Исследование информационного канала взаимодействия произвольных приемных антенн Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИССЛЕДОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОГО КАНАЛА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПРИЕМНЫХ АНТЕНН

Смирнов Евгений Владимирович,

доцент кафедры техническая электродинамики и антенны, МТУСИ , Москва, Россия, smirnovev@yahoo.com

Ключевые слова: информационный канал, антенная теорема, диаграмма рассеяния, приемная антенна, ортогональный канал, оптическая теорема.

На конференции МТУСИ автором была сформулирована обобщенная антенная теорема, которая устанавливает связь между диаграммами направленности и диаграммами рассеяния разных антенн, и высказано предположение о том, что используя эту связь можно в составе рассеянного антенной поля выделить компоненту, которая отвечает за передачу информации по радиоканалу. Настоящая работа посвящена решению этой задачи. При ее решении полное поле рассеяния антенны (ППРА) разбивалось на подлежащую определению информационную составляющую (ИС) и ортогональную составляющую (ОС). Каждая из этих составляющих взаимодействуя с полем падающей на антенну плоской волны образует информационный (ИКВ) и ортогональный (ОКВ) каналы взаимодействия. Далее, используя обобщенную антенную теорему, определялась в аналитической форме составляющая ППРА, имеющую, хотя неизвестную, но заданную форму, что сделало возможным подобрать такой базис разложения, при котором энергия от плоской волны передается в нагрузку только по одному из ортогональных КВ, а именно ИКВ. При этом мощность, поступающая от плоской волны по информационному каналу (ИКВ), будет расходоваться на мощность, выделяемую в нагрузке и на мощность рассеяния информационной составляющей ППРА, а мощность, поступающая по ортогональному каналу только на мощность рассеяния ОСПР. Последнее требование было использовано в качестве необходимого условия для определения формы информационной составляющей поля рассеяния антенны (ИСПРА).

В результате в строгой постановке показано, что в состав поля рассеяния произвольной приемной антенны входит составляющая, благодаря которой происходит передача информации по радиоканалу и для этой составляющей получено простое аналитическое выражение, которое позволило выяснить влияние параметров приемной антенны и ее нагрузки на работу информационного канала взаимодействия. Показано, что при произвольной нагрузке кроме ортогонального и информационного каналов взаимодействия возникает диаграммный канал взаимодействия, который также как и ортогональный не участвует в передаче информации в нагрузку.

Для цитирования:

Смирнов Е.В.. Исследование информационного канала взаимодействия произвольных приемных антенн // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. - 2015. - Том 9. - №7. - С. 41-46.

For citation:

Smirnov E.V. Study information channel of interaction of arbitrary receiving antenna. T-Comm. 2015. Vol 9. No.7, рр. 41-46. (in Russian).

До середины тридцатых годов прошлого века исследования приемного и передающего режимов антенн проводились раздельно и, учитывая, что в то время антенны были в основном проволочного типа, работы сводились к определению токов в проволоках антенны в этих режимах. После появления работ Свешниковой М.П, [1] и Неймана М.С. [2], которые, используя принцип взаимности, показали, что направленные свойства приемных и передающих антенн совпадают, интерес к исследованию приемного режима антенн заметно уменьшился и исследователи занимались в основном изучением передающих антенн. Хотя с точки зрения теории оставалось довольно много невыясненных вопросов приемного режима. Например, из общей теории антенн, известно, что диаграмма направленности (ДН) антенны определяется распределением токов на ее поверхности, при этом, несмотря на то, что распределения токов в приемной и передающих антеннах различно их ДН совпадают. Возрождение интереса к приемному режиму антенн в последнее время связано с тем, что в настоящее время одной из актуальных проблем является обеспечение радиолокационной малозаметности различных мобильных объектов с расположенными на них антеннами. Причем количество антенн может доходить до сотни на одном объекте. Они существенно увеличивают его заметность. Заметность самого объекта довольно эффективно можно уменьшить с помощью выбора его формы и применения поглощающих покрытий. Для снижения заметности антенн такие подходы являются невозможными, так как при этом резко снижается их эффективность. Причем необходимо учесть, что при облучении объекта волной радиолокатора все бортовые антенны независимо от того какими они являются на своих рабочих частотах (приемными или передающими) на частоте радиолокатора работают в приемном режиме.

