Оценка возможности уменьшения колебаний груза в динамической системе "вертолет - груз" Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность

№ 138

УДК 656.7.073: 629.735.45

ОЦЕНКА ВОЗМОЖНОСТИ УМЕНЬШЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ГРУЗА В ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ "ВЕРТОЛЕТ - ГРУЗ”

С.С. ПАВЛОВ

Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.

Проводится анализ влияния смещения точки подвеса маятника на характер колебаний груза, транспортируемого на внешней подвеске вертолета. Показано, что кратковременное смещение точки подвеса маятника при нахождении груза в определенной фазе приводит к уменьшению амплитуды колебаний груза.

Систему двух тел - вертолет и груз на внешней подвеске (ВП) - можно представить, как математический маятник (ММ), где вертолет является несущим телом, а груз несомым телом. Данную систему будет отличать большое многообразие физических явлений, характерных для ММ, у которого точка подвеса может перемещаться в различных направлениях с разным ускорением [1 - 7]. Вертолет и груз соединены друг с другом с помощью гибкого троса большой длины и шаровых шарниров. Известно, что данный вид связи - трос - работает только на растяжение и не работает на сжатие. Во время всего полета трос испытывает только растягивающие напряжения.

Кратковременное изменение направления движения при маневре вертолета способно вызвать как увеличение, так и уменьшение амплитуды колебаний груза. Это обстоятельство надо учитывать пилоту в момент управления вертолетом при маневре. На рис. 1 представлены варианты возможного взаимного положения вертолета и груза в начальный момент выполнения маневра.

¿1 Z Z 2 2

Рис. 1

Все перечисленные варианты отличаются значением фазы груза по отношению к вертолету. В дальнейшем будем считать: вариант 1 соответствует первой четверти периода, вариант 2 - второй четверти периода, вариант 3 - третьей четверти периода, вариант 4 - четвертой четверти периода.

В интервале 0 її происходят колебания груза в плоскости УО2, точка подвеса маятника при этом движется вдоль направления ОХ. В момент времени ^ точка подвеса маятника, т.е. сам вертолет, в течение короткого промежутка времени начинает смещаться вдоль оси О2 в положительном направлении. Необходимо проанализировать, как смещение точки подвеса в поперечной плоскости влияет на кинематику колебаний маятника.

Будем исходить из того, что длина троса, соединяющего вертолет и груз, во время маневра не изменяется. Запишем уравнение постоянства длины троса в системе координат 0ХУ2:

(У2 - Уї)2 + (22 - 2ї)2 = Ьр2 , (1)

где у1, 21, у2, 22 - координаты вертолета и груза, соответственно; Ьр - длина троса.

Взяв производную по времени от соотношения (ї), придем к выражению:

(У 2 -У1)• (Уу,2 -Ууд) + (г2 -г1)-(У2,2 -У2д) = 0 . (2)

В том случае, если точка подвеса смещается в горизонтальной плоскости, значения у1 = 0 и Уу 1 = 0. Тогда выражение (2) упрощается:

У 2 • Уу,2 + (22 -21 >У2,2 = (22 -21)• У2,,1 . (3)

Соотношение (3) позволяет определить, что если кинематические характеристики груза при смещении точки подвеса соответствуют варианту 1, то груз изменяет направление движения на противоположное. В этом случае в начальный момент выполнения маневра скорость груза падает до нуля, после чего груз начинает двигаться к положению равновесия. Данные проведенного анализа для различных вариантов движения груза сведены в табл. 1.

Таблица 1

№№ вар. Точка подвеса неподвижна У2 • Уу,2 + 22-у2,2 = 0 В начальный момент смещения точки подвеса У 2 • Уу ,2 + 22 -(У2,2 - У2,1 )= 2! ^2 - Уъ± ) Вывод

1) а > 0, а > 0 У 2 > 0,22 > 0,Уг,2 > 0 Уу,2 < 0 У 2 > 0, 2 2 > 0, ^,2 — У2,1 )> 0 если>0, то Уу2 >0 Г руз изменяет направление движения

2) а > 0, а < 0 У 2 > 0,22 > 0,Уг,2 < 0 Уу,2 > 0 у 2 > 0, 2 2 > 0, (у2,2 — У2,1 )< 0 если>0, то Уу2 >0 Груз не изменяет направление движения

3) а < 0, а < 0 У2 >0,22 <0,У2,2 <0 Уу,2 < 0 у 2 > 0, 2 2 < 0, (У2,2 — У2,1 )< 0 если>0, то Уу2 <0 Груз не изменяет направление движения

4) а < 0, а > 0 У 2 > 0,22 < 0,У2,2 > 0 Уу,2 > 0 у 2 > 0, 2 2 < 0, (У2,2 — У2,1 )> 0 если>0, то Уу2 >0 Груз не изменяет направление движения

При маневре вертолета, когда кинематические характеристики груза а и а соответствуют вариантам 2, 3 или 4, груз не изменяет направления движения на противоположное. Это означает, что выполнение маневра при данных условиях не приводит к уменьшению амплитуды колебаний груза. Данное обстоятельство позволяет обосновать тактику действий пилота при выполнении маневра.

