Исследование фазовых переходов в двумерных низкои высокомолекулярных сегнетоэлектрических пленках Текст научной статьи по специальности «Физика»

2. Веденов, А.А. Физика растворов / А.А. Веденов. -М., 1984.

3. Де Жен, П. Физика жидких кристаллов / П. Де Жен.

- М., 1977.

4. Клушин, Л.И. Точно решаемая модель, демонстрирующая фазовые переходы первого и второго рода / Л.И. Клушин, А.М. Скворцов, А.А. Горбунов // Успехи физических наук. - 1998. - Т. 168. - № 7. - С. 719.

5. Кушева, И.В. Физические методы исследования полимерных покрытий листового металлопроката / И.В.

Кушева, А.В. Максимов, О.О. Гронская // Вестник Череповецкого государственного университета. - 2010. - № 1. -С. 120 - 123.

6. Ландау, Л.Д. Статистическая физика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М., 1976. - Т. 5. - Ч. 1.

7. Хмельницкий, И.К. Химия наносистем / И.К. Хмельницкий. - СПб., 2011.

8. Чандрасекар, С. Физика жидких кристаллов / С. Чандрасекар. - М., 1977.

УДК 541.64:539.2

О.Г. Максимова, А.В. Максимов, Т.О. Петрова

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ В ДВУМЕРНЫХ НИЗКО - И ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫХ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПЛЕНКАХ

Работа выполнена и поддержана в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009 - 2013 гг.» (гранты № 14.B37.21.0075 и № 14.132.21.1701)

С помощью вариационного метода исследовано упорядочение в двумерных низкомолекулярных и полимерных пленках с потенциалом взаимодействия дипольного типа. Определена температура фазового перехода типа Стенли-Каплана. Вычислены параметры ближнего ориентационного порядка. Проведено сопоставление аналитических расчетов и результатов компьютерного моделирования.

Полимерные системы, сегнетоэлектрики, фазовый переход, вариационный метод.

Ordering of the two-dimensional low-molecular and polymer films with the potential interaction of a dipole type is investigated with the help of variation method. The temperature of phase transition of Stanley Kaplan is determined. The parameters of the short-range order are calculated. Comparison of analytical calculations and the results of computer simulation is made.

Polymer systems, ferroelectrics, phase transition, variational method.

Поведение систем с пониженной размерностью всегда вызывало особый интерес в теоретической физике [1], [3], [5]. Ранее выбор моделей с пониженной размерностью (одномерных и двумерных) обосновывался не столько актуальностью поставленных проблем для реальных, как правило, объемных систем, а резким сокращением объема аналитических и численных расчетов (по сравнению с трехмерными моделями). В последнее время изучение свойств поверхностных структур имеет не только прикладное, но и практическое значение, связанное с применением ультратонких пленок в современных технологиях. Например, они служат для защиты поверхностей, применяются как адгезивы, используются в литографической промышленности. Особую значимость имеет возможность практического применения сверхтонких сегнетоэлектрических пленок в электронных устройствах. Пленки можно также рассматривать как модель биологических объектов -клеточных мембран.

В данной работе рассматривается процесс ориентации низкомолекулярных или полимерных сегнето-электрических пленок с дипольными взаимодейст-

виями. Понижением температуры можно фиксировать ориентацию анизотропных молекул. В низкомолекулярных веществах это обычно приводит к созданию хрупкого, малодеформируемого материала, но имеющего большие перспективы в нанотехнологиях [4]. В то же время, ориентированный полимер обладает высокой прочностью, которая сочетается со стойкостью к ударным нагрузкам, что широко используется в промышленности, например, для защиты листового проката.

Для изучения эффектов упорядочения в сегнетоэлектрических пленках используется двумерная криволинейная решеточная модель (рис. 1), в каждом узле которой находится анизотропная удлиненная частица - ротатор, обладающий вращательными (ориентационными) степенями свободы. Предполагается, что ротаторы взаимодействуют между собой с потенциальной энергией дипольного типа:

и = -К X со3(Фп т п+1т) - К X оо^Ф,,,,^) (1)

п,т п,т

где Ф„,т,В',т' = Ф„,т - ФИ>' - у™ ме^ рОТ^р^

расположенными в узлах п, m и п’, m’ решетки. Энергетическая константа К1 описывает ориентационные взаимодействия вдоль продольного криволинейного направления решетки, а соответствующая константа К2 - в поперечном направлении. Эти константы, характеризующие различные типы взаимодействий в системах, могут значительно отличаться друг от друга, то есть модель в общем случае является анизотропной. Величина анизотропии характеризуется параметром е = К2 / К1, который в низкомолекулярных системах сравним с единицей, в гибкоцепных полимерных системах е < 1, а в жесткоцепных е << 1 вследствие слабых межцепных взаимодействий (по сравнению с внутрицепными). Ранее в работе [6] было показано, что в предложенной модели существует фазовый переход типа Стенли-Каплана [2].