Поскольку основным фактором демаскирующим объект является мощность, рассеянная антеннами, а не мощность, выделяемая в ее нагрузке, то использование результатов, полученных по принципу взаимности Нейманом, становится малоэффективным и необходимо заниматься приемным режимом антенн отдельно, В последние годы в этом направлении нами были получены весьма интересные и практически важные результаты. Например, впервые в строгой постановке удалось сформулировать требования к входному сопротивлению приемника антенны, обеспечивающему минимум рассеяния приемной антенной мощности при выполнении требований к принимаемой мощности [3-4]. Были введены понятия каналов взаимодействия, которые образуются между падающей на антенну плоской волной и различными компонентами поля рассеяния антенны [5-7]. Введение этих понятий позволило вплотную подойти к выяснению электродинамического механизма передачи информации по радиолинии. Поскольку рассеяние и передача информации в нагрузку антенны являются единым электродинамическим процессом, то дальнейшие усилия были направлены на созда-

ние единой физической теории приемного режима антенн, которая адекватно описывала оба этих процесса и давала бы им ясную физическую интерпретацию. Результаты разработки такой теории и представляются вашему вниманию в настоящей работе.

Основным соотношением, характеризующим процесс взаимодействия приемной антенны и падающей на нее плоской волны, является оптическая теорема [8]. Согласно ей, мощность взаимодействия антенны с полем падающей на нее плоской волны равна мощности взаимодействия падающей волны с полем рассеяния антенны в направлении распространения волны и имеет вид

где А(п1Гп(1)- диаграммы рассеяния антенны (ДРА) в направлении распространения плоской волны, р1 -

мощность, выделяемая в нагрузке характеризуемой коэффициентом отражения г, а р, - мощность, рассеиваемая антенной. 2. ~ волновое сопротивление

свободного пространства, а £=— ~ волновое число.

Л

Вектор я0 определяет направление падения плоской

волны, а ёо - ее поляризацию. Поле рассеяния антенны связано с диаграммой рассеяния соотношением

г

В настоящей работе полное поле рассеяния антенны (ППРА) представляется в виде суммы вначале неизвестной информационной (ИСПР) и ортогональной (ОСПР) составляющих поля рассеяния. Ортогональность ИСПР и ОСПР понимается в смысле отсутствия между ними взаимной мощности, что позволяет в дальнейшем рассматривать мощности этих составляющих раздельно и полагать суммарную мощность рассеяния антенны равной сумме мощностей этих компонент, то есть

где р - мощности ортогональной и информационной составляющих соответственно.

Поскольку ППРА представляется в виде суммы компонент полей рассеяния, то появляется возможность с каждой из этих компонент связать свой канал взаимодействия (КВ) с полем плоской волны. При этом мощность, поступающая от плоской волны по информационному каналу взаимодействия (ИКВ), будет расходоваться на мощность, выделяемую в нагрузке и на мощность рассеяния информационной составляющей ППРА. Поэтому этот канал и назван информационным КВ, так как в этом случае только по нему в системах связи передается информация от передающей стороны к приемнику антенны. При этом мощность, поступающая от плоской волны по ортогональному каналу, расходуется только на мощность рассеяния ОСПР.

Т-Сотт Том 9. #7-2015

Для того, чтобы определить форму информационной составляющей поля рассеяния приемной антенны необходимо иметь выражение для составляющей поля рассеяния произвольной заданной формы. В [9] на основе обобщенной антенной теоремы в строгой постановке было показано, что компонента диаграммы рассеяния заданной формы может быть определена соотношением А,МЛ)

йы (^г(^) ё0) Р Г 2

¡к

4 #1 Г

(Д «о) е(,)

2п

р±+—м| ёо

РГ+Ры+Щ-Ч ^ИЛЛ))

Р, ёо,АЛпа

1 к2„ 1 1 0

,ч,))1=а

что с учетом (7) эквивалентно требованию

оЛ»1

= о.

(9)

В выражения для рм и ам входит форма информационной составляющей поля рассеяния/м(г0), и потому

(9) можно рассматривать, как уравнение для ее определения.

Рассмотрим подробнее величины, входящие в (9).

*

Мощность, выделяемая в нагрузке при г = у определяется соотношением

яО

П =

2к2г„

(Ю)

Мощность рассеяния ИСПРА с учетом (5) может быть представлена в виде

(4)

В (4) О и £>тГ - максимальное значение КНД исследуемой антенны и информационной составляющей

диаграммы рассеяния, р(7й) - ДН исследуемой антенны, а у- коэффициент отражения от входа антенны. При этом, как показано в [9], условие ортогональности Д„/<ад> и = выполняются.

