Исследование динамики конечномассовых систем с упругими элементами типа прямых стержней на базе полной математической модели их плоского изгиба и растяжения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3/.6

3. Н. СОКОЛОВСКИЙ Е. П. СТЕПАНОВА

Омский государственный технический университет

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОНЕЧНОМАССОВЫХ СИСТЕМ С УПРУГИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ТИПА ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ НА БАЗЕ ПОЛНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИХ ПЛОСКОГО ИЗГИБА И РАСТЯЖЕНИЯ

Предлагается алгоритм численного расчета динамики конечномассовых моделей с упругими элементами в виде прямых стержней с учетом зависимости податливости от перемещений. Податливость определяется на базе численного анализа полной математической модели плоского изгиба и растяжения прямого стержня. Результаты сравниваются с традиционными расчетами, не учитывающими связь продольных и поперечных перемещений.

Ключевые слова: динамика конечномассовых систем, упругие элементы.

Традиционное решение на базе приближенных (линеаризованных) математических моделей растяжения или изгиба позволяет вычислять взаимные податливости ¿к из решения линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, последовательно прикладывая единичные силы в направлении выбранных степеней свободы. Система дифференциальныхуравнений движения, например, при кинематическом возбуждении • зт(Ш) и коэффициенте демпфирования Р,

u,-a,-sin(ii-0 = £ •^■«i). (1)

линейна, с постоянными коэффициентами (<5l = const) и при малых п может бьггь проинтегрирована аналитически. При больших п численное решение не требует длительных итераций и просто реализуется в общедоступных пакетах.

Реально в большинстве моделей при изгибе возникает продольное растягивающее (сжимающее) усилие, уменьшающее (увеличивающее) податливость. При этом задача о поперечных колебаниях в конечно-массовой постановке сводится к системе линейных дифференциальныхуравнений с переменными