Исследование эффективности оптимальной передачи сигнала Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Прикладная математика

УДК 519.2

ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕДАЧИ СИГНАЛА

С.В. Рожкова

Томский политехнический университет E-mail: rozhkova@tpu.ru

Рассматривается задача исследования эффективности оптимальной передачи стохастических процессов по непрерывно-дискретным каналам с памятью и запаздыванием.

Ключевые слова:

Сигнал, стохастические системы, канал передачи, память, запаздывание.

Key words:

Signal, stochastic systems, transmission channel, memory, lag.

1. Постановка задачи

Данная работа является развитием результатов [1-4]. Система обозначений та же, что и в [1-5].

Сигнал xt, сообщение на выходе канала передачи zt и сообщение на выходе дискретного канала передачи rj(tm) задаются на реализациях процессов, определяемых стохастическими дифференциальными уравнениями

dX = F(t)X,dt + ФД?)dw,, jp0(x) = N{x; ju0, y0}, dzt = h(t, xt, xt, z)dt + Ф20 )dvt,

n(tm) = g(tm, XT z) + ФзО„^OmX

Задача: в классе кодирующих функционалов Î={#;G}={A0(-),g“(-)}, удовлетворяющих энергетическим ограничениям

M{h2(t, xt, XT, z)} < /г(?) < h,

M{g2 (tm , X,m , X , Z)} < &0m ) < g

найти функционалы h0(-) и g0(-), обеспечивающие относительно задачи фильтрации минимальную ошибку декодирования A0(t)=infA(t), где

A(t)=M{[xt-x(t,z,n)]2} является ошибкой оценки фильтрации x(t,z,n) процесса xt, которая соответствует принятому сообщению {z«;rnm} при заданных h0(-), g0(-). Так как при заданных h°(-) и g0(-) оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой фильтрации является апостериорное среднее u(t)=M{xJz0', п"}, то A(t)>M{y(t)}, где 7(t)>M{[xt-u(t)]2|z0',n0'"}. Таким образом A0(t)=infM{T(t)}.

Данная задача была решена в [1] на классе кодирующих функционалов К;={Н;;0;}, где

H =

h(-): h(t, x,, xT, z) =

G , =

[= й(,, z) + Н 0 (Г, z) х, + Н1 (Г, z) хт| ’

("я О: Я От, х^ z) = 1

| = Я(,т , Z) + ^оОт , Z)Х,„ + ^От , z)Х, | ,

в [2] на классе кодирующих функционалов К/={Н/;0/}, где

н1 = (А(-): ЛО, хт, z) = й(,, z) + Н1 (,, z) хт},

С] = {£ (') : Я (,т , хт z) = Я (,т , z) + ^От , z) хТ }

в [3] на классе кодирующих функционалов К;0Д={Н;;О/}, где

|й(-): й(,, х,, хТ, z) =

[ = й(,, z) + Н 0(,, z) х, + Н 1(,, z) хт

= {Я 0 : Я От , хт z) = Я (,т , Z) + ^От , z) х, }-

Рассмотрим эффективность оптимальной непрерывной передачи с памятью относительно оптимальной непрерывной передачи с запаздыванием в случае, когда оптимальная передача в дискретном канале является передачей с памятью.

Замечание. Так как при оптимальном способе передачи при энергетических ограничениях ЩН%х„Хт,1)}<Щ)<1г, Ш^^х^х^)}^^)^ в каналах с памятью передаются только текущие зна-

H,

чения процесса х, тогда согласно Замечанию 2 из [1] каналы с памятью и без памяти эквивалентны.

Согласно данному Замечанию поставленная задача эквивалента задаче исследования эффективности непрерывной передачи без памяти относительно непрерывной передачи с запаздыванием, когда дискретный канал без памяти.

В качестве мер эффективности непрерывной передачи без памяти относительно непрерывной передачи с запаздыванием при фильтрационном и интерполяционном приемах ^ерем величины £/0=Л0(~/Л°(0и £;( т,0=л°и( Т,0/Лп( т,0, где Л°(0 и Л°и( т,0, Л°(0 и Л“1(т,/) являются среднеквадратическими ошибками воспроизведения сигнала х.