Вначале при определении формы информационной составляющей для сокращения выкладок рассмотрим

случай согласованной приемной антенны, то есть \ =у, а затем обобщим полученный результат на случай произвольной нагрузки. При этом мощность, выделяемая в нагрузке максимальна р1 = />™*. В этом случае (4) принимает вид

Таким образом, с учетом (5) полная диаграмма рассеяния антенны А(п0,г0) может быть представлена в виде

, ?0) = 4 (й0, гв)+41Г(«0,/ь) = 4 (4, ]+^ <Д)' «О) КАА )■

2 ¡к

(6)

С учетом (3) и (6) соотношение (1) можно привести к виду

I

22,

Ры

2к 2Л

(РМ ё0)

(П)

Последнее слагаемое в (9) характеризует мощность, поступающую от плоской волны по информационному каналу взаимодействия, которую с учетом (5) можно записать в следующем виде

(12)

ёо^Ди^йо)) ] = -^Р"'1

к2п

Подставляя в (9) значения входящих в него величин из (10), (11) и (12) приходим к следующему уравнению

относительно неизвестной функции Еп1(га) А„г1

2

(^г(Яо)Л)

(13)

Нетрудно видеть, что решением уравнения (13) являются функции

= *><-?,), (14)

что легко проверяется прямой подстановкой их в (13), с учетом того, что ом = о • Подставляя в (5) соотношение (14) нетрудно убедится, что двум знакам функции в (14) соответствует одно значение информационной составляющей диаграммы рассеяния антенны

(15)

о - ■ * 2/к

(7)

Как указывалось выше для выделения ИСПРА необходимо, чтобы мощность, поступающая по ортогональному каналу взаимодействия, расходовалась только на мощность рассеяния ортогональной составляющей поля рассеяния и не поступала в нагрузку, что согласно (7) возможно, только если выполняется условие

(8)

Окончательно с учетом (2) и (15) для информационной составляющей поля рассеяния произвольной антенны получим следующее соотношение

¿1 к г

Рис. 1

На рис.1 в графической форме представлена связь между ДН антенны в режиме передачи (сплошная линия) и информационной составляющей поля рассеяния этой же антенны в режиме приема (пунктирная линия).

Как видно из (16) и рис. 1 информационная компонента поля рассеяния любой приемной антенны по форме центрально - симметрична относительно формы ДН этой антенны в режиме передачи. Так как согласно оптической теореме для информационного канала (9) мощность, выделяемая в нагрузке, пропорциональна значению информационной компоненты поля рассеяния антенны в направлении распространения волны, то это и объясняет, почему ДН в режиме приема и передачи совпадают. При этом полная мощность, рассеиваемая антенной, отбирается от плоской волны, как по ортогональному каналу взаимодействия, так и по информационному и согласно (3) равна сумме этих мощностей.

Таким образом, выше было показано, что в случае согласованной нагрузки, то есть при т = у, между полем рассеяния приемной антенны и падающей на нее плоской волной возникают два канала передачи энергии от плоской волны (ортогональный и информационный) работа которых полностью описывается двумя независимыми оптическими теоремами. С учетом (9-11) и (14) их можно записать в виде

2* . (I н-----1 (17)

(18)

(19)

Р =-—гМ\ ёо.^КД))

кга \

РГ+Ры « 2 РГ = Дпг(«.,Л»)

при выводе (18) было использовано соотношение

по

р -

МяГ -ч,2

2к-г„

_ р™

— гь

вается потому, что ее величина зависит от сопротивления нагрузки и поэтому может им управляться. Для этой составляющей в [3] получено простое выражение вида

4=д^>—> (20)

г

где АЛп0,Я) ~ диаграммная составляющая диаграммы

рассеяния приемной антенны, определяемая соотношением

А-у

1 -у А

Пгй).