Степень упорядоченности двумерной системы определяется с помощью вычисления параметров ближнего ориентационного порядка как среднего косинуса угла между направлениями соседних ротаторов в продольном (д2 = (^(фп +1,, -Фп,т))) и поперечном (т2 = (со8(фп,т+1 -фп,т))) направлениях.

Управление этими величинами можно осуществлять как изменением температуры, так и изменением потенциальной энергии системы (качеством и концентрацией растворителя, внешней деформацией и другими внешними параметрами).

П + 1 П

n — 1

m — 1

M

m m + 1

Рис. 1. Модель двухмерной системы с ориентационными взаимодействиями

При низких температурах (кБТ/К1 << 1 и кБТ/К2 << 1), когда сегменты имеют преимущественно параллельное между собой направление, данную систему достаточно хорошо описывает гармоническое приближение. В этом случае потенциальная энергия представляется в виде:

K к

U = ~1Г Z (jn,m - jn-1,m )2 + ^ Z (jn,m - jn.mj' ■ (2)

к

2

2

При повышении температуры средняя величина угла между соседними ротаторами увеличивается, и

применение формулы cos ф» 1 приводит к не-

удовлетворительным результатам. То есть при разложении в ряд необходимо учитывать слагаемые более высоких порядков, которые уже являются ангармоническими, отвечающими за безвихревые флуктуации [7].

В вариационном методе в слагаемые потенциала низкотемпературного приближения (2) вводятся два варьируемых параметра 11 и 12. Поэтому вместо (2) получено выражение для потенциальной энергии:

U =lK Z (jn,m - jn-1,m )2 +—^ Z (jn,m - jn,m-1)2 > (3)

^ n m ^ n m

где параметры 11 и 12 определяются из условия минимума свободной энергии.

В вариационном приближении свободная энергия Р представляется в общей форме:

F (І1,12) = H0 - TS0.

(4)

При вычислении свободной энергии в соотношении (4) в качестве потенциала Н независимо от степени анизотропии системы использовалось точное выражение (1), а расчет энтропии 50 проводился для ансамбля Гиббса с приближенным потенциалом (3). В общем случае устойчивость рассматриваемой системы при разных температурах определяется минимумом свободной энергии, которая в соотношении (4) представляет собой сумму двух слагаемых. Потенциал (н)0 минимален при упорядоченном расположении элементов, а энтропия 50 связана со степенью беспорядка в распределении их ориентаций.

Усреднение величин в (4) выполнено с помощью теоремы о вычислении средних от тригонометрических функций по нормальному (гауссовому) распределению, а дальнейший расчет проводился с помощью перехода и интегрирования по нормальным координатам. В результате вычислений было получено следующее выражение для свободной энергии ^'(11,12) в вариационном приближении:

F (1j, 12) = -2Kj • exp

- 2K2 • exp

Pl2e

arctg

arctg

f IK ^

vv ^2e J

z

+ ^ x P

if ■"

---(l (1 - cos x) + 12e(1 - cos y))

pz

dxdy,

z

z

n,m

n,m

0 0

где величина ъ определяется формулой г = кбТ.

К1

Для нахождения вариационных и критических параметров необходимо решить систему, состоящую из двух уравнений:

/і =%і = °-

1г =

-дР/

- 0.

Были получены следующие уравнения:

(5)

системы уравнений при значении параметра анизотропии 8 - 0,5. Как видно из рисунков, решение получается аналогичным, только смещается величина критической точки и кривые, соответствующие решениям уравнений, не являются симметричными относительно биссектрисы координатного угла.

В изотропных (8 -1) и сильно анизотропных ( 8 << і) системах получены формулы для вычисления критических параметров Тс' и Т° соответственно:

Г - 4К.. г - 2і^КіКІ

екЕ

екЕ

1 ЭР (11,12)

К

Яі;2

Э11

arctg

- -2•ехр

----Г- arctg

РІ1

VII128 у

2^ І2 8

Л

2яА<1 ^ 11 (І1 +128)

- 28Х

х ехр

Я128

ат^

2^11128 (11 +128)

2 I 11 /Л

+-------arct^ /—- - 0,

Ї1Я У Ї28

ЭР (11,12) К Э12

- -2 • ехр

£2

2^8І112 (11 +128)

- -1-2 (

Х

- 28 ехр

я128

аг^

І1

V

ЯІ28

arctg

Г -------Л

128

V* 'Ч у Л

1 у 2ЯІ2 д/128 (11 + ^28)

+

2 І198

+------arctg - 0.

12Я у 11

На рис. 2 а - в приведено графическое решение системы уравнений (5) при значении параметра анизотропии е = 1. Решениями системы являются координаты точек пересечения кривых. При г < го (рис. 2 а) кривые, соответствующие решению первого и второго уравнений системы, пересекаются в двух

точках А(1(1), 12)) и 5(1(2), 122)). Расчеты показали, что координаты точки А на рис. 2 а, соответствуют локальному максимуму двумерной функции свободной энергии, а точки В - локального минимума. При увеличении величины ъ точки А и В приближаются друг к другу, и при критическом значении температуры существует единственная точка пересечения кривых (рис. 2 б). При значении г > кривые не пересекаются, поэтому значения вариационных параметров 11 и 12 равны единственному (нулевому) значению. На рис. 2 г - е приведено решение

в) 2 = 1,6

и

с

г) . 2 ^ 1 й) 2 = 1,079 е) 2 = 1,5

1 0.5 и

УГ : ІСГ"

05 1 1.5 05 1 1.5 05 1 1.5

Рис. 2. Графическое решение системы уравнений (6) при значениях параметра анизотропии е = 1 (а - в); 0,5 (г - е)

Значения критического параметра гс в общем

случае приведены на рис. 3 б.

