Обобщенная антенная теорема Текст научной статьи по специальности «Физика»

Обобщенная антенная теорема

Ключевые слова: задачи рассеяния, антенная теорема, каналы взаимодействия.

Известная в настоящее время антенная теорема [1], [2] устанавливает связь между полным полем рассеяния антенны (ППРА) и его частью по форме, совпадающей с диаграммой направленности этой антенны в режиме передачи. Наличие такой связи позволило решить ряд практически и теоретически важных задач рассеяния. Решена задача определения в аналитической форме диаграммной составляющей ППРА [3]. Разбиение ППРА на диаграммную и ортогональную составляющие привело к появлению понятия ортогонального и диаграммного каналов взаимодействия (КВ), по которым происходит обмен энергии между падающей волной, антенной и ее нагрузкой. Установлено, что при выбранном базисе разложения ППРА энергия от падающей волны передается в нагрузку антенны по обоим КВ. В строгой постановке получена обобщенная антенная теорема, которая устанавливает связь между ППРА и его частью, имеющей произвольную заданную форму. Обнаружение такой связи позволяет обобщить изложенные выше подходы и результаты на компоненты поля рассеяния произвольной формы. Появляется возможность определить в аналитической форме составляющую ППРА, имеющую заданную форму. Это делает возможным использование новых ортогональных базисов разложения ППРА, наиболее подходящих для решения различных задач рассеяния. В частности можно подобрать такой базис разложения, при котором энергия от плоской волны передается в нагрузку только по одному из ортогональных КВ. Этот канал можно назвать информационным КВ, так как в этом случае только по нему в системах связи передается информация от передающей стороны к приемнику антенны.

Смирнов Е.В., доцент кафедры ТЭДиА,МТУСИ

Решение этой задачи позволило поставить и решить в строгой постановке практически важную задачу определения оптимальных сопротивлений нагрузок, которые обеспечивают экстремальные характеристики поля рассеяния антенны при выполнении требований к мощности, выделяемой в ее нагрузке [4], [5], [6]. Разбиение ППРА па диаграммную и ортогональную составляющие, позволило ввести понятия ортогонального и диаграммного каналов взаимодействия (КВ), но которым происходит обмен энергии между падающей волной, антенной и ее нагрузкой [7J. Использование этих понятий, позволило провести весьма тонкие теоретические исследования процесса приема и рассеяния радиоволн антеннами. Было установлено, что при выбранном базисе разложения HI IP А энергия от i гадающей волны передается в нагрузку антенны по обоим КВ, Дальнейшее использование разработанного в |3-7| подхода к решению задач рассеяния в значительной степени сдерживается тем обстоятельством, что антенная теорема справедлива только для составляющей поля рассеяния, по форме совпадающей с диаграммой направленности этой антенны в режиме передачи. Получена обобщенная формулировка антенной теоремы, которая устанавливает связь между ППРА и ее составляющей произвольной заданной формы, что значительно расширяет область ее применения.

При выводе обычной антенной теоремы используются два методологически разных подхода [IJ, [2]. В ire рвом случае |1] рассматривается передающая антенна, которая облучается полем падающей плоской волны. Далее рассматривается общее уравнение баланса энергии для такой системы, которое в дальнейшем распадается на три независимых уравнения баланса энергии, одно из которых и является антенной теоремой. Ви втором подходе [2] рассматривается приемная антенна, облучаемая плоской волной произвольной поляризации. При этом в качестве основного инструмента анализа использовались не уравнение баланса энергии в явном виде, а леммы Лорентца. Для определения взаимной связи между диаграммной компонентой поля рассеяния антенны и ППРА применялась сопряженная лемма Лорентца [8], а для определения трактовой волны приемного режима антенны обычная лемма Лорентца [9]. Второй подход предоставляет большую гибкость в постановке задач, так как

позволяет рассматривать отдельно режим приема и передачи, а, следовательно, в общем случае рассматривать разные антенны в режиме приема и передачи, что и было использовано в настоящей работе при выводе обобщенной антенной теоремы. Кроме того некоторые математические результаты, полученные в [2] можно использовать и при выводе обобщенной теоремы.

Для начала рассмотрим известную антенную теорему в форме, приведенной в [2].

