CC BY
105
УДК 621.314.58 ББК 31.15
Г.В. МАЛИНИН, ВС. ПРЯНИКОВ
ИССЛЕДОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО СОСТАВА НАПРЯЖЕНИЯ ОДНОФАЗНОГО МОСТОВОГО ИНВЕРТОРА С СИНУСОИДАЛЬНОЙ ШИМ*
Ключевые слова: однофазный мостовой инвертор, синусоидальная широтно-импульсная модуляция (ШИМ), анализ, гармонический состав, численный метод.
Рассмотрен метод численного расчета гармонического состава выходного напряжения однофазного мостового инвертора с синусоидальной ШИМ. Метод основан на вычислении точек пересечения модулирующего (синусоидального) и несущего (треугольного) сигналов с дальнейшим вычислением гармонического состава выходного напряжения инвертора с использованием ряда Фурье. Представлены результаты исследования гармонического состава напряжения в функции частоты и амплитуды несущего колебания, отнесенных к частоте и амплитуде модулирующего колебания.
В литературе описаны различные методы управления устройствами силовой электроники посредством широтно-импульсной модуляции (ШИМ) [2]:
- одноимпульсная модуляция (один регулируемый по длительности импульс за полпериода модулирующего сигнала);
- многоимпульсная модуляция (несколько равноотстоящих импульсов одинаковой ширины за полпериода модулирующего сигнала);
- синусоидальная ШИМ (несколько импульсов разной ширины за полпериода ШИМ, полученные в результате сравнения модулирующего синусоидального сигнала, определяющего период ШИМ, с несущим треугольным сигналом высокой частоты).
Существуют и другие методы ШИМ При построении фотовольтаиче-ских систем, преобразующих энергию солнца в энергию переменного тока, широкое распространение находят однофазные инверторы напряжения с синусоидальной ШИМ [3]. Гармонический состав выходного напряжения инвертора становится наиболее актуальным при работе фотовольтаической системы на промышленную сеть. При этом выходной фильтр инвертора напряжения может быть минимизирован, если располагать знаниями о гармоническом составе выходного напряжения инвертора в функции параметров ши-ротно-импульсного модулятора.
Обоснование ряда Фурье для выходного сигнала синусоидального широтно-импульсного модулятора. На рис. 1 представлена форма выходного напряжения однофазного мостового инвертора, описываемая функцией /(и) с единичной амплитудой. Пусть N - число импульсов выходного напря-
*
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 15-48-02189-р_поволжье_а.
жения на полупериоде модулирующего нала. Поскольку функция /(и) нечетная и обладает симметрией третьего рода [1, 4], т.е.
/(-и) = _Ди), Ди+п) = _/(и), то ряд Фурье функции /(и) преобразуется к виду:
к
/ (и) = Г Ьп
81И ПО,
я=1
где для нечетных п
Ьп =— ^ 2 /(и)81ппи^и,
(1)
(2)
а для четных п Ьп = 0.
Для случая нечетного N из формулы (2) и рис. 1 следует:
имп. N имп. N-1
к--
Ьп = — /(и) 8ШЯи^и + /(и) 81ппи^и + ... +
+
£ 2/(и)81ппи^и}= —008пак,
п— к=1
где а^ _ моменты начала и конца импульсов функции /(и).
Для случая четного N получаем:
Ьп = — (С2 /(и) 81ппи^и + Ю*4/(и) 81ппи^и + ... +
имп. 2 имп. 1
□
—п-а1
— п-а2
— п-а3
— п-а4
— п-аЛ-1
п-аN ТЙ- аN
— а^1
- а4
- аз
- а2
- а1 ,
+
аз
ГN /(и)81пиийЫ= — У (-1)^+Х008 пак. •"а N-1 ; п— к=1
Рис. 1. Выходной сигнал широтно-импульсного модулятора
Таким образом, для любых N и нечетных п коэффициенты ряда Фурье
при синусной составляющей даются формулой
4 N Ьп =— Г (-1)
п— к=1
\к+1
008 пак,
(3)
где 0 <а1 <а 2 < ... <аN < — .