При переходе к нормальным координатам при использовании теоремы Хира параметры ближнего порядка вычисляются по следующим формулам:

т2 - ехр

кЕТ

%к1К1

'arctg

кБ Т

2 К2

11К1

12 К 2

(6)

На рис. 3 а приведены значения параметров порядка, при вычислении которых по формуле (6) значения варьируемых параметров 11 и 12 вычислены методом спуска.

Для проверки правильности выбранного приближения было произведено компьютерное моделирование рассматриваемой системы. Расчеты производились с помощью компьютерного моделирования методом Монте-Карло (алгоритм Метрополиса) на решетке 50х50 с потенциалом (1) при периодических граничных условиях. Значения параметров ближнего ориентационного порядка, вычисленного методом Монте-Карло, также приведены на рис. 3 а.

Х

г

1

2

Х

(

1

2

2

+

Х

2

1

2

Х

Х

1

(

(

а)

0,8

0,6

0,4

0,2

ч]

ч Иі >

V,

И2 °

о (

+

4

' * н

0 0,2 0,4 0,6 0,8

Рис. 3. а - зависимость ближнего ориентационного порядка (^! и ^2) двумерной анизотропной системы

кбТ

(е = 0,2) от величины г = —— : сплошные кривые - ре-К1

зультаты аналитических расчетов, точки - вычисления с помощью компьютерного моделирования; б - зависимость критического параметра (гс) от величины, обратной параметру анизотропии (1 / е)

Как видно из рисунка, значения т1 и |т2, вычисленные вариационным и компьютерным методами, совпадают в пределах допустимой ошибки вплоть до точки фазового перехода.

Литература

1. Бекстер, Р. Точно решаемые задачи в статистической механике / Р. Бекстер. - М., 1985.

2. Березинский, В.А. Разрушение дальнего порядка в одномерных и двумерных системах с непрерывной группой симметрии / В.А. Березинский // ЖЭТФ. - 1970. -Т. 59. - № 9. - С. 907 - 920.

3. Вакс, В. Г. О методе самосогласованного поля при описании фазовых переходов / В.Г. Вакс, А.Ю. Ларкин, С.А. Пикин // ЖЭТФ. - 1966. - Т. 51. - С. 361.

4. Воротилов, К.А. Сегнетоэлектрические запоминающие устройства / К.А. Воротилов, А.С. Сигов // Материалы XIX Всероссийской конференции во физике сегне-тоэлектриков. -М., 2011. - С. 9.

5. Займан, Дж. Модели беспорядка / Дж. Займан. -М., 1982.

6. Максимова, О.Г. Фазовые переходы в двумерных полимерных системах с ближним внутри- и межцепным ориентационным порядком / О.Г. Максимова, А.В. Максимов // Высокомолекулярные соединения. Серия А. - 2004.

- Т. 46. - № 12. - С. 2042 - 2052.

7. Паташинский, А.З. Флуктуационная теория фазовых переходов / А.З. Паташинский, В. Л. Покровский. - М., 1982.

И

z

/

к

УДК 669

ЕА. Маслов, К.А. Харахнин

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРИЧИН ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ НАТЯЖЕНИЯ ПРОКАТЫВАЕМОЙ ПОЛОСЫ ПРИ ВИБРАЦИЯХ НА СТАНАХ ХОЛОДНОЙ ПРОКАТКИ

Авторами рассмотрена динамическая модель процесса прокатки при рабочих параметрах, соответствующих возникновению вибраций на станах холодной прокатки. Установлена связь резонансных частот взаимодействия двух клетей стана с частотами колебаний натяжения прокатываемой полосы.

Натяжение полосы, вибрации, резонансная частота, устойчивость процесса прокатки, обратная связь процесса прокатки.

The authors considered the dynamic model of the rolling process at the appropriate operating parameters of vibration at cold rolling mills. The connection between the resonance frequencies of interaction of two mill stands with oscillation frequency of tension of a rolled strip is established in the paper.

Strip tension, vibration, resonance frequency, stability of the rolling process, feedback of the rolling process.

В настоящее время проблема возникновения и развития вибраций в клетях станов холодной прокатки рассматривается с различных сторон: механического процесса взаимодействия элементов прокатного стана [1], [2], [6] и системного подхода к прокатному стану как динамическому объекту [4], [5].

Анализ существующих теорий возникновения вибраций на станах холодной прокатки показал, что причины возникновения критических вибраций, «гудения» клетей и поверхностных дефектов вызваны циклическими ударами валковой системы клети о станину [1], [2].