Введем обозначения

,*=,-т , 8С(,)=/(,)/*(,), 8„(,т)=^(<т )/гот), р(т ,,) = (Л 01(т , ,))7л о(,)Л01(т ,,), (1)

р (т ,,)=(/Л О1Т , ,))7 /Л 0(,)Л О1Т ,,).

Очевидно, что величина ( есть время запаздывания, 8,(0 и 8/т) - отношения сигнал/шум по интенсивности в непрерывном и дискретном каналах при оптимальных способах передачи, р(т,/) и р(т,/) - квадраты коэффициентов корреляции между Д(/)=х-^°(0 и /~°(^,/)=хт-^0(т,/) при непрерывной передаче без памяти и с запаздыванием, соответственно. Данное исследование проведем для частного случая, когда

^(,) = -а, а > 0, /г(,) = /г, £(,,„) = Я

Я(,) = ^, V(,т ) = V, (2)

т. е. процесс х является процессом Орнстей-на-Уленбека [5] и каналы передачи являются стационарными с постоянными параметрами.

Предполагается: 1) /т - первый момент передачи в дискретном канале; 2) время т является достаточно большим, когда на интервале /е[0,т] дифференциальное уравнение для Л°(/) при условиях (2) достигает стационарного значения Л°(т)=Л°=сош1.

2. Основные результаты

Теорема 1.

1) Для е и е справедливы формулы

е,(,*) = Л°(,*)/Л0(,*) и е, (,*) = Л01(,*)/Л01(,*), (3) где

Л0 (,*) = [0/(2а + 8 )][1 - ехр{-(2 а + 8), *}] +

+Л0(т)ехр{-(2 а + 8с ),*}, (4)

Л0 (,*) = [0/2 а] [1 - ехр {-2 а, *}] + +Л0(т)ехр{-(2 а + 8с) ,*},

Л?1(,*) = Л0(т)[1 -8С/ (2 а +5С )]х х[1 - ехр{-(2 а + 8с ),*}],

(5)

01(, *) = Л0(т)ехр{-8/*}, (7)

Л0 (т) = [0/ (2а + 8С)] [1 - ехр{-()2 а + 8}] +

+у0 ехр{-(2а + 8С)т}.

2) Пусть е/(°)=11ше/(/') и е(°)=Ите(0 при /*^0; еДда^ИтеД/*) и е(да)=Ите(0 при /*Т<». Тогда £/0<1 является функцией (, монотонно убывающей от значения £/0)=1 до значения еД<»)=[1+(8,/2я)]-1и е/0>1 является функцией /*, монотонно возрастающей от значения е(°)=1 до значения е;(<»)=<».

Доказательство:

~ Решения уравнений (15), (14), (1°) из [2] для Л°01(т,0, Л°и(т,~), Л°(/) с начальными условиями Л001(т,т)=Л0(т), Л°1(т,т)=Л°(т), Л°(т) при и выполнении (2) имеют вид

Л 01 (т,,) = Л 0(т)ехр{-( а + 8С)(,-т)},

/Л 01 (т,,) = Л0(т)ехр{-8с(,-т)},

Л0 (,) = [0/ 2а][1 - ехр{ -2 а(, - т)}] +

+Л0(т)ехр{-(2 а + 8с)(, -т)}. (8)

Тогда (5), (7) следуют из (8). Решение уравнения (1°) из [1] с начальным условием Л°(т), при />т и выполнении (2) имеет вид

Л 0(,) = [0/(2а + 8С )][1 - ехр{-(2 а + 8с)(), - т}] +

+Л0(т)ехр{-(2 а + 8с)(,-т)}. (9)

Тогда (4) следует из (9). Из [3] следует, что на кодировании (5) в [1] уравнения для Л°01(т,0 и Л°и(т,0 при выполнении (2) имеют вид

й Л01 (т, ,)/ <* = -(а + 8с )Л01 (т,,),

й Л0Дт,, )/ й = -8с (Л 01 (т,, ))7Л 0(,).