2л-, , : , , 2т Г—у

Ikl—jT

Здесь Г(г0) — комплексная диаграмма направленности (ДН) исследуемой антенны в режиме передачи, причем

Щ) = Я?0)ехр[№(?0)]Ж?0), {2)

где Г(гй} — нормированная в направлении максимума амплитудная ДН; 1Р(/;|) — фазовая ДН; Я - единичный вектор в сферической системе координат (г,0,ф); р(га) - единичный

комплексный вектор, характеризующий поляризацию поля излучения антенны,

А^о) = + ехрКШ$ш лФа, (3)

где параметр /;(0 < // < л-/2) определяет соотношение амплитуд составляющих вектора р(гп)', Р - фазовый сдвиг между компонентами; /У а - орты сферической системы координат.

А(па,г0) — диаграмма рассеяния исследуемой антенны (ДРА), облучаемой л0 -единичный вектор в направлении распространения плоской волной, заданной в форме

Б(п„,г0) = ё„ ехрНк{«/оИ-

/7- (й„. /¡,) = ^ х ё„ ] сх р [ - i к (Ипгп )/• 1.

(5)

где ц0 — единичный вектор в направлении распространения

плоской волны, 2 =120 тт £ = —, ё — единичный

А

комплексный вектор (|ё |=1)> характеризующий поляризацию первичной волны, причем

е0 (г0) = соэ + ехр[нфш \'ф„, (6)

параметры \> и к аналогичны величинам ц и р в (3).

В (I) согласование нагрузки с фидером характеризуется коэффициентом отражения Г, а согласование антенны коэффициентом^.

Существенным при выводе (I) было то, что комплексные и ДРА— А{п0,га) относились к одной же антенне.

При выводе обобщенной антенной теоремы мы будем рассматривать случай полей двух разных антенн, причем одна из них работает в режиме приема (исследуемая антенна), а другая в режиме передачи (тестовая антенна). Запишем поля для этих антенн.

Поле тестовой антенны в дальней зоне имеет вид

F

У г

2 л

'l.x-MV

)2uDr -j ехр(-йт)

мм-'

(7)

ê, = A{nB,r0)—

, ¡kr

Sj = —K-'iJ»

верхность факта и генератор (нагрузку). Также будем предполагать, ч го геометрия антенн и их возбуждение обеспечивает совпадение фазовых центров тестовой и исследуемой антенн.

В качестве основного соотношения для вывода обобщенной антенной теоремы используем сопряженную лемму Ло-

рентца, которая для произвольных полей ¿,,/7, и £,,/?,, не

имеющих источников в объеме V, ограниченного замкнутой поверхностью 5, имеет вид

(10)

Я,

dS = 0.

где Dt - коэффициент направленного действия тестовой антенны в направлении максимума излучения, у - коэффициент отражения от входа тестовой антенны, a Fr{rB) - комплексная диаграмма направленности тестовой антенны, определяемая выражением аналогичным (2). В (7) также предполагается, что £ ~ комплексная амплитуда волны, распространяющейся но фидеру к антенне, а М- - квадрат нормы этой волны, определяемый как активный поток мощности, переносимый волной при | = 1.

Будем полагать, что исследуемая антенна (работающая на прием) облучается плоской волной, поля которой определены соотношениями (4), (5). При этом в окружающем антенне пространстве возникает рассеянное поле, которое в дальней зоне может быть представлено в виде

(8)

Применим сопряженную лемму (10) к многосвязной области, ог раниченной поверхностью, состоящей из сферы S|( радиусом R ( я-,.«;), в центре которой помещена антенна,

поверхностей Sx, St и поверхностей Sri и Srra|, обволакивающих соответственно поверхности S| и Src5. Введение поверхностей Sn и Sresi вызвано тем, что в общем случае на поверхностях S] и Sres невозможно с помощью полей тестовой и исследуемой антенны обеспечить выполнение граничных условий и потому их надо ИСКЛЮЧИТЬ из рассматриваемой области. Это является необходимым условием единственности решения задачи. В случае совпадения формы тестовой ДИ с ДН исследуемой антенны геометрия обеих антенн совпадает и S| = Srö. При этом на них выполняются граничные условия для полей двух антенн и поэтому в качестве поверхностей Sn и Sr„ нужно брать сами поверхности Sj или Srts , С учетом введенных обозначений соотношение (10) может быть переписано в виде

е,нх

#+ J

Si+S|

Е, Я,

е2н,

dS+

(11)

Sti'S«

£,Я3

ЕгЯ,

dS = 0.