(21)

По аналогии с (11) мощность управляемой диаграммной составляющей может быть представлена в виде

'-"аИ

дП =

7Гй А-у

2 к% 1 -у А

(22)

Поскольку при г*/ не вся мощность, принятая антенной поступает в нагрузку, то выражение для мощности, выделяемой в нагрузке отличается от (10) и принимает вид

а-М^ИТ),

р _ <ЧгГхЧ4>

' ¡1 -ул\:

(ГЫ0).ё0)

_ рги

\\-yAf

которое получается из (11) при подстановке в него выражения для из (14). Из (18) видно, что мощность, отбираемая от плоской волны (мощность экс-тинкции) по информационному каналу взаимодействия равна удвоенной мощности, выделяемой в нагрузке в

случае г -у. Эта мощность делится поровну между мощностью, выделяемой в нагрузке и мощностью рассеяния информационной составляющей поля рассеяния антенны, что следует из (19).

Перейдем к рассмотрению механизма работы приемной антенны при произвольной нагрузке, то есть *

Г ф у. В этом случае отражения от входа антенны и

нагрузки друг друга не компенсируют и поэтому часть энергии принятой антенной излучается обратно в свободное пространство. За счет этого в составе поля, рассеянного антенной появляется составляющая по форме, совпадающая с формой ДН антенны в режиме передачи которую в дальнейшем мы будем называть управляемой диаграммной составляющей поля рассеяния антенны (УД СП РА). Управляемой она назы-

(23)

которое переходит в (10) при подстановке в него г = у. Используя (22) и (23) нетрудно убедится, что сумма мощности рассеяния диаграммной компоненты и мощности, выделяемой в нагрузке равна мощности, выделяемой в нагрузке при г = у и от величины нагрузки не зависит, то есть

Р„ + Р,=РГ (24)

Появление в составе рассеянного антенной поля УДСПРА приводит к образованию взаимной мощности рпш между УДСПРА и полем рассеяния антенны при

Г = у. Этот вопрос подробно исследован в [5]. Было показано, что р равна мощности взаимодействия

между УДСПРА и неуправляемой диаграммной составляющей, входящей в состав поля рассеяния антенны

при г = Согласно [5] р определяется выражением

г„„„=-2РГ

Х-у А

(25)

где а" - определяется соотношением

_ (Н ;?„)■<;„) | (26)

(>(-«„)• у

С учетом (2) и замечаний приведенных выше, полное поле рассеяния антенны Ё* можно записать в виде

Т-Сотт Том 9. #7-2015

ЕЧ«оЛ) = лГ(«оЛ)

ехр(-<£г)

(27)

где А'(п0,г0) - диаграмма рассеяния приемной антенны,

нагруженной на произвольное сопротивление, определяемая соотношением

= А(п0,г0)+А^(п0,гв)+ Д,(й,,г0) < (28)

С учетом (27) и (28) мощность рассеяния антенны рЕ может быть представлена в виде

Р,=Р+Р.+Р1 + Рт,г (29)

Отметим, что, входящие в (29) величины Рт(,Р,ё Ртш

нам известны и определены соотношениями (11), (22) и (25). Подставляя в оптическую теорему (1) значения величин из (28) и (29) и проводя преобразования, аналогичные случаю г=у получим

ад +Ры •(30)

Как видно из (30) в случае г *у наряду с информационным каналом появляется третий канал взаимодействия плоской волны и управляемой диаграммной составляющей поля рассеяния антенны, который мы будем называть диаграммным каналом взаимодействия. Мощность этого канала описывается вторым слагаемым правой части (30) и, учитывая, что А,(па,па) нам известна, может быть представлена в виде

*

А

%А*

1 -уА

= Р

(31)

0, П ,--

11. т 1 М т ,

вающих приемный режим работы произвольных антенн, нагруженных на произвольную нагрузку

2л

--¡^М » |- Рс Щ+Рыг = 2Р[

- Щ- М | ёо, А У (я0, па)) ^ = Р,'

1 -у А

= Р...

(34)

(35)

(36)

Как видно из (31) мощность, передаваемая по диаграммному каналу взаимодействия в точности равна взаимной мощности между диаграммной составляющей

и полем рассеяния антенны при г=у- Соотношение (31) представляет оптическую теорему для диаграммного канала взаимодействия. Подставляя (31) в (30) получим

Р^+Рм ■ (32>

Анализируя (32) можно сделать вывод о том, что

* *

при г Фу также как и при г-у информация а нагрузку

передается только по информационному каналу взаимодействия, С учетом (24) соотношение (32) можно переписать а виде

2л , (• *----->1 „ (33)

В такой форме оно полностью совпадает с (9), решая которое, мы нашли информационную составляющую полного поля рассеяния приемной антенны при

г = у. Из этого можно сделать вывод о том, что ни

форма, ни амплитуда информационной составляющей не зависят от сопротивления нагрузки. В заключение приведем набор оптических теорем, полностью описы-

Оптическая теорема (34) описывает работу информационного канала взаимодействия. Мощность, передаваемая по этому каналу, расходуется на мощность, выделяемую в нагрузке и на мощность рассеяния информационной и диаграммной компонент рассеянного антенной поля. Из (34) следует, что мощность, отбираемая от плоской волны по информационному каналу, не зависит от сопротивления нагрузки и равна удвоенной мощности, выделяемой в нагрузке при г = у.