При начальных условиях Л°°1(т,т)=Л°(т) и Л°11(т,т)=Л°(т) решение уравнения для Л°°1(т,/) имеет свойство Л°01(т,0=Л001(т,0, а решение уравнения для Л°и(т,0 имеет вид

/1 -[8с/ 2( а + 8с)] х Л

чх[1 - ехр{-2( а +8с)(г-т)}]у

Тогда (6) следует из (10). Учитывая в (8), что на интервале непрерывный канал ~может быть только каналом без памяти, получаем Л°(т)=Л°(т), и формула для Л°(т) следует из (9), где т=0, /=т, Л°(0)=7°. Свойства 2) следуют из (3)-(7).

Далее рассмотрим влияние непрерывных каналов на дискретную передачу без памяти при фильтрационном и интерполяционном приемах, вводя меры эффективности

еГ (,т ) = Л0(,т )/Л0(,т - 0) ,

е/ (,т ) = Л0(,т )/Л0(,т - 0) , е, (,т ) = Л“(т, ,т VЛп(т, ,т - 0) , е, (,т ) = Л 01(т, ,т )/Л “(т, ,т - 0) (11)

Л01(т,,) = Л0(т)

(10)

и предполагая, что , - первый момент передачи в дискретном канале.

Теорема 2.

1) Для еД), е/О, е(т), ё,ю справедливы формулы

е/ (С) = г?/ О™) =[1 + 8 ]"‘> (12)

е, (С) = е, (гя; «*) = [1 + 8 ]-1[1 + 8 (1 - Р( «*))],

є,(с) = е,(«т;О = [1+8]-1[1+8 (1 -р(«*))], (із)

р(,*) =

і—

(14)

2(a + 8c)

x exp{2( a + 8c )t *} p (t*) = exp{-2 at *}.

2) Пусть: e,(tffl;0)=lime;(tffl;t*) и i~.(tffl;0)=limi~(tffl;t*) при /40; e,(tffl;œ)=lime;(tffl;f) и ,e;(tffl;œ)=lime;(tffl;f) при fïœ. Тогда e,.(tm;f)<1 и £;(tm;0<1 являются функциями t, монотонно возрастающими от значения e;(tffl;0)=~;(tffl;0)=e/(tffl)=(1+^~)-1 до значения Ei(tm;x,)=Ei(tm;x,)=1, и Si(tm;f)> Si(tm;f) при конечных значениях f>0.

Доказательство:

Из (12) в [1], (16) в [3] с учетом (1), получаем A0(tm ) = [1 +8 ]-1 A°(ги - 0),

A0(tm ) = [1 +8 ]-1 A0(t„ - 0),

A°(t, tm) = [1 + 8d]-1[1 + 8d (1 - p(t*))]A°(t, m - 0),

A01 (t, tm) = [1 + 8d]-1[1 + 8d (1 -p(t*))]A01(T, m - 0). (15)

Тогда формулы (12), (13) следуют из (11), (15), а (14) следуют из (1), (6), (7), (10) с учетом A001(f)=A001(f)=A0(T)exp{-(a+8c)f}. Свойства 2) следуют из (13), (14) с учетом того, что p(f)<p(f) при конечных f>0.

В качестве меры информационной эффективности для случаев фильтрационного и интерполяционного приемов берем величины

Alt = / [•] -/ [•],

Alt. = T, [•] - Itm-0H, AÎL = 4m [•] - l-0Б

ait = /th - it [•],

A/T" = T [•] - T-“[•], ATT- = T [•] - T-“[•].

Теорема 3.

1) Для AIt и AIT справедливы формулы

A/t (t*) = (1/2)ln{A °(t*)/ A 0(t*)},

A/T (t *) = (1/2)1л{Д 0i(t *7A0i(t *)},

(16)

(17)

где A0(O, A0(f)_j A“1(/'), Aû(f) определены в (4)-(7).