2
Синусоидальная ШИМ для однофазного мостового инвертора. Для
мостовой схемы однофазного инвертора напряжения (рис. 2) выходной сигнал инвертора с управлением по закону синусоидальной ШИМ (СШИМ) получается как результат сравнения высокочастотного треугольного несущего колебания ис частоты юс с двумя сдвинутыми на 180° синусоидальными модулирующими сигналами и частоты Коэффициенты ряда Фурье (1) вычисляются в такой последовательности:
1) определяются точки пересечения несущего и моделирующих колебаний аь а2, ..., ад?;
2) с использованием формулы (3) вычисляются коэффициенты ряда Фурье при синусной составляющей:
4 Е м
Ьп =—£ (-1)*+1ео8 пак, п% к=1
где Е - напряжение питания инвертора (на рис. 2 источник ЭДС условно разделен на два источника с одинаковыми напряжениями Е/2), N - число периодов треугольного сигнала на периоде синусоидального сигнала, N = юс / ю.. Введем в рассмотрение коэффициент модуляции М = А. / Ас, где Ас - амплитуда несущего колебания; А. - амплитуда модулирующих колебаний.
Ф
Ф
УТ1
)Е/2
О
Е/2
УТ2
А
Ж ||^12к
УТ4
11
в
-про—.-о
1ь С1 _1_ ~
-Ц-—о
СШИМ
Рис. 2. Однофазный мостовой инвертор
Далее рассмотрим два случая взаимного расположения несущего и модулирующих колебаний.
Случай 1. Момент нуля синусоидальных сигналов совпадает с моментом минимума (максимума) треугольного сигнала.
На рис. 3 рассмотрен случай, когда момент нуля модулирующих колебаний совпадает с моментом минимума несущего колебания. Для этого случая несущее колебание на отдельных интервалах линейности записывается в виде следующих функций:
= Ас( -1 +
2 N
%
(со.0 = АсI 3-—га.?
0 <га.? <
%
N
N 2%;
N ;
(4)
(ю) = Ас
(2к -1)(- 1)к -^(- 1)кга.?
(к -1)% к%
N . N
В точках пересечения а;-
2к (а) = ±А. 8т а ].
(5)
м
71
71
%
ю/
!Е/2
* Ю/ ±_-Е/2
иАВ
1 ПППП1 1 \ \ Е г
а1а2а3а4а5а6а7 а ии Ю/
Рис. 3. Формирование импульсов на выходе инвертора (иллюстрация случая 1)
Комбинируя равенства (4) и (5), можно записать уравнение
(2к_1)(_1)к - Ж (_ 1)к
+ А, 8т а = 0,
где к - номер интервала линейности несущего колебания; 1 - порядковый номер точки пересечения несущего и модулирующих колебаний.
Заметим, что на каждом к интервале линейности имеются две точки пересечения (рис. 3). Полученное уравнение подстановкой ю/ = аj может быть преобразовано в уравнение для определения точек пересечения а■
Рк (а ■ ) = 0, (6)
где нелинейная функция ¥к (а ■) записывается в виде
2 N
Рк (а ■ ) = (_1)к I 2к _ 1 _—а1 + (_1)к+1М яп
а
} ■
Процедура расчета спектра выходного напряжения инвертора иАВ для рассматриваемого случая может быть выполнена в такой последовательности:
с
1. Задаем число периодов N несущего колебания на периоде модулирующего колебания и соотношение М амплитуд модулирующего и несущего колебаний;
2. В силу симметрии третьего рода выходного напряжения инвертора и в соответствии с рис. 1 определяем точки пересечения а;, j = 1, 2, ..., N.
Для этого:
а) для каждого j определяем номер интервала к по формулам
, j +1
к = 2 для нечетного j, к = ^ для четного j;
б) подставляем заданные и найденные величины N, М, к и j в уравнение (6).
В силу нелинейности уравнения (6) оно решается численными методами
(например, с использованием метода Ньютона - Рафсона) или с использованием средств компьютерной математики.
3. В соответствии с формулой (3) определяем процентное содержание n-й гармоники как отношение амплитуды n-й гармоники к амплитуде импульса напряжения на входе инвертора
= — j (- 1)j+1 cos naj -100%. (7)
E n% j=1
Замечание. Такой же результат по гармоническому составу будет и для случая, когда момент нуля синусоидальных сигналов совпадает с моментом максимума треугольного сигнала.
Случай 2. Момент нуля синусоидальных сигналов совпадает с моментом нуля треугольного сигнала.
