CC BY
24
запаздыванием, чем при непрерывных каналах без памяти. Это Свойство объясняется тем, что при интерполяционном приеме в момент времени 4, воспроизводятся прошлые значения хт процесса х„ которые не входят в текущие дискретные п(0 и текущие непрерывные наблюдения ^ при непрерывном канале без памяти, и входят в текущие непрерывные наблюдения ^ при непрерывных наблюдениях с запаздыванием. Таким образом, имеет место пересчет величин ЛЦтЛ-О) и Л;(т,/и-0)~в Л°и(т,0 и Лп(т,0 (см. (15) для Л°п(т,0 и Л^тО) с раз-
личными коэффициентами, а более высокую эффективность непрерывных каналов с запаздыванием обеспечивают указанные свойства. Отсутствие непрерывной передачи соответствует случаю 5С=0. Так как Ишр(0=р(0 при 5^0, тогда из (13), (19), (20) для случая отсутствия непрерывных каналов 5С=0 имеют место свойства £;(4;0=~;(4,;0 и БЛТ(()=Л1Т~((), физический смысл этих свойств очевиден.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013, проект № 14.B37.21.0861.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рожкова С.В. Оптимальная непрерывно-дискретная передача сигнала по каналам с памятью при наличии бесшумной обратной связи // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т. 321. - № 5. - C. 6-9.
2. Рожкова С.В. Оптимальная непрерывно-дискретная передача сигнала по каналам с запаздыванием // Известия Томского политехнического университета. - 2012. - Т 321. - № 5. -C. 10-13.
3. Рожкова С.В. Оптимальная передача сигнала по совокупности непрерывного и дискретного каналов с памятью и запаздыванием // Известия Томского политехнического университета. -2013. - Т 322. - №2. - C. 8-10.
4. Демин Н.С., Рожкова С.В. О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации и интерполяции по наблюдениям с памятью. Условно-гауссовский случай // Известия Томского политехнического университета. - 2004. -Т 307. - № 4. - С. 6-10.
5. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 4. -С. 39-51.
Поступила 01.04.2013 г.
УДК 519.2
РАСПОЗНАВАНИЕ СОСТОЯНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ФИКСИРОВАННОЙ ПАМЯТЬЮ
С.В. Рожкова
Томский политехнический университет E-mail: rozhkova@tpu.ru
Рассматривается задача распознавания произвольного числа гипотез, когда ненаблюдаемый процесс является процессом с непрерывным временем, а наблюдаемый процесс представляет собой совокупность процессов с непрерывным и дискретным временем с фиксированной памятью произвольной кратностью.
Ключевые слова:
Стохастические системы, память, распознавание, отношение правдоподобия.
Key words:
Stochastic systems, memory, recognition, likelihood ratio.
1. Постановка задачи
На вероятностном пространстве (Q,F,fb(Fi)i>0,P) ненаблюдаемый «-мерный процесс xt (полезный сигнал) и наблюдаемый /-мерный процесс z, непрерывным временем определяются стохастическими дифференциальными уравнениями
dxt = f (t,xt,z,Q)dt + Ф1(/,xt,z,d)dwt, (1)
dzt = h(t, xt, xT, ■■■, xT, z, 0)dt + Ф2^, z)dvt, (2)
а наблюдаемый ^-мерный процесс rj(tm) с дискретным временем имеет вид
n(tm) = g(tm,x,m,xtn,z,6) + Фз(4 ,ze)^(tm X m = 0,1,-,
где 0<тлг<...<т1</и<7. Параметр 0 является идентификатором типа гипотезы и может принимать значения из множества О0={00Д,..00} с априорными вероятностями р0(0)=Р{0=0},у=0;г. Предполагается: 1) процессы щ и у1 являются стандартными ви-неровскими процессами размеров г1 и г2 и при всех 0еО0 коэффициенты уравнений (1), (2) удовлетворяют условиям [1], а 0еО0неперывна по всем аргументам; 2) £(4) - стандартная белая гауссовская последовательность размера г3 с М{<К4,)|0=0,}=0 и М{Ш<?Ю|е=0}=/4ь 3) Х0, Щ, V, £(0, 0 статистически независимы; 4) /•), Ф(), й(-), Ф2(), #(•), Ф3() являются неупреждающими функционалами от реализаций соответственно 1=^ и т=т0”; 5) 0(-)=Ф[(-)>0, (3) Д-)=Ф2(-)Ф/(-)>0, Г0=ф3(0ф/0>0 при всех
0еО0; 6) заданы начальные плотности
Р0(х0)=дР{х0<Х| 0= 0}/дх, у=0;г.