2) Для A., AÎt, A/T'", AÎ" справедливы формулы

A/, = A/, = (1/2)1n{[1 + 8 ]},

(18)

A/T" = (1/2) 1n{[1 + ôrf][1 + 8d (1 - p( T*))]-1}, (19)

A/T" = (1/2) 1n{[1 + 5d ][1 + 5d (1 - /5( T*))]-1}, (20)

где p(f), p(f) определены в (14).

3) Пусть: Л/(0)=КшЛ/(0 и Л/т'(0)=ИшЛ/т'(/') при (^ю; Л/(го)=КшЛ/( О и Л/Дю^ИшЛ/Д/') при /*Тю; Л/T'm(0)=1imЛ/T'm(f) и Л~;'m(0}=1imЛІT'm(f)~при fi'ю; л/T'm(ю)=1imЛ/T'm(f) и Л/T'm(ю)=1imЛ~Tm(f) при /*Тю. Тогда Л/( /*)>0 является функцией (, монотонно возрастающей от значения Л/(0)=0 до значения Л/(ю)=(1/2) 1п{1+(8с/2а)}, а Л1т‘(^)<0 является функцией f, монотонно убывающей от значения ЛТт'(0)=0 до значения Л/т'(ю)=-ю; Л/T'm( Г)>0 и Л/^ Г)>0 является функцией (, монотонно убывающей от значения Л/T'm(0)=Л~'m(0)=(1/2) 1п{ 1 +8^} до значения л/т'm(ю)=лiт'm(ю)=0, и Л/T'm( ^Л^() при конечных значениях 00.

Доказательство:

Из (46) в [2] имеем

I, [•] = (1/2) 1п[ Д,)/ Л 0(,)],

/, [•]=а/2) щ до/ л 0(,)].

Аналогично

/Т [•] = (1/2) 1п[ Дт)/ Л 01(т,,)],

Г [•] = (^2)1п[ Дт)/ Л 01(т,,)].

Тогда формулы (16), (17) очевидны, а (18)—(20) следуют из (14), (33) из [4] и (15). Свойства 3) следуют из (16)—(20), (4)-(7), (14) с учетом того, что р( 0<р(О при конечных 00.

Заключение

1. Свойства е( 0<1, Л/(/*)>0 и е( ^)>1, Л/т‘(^)<0 означают, что непрерывный канал передачи без памяти более эффективен, чем непрерывный канал передачи с запаздыванием при фильтрационном приеме, и имеет место обратные свойства при интерполяционном приеме. Эти свойства объясняются тем, что при фильтрационном приеме восстанавливается текущее значение х процесса х„ содержащееся в текущем наблюдении г., в случае каналов без памяти, а при интерполяционном приеме восстанавливается прошлое значение хт процесса х„ содержащееся в текущем наблюдении г, в случае каналов с запаздыванием.

2. Свойства (12) и (18) означают, что при фильтра-

ционном приеме эффективности дискретных каналов без памяти при непрерывных каналах без памяти и с запаздыванием совпадают. Эти свойства объясняются тем, что при фильтрационном приеме в момент времени 4 в дискретном канале восстанавливается значение х^ процесса хя, которое содержится в текущем наблюдении п(О, и следовательно имеет место пересчет среднеквадратических ошибок Л°(4-0) и Л°(4-0) в Л°(4) и Л°(О с единым коэффициентом, определяемым свойствами только дискретного канала (см. (15) для Л°( 4) и Л°(О). ~

3. Свойства е(4; () и Л/Х /*)>Л1^() для 00 означают, что при интерполяционном приеме эффективность дискретных каналов без памяти выше при непрерывных каналах с

запаздыванием, чем при непрерывных каналах без памяти. Это Свойство объясняется тем, что при интерполяционном приеме в момент времени 4, воспроизводятся прошлые значения хт процесса х„ которые не входят в текущие дискретные п(0 и текущие непрерывные наблюдения ^ при непрерывном канале без памяти, и входят в текущие непрерывные наблюдения ^ при непрерывных наблюдениях с запаздыванием. Таким образом, имеет место пересчет величин Л011(т,,m-0) и Д¡1(т,/m-0)_в ЛМтО и Л°1(т,0 (см. (15) для Л°п(т,0 и ЛМтО) с раз-