В этом случае (рис. 4) каждый интервал линейности несущего колебания, начиная с к = 2, может быть описан функцией
Zk (<М ) = Ac (-1)k
2 N
(2k - 3)rc <ю t <(2k -1)rc
2к - 2--
2N " 2 N В точках пересечения несущего и модулирующих колебаний выполняется равенство (5), которое можно представить уравнением (6) для определения точек а}-. В этом случае функция Fk (aj) записывается в виде
Fk (a j ) = (- 1)k ^2k - 2 - — a j j + (- 1)k+jM sin a j , (8)
где k - номер интервала линейности несущего колебания, k > 2; j - порядковый номер точки пересечения несущего и модулирующих колебаний (рис. 4).
Процедура расчета спектра выходного напряжения инвертора для рассматриваемого случая выполняется в такой последовательности:
1. Задаем число периодов N несущего колебания на периоде модулирующего колебания и коэффициент модуляции M.
2. Определяем точки пересечения a для j = 1, 2, ..., N-1. Для этого:
а) для каждого j определяем номер интервала k по формулам
, j + 3 . , j + 2
k = —2— для нечетногоj, k = —^— для четного j;
б) найденные величины подставляем в уравнение (6), в котором функция Fk (aj) вычисляется по формуле (8).
&st
JE/2
* ast _у -E/2
№
а1а2а3а4а5а6 &st
Рис. 4. Формирование импульсов на выходе инвертора (иллюстрация случая 2)
Используя один из методов решения нелинейного уравнения (6), определяем искомые точки а/.
3. В соответствии с формулой (3) определяем процентное содержание n-й гармоники как отношение ее амплитуды к входному напряжению инвертора (рис. 2)
— = — I (-j cos na j • 100% . (9)
E n% j=i
Замечание: полученная формула справедлива и для случая, когда несущее колебание сдвинуто на 180°.
Обсуждение результатов. В табл. 1, 2 и 3, 4 приведены результаты расчета спектрального состава выходного напряжения однофазного инвертора (до фильтра) с синусоидальной ШИМ по формулам (7) и (9) для 1 и 2 случаев соответственно. Таблицы содержат только существенные по амплитуде гармоники: например, гармоники с номерами 3, 5, 7, 17 и т.д. в табл. 1 и 3, а также гармоники с номерами 3, 5, 7, 9 и т.д. в табл. 2 и 4 практически равны нулю. Результаты получены с применением пакета математического моделирования MatLab. Решение нелинейного уравнения (6) осуществлялось с использованием MatLab-функции fzero.
Таблица 1
Гармонический состав для N = 6 (случай 1)
м п = т 2^3 2^1 2^1 Ж+3 4^3 4^1 4^1 4^3 5^1 5^1 6^1 6^1
1 9 11 13 15 21 23 25 27 29 31 35 37
0,1 10 0,041 9,877 9,877 0,041 0,160 9,515 9,515 0,160 0,001 0,004 8,930 8,930
0,3 30 1,050 26,790 26,790 1,050 3,538 18,509 18,509 3,540 0,207 0,713 8,500 8,500
0,5 50 4,395 36,085 36,085 4,399 10,614 9,059 9,064 10,688 2,483 4,841 5,980 5,927
0,7 70 10,324 35,402 35,405 10,389 13,694 6,446 6,334 14,550 9,815 8,724 2,803 1,828
0,9 90 17,684 25,496 25,536 18,125 6,828 10,603 9,620 10,399 17,858 4,624 4,564 9,370
Таблица 2
Гармонический состав для N = 9 (случай 1)
м п = № 2^3 2^1 2^1 2^3 4^5 4^3 4^1 4^1 4^3 4^5 6^1 6^1
1 15 17 19 21 31 33 35 37 39 41 53 55
0,1 10 0,041 9,877 9,877 0,041 0,001 0,160 9,515 9,515 0,160 0,001 8,930 8,930
0,3 30 1,050 26,790 26,790 1,050 0,170 3,538 18,509 18,509 3,538 0,170 8,500 8,500
0,5 50 4,395 36,085 36,085 4,395 1,660 10,614 9,060 9,060 10,614 1,660 5,977 5,977
0,7 70 10,324 35,402 35,402 10,324 5,773 13,694 6,438 6,438 13,694 5,782 2,669 2,667
0,9 90 17,684 25,499 25,499 17,684 10,702 6,838 10,476 10,475 6,851 10,830 5,786 5,834
Таблица 3
Гармонический состав для N = 6 (случай 2)
м п = т 2^3 2^1 2^1 2^3 4^3 4^1 4^1 4^3 5^1 5№1 6^1 6^1
1 9 11 13 15 21 23 25 27 29 31 35 37
