 степеней свободы: 3 поворота и 3 депланации из плоскости сечения в каждом узле (см. рис. 5).

Öl,-! о»

ßu-, ßu+1

\ □- —о— -□ "

/

Рисунок 5. Трехузловой конечный элемент с 6 степенями свободы

Функции перемещений в и в представим в виде произведения суммы квадратичных полиномов и значений перемещений в узлах:

в( х) = эЗ в2гЧ + Э4г в2г + э5(в2г+1, (56)

в(х) = Эз(г)в2г-1 + Э4(г^в21 + Э(( вг+1, где Э3(г), Э^), Э5(г) - квадратичные интерполяционные полиномы (46).

(57)

Столбец неизвестных, по сравнению с формулой (47), дополнится еще одним компонентом и приобретет размер 6х6:

С в ^

в2г-1

[U(0] =

(58)

в2г в2г+1

\в2г+1 J

Запишем в матричной форме функционал энергии деформации (23).

Для этого выражения (56) и (57) для функций в(х) и в(х) перепишем в виде матричных произведений:

в(х) = P^U«], ß(х) = [Э«][и«],

(59)

где [Э;в ] - матрица-строка, состоящая из 3 полиномов (формула (49)); и [и«] - столбцы перемещений одного вида:

[U«] =

<9.

2 i

; [U«] =

\в2,+1 J

Разность (в' - ß) представим в виде:

rß Л 2 i -1

ß2i \ß2i +1 J

(60)

в'(х)-ß(х) = [Ф«][и(i)],

ко-

где [Ф^в] - матрица-строка, имеющая вид:

dЭf( х)

[ФГ] = [ ММ ^)(х), ^ ,-э»( х), ^ ,-Э?)( х)].

(61)

(62)

dx dx dx

Подставляя (59) и (61) в функционал (23), получим формулу (34) для выражения энергии деформации, но уже для случая квадратичной аппроксимации функции кручения и депланации.

Компоненты матрицы жесткости (36), имеющей размер 6х6, для рассматриваемого случая будут следующими:

=

С 0 0 0

0 к (г) к22 0

0 0 0

0 к (г) 42 0

0 0 0

V 0 к (') к62 0

=

С к(г)

ки 0 к )

0

к(г) 51

V 0

0 0 0 Л

с0')

24

0 к 2б)

000

Г, (г) 44

0 к 46)

000

гДО

64

0 к6б),

= Е1

0 к (г) к13 0 к (') к15 0

0 0 0 0 0

0 к (') 33 0 к (') 35 0

0 0 0 0 0

0 к (') 53 0 к (') 54 0

0 0 0 0 0

[ ]=

= 0/п

Г к1(1) к (') к12 к (') к13 к (') к14 к (') к15 к

к 2? к (') 22 к (') 23 к (') 24 к (') к25 к

к (') к31 к (') 32 к (') 33 к (') к34 к (') к35 к

к (') к41 к (') к42 к (') к43 к (') к44 к (') к45 к

к (') к51 к (') к52 к5(3) к (') к54 к (') к54 к

к 6? V 61 к (') к62 к56(33) к (') к64 к (') к64 к

(О Л 16 (г) 26 (г)

36

(г)

46

(г)

56 (г)

66 у

о/,

^-1

С 0 0 00 0 0 л

0 7 3/ 0 -1 3/ 0 1 3/

0 0 00 0 0

0 8 0 м 0 8 ,

"37 3/

0 0 00 0 0

0 V 1 3/ 0 -1 3/ 0 7 3/ у

С7 3/ 0 -1 0 3/ 1 3/ Л 0

0 0 00 0 0

8 0 ^ 0 8 0

- 3/ 3/ - 3/ ,

0 0 00 0 0

1 3/ 0 -1 0 3/ 7 3/ 0

V0 0 00 0 0 у

С 7 1 8 2 1 1 ^

3/ 2 - 3/ 3 3/ 6

1 —, 15 2 1/ 15 1 - -1/ 30

2 3 6

8 2 16 0 8 2

- 3/ 3 з/ - 3/ 3

2 1 / 0 А/ 2 — /

3 15 15 - 3 15

1 1 8 2 7 1

3/ 6 - 3/ - 3 3/ - 2

1 1 2 3 15 1 —/ 15 У

V-6 - 30 - 2

(63)

(64)

(65)

Выводы

В результате работы была построена матрица жесткости конечных элементов тонкостенных стержней открытого профиля по бессдвиговой теории посредством кубической аппроксимации функций кручения и депланации

Построены 3 типа матриц жесткости конечных элементов тонкостенных стержней открытого и закрытого профилей по полусдвиговой теории, основанные соответственно на 3 видах аппроксимаций функций деформаций:

1) линейная аппроксимация функций кручения 2-узлового конечного элемента с 4 степенями свободы;

2) квадратичная аппроксимация функции кручения и линейная аппроксимация функции депланации 3-узлового конечного элемента с 5 степенями свободы;

3) квадратичная аппроксимация функций кручения и депланации 3-узлового конечного элемента с 6 степенями свободы.

Предложенные матрицы жесткости являются универсальными для расчетов методом конечных элементов как тонкостенных стержней открытого профиля (на основе теорий В.З. Власова [18] и В.И. Сливкера [24]), так и закрытого профиля (на основе теории А.А. Уманского) ввиду схожести соответствующих дифференциальных уравнений кручения и функционалов энергии деформации.