Задача: по совокупности реализаций
Т0'={г(а-):0<а</} и nom={n(Io),n(Il),•••,n(Im)} найти отношения правдоподобия А/0:0а) в задаче распознавания гипотез Щ0=в) и Щ0=0},у=0;г, а=0;г.
2. Основные результаты
Метод нахождения А/0:0а) основан на формуле [2]
Л 0 :0а) = [ РО(0а)1РО(0] )] Р (0 :0а, (4)
которая связывает отношение правдоподобия и отношение апостериорных вероятностей гипотез
Р (0/ 0 а) = Р, (0/ )/ Р (0а), (5)
где
р, (0.) = ?{0=0М,<}, / = 0Г (6)
Теорема 1.
Апостериорные вероятности (6) гипотез Н{0=0} на интервалах 1м<1<1м+1 определяются уравнениями
(,р,(00,) = р,(0,)[И(,, 2 \0!) -Ь(г, ¿)]Т х
(7)
хЯ 1 (г, г)[сЪ' - Ь(г, 2)С] с начальными условиями
Рт (0.) = [С(п(,т), 20 )/С(П(,т ), 2)]рп-00 ), (8) где
Н(г, 2 0/) = Ш{Н(г, х,, хТ, 2,0) 0=0., ¿0,4™}, (9)
И(г,2) = Ш{И(г,х,,хт", 2,0) 00,пЛ =
= Е И({, 210/ )Р‘(0. X
/=о
С(П(,т X 2 |0/ ) =
= Ш{С (п (,т), 2, х,ш, хТ ,0) 0 = 0/, 2 0т ,пт-1}, (10)
С (П(,тХ 2) = Ш{С(П(,т X ^ х,т , хТ, 0) |2 0т ПО_‘} =
= ЕС (П(,т X 2 \0/ ) Р,т-О(0/ X (11)
1=0
С (П(,т X 2, х хт ,0/ ) = \У (,т , 2,01 )| 112 Х
х ехр
- 2[п( гт ) - 8 ('т , х хм , 2,01 ХТ Х
(12)
XV(гт , 2, 01 )[п(гт ) - 8('т , X хт , 2, 0/ )]]
арт-0(0)=Ишр(0) при ^т.
Доказательство:
р, (х; хм ;0/) =
= дТ+гР{х, < х,х < хы,0 = 0.12 о,п1}/дхдх^, на интервалах /м«м+1 справедливо уравнение
с,р,(х; хт ;01)=ь,Лр, (х; хм ;0])]с +
+Р ! (х; хк ;0/)[Н(,, х, хк, 2,0 ) - Щ, 2)]Т х
хЯ1^,2)[й21 - Н(:,2^], (13)
где Х(х[-] - прямой оператор Колмогорова, соответствующий процессу XI при 0=0 [3]. Так как
р,(х;хт;0/) = р,(х;хт 0)р, (0 X (14)
где
р, (х; хт |0/) =
= дТ+1Р{х, < х,хТ < хы 0 = 0/,2о,пт }/дхдх^, ,(15)
то интегрирование (13) по {хх} с учетом (14) дает (7). По формуле Байеса
Р,т (х; хн ;0/) =
Р(п(,т)|\ = х>хТ = хм,0 =0.,20тпГ1)х
х Р,т -о( х; хм ;0.)
(16)
} Р(П(,т )| хт = х> хТ = хТ ,0=0к , 20~ П _1) х х Рт _0( х; хы \0к )СхСхм
где р|м-0(х;х^;0)=11шр|(х;;~у;0;) при |Т|„. Из (3) с учетом Предположений 2), 3) следует
Р(П(С)|x,^",0/,20т,п’°=
= ^{п(С X 8(^, х хт, 2,01X V(^, 2,0 1)}. (17)
Использование (17) в (16) с учетом (11), (12) дает
р ,т (х; хт ;0/) =
С (П( *т X 2, х хт ,0/ )
Ч Ч р,т-0(х; хм ^¡,
С(п( т X 2) "
-р, -о(х;хт;0,).
(18)
Интегрирование (18) по {х,~д} с учетом (10), (14) дает (8).
Следствие 1.
Для р/0) справедлива формула
Р, (0j) = Рт,-о0)х ' С (п(,I), 2 0/)'
С (п(,|), 2)
х ехр
Т [Кs, 2 0/) - Н($, 2)]Т х
С2Х -— к($, 2 00. -— И (5,2
(19)
Доказательство:
Пусть р~/0)=1п{р/0)}. Дифференцирование по формуле Ито с учетом (7) дает для 1м<1<1м+1
С,Р, (0/) = [И(,, 2 0/ ) - И(,, 2)] х
хЯ-1( ,, 2)
1-
(к, — И( ,, 2 0,) — И( ,, 2)С
Из (8) следует р,т (0/) = Рт-о(0/ ) +1п
С(П(,т ), 2 0/ )
С(п(,т ), 2) .