Мощность информационной составляющей поля рассеяния равна мощности, выделяемой в нагрузке при

Г = у и от нагрузки также не зависит. От нагрузки в информационном канале зависит только соотношение мощности, выделяемой в нагрузке и мощности диаграммной составляющей поля рассеяния антенны, с учетом того, сумма этих мощностей постоянна и равна максимальной мощности, выделяемой в нагрузке р**.

Оптическая теорема (35) описывает работу диаграммного канала взаимодействия. Из нее видно, что мощность, переносимая по этому каналу расходуется только на создание взаимной мощности рти между диаграммной составляющей и составляющей поля рассеяния антенны при г = у- Причем как можно видеть из

(35) эта мощность зависит от сопротивления нагрузки. Выбором нагрузки можно менять не только величину взаимной мощности, но и ее знак, а это в свою очередь позволяет минимизировать или максимизировать мощность, рассеиваемую антенной за счет выбора оптимального сопротивления нагрузки антенны при сохранении требований к мощности, выделяемой в нагрузке, что и было реализовано в [4].

Оптическая теорема (36) описывает работу ортогонального канала взаимодействия. Из нее следует, что мощность, отбираемая от плоской волны по этому каналу, расходуется только на создание мощности ортогональной компоненты поля рассеяния. При этом интересно отметить, что при облучении антенны с направления ее нулевого приема согласно (16) и (21) 2 и Д;

будут равны нулю и поэтому информационный и диаграммный каналы выключаются.

В этом случае информационная связь по радиолинии прекращается, но при этом падающая на антенну плоская волна наводит на ее поверхности токи, которые создают ортогональную составляющую поля рас-

T■Comm ^1.9. #7-2015

сеяния антенны. Согласно оптической теореме для ортогональной составляющей (36) при этом происходит передача энергии от плоской волны по ортогональному каналу взаимодействия, то есть электродинамическая связь в радиолинии будет сохраняться. Таким образом, наличие электродинамической связи в радиолинии еще не говорит о наличии в нем информационной связи.

Таким образом, впервые в строгой постановке показано, что в состав полного поля рассеяния любой антенны входит информационная составляющая поля рассеяния, определяемая соотношением (16), ответственная за передачу информации по радиоканалу. Установлено, что ни форма, ни амплитуда информационной составляющей не зависят от сопротивления нагрузки, а определяются только параметрами антенны в режиме передачи.

Литература

1. Свешникова МЛ. Теорема взаимности в электродинамике и радиотелеграфии // ЖРФХО. 1927, Т.59. С. 453-464.

2. Нейман М.С. Принцип взаимности в теории антенн // ИЭСТ. 1935, №8. С. 1-11.

STUDY INFORMATION CHANNEL OF INTERACTION OF ARBITRARY RECEIVING ANTENNA

Evgeniy Smirnov, Associate Professor of technical electrodynamics and antennas Moscow Technical University of Communications and Informatics, Moscow, Russia, smirnovev@yahoo.com

Abstract. At last year's conference MTUCI, we had formulated a generalized antenna theorem, which establishes a relationship between the pattern and the scattering diagrams of various antennas, and it has been suggested that using this relation can be a part of the scattered field of the antenna, select the component that is responsible for the transmission of information over the antenna. This paper is devoted to this task. With its decision to complete the scattered field of the antenna (PPRA) is divided into subject to certain information content (IC) and orthogonal component (OS). Each of these components interact with the field incident on the antenna plane wave and form information (SCR) and orthogonal (RCC) communication channels. Next, using a generalized antenna theory, to determine analytically component PPRA having, although unknown, but given the form that made it possible to choose a basis decomposition, in which the energy of a plane wave is transmitted to the load only one of orthogonal HF, namely SCR . The power coming from a plane wave on the information channel (SCR) will be spent on the power that is in the load on the power dissipation of the information component of PPRA and the power supplied to the orthogonal channel only on ERP power dissipation. The latter requirement has been used as a prerequisite for determining the shape of the information component of the scattered field of the antenna (ISPRA). As a result, in the rigorous formulation shows that the composition of the scattered field of arbitrary receiving antenna includes component, through which information is transmitted over the air and for this component simple analytical expression that is possible to explain the influence of the parameters of the receiving antenna and the load on the job information channel interaction.