где Л(п„,гп) - двухпозиционная векторная диаграмма рассеян] гя исследуемой антенны.

Кроме рассеянного поля в фидере приемной антенны образуется волна с амплитудой , распространяющаяся к

нагрузке, и отраженная от нагрузки волна с амплитудой £™ = Г£,":;' • С учетом того, что для £™ в [21 получено выражение в форме

X

;JV( 1 - j-T) у 8îtZu

PW _

(9)

В качестве полей Ё,,Й. выберем поле приемного режима

исследуемой антенны, а в качестве £,,Я, поля тестовой

антенны. Предполагая, что обе антенны не имеют потерь несложно показать, что

\Йг + ¿Я, <12)

£,#г

так как в (12)

е,н2

£, Я,

ds= J

можно считать, что амплитуды волн распространяющихся по тракту антенны нам известны. В (9) О - коэффициент направленного действия исследуемой антенны в направлении максимума излучения.

После описания, используемых в работе полей, остановимся па описании геометрии задачи. Поскольку в работе рассматриваются поля в общем случае различных антенн, то мы будем предполагать, что они имеют различные диаграм-моформируюшие поверхности 8т и и общий фидерный тракг, характеризуемый поверхностью Зг«^. Поверхность 8Т характеризует тестовую антенну, 5ге, — исследуемую. Поверхность фидерного тракта в свою очередь состоит из поверхности — поперечного сечения фидера в области

одноволновости и поверхности 5|, обволакивающей внутреннюю поверхность тракта от сечения 5 . наружную по-

Е, Я.

dS = 0

в силу выполнения нулевых граничных условии для £ и £,

на поверхности идеального проводника. Рассмотрим интеграл в правой части (12)

ЕуНг

Е, И,

dS.

(13)

Поскольку здесь ноля вычисляются в поперечном сечении фидера, то для обеих антенн поля £,,//, и £,,//, определяются как сумма полей падающих и отраженных волн и имеют вид

21с

(14)

¿1С

ЕЯ,

'(1-Я \ ^

Рассмотрим первый интеграл выражения (11)

II

Я,//,

Е, Н,

с/Я-

(17)

Е' + Б

щнт

- (- - Г- -11

нг + ел н'+н, \ ё* нт + етй*

{ ) 11 1 1.)

Е,Н,

Нг

ЕТН'

¿5 =

(19)

2л-

Е,НГ

Е,Н,

|| £, Я, + 4Д =

(21)

где функция имеет вид

В (14) и (15) М(ч) - мембранная функция, характеризующая распределение поля в поперечном сечении фидера для основного типа колебания.

Подставляя (9), (14} и (15) в (13) и учитывая свойство ортогональности (в смысле сопряженной леммы Лорентца) встречных волн в фидере для этого интеграла получим следующее выражение

* (1 -?пу<ЧлГ«С

п2к

1

£,Я2(1»

>с/8.

(23)

Если тестовая Д.Н. совпадает по форме с Д.Н. исследуемой антенны, то для того чтобы обобщенная антенная теорема перешла в антенную георему (1) надо положить в (23) ут~у ■ При этом выражение (23) принимает вид

Здесь интегрирование ведется по поверхности сферы, радиус которой стремится к бесконечности и поэтому в качестве полей ЁГЙ1 и Я,.//, надо брать выражения для полей

двух антенн в дальней зоне. Для Д,#, надо взять сумму падающего и рассеянного антенной полей, выражаемых соотношениями (4), (5), (8). В качестве £ # необходимо брать

поля тестовой антенны, определяемые соотношением (8). С учетом этих замечаний (17) принимает вид

7

¡к (1-ЛЧД

Е,Нг(Г,у)

Е,ЛЪу)Н,

(24)

Обобщенную антенную теорему можно использовать для определения составляющей поля рассеяния, мо форме, совпадающей с формой тестовой ДП. Для этого представим полную диаграмму рассеяния антенны в виде

А(п„, гп) = Л[ («„,га) + %г(,г0) = А(п„,г„) +аг Рт(га), (25) где ^ (и„,г0) - составляющая диаграммы рассеяния антенны,

совпадающая по форме с диаграммой направленности тестовой антенны в режиме передачи, ат ~ комплексная амплитуда тестовой составляющей диаграммы рассеяния ангенпы, /!') - составляющая диаграммы рассеяния антенны.