личными коэффициентами, а более высокую эффективность непрерывных каналов с запаздыванием обеспечивают указанные свойства. Отсутствие непрерывной передачи соответствует случаю 8С=0. Так как ]шр(()=р(() при 8^0, тогда из (13), (19), (20) для случая отсутствия непрерывных каналов 8С=0 имеют место свойства е¡(tm;f)=Б¡(tm;f) и ВЛ/Х^Л!^), физический смысл этих свойств очевиден.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013, проект № 14.B37.21.0861.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Рожкова С.В. Оптимальная непрерывно-дискретная передача сигнала по каналам с памятью при наличии бесшумной обратной связи // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 5. - С. 6-9.

2. Рожкова С.В. Оптимальная непрерывно-дискретная передача сигнала по каналам с запаздыванием // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т 321. - № 5. -С. 10-13.

3. Рожкова С.В. Оптимальная передача сигнала по совокупности непрерывного и дискретного каналов с памятью и запаздыванием // Известия Томского политехнического университета. -2013. - Т. 322. - №2. - С. 8-10.

4. Демин Н.С., Рожкова С.В. О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации и интерполяции по наблюдениям с памятью. Условно-гауссовский случай // Известия Томского политехнического университета. - 2004. -Т. 307. - № 4. - С. 6-10.

5. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 4. -С. 39-51.

Поступила 01.04.2013 г.

УДК 519.2

РАСПОЗНАВАНИЕ СОСТОЯНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ФИКСИРОВАННОЙ ПАМЯТЬЮ

С.В. Рожкова

Томский политехнический университет E-mail: rozhkova@tpu.ru

Рассматривается задача распознавания произвольного числа гипотез, когда ненаблюдаемый процесс является процессом с непрерывным временем, а наблюдаемый процесс представляет собой совокупность процессов с непрерывным и дискретным временем с фиксированной памятью произвольной кратностью.

Ключевые слова:

Стохастические системы, память, распознавание, отношение правдоподобия.

Key words:

Stochastic systems, memory, recognition, likelihood ratio.

1. Постановка задачи

На вероятностном пространстве (ОД^^,^^) ненаблюдаемый «-мерный процесс х1 (полезный сигнал) и наблюдаемый /-мерный процесс т, непрерывным временем определяются стохастическими дифференциальными уравнениями

йх, = f (,,х,,z,в)й, + Ф1(,,х,,z,Q)cЬt, (1)

йг, = /(,, х,, хт, ■ ■ ■, хт, z, в)й, + Ф2(,, z)йу,, (2)

а наблюдаемый ^-мерный процесс пЮ с дискретным временем имеет вид

П (,т ) = Я (,т , х,т , хт , ■, хт„ , ^ в) + Ф3(,т , ^ в)£(,т X

т = 0,1, ■,

где 0<тN<...<т1<tm<t. Параметр в является идентификатором типа гипотезы и может принимать значения из множества Ов={в0,в1,.вв£1 с априорными вероятностями дl(вi■)=P{в=вi■},у=0;г. Предполагается: 1) процессы и у1 являются стандартными ви-неровскими процессами размеров г1и г2 и при всех веОв коэффициенты уравнений (1), (2) удовлетворяют условиям [1], а веОвнеперывна по всем аргументам; 2) - стандартная белая гауссовская

последовательность размера г3 с M{¿;(tm)|в=вi■}=0 и M{Ш‘f(tm)|в=в}=/8mfo 3) х°, щ, V,, £(0, в статистически независимы; 4) /•), Ф(), &(•), Ф2(), ,?(•), Ф3() являются неупреждающими функционалами от реализаций соответственно т=Т°/ и 1=Т^; 5) 0(-)=Ф[(-)>0, Л0=Ф20Ф/0>°, Г0=ф3(0ф/0>0 при всех