Уравнение движения груза при смещении точки подвеса в горизонтальном направлении

Рассмотрим вариант 1, когда положение груза и его движение определяются следующими соотношениями: а > 0, а > 0. В момент времени вертолет (а значит и точка подвеса) в течение короткого промежутка времени А1 смещается вдоль оси Ъ (рис. 2).

При 1 < 11 происходят колебания маятника с неподвижной точкой подвеса: Х.1 = 0, Z1 = 0.

Такие колебания при а > 15° описываются уравнением 0+

С \ %_

V Ьр У

•бш а=0, где Ьр - длина под-

веса маятника. Величина периода колебаний маятника с небольшой погрешностью может быть определена с помощью формулы Т=2я^Ьр /§ .

При 1 > ^ точка подвеса смещается: ^ > 0, Z 1 > 0 . В этом случае система "вертолет -груз" характеризуется двумя степенями свободы и для описания ее поведения необходимо записать уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода.

Перечислим силы, действующие на систему. На вертолет и груз действуют силы тяжести и М^. Сумма этих сил при горизонтальном полете уравновешивается вертикальной составляющей тяги несущего винта (НВ). При маневре вертолета за счет наклона НВ в течение короткого промежутка времени возникает возмущающая сила Ев, которую можно рассматривать, как проекцию тяги НВ на ось 2. На груз действуют сила тяжести М^, сила натяжения троса N и сила инерции Еин. Сила инерции действует не всегда, а только в том случае, если вертолет при его смещении относительно оси Ъ находится впереди груза и движется с ускорением. Силу инерции надо учитывать, если фазовые соотношения между вертолетом и грузом соответствуют третьему или четвертому варианту (рис. 1).

Примем за обобщенные координаты системы: д1 = Ъ1 - смещение точечной массы М1 вдоль оси ОЪ; д2 = а - угол отклонения точечной массы М2 от вертикали, проходящей через точку подвеса. Обобщенные скорости - Z1,0.

Общий вид уравнений Лагранжа:

&

:<3- ■ *

э4 2 J V эч

2 У

а

MiV m2v22

где Qb Q2 - обобщенные силы, действующие на систему, Тс =----------1---------кинетическая

энергия системы, V1, V2 - абсолютные скорости движения точек 1 и 2 системы.

Учитывая, что скорость точки подвеса при перемещении равна V1 =Z 1, а скорость точки

2, зависящая от переносного и относительного движений маятника, можно определить с по-

2 " 2 2*2 "*

мощью соотношения V2 =Z1 + Lpа -2LpZ1 (acosa, выражение для кинетической энергии перепишем в таком виде:

2

м^2 Mw-, 2 2 - \

Тс = х 1 +-^- (Z 2 + L2p X2 - 2Lp Z1 (acosa). (4)

Слагаемые, входящие в уравнения Лагранжа второго рода, принимают вид:

- для обобщенной координаты q1:

ЭТс

3Zj

ЭТ

=0;

-=j + M2Z j - M2Lp a cos a;

Э^j

d ЭТС 2

-=M^ j + M2 Z j - M2Lp a cos a+M2Lp (a sin a,

dt ЭZ j

- для обобщенной координаты q2:

ЭТс ■ .

=M2Lp Z j(o sin a;

(5)

Эа

—=ML2

Эа

d ЭТС 2

M2Lp a - M2Lp Z jcos a+M2Lp Z j(0 sin a.

—=M2Lp a - M2Lp a - M2LpZ j cos a;

(6)

dt Эос

Обобщенные силы включают в себя потенциальные (Mig, M2g) силы и возмущающую (Fb) силу, под действием которой происходит перемещение точки подвеса. Силы трения, учитывая кратковременность смещения вертолета вдоль оси Z, в состав обобщенных сил не включены. Сила Fb отлична от нуля только во время выполнения маневра вертолета в горизонтальной плоскости. Обобщенные силы Qi и Q2 могут быть выражены через виртуальные

б й й Q (Z8Ak)i (V-8A )

работы сил, действующих на систему, с помощью соотношений Qi =-----, где (^oAk)

5qi

- сумма виртуальных работ действующих сил на возможных перемещениях 8Z и 8s = Lp8a. Виртуальная работа 8A1 = M1g8Zcos90° + M2g8Zcos90° + Fв8Zcos0o = Fв8Z. (7)

Виртуальная работа 8A2 = M2gLpcos(90° + a)8a = -M2gLpsina-8a. (8)