(18)

Интегралы, стоящие в правой части (18) подробно исследованы в [2]. С учетом этого для них можно сразу записать окончательные выражения

ортогональная к ЯД/^}, то есть такая, что

(26)

Подставляя в (22) представление диаграммы рассеяния антенны в виде (25) и учитывая условие ортогональности (26) определим а, в виде

«т ж ТТ^'т < "ч)' 5о> + "71 м <Г, % ■ е. )■ 21 к 4 я

(27)

(20)

Интегрирование в правой части (19) ведется в пределах телесного угла О = 4л" -

Подставляя (19) и (20) в (18) можно записать окончательное выражение для интеграла (17) в виде

С учетом (27) окончательное выражение для тестовой составляющей диаграммы рассеяния антенны принимает вид

В (28) ЯГ(й0,г„) - неуправляемая компонента тестовой составляющей равная

(29)

Подставляя (16) н (21) в (11) получим выражение для обобщенной антенной теоремы в следующей форме

* "У *

г^ЛХ (22)

I _

а «„,/;) - управляемая компонента тестовой состав-

ляющей определяемая соотношением

4 (г- й„ Л) = ~г М(Г- У-•1

4я

(30)

С учетом (29) и (30) полную диаграмму рассеяния антенны можно записать в виде

Принимая во внимание (30), (31) и (8), окончательные выражения для неуправляемой и управляемой компонент

тестовой составляющей поля рассеяния можно записать в следующем виде:

2 ¡к г

- .. й, - - . ехр(-йг)

4л г

(32)

(33)

Полная тестовая составляющая поля рассеяния антенны равна сумме неуправляемой и управляемой компонент полей тестовой составляющей, то есть

или с учетом (32) и (33)

(/у^-ё,) А/(Г>,Й0,ё„)

- -^-Г'- —

¡к

2л

НИ. (35)

г

Как видно из (32) неуправляемая тестовая компонента поля рассеяния выражается через известные параметры падающей волны и параметры тестовой ДН и ее определение не представляет никаких сложностей. В отличие от неуправляемой, для определения управляемой тестовой компоненты, как это видно из (33), необходимо знать поля рассеяния

исследуемой антенны ё2(т,у) и //, (Г,/). которые в общем

случае неизвестны. Поэтому для определения управляемой тестовой составляющей необходимо получить более удобное представление функции М(Г,у,пвЛ0) .

Дня этого воспользуемся представлением полной диаграммы рассеяния антенны А(п0,г0) в форме, используемой в |4|

Я) = К (й„,'";,) + л,У"о - ■р» > = А1 (> ■)+а.< )>

(36)

где (й0,^) - составляющая диаграммы рассеяния антенны,

совпадающая по форме с диаграммой направленности исследуемой антенны в режиме передачи, а. - комплексная

амплитуда диаграммной составляющей диаграммы рассеяния антенны, (,^> — составляющая диаграммы рассеянии антенны, ортогональная к £(/;,), то есть такая, что

4 л-

Используя условие ортогональности (37) и представление диаграммы рассеяния антенны в форме (36) в [4| было показано, что выражение (36) можно привести к виду

¿К, ?0)=«Ч»)+-<Г('?„ л Н4'Д г, п„ ,г0),

(38)

где а'"'(й0,) - неуправляемая компонента диаграммной составляющей равная

(39)

21к

(40)

Соотношения (31) и (38) являются разными представлениями строгого решения одной и той же задачи. Поэтому управляемой тестовой компоненты Д^Г.й,,,/;,) в представлении (3 I) должно быть столько же, сколько ее в представлении (38). Таким образом, задача определения Д!(Г,и0,г,)

сводится к задаче определения ее величины в представлении (38). Поскольку управляемая тестовая компонента диаграммы рассеяния зависит от нагрузки, то и ее источником могут быть только компоненты, зависящие от нагрузки. Как отмечалось выше в представлении (38) от нагрузки зависит только управляемая компонента диаграммной составляющей

Д5(Г,й.,?„) ■ Поэтому надо только определить, сколько управляемой тестовой компоненты а^(г,г>а,г0) содержится в управляемой Компоненте диаграммной составляющей ^(Г,я0,?„). Для этого воспользуемся изложенной выше методикой представления поля рассеяния в виде ортогональных компонент применительно к компоненте Д'ДГ,«,,,^,) ■