(20)
Так какpt(в)=exp{pt(0¡)}, то (19) для 1>т1 следует из (20), (21).
Теорема 2.
Отношение правдоподобия Л|(0:0а) в задаче распознавания гипотез Н={в=в} и Н={0=0}, у=0;г, а=0;г на интервалах 1м<1<1м+1 определяется уравнением
С, Л, (0/ :0а) =
= Лt (9! : 9 a )[h(t, z 9, ) - hit, Z \ва )] X
хR (t, z)[dzt - h(t, z \9a)dt],
(22)
с начальным условием
Л,.(0/ :0а) =
= [С (П(,т ), 2 0/ )/С(П(,т ), 2 0 а)]\м-00 :0 а), (23)
где Л|м-0(0:0а)=НшЛ|(0:0а) при А 1м.
Доказательство:
Дифференцирование (5) по формуле Ито с учетом (7) дает уравнение
СР(0/ :0а) = Р(0/ :0а)[И(,,20/)- И(,,20а)]Тх
хЯ-1(,, 2)[(2, - И(,, 2 \0а)С,]. (24)
Использование (4) в (24) приводит к (22). Использование (8) в (5) с последующим использованием (4) дает (23).
Следствие 2.
Для Л|(0:0а) справедлива формула
Л, (в/ 0) = \ _00 :ва ) х
xexp
с (v(t, X z 9j )
C (Vit, ), Z 9a)
T [h(S, z 9,) - h(S, z 9a)]
xR-1 (s, z)
dz! -1 h(s,z 9, )ds -1 h(s,z \9a)ds
Доказательство:
Представим уравнение (22) в виде
(25)
dtЛt (9, :9а) = Лt(9, : 9a)[h(t, z 9,) - h(t, z 9a)] Tx
xR 1 (t, z)[h(t, z) - h(t, z \9a)]dt + +Лt (9, : 9a)[h(t, z9} - НІЩО)]T x
xR 1(t,z)[dzt -h(t,z)dt].
(26)
Пусть
Л,9 :9a) = ЩЛ(9, :9a)}. (27)
Дифференцирование (27) по формуле Ито с учетом (26) дает для tm<t<tm+1
dЛ,(9, :9a) = [h(t, z 9 ) - h(t, z 9a)]T x dzt -1 h(t,z 9)dt -1 h(t,z \9a)dt
. (28)
xR-1(t, z)
Из (23) следует
- - C (n(tm), z I#,-)
Лt(0 :ва) = A, o(#, :ва) + ln (/(m), y). (29)
t( 7 a) tm0Vj a) C(n(tm),z|в„)
Так как А,(0-:ва)=ехр{А,(0:ва)}, то (25) для Ог1 следует из (28), (29).
Заключение
Из Теорем 1, 2 следует, что эффективное вычисление p,(0) и Л,(0:0а) реализуется при возможности эффективного вычисления h(t,z |0) и C(n(tm),z\0j), которые согласно (9), (10), (15) определяются формулами
h(t, z 0j) = J... Jh(t, x, XN, z, 0)pt (x; XN 0 )dxdxN ,
C (n(tm ), z 0, ) =
= J. JC (n(tm I ^ x xN ,0 ) Ptm-0( x; xN 0 )dxdxN ,
где условные апостериорные плотности pt(x;x0 на интервалах tm<t<tm+1 определяются уравнениями
d,P,(x; xn 0) = L x[Pt(x'; xn 0 )}dt +
+P (X XN 9 ) [h(t, X XN, z, 9 ) - h(t, z 9 )]T x
(30)
(31)
xR (t, z)[dzt - h(t, z)dt] с начальными условиями
Ptm (x; \ej) =
С(n(tmI^xxN,eJ) _ .
= —nf // \ \a \— Ptm-0(x;xn \ej)■
C(n(tm \ z |0j) m '
Уравнение (30) следует в результате дифференцирования по формуле Ито соотношения
Pt(x; xn 0j)=Pt(x; xn ; 9 У p, Щ )■ (32)
С учетом (15) и (13), а (31) следует из (8), (20), (32).
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., проект № 14.B37.21.0861.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. - М.: Наука, 1974. - 696 с.
2. Middleton D. Introduction to statistical communication theory. -New York: Mc Graw-Hill, 1960. - 1140 p.
3. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Известия РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 4. -С. 39-51.
Поступила 04.04.2013 г.