Заменим выражение для возмущающей силы Fb соотношением M12^ 1, тогда:

Qi = M1Z1, (9)

Q2 = -M2gLpsina. (10)

Уравнения Лагранжа для варианта 1 движения системы запишем в следующем виде:

для переменной Z1 M1Z1 + M2 Z1 - M2LP a cos a+M2LP a2 sin a=M1Z1, (11)

для переменной a M2L2p a - M2Lp Z 1 cos a=-M2gLPsin a. (12)

После преобразований запишем уравнения (11), (12) в виде:

a cos a-a2 sin a=Z 1/Lp, (13)

а+J • б1по=21собо/Ьр . (14)

Результаты численного моделирования уравнений движения

Численное моделирование проводилось в среде МайаЬ. Для решения дифференциальных уравнений использовался метод Рунге-Кутта. Величина ^1, входящая в правую часть дифференциальных уравнений, принимала ненулевые значения в течение короткого промежутка времени (Л^), что позволяло моделировать импульсное воздействие на систему "вертолет -груз". Результаты моделирования показаны на рис. 3 и рис. 4.

Изменяя начальный момент времени действия импульса, варьировали тем самым начало выполнения маневра относительно положения и направления движения груза. Это позволяло промоделировать 4 различных варианта маневра вертолета.

Поведение системы при импульсном воздействии на нее удобно проследить с помощью фазовых траекторий. Шаг счета при проведении численных расчетов брался равным И = 0,01 с. Фазовые траектории, характеризующие поведение динамических систем, в ряде случаев имеют очень сложный характер, но в отдельных случаях (и при решении данной задачи) их можно использовать для получения количественной оценки. Сначала определяли "отклик" системы на импульсное воздействие, вызванное смещением вертолета в горизонтальном направлении вдоль оси Ъ. Находились фазовые траектории движения груза при воздействии импульса силы при нахождении груза в разной фазе (варианты 1 - 4, упоминаемые в табл. 1). Продолжительность импульса во всех случаях была равна Л1 = 0,6 с при ускорении вертолета АЪ = ^ 1= 2 м/с2.

Длина троса между вертолетом и грузом бралась равной Ьр = 20 м. Моделирование показало, что наиболее существенное уменьшение амплитуды колебаний груза происходит, если маневр вертолета выполняется при условии, когда фаза груза удовлетворяет соотношению а> 0, 0 > 0 (это соответствует варианту 1 на рис. 1). Необходимо отметить, что амплитуда колебаний после выполнения маневра непосредственно зависит от момента времени 11 начала выполнения маневра, другими словами от того, каково было смещение груза в начальный момент.

Выполнение маневра при других соотношениях фазы груза (варианты 2, 3 и 4 на рис. 1) не приводит к уменьшению амплитуды колебаний груза, а наоборот амплитуда колебаний груза возрастает (см. рис. 4).

При проведении вычислительного эксперимента (ВЭ) с целью выявления наиболее эффективного маневра важно знать не абсолютное значение энергии колебательного движения груза, а величину, которая показывала бы, насколько изменилась энергия груза при маневре. Энергия колебательного движения груза, как известно, пропорциональна квадрату амплитуды. Учитывая это, можно записать:АПОО, '2~А^(12), где А^0^),А^(Ь) - квадрат амплитуды колебаний груза до (11) и после (12) проведения маневра. Изменение энергии при маневре будет равно ЛW = '1 - '2 ~ [АП0а)-АП(Ч)]. Тогда в качестве показателя эффективности (ПЭ) маневра предлагается использовать следующую величину:

ПЭ = —=1-Ат(12) . (15)

'1 а т(11)

Ясно, что в случае отсутствия маневра амплитуда колебаний не изменяется, и ПЭ = 0. В случае, если амплитуда колебаний груза после проведения маневра возросла, что равносильно выполнению условия А т 02 ) > А т (^ ) , то ПЭ < 0, и такой маневр следует признать неудачным.

фазовая траектория

а) а(0) = 30°, а (0)=0.

^ = 0, 02 с (после прохождения положения равновесия). а(1д +Л1)=2°.

фазовая траектория

б) а(0) = 30°, а (0)=0.

І4 = 0, 22 с (после прохождения положения равновесия). а(^ +Л1)=7°.

фазиван іраеиирин

в) а(0) = 30°, а (0) = 0.

^ = 0, 42 с (после прохождения положения равновесия). а(^ +Л1) = 12°.

Рис. 3

фазовая траектория

а) вариант 2. а> 0, сх < 0.

а(0) = 30°, а(0)=0. 1(0)=6,69с. 11 =10с.

а(^)=25°. а^) = -13°/с.

а(1д +Л1) = 14°. а(^ +Л1) = -19°/с.