Представим Д;(Г,и0,г0) в виде

Д/ (Г, «0, Га) = А" (й0, га)+ Д (Г. п0, ) = А'±' («„, ?0) + а (Г. й„) Рт(г0),

(41)

где, А' ^.г,,) и Гг(га) ортогональны друг другу в смысле = а - управляемая тесто-

4*

вая компонента диаграммной составляющей диаграммы рассеяния антенны равная

(42)

Для того чтобы выполнялось условие ортогональности, а(Г, й(] ) должно быть равно

(43)

4,т Лт

Подставляя в (43) значение Д,(Г\я„,^) из (40) получим

а а',(Г,й(|,?„) - управляемая компонента диаграммной составляющей определяемая соотношением

Следует отметить, что в (38) только управляемая компонента диаграммной составляющей Д,(Г,й0,) зависит от нагрузки (Г), а ортогональная и неуправляемая компонента диаграммной составляющей от нагрузки не зависят.

а(гл)=^; г [ (44)

8 Л1к 1 — }Г

С учетом (44) окончательное выражение для управляемой тестовой составляющей, входящей в состав управляемой диаграммной компоненты принимает вид

4 < Г. п(1 ,/•,) = )-Ьа)[Р{г0)р ,(>;-, )ЙО Рт{г0).

&Л1к 1-/Г I

(45)

Приравнивая друг другу разные представления (30) и (45) величины Д(Г,й(,,^) определим искомую функцию М(Г,/.й(Д,) в виде

Г>(?0)Я(?0)5П. <46> 21к\-т\ ^

Как видно из (46), теперь функция М(г,у,па,ё0) определяется только известными параметрами исследуемой и тестовой антенн в режиме передачи, в отличие от представления (24).

С учетом (46) обобщенная антенная теорема принимает вид

г л 2 ж * •

Н - W

(47)

D Г-у

2 ik 1

*

Как можно видеть из (47) в случае, если тестовая компонента по форме совпадает с диаграммной компонентой диаграммы рассеяния антенны, обобщенная антенная теорема переходит в известную антенную теорему (1).

Используя (35) и (46) несложно получить общее выражение для компоненты ноля рассеяния, совпадающей по форме с тестовой Д11, в виде

(ZyftK), D Г-у ik 4тп'к\-уГ

х/у(?0)

exp(-i'Ä7')

(48)

Если тестовая компонента по форме совпадает с диаграммной компонентой диаграммы рассеяния антенны, то (48) преобразуется к виду

• 7

1-уА

¿„.exp(-ikr)

что полностью совпадает с результатами, полученными в [4| для этого случая,

В строг ой постановке получена обобщенная антенная теорема, которая устанавливает связь между ПИРА и его частью, имеющей произвольную заданную форму. Обнаружение такой связи позволяет обобщить изложенные в [3-71 подходы и результаты на компоненты поля рассеяния произвольной формы. Определена в аналитической форме составляющая 11111*А, имеющая заданную форму. Ого открывает возможность для использования новых ортогональных базисов разложения ПИРА, наиболее подходящих для реше-

ния различных задач рассеяния. Можно, например, подобрать такой базис при котором энергия от плоской волны передается в нагрузку только по одному из ортогональных КВ. Этот канал можно назвать информационным КВ, так как в этом случае только по нему в системах связи информация передается от передающей стороны к приемнику антенны, а составляющую ППРА, соответствующую этому каналу, информационной составляющей 1 II IPA.

Литература

1. Ктбер Б.Е.. Пипов М.П. Обобщение оптической теоремы на случай антенн // Донвды АНСССР. 1989. Т.308. №3. С.615-619.

2. Ерохин Г.А., Кочержевский В. Г. Связь характеристик излучения и рассеяния антенн и проблема минимизации (максимизации) рассеянной мощности//РЭ. 1997. Т.42.№1. С.86-9].

3. Смирнов Е.В. Минимизация рассеяния бортовых антенн // Труды НТОРЭС им. A.C. Попова, 2006, вып. LXI, С. 12-14.

4. Смирное Е.В. Минимизация рассеяния приемных антенн при заданной принимаемой мощности // Антенны, 2008. №2(129), С,74-80.