Keywords: information channel, antenna theorem, scattering diagrams, receiving antenna, orthogonal channel, optical theorem. References

1. Sveshnikova, M.P. (1927), "Reciprocity theorem in electrodynamics and radiotelegraphy", Zhurnal Rossiyskogo fiziko-khimicheskogo obshchestva, vol.59, no. 5-6, pp. 453-464. [in Russian]

2. Neiman, M.S. (I935), "Principle of reciprocity in antenna theory", Izvestiya elektropromyshlennosti slabogo toka, no. 8, pp. I-II. [in Russian]

3. Smirnov, E.V. (2006), "Minimization of scattering airborne antennas", Trudy Rossiyskogo nauchno-tekhnicheskogo obshchestva radiotekhniki, elektroniki i svyazi imeni A.S. Popova [Proceedings of the Russian Scientific and Technical Society of Radio Engineering, Electronics and Communication named after A.S. Popova], no. LXI, pp.I2-I4. [in Russian]

4. Smirnov, E.V. (2008), "Minimizing scattering reception antennas at a predetermined received power", Antenny, no. 2(I29), pp. 74-80. [in Russian]

5. Smirnov, E.V. (20I0), "Application of the chart component for the analysis of the receiving antenna". T-Comm, no. 8, pp. 40-43. [in Russian]

6. Smirnov, E.V. (20I0), "Investigation of the influence of the antenna pattern on the channels of communication with scattered plane wave antenna field", Trudy Rossiyskogo nauchno-tekhnicheskogo obshchestva radiotekhniki, elektroniki i svyazi imeni A.S. Popova [Proceedings of the Russian Scientific and Technical Society of Radio Engineering, Electronics and Communication named after A.S. Popova], no. LXV, pp. I4-I6. [in Russian]

7. Smirnov, E.V. (20I0), "Three-channel model of the interaction a plane wave with the field of scattering antenna", Fundamental problems of radioengineering and device construction. Proceedings of the International Scientific and Technical Conference INTERMATIC-20I0. November 23-27, 20I0, Moscow, part 3, pp. 24I-244. [in Russian]

8. Erokhin, G.A. (I990), "Optical theorem for the receiving antennas and its consequences", Radiotekhnika i elektronika, vol. 35, no. I0, pp. 2065-207I. [in Russian]

9. Smirnov, E.V. (20I4), "Generalized antenna theorem", T-Comm, no. I2, pp. 83-87. [in Russian]

T-Comm ^м 9. #7-2015

3. Смирнов Е.В. Минимизация рассеяния бортовых антенн // Труды НТОРЭС им. A.C. Попова, 2006, вып. LXI, С.12-14.

4. Смирнов ЕВ. Минимизация рассеяния приемных антенн при заданной принимаемой мощности // Антенны, М,: ИПРЖР, 2008. №2(129). С.74-80.

5. Смирнов Е.В. Применение метода диаграммной составляющей для анализа работы приемной антенны // T-Comm - Телекоммуникации и транспорт. 2010, № 8, С. 40-43.

6. Смирнов Е.В. Исследование влияния диаграммы направленности антенны на каналы взаимодействия плоской волны с рассеянным антенной полем // Труды НТОРЭС им. A.C. Попова, 2010, вып. LXV, С.14-16.

7. Смирнов Е.В. Трехканальная модель взаимодействия плоской волны с полем рассеяния антенны // INTERMAT1C 2010 Материалы Международной научно-технической конференции "Фундаментальные проблемы радиоэлектронного приборостроения", 23-27 ноября 2010. - М.:МИРЭА, 2010. Часть 3. С.241-244.

8. Ерохин Г.А. Оптическая теорема для приемных антенн и ее следствия // РЭ. 1990, Т. 35. С. 2065-2071.

9. Смирнов Е.В. Обобщенная антенная теорема // T-Comm - Телекоммуникации и транспорт. 2014, №. 12, С. 83-87.