Амплитуда выросла незначительно.

фазовая траектория

б) вариант 3. а< 0,а < 0.

а(0) = 30°, (а (0)=0. 1(0)=2,26с. 11 = 2,38с.

а(11) = -21°. ех,(11) = -2°/с.

а(11 +Л1) = -26°. (а (11+Л1) = -27°/с.

Амплитуда выросла значительно.

фазовая траектория

в) вариант 4. а< 0,а > 0.

а(0) = 9°, а (0)=20°/с. 1(0)=4,0с. 11 = 6,5с.

а(11) = -31°. (а(11) = 3°/с.

а(11 +Л1)=-25°. (а(11 +Л1)=16,5°/с.

Амплитуда выросла значительно.

Рис. 4

Так как в результате проведения маневра груз и вертолет должны оказаться на минимальном расстоянии от одной вертикали, то это условие накладывает ограничение на время выполнения маневра.

На втором этапе моделирования предстояло выяснить: в какой момент времени следует начинать смещение вертолета, для того чтобы после возмущения амплитуда колебаний была минимальной. Расчетные данные ВЭ для случая, когда груз находится в первой четверти периода, сведены в табл. 2.

Данные ВЭ, представленные в табл. 2, были подвергнуты дальнейшей обработке для построения графиков в координатах: по оси абсцисс - относительное время начала выполнения маневра, по оси ординат - показатель эффективности (ПЭ) выполнения маневра. За относительное время принималась величина, равная отношению времени нахождения груза в данной фазе до начала выполнения маневра к времени четверти периода колебаний груза.

Таблица 2

№ 11 «(М ос ОО 12 а(12) а (12) А т(11) А т (12 ) А т (12 ) а т(11) ПЭ

с о °/с с ° °/с ° ° -

1 0,25 5,24 21,1 0,85 6,11 -5,08 33,4 6 0,032 0,97

2 0,45 9,41 20,4 1,05 10,0 -6,24 33,4 10 0,089 0,91

3 0,65 13,4 19,2 1,25 13,7 -7,32 33,4 14 0,175 0,83

4 0,85 17,2 17,7 1,45 17,3 -8,31 33,4 17,8 0,284 0,72

5 1,05 20,7 15,9 1,65 20,6 -9,21 33,4 21,2 0,404 0,60

6 1,25 23,9 13,8 1,85 23,6 -9,99 33,4 24,4 0,533 0,47

7 1,45 26,7 11,4 2,05 26,3 -10,6 33,4 27,2 0,663 0,34

8 1,65 29,2 8,74 2,25 28,5 -11,2 33,4 29,6 0,785 0,22

9 1,85 31,1 5,9 2,45 30,4 -11,6 33,4 31,5 0,889 0,11

10 2,05 32,6 7,9 2,65 31,7 -11,9 33,4 33 0,976 0,03

Величина ПЭ определялась с помощью соотношения (15). По данным табл. 2 были построены графические зависимости (рис. 5).

^ 40

1ТЗ

30 I 20 |

0 10

1

□

□

1

: 1*1

: * ф

+ *- \ |

1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 О.Э

Рис. 5

Представленные данные дают количественное подтверждение целесообразности проведения маневра вертолета, когда груз находится в первой четверти периода (в крайнем случае, в четвертой четверти периода и когда он приближается к положению равновесия слева). Вероятно, что в реальных условиях надо брать поправку на время двигательных реакций пилота и на время задержки в цепи органов исполнения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мандельштам Л. И. Лекции по теории колебаний. - М.: Наука, 1972.

2. Андронов А. А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1958.

3. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // ЖЭТФ. 1951. Т. 21.

4. Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // УФН. 1951. Т. 44.

5. Джашитов В.Э., Панкратов В.М., Чеботаревский Ю.В., Голиков А.В. Нелинейная динамика периодически возмущаемых многостепенных математических маятников: Учебное пособие. - Изд-во Саратовского гос. Университета, 2006.

6. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. - С.-Пб., М.: Краснодар. Лань, 2005.

7. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. - М.: Наука, 1971.

ESTIMATE OF RESOURS OF REDUCTION OF CARGO OSCILLATION IN DYNAMIC SYSTEM "HELICOPTER - CARGO"

Pavlov S.S.

The paper analyses the effect of displacement of a pendulum suspension point on the nature of cargo swinging when transported on the external load sling. It shows that a short-term displacement of the pendulum suspension point when the cargo is in a certain phase leads to the reduction of the cargo oscillation amplitude.

Сведения об авторе

Павлов Сергей Семенович, 1937 г.р., окончил ЛВМИ (1961), кандидат технических наук, доцент кафедры физики С.-Ш У ГА, автор более 50 научных работ, область научных интересов - ракетная техника, механические колебания, математическое моделирование физических процессов.