5. Смирнов Е.В. Исследование влияния параметров приемной антенны и ее нагрузки на мощность взаимодействия антенны с полем плоской волны // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. Спецвыпуск по итогам 3-й отраслевой научной конференции "Технологии информационного общества", выпуск II, июль 2009. - С. 30-32,

6. Смирнов Е.В. Исследование влияния комплексной диаграммы направленности антенны на ее рассеивающие свойства, //Труды НТОРЭС им, A.C. Попова, 2008, вып. LX1I1. - С. 12-14.

7. Смирнов Е.В. Исследование влияния диаграммы направленности антенны на каналы взаимодействия плоской волны С рассеянным антенной полем // Труды НТОРЭС им. A.C. Попова, 2010, вып. LXV.-C.14-16.

8. Фельд Я.Н. Мощность излучения и комплексное сопротивление излучения дифракционных антенн // Докл. АН СССР. 1947. Т.56. №5. С.481-484.

9. Фельд Я. Н.. Бененсон Л.С. Антенны сантиметровых и дециметровых волн. Ч. !. М.: 13ВИА им. Жуковского, 1955.

Generalized antenna theorem Smirnov E.V., Docent, Department of Technical Electrodynamics and Antennas, MTUCI, Mosocw, Russia

Abstract

Currently known antenna theorem establishes a connection between the total scattering field antenna ( TSFA ) and a part of the form , which coincides with the radiation pattern of the antenna in the transmit mode. Such a connection allows the author to solve a number of practically and theoretically important scattering problems. For example, the problem was solved analytically determine the component diagram TSFA. TSFA partition on a diagram and orthogonal components has led to the concept of orthogonal and diagrammatic interaction channels (IC), which is an exchange of energy between the incident wave, the antenna and its load. It was found that when the chosen basis TSFA decomposition energy of the incident wave is transmitted to the load on both the IC antenna. In this paper, a rigorous formulation obtained generalized antenna theorem, which establishes a connection between TSFA and its portion having an arbitrary predetermined shape. Detection of such a relationship allows us to generalize the above approaches and results on the field components of the scattering of arbitrary shape. In particular it is possible to determine analytically the TSFA component having a predetermined shape. This makes it possible to use new orthogonal bases decomposition TSFA, the most suitable for a variety of scattering problems. In particular we can choose a basis of decomposition, in which the energy of a plane wave is transmitted to the load only one of the orthogonal IC. This channel may be called information channel, as in this case only to him in the communication system to transmit information from the transmitting side to the receiver antenna.

References

1. Kinber B.E., PopovM.P. Generalization of the optical theorem to the case of antennas /Dokl. USSR Academy of Sciences. 1989. Vol. 308. No 3. Pp. 615-619.

2. Erohin GA., Kocherzhevsky V.G. Relation characteristics of radiation and scattering antennas and minimization problem (maximization) scattered power / Radiotechnics and electronics, 1997. Vol. 42. No 1. Pp. 86-91.

3. Smirnov E.V. Minimizing scattering onboard antennas / Proceedings NTORES them. AS Popov, 2006, vol. LXI, pp.12-14.

4. Smirnov E.V. Minimizing the scattering of receive antennas at a predetermined received power / Aerials / Under. Ed. Bakhrakh LD M. IPRZhR 2008. N. 2 (129). Pp. 74-80.

5. Smirnov E.V. Investigation of the receiving antenna parameters influence and its load on capacity of interaction a antenna with a plane wave field / T-Comm: Telecommunications and Transportat. Special Issue on the basis of the third branch of scientific conference "Information Society Technologies", Issue II, July 2009, pp. 30-32.

6. Smirnov E.V. Investigation of the influence of the complex antenna pattern on its scattering properties / Proceedings NTORES them. AS Popov, 2008, vol. LXIII, pp.12-14.

7. Smirnov E.V. Investigation of the influence of the antenna pattern on the channels of interaction of a plane wave with the scattered field antenna / Proceedings NTORES them. AS Popov, 2010, vol. LXV, pp.14-16.

8. Feld Y.N. Radiation power and complex impedance radiation of diffraction antennas / Dokl. USSR Academy of Sciences. 1947. Vol. 56. No 5. Pp. 481-484.

9. Feld Y.N., Benenson L.C. Antennas centimeter and decimeter waves. Part 1. M. VVIA them. Zhukovsky, 1955. Pp. 208.