0,1 10 0,041 9,877 9,877 0,041 0,160 9,515 9,515 0,160 0,001 0,004 8,930 8,930
0,3 30 1,050 26,790 26,790 1,050 3,538 18,509 18,509 3,537 0,133 0,706 8,500 8,499
0,5 50 4,395 36,085 36,085 4,391 10,614 9,060 9,055 10,540 0,836 4,624 5,973 6,027
0,7 70 10,324 35,402 35,399 10,260 13,694 6,429 6,542 12,837 1,731 7,048 2,534 3,510
0,9 90 17,684 25,501 25,461 17,243 6,848 10,349 11,333 3,276 3,537 1,589 7,019 2,209
Таблица 4
Гармонический состав для N = 9 (случай 2)
м п = № 2^3 2^1 2^1 2^3 4^5 4^3 4^1 4^1 4^3 4^5 6^1 6^1
1 15 17 19 21 31 33 35 37 39 41 53 55
0,1 10 0,041 9,877 9,877 0,041 0,001 0,160 9,515 9,515 0,160 0,001 8,930 8,930
0,3 30 1,050 26,790 26,790 1,050 0,170 3,538 18,509 18,509 3,538 0,170 8,500 8,500
0,5 50 4,395 36,085 36,085 4,395 1,660 10,614 9,060 9,060 10,614 1,660 5,977 5,977
0,7 70 10,324 35,402 35,402 10,324 5,773 13,694 6,438 6,438 13,693 5,765 2,669 2,670
0,9 90 17,684 25,499 25,499 17,684 10,702 6,838 10,476 10,477 6,825 10,575 5,796 5,749
Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:
1. В первом случае, когда момент нуля модулирующего колебания совпадает с моментом пика несущего колебания, число импульсов за полпериода модулирующего колебания составляет N а во втором случае, когда моменты нуля модулирующего и несущего колебаний совпадают, N - 1, где N - число периодов несущего колебания за один период модулирующего.
2. Гармонический состав выходного напряжения для заданного N остается практически неизменным независимо от фазового сдвига несущего колебания относительно модулирующего.
3. Среди гармоник можно выделить симметричные по амплитуде гармоники (табл. 1-4). Анализ показывает, что амплитуды кЫ - 1 и кЫ + 1 гармоник для четного к симметричны относительно кЫ, причем точность этого утверждения возрастает с увеличением N и уменьшением М.
4. Содержание гармоник в процентном отношении к первой гармонике выше при более низких значениях коэффициента модуляции М за исключением компонент 2Ы - 3 и 2Ы+3. В табл. 5 и 6 приведены сравнительные результаты расчета отношения амплитуд некоторых гармоник (их усредненных значений) к амплитуде первой гармоники, а на рис. 5 для N = 9 и более мелкого шага изменения М - количественная картина отношения амплитуд для п = 2Ы±1 (п = 17, 19), 4Ы±1 (п = 35, 37), 2Ы±3 (п = 15, 21), 4Ы±3 (п = 33, 39), 6Ы±1 (п = 53, 55). Видно, что преобладают гармоники с номерами 2Ы±1. Далее следуют гармоники с номерами 4Ы±1, 6Ы±1.
Таблица 5
Отношение амплитуд гармоник для N = 6 (случай 2)
м Номер гармоники, п
9(15) 11(13) 21(27) 23(25) 35(37)
2N±3 2^1 4N±3 4^1 6^1
0,1 0,410 98,770 1,600 95,150 89,300
0,3 3,500 89,300 11,793 61,697 28,333
0,5 8,786 72,170 21,154 18,115 12,000
0,7 14,703 50,572 18,951 9,265 4,317
0,9 19,404 28,312 5,624 12,046 5,127
Таблица 6
Отношение амплитуд гармоник для N = 9 (случай 2)
м Номер гармоники, п
15(21) 17(19) 33(39) 35(37) 53(55)
2N±3 2^1 4N±3 4^1 6^1
0,1 0,410 98,770 1,600 95,150 89,300
0,3 3,500 89,300 11,793 61,697 28,333
0,5 8,790 72,170 21,228 18,120 11,954
0,7 14,749 50,574 19,563 9,197 3,814
0,9 19,649 28,332 7,591 11,641 6,414
5. Увеличение коэффициента N смещает гармоники с большой амплитудой из области низких частот в область более высоких частот, но без изменения их амплитуды. Это хорошо видно из приведенных табл. 5 и 6. Например, для N = 6 и M = 0,9 наименьшая значащая девятая гармоника имеет амплитуду, составляющую 17,684% от амплитуды первой гармоники. Если N увеличить до 9, то наименьшая значащая гармоника с номером 15 по-прежнему имеет амплитуду, составляющую 17,684% от амплитуды первой гармоники.
