Исследование движения оборотного математического маятника с изменяющейся длиной нити Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531

Л. А. Булатов, канд. техн. наук, доц., (4872)35-18-32, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),

В.Д. Бертяев, канд. техн. наук, проф., (4872)35-18-32, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),

А.Е. Киреева, канд. техн. наук, доц., (4872)35-18-32, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ОБОРОТНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ДЛИНОЙ НИТИ

Приведены исследования движения оборотного математического маятника с изменяющейся длиной нити. Определены области фазовых плоскостей.

Ключевые слова: маятник, равновесие, Лагранж, спираль, колебательные.

Исследуем движение материальной точки М оборотного математического маятника. Оборотный математический маятник представляет собой материальную точку М массой т, подвешенную на невесомой нерастяжимой нити конечной длины 11, которая намотана без проскальзывания на неподвижный цилиндр радиуса г. В положении устойчивого равновесия М0 длина свободной части нити равна 10 (рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема

В произвольный момент времени положение материальной точки М определяется радиус-вектором Я. В качестве обобщенной координаты принят угол ф отклонения натянутой нити от положения устойчивого равновесия М0 при начальных условиях: фф = ф0, ф| = ф0.

На точку М действуют две силы: сила тяжести Р и реакция нерастяжимой нити N (рис. 1).

Дифференциальное уравнение движения получим при помощи уравнения Лагранжа второго рода:

d_

dt

rdT^

dT dl

(1)

d(p) dp dp

где T - кинетическая энергия; П - потенциальная энергия.

Кинетическая энергия материальной точки

T = 2 mV2 = 2 ml 2ф2 = 2 m( + ( ф2. (2)

Здесь V = l = (l0 + Al) = (0 + r()p - скорость материальной точки.

Потенциальная энергия материальной точки в произвольный момент времени (см. рис. 1):

I = mgl,

где h = y - y0 = l0 + r sin(() -1 cos((), тогда

I = mg [l0 + r sinp - (l0 + r()cos(]. (3)

Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1), получим дифференциальное уравнение движения точки М:

(l0 + r()p + r(p2 + g sin ( = 0. (4)

Начальные условия для уравнения (4) имеют вид

4-0 =(с> я\ t=0 =%. (5)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т.е. выполняется условие: х2 + y2 = l2 (или N > 0), и

l l -1

0 < l0 + r(< li (или) --° = amin <(< amax = J--4 (6)

r r

которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.

С учетом (6) дифференциальное уравнение (4) имеет вид

~ -2 k2 . _

(р +--^ Ф +------^sin( = 0, (7)

1 + r( 1 + r (

где ~ = r/l0 = 1/amin - приведенный радиус неподвижного цилиндра,

k=V^0.

Реакцию нити N найдём из основного уравнения динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией АМ:

N = (1 + ~()<~2 + cosp, (8)

где С = ф/ k - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали;

N = N/mg - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Анализ дифференциального уравнения движения (7) проведём через закон сохранения механической энергии T +1 = To + /0, и с учетом соотношений (2) и (3), получим

(l + ~ф)2 S2 - 2[(l + ~p)cos p- ~ sin p] = (l + ~Po )®о - 2[(l + ~Po )cos po - ~ sin (o \.

Данное выражение приведём к виду

,2 A + 2 B(p)cos(p + в(ф))

где B(p) = ^(l + rp)

s =------------------T7 ~((), (9)

(1 + r ф)

2 + rr 2

( ~ ^

в(Р( = arctg —, A = (1 + ~(0 )2 ^~02 - 2b(0 )cos((0 + e(0 )).

^1 +r p)

Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в

виде

~ = A + С (()cos(( + r(()) (10)

(1 + ~p)

_______________ (2 ~ 4

где С(()= V9(1 + ~ p)2 + 4~2 , r(()= arctg

13 (1 +

Анализ данной задачи показывает, что возможны два вида движения точки М, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.

Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки

^=0, > 0.

dp dp

Согласно выражению (3) получим

d]1 gl0 + rp)sinp = 0,

dp

d2 П

mg

. = m g[(l0 + (cos p + r sin p]= mgB(<p)cos(<p - в(р() > 0. dp

Так как В(р)> 0, а угол в изменяется внутри интервала 0 < в(р)^П, то положения устойчивого равновесия соответствует значениям p = 0,2п?, n е N.

График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис.2. При расчетах принято, что l0 =nr, т.е. amin = п .

—36 П

2и

1и

180 0 1 30 \ 3 50 / 5 40 \ 7 20 9 00 \ К 80 I ф 12

- 1 и - 2Сг

Рис. 2. Области на фазовой плоскости:

I - колебательного движения;

II - движения по раскручивающейся спирали

Рассмотрим теперь предельные состояния при движении груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду

0) = 41

A

и - Sin2

V 2 У

(ll)

y/ = p + Ppp), 12 = , 4B(p). > О .

4Б((р) 2 4Б(р) ’ ^ ^ ^^ (1 + ~ р)2

Анализ данного выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр с характеризует два вида движения точки: колебательное и по раскручивающейся спирали.