Результаты работы наиболее применимы при проектировании строительных конструкций на основе холодногнутых оцинкованных тонкостенных стержневых элементов открытого профиля и при проектировании элементов замкнутого профиля.

Литература

1. Cheng Y., Schafer B.W. Simulation of cold-formed steel beams in local and distortional buckling with applications to the direct strength method // Journal of Constructional Steel Research. Volume 63, Issue 5. 2007. Pp. 581-590.

2. Sedlacek G., Bild J., Ungermann D. On the buckling of plates - Some recent developments in light weight structures // 4th international conference on aluminium weldments, Tokyo. 1988.

3. Альхименко А. И., Ватин Н. И., Рыбаков В. А. Технология легких стальных тонкостенных конструкций. СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2008. 27 с.

4. Назмеева Т. В. Обеспечение пространственной жесткости покрытия в зданиях из ЛСТК // Инженерно-строительный журнал. 2009. №6(8). С. 12-15.

5. Айрумян Э. Л., Каменщиков Н. И. Рамные конструкции стального каркаса из оцинкованных гнутых профилей для одноэтажных зданий различного назначения// Мир строительства и недвижимости. 2006. №36. С. 9-11.

6. Кузьменко Д. В., Ватин Н. И.. Ограждающая конструкция «нулевой» толщины - термопанель // Инженерно-строительный журнал. 2008. №1. С. 13-21.

7. Ватин Н. И., Попова Е. Н. Термопрофиль в легких стальных тонкостенных конструкциях. СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2006. 63 с.

8. Гордеева А. О., Ватин Н. И. Расчетная конечно-элементная модель холодногнутого перфорированного тонкостенного стержня в программно-вычислительном комплексе SCAD Office // Инженерно-строительный журнал. 2011. №3(21). С. 36-46.

9. Смазнов Д. Н. Конечноэлементное моделирование работы жестких вставок тонкостенных холодноформованных стальных профилей // Научный журнал КубГАУ. 2011. №67(03). С. 1-13.

10. Смазнов Д. Н. Устойчивость при сжатии составных колонн, выполненных из профилей из высокопрочной стали // Инженерно-строительный журнал. 2009. №3(5). С. 42-49.

11. Шатов Д. С. Конечноэлементное моделирование перфорированных стоек открытого сечения из холодногнутых профилей // Инженерно-строительный журнал. 2011. №3(21). С. 32-35.

12. Юрченко В. В. Проектирование каркасов зданий из тонкостенных холодногнутых профилей в среде SCAD Office // Инженерно-строительный журнал. 2010. №8(18). С. 38-46.

13. Ватин Н. И., Рыбаков В. А. Расчет металлоконструкций: седьмая степень свободы. // СтройПРОФИль. 2007. № 2(56). С. 60-63.

14. Рыбаков В. А. Основы строительной механики легких стальных тонкостенных конструкций: учеб. пособие. СПб. : Изд-во СПбГПУ, 2010. 206 с.

15. Рыбаков В. А. Применение метода конечных элементов для полусдвиговой теории тонкостенных стержней // Материалы Пятого Всероссийского форума студентов, аспирантов и молодых ученых. СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2011. С. 30-32.

16. Недвига П. Н., Рыбаков В. А. Эмпирические методы оценки несущей способности стальных тонкостенных просечно-перфорированных балок и балок со сплошной стенкой // Инженерно-строительный журнал. 2009. №8(10). С. 27-30.

17. Бычков Д. В. Строительная механика стержневых тонкостенных конструкций. М. : Госстройиздат, 1962. 476 с.

18. Власов В. З. Тонкостенные упругие стержни (прочность, устойчивость, колебания). М. : Госстройиздат, 1940. 276 с.

19. Кузьмин Н. А., Лукаш П. А., Милейковский И. Е. Расчет конструкций из тонкостенных стержней и оболочек. М. : Госстройиздат, 1960. 264 с.

20. Белый Г. И. Расчет упругопластических тонкостенных стержней по пространственно-деформируемой схеме // Межвуз. темат. сб. тр. 1983. №42 (Строительная механика сооружений). С. 40-48.

21. Лалин В. В., Колосова Г. С. Численные методы в строительстве. Решение одномерных задач методом конечных элементов: Учеб.пособие. СПб. : Изд-во СПбГТУ, 2001. 72 с.

22. Зенкевич О., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред: Пер. с англ. М. : Недра, 1974. 239 с.

23. Туснин А. Р. Расчет и проектирование конструкций из тонкостенных стержней открытого профиля: Автореф. дис. на соиск. учен. степ. д.т.н.: Спец. 05.23.01. М. , 2004. 37 с.

24. Сливкер В. И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие. М. : Издательство ассоциации строительных вузов, 2005. 736 с.

25. Колосова Г. С. Решение одномерных задач строительной механики численными методами : учеб. пособие. СПб. : Изд-во СПбГТУ, 1993. 84 с.

Владимир Александрович Рыбаков, Санкт-Петербург, Россия Тел. моб. +7(964)331-29-15; эл. почта: fishermanoff@mail.ru