Заметим, что подобные результаты, но только относительно действующих значений гармонических составляющих, а не амплитудных, как в данной работе, получены в [5].
Литература
1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1964. 608 с.
2. Зиновьев Г.С. Основы силовой электроники. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. 664 с.
3. Малинин Г.В., Белов Г.А. Системы управления преобразователями для солнечных модулей на базе инверторов с ШИМ // Вестник Чувашского университета. 2015. № 3. С. 68-80.
4. Hasmukh S.P., Richard G.H. Generalized Techniques of Harmonie Elimination and Voltage Control in Thyristor Inverters: Part I - Harmonie Elimination. IEEE Transaction on Industry Applications, vol. IA-9, no. 3, 1973, pp. 310-317. doi: 10.1109/TIA.1973.349908.
5. Rajashekara K.S., Vithayathil J. Harmonics in voltage-source PWM inverters. Int. J. Electronics, vol. 50, no. 5, 1981, pp. 325-337.
МАЛИНИН ГРИГОРИЙ ВЯЧЕСЛАВОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры промышленной электроники, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (malgrig6@mail.ru).
ПРЯНИКОВ ВИССАРИОН СЕМЕНОВИЧ - доктор технических наук, профессор кафедры радиотехники и радиотехнических систем, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (pryanikoff@list.ru).
G. MALININ, V. PRYANIKOV STUDY OF HARMONIC COMPOSITION IN VOLTAGE SINGLE-PHASE BRIDGE INVERTER WITH SINUSOIDAL PWM
Key words: single-phase full-bridge inverter, sinusoidal pulse width modulation (PWM), analysis, harmonic composition, numerical method.
This article considers a numerical method for calculation of harmonics in output voltage in a single-phase bridge inverter with sinusoidal PWM. The method is based on calculation of crossing points of modulating (sine) and carrier (triangle) waves with further calculation of harmonic composition by using Fourier series. The article presents the results of the study in harmonics of voltage in the function offrequency and carrier wave amplitude, related to frequency and amplitude of modulating oscillation.
References
1. Bronshtein I.N., Semendyaev K.A. Spravochnik po matematike dlya inzhenerov i uchash-chikhsya vtuzov [Handbook of mathematics for engineers and university students]. Moscow, Nauka Publ., 1964, 608 p.
2. Zinov'ev G.S. Osnovy silovoi elektroniki: uchebnoe posobie [Fundamentals of Power Electronics: Textbook]. Novosibirsk, 2003, 664 p.
3. Malinin G.V., Belov G.A. Sistemy upravleniya preobrazovatelyami dlya solnechnykh mod-ulei na baze invertorov s ShIM [Converters control system for solar modules based on PWM inverter]. Vestnik Chuvashskogo universiteta, 2015, no. 3, pp. 68-80.
4. Hasmukh S. Patel, Richard G. Hort. Generalized Techniques of Harmonic Elimination and Voltage Control in Thyristor Inverters: Part I - Harmonic Elimination. IEEE Transaction on Industry Applications, vol. IA-9, no. 3, 1973, pp. 310-317. doi: 10.1109/TIA.1973.349908.
5. Rajashekara K.S., Vithayathil J. Harmonics in voltage-source PWM inverters. Int. J. Electronics, vol. 50, no. 5, 1981, pp. 325-337.
MALININ GRIGORIY - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor of Industrial Electronics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (malgrig6@mail.ru).
PRYANIKOV VISSARION - Doctor of Technical Sciences, Professor of Radio and Radio Systems Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (pryanikoff@list.ru)._
Ссылка на статью: Малинин Г.В., Пряников В.С. Исследование гармонического состава напряжения однофазного мостового инвертора с синусоидальной ШИМ // Вестник Чувашского университета. - 2017. - № 1. - С. 120-129.