2 W

При значениях 0 < а < 1 его можно представить в виде а = sin — и

выражение (ll) запишется в виде

с2 = 412

• 2 Т -2 Т Sin------------Sin

2

2

откуда следует, что \т<Т и о

Т=±Т

О , т. е. движение носит колебатель-

ныи характер, максимальное отклонение которого а определится из уравнения

Sin

Т(а) =■ 2 т(а)

2

= Sin

2

При значениях с > 1 величина со > 0 в любой момент времени, и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение с = 1 (см. рис. 2), которое можно записать в виде

о

л • 2 Т

l - Sin —

2

Т

41 cos — или со = ±21 cos—.

2

2

При значениях> 21 со§~ груз может совершать движение по раскручивающейся спирали, а при значениях < 21 со§~ - колебательное движение.

Области на фазовой плоскости, в которых связь становится неудержи-

вающей N < О, ограничены кривыми со = ±

cosp (l + r p)

(см. рис. 2) и располо-

жены внутри интервалов - ат;п < ср < -2п и -2-п + 2т < ср < 2-п + 2т.

Следовательно, при колебательном движении груза его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превы-

п

шать величину атах = —.

2

Значения начальных условий, обеспечивающих такое движение груза при наличии удерживающей связи, расположены внутри областей I, ограниченных кривыми (см. рис. 2), определяемыми уравнением

®(0,®0,ашах

) = 0 или Л(ф0,ю0) + 2 В

П

V 2 у

СОБ

П

У

+в

П

V 2 уу

= 0.

Для нахождения области начальных условий, обеспечивающих движение груза по раскручивающейся спирали, рассмотрим выражение (10). Минимальное значение реакции нити достигается при ф = ф,, определяемых из уравнения

ф, + Г(ф,)=п(2п -1), п е N.

Семейство кривых Л(со0,ф0)-С(ф3)= 0, определяемых уравнением

N (0,ф0,ф^ )= 0, ограничивает снизу область начальных условий, обеспечивающих движение груза по раскручивающейся спирали (см. рис. 2, области II).

Так как С(ф)= V9(1 + гф) + 4~2 является возрастающей функцией ф, всегда наступит момент времени, при котором будет выполняться условие N (у0,ф0,ф^ )< 0. Таким образом, движение груза по раскручивающейся спирали не является устойчивым, поскольку всегда наступает момент времени, при котором связь становится неудерживающей.

В качестве примера рассмотрим решения дифференциального уравнения (7) со следующими начальными условиями (рис. 2):

1) ф0 = 0, 6У0 = 2 - обеспечивают колебательное движение (область

I); ~

2) ф0 = 0 ,йг0 = 8 - связь становится неудерживающей (область II). Численное решение дифференциального уравнения представлено на

рис. 3 - 6.

Рис. 3. График изменения реакции связи N при начальных условиях:

1 - ф0 = 0, г = 2; 2 - ф0 = 0, <~0 = 8

Рис. 4. График изменения угловой скорости со при начальных условиях:

1 - ф0 = 0, <~0 = 2; 2 - ф0 = 0, <~0 = 8

Рис. 5. Траектория груза при N > 0 и начальных условиях ф0 = 0 ,г0 = 8

Рис. 6. Траектория груза при начальных условиях ф0 = 0, <г0 = 2

Как видно из рис. 3, в момент времени t = 12,99 с связь исчезает

(N < 0) и груз начинает двигаться только под действием силы тяжести, как свободная материальная точка.

Список литературы

1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум: учеб. Пособие. СПб: БХВ-Петербург, 2005. 752 с.

2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч. 1, 2. М.: Наука, 1983. 500 с.

L. Bulatov, V. Bertjaev, A. Kireeva

The study movement of working mathematical pendulum with variable length strings The study of motion working mathematical pendulum with variable length strings is presented. Areas of phase planes are described.

Keywords: pendulum, balance, Lagrange, spiral, oscillatory.

Получено 07.04.10

УДК 514.77:512.54:517.91

О.А. Матвеев, канд. физ.-мат. наук, доц., (495) 492-39-92, [email protected] (Россия, Москва, Московский государственный областной университет), А.В. Паншина, канд. физ.-мат. наук, доц., (495) 573-07-16, [email protected] (Россия, Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана)

К ТЕОРИИ СИММЕТРИЧЕСКИХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

^поставляются широкие классы механических систем c локальносимметрическим и плоским многообразием аффинной связности, которые в результате предлагаемой конструкции получают точное дифференциально-геометрическое и алгебраическое описания.

Ключевые слова: механические системы, аффинная связность, квазигруппа, симметрическое пространство.

Общепризнано плодотворное взаимодействие классической дифференциальной геометрии и аналитической механики, в частности, очень интересна, по мнению автров, связь между локально симметрическими пространствами Эли Картана и интегрируемыми гамильтоновыми дифференциальными уравнениями [1 - 3]. Напомним, что дифференцируемое многообразие аффинной связности называется локальносимметрическим, если его поле кручения T и первая ковариантная производная тензорного поля кривизны равны нулю. Свойства геодезических линий симметрических пространств подробно и глубоко изучены и обобщаются на траектории механических систем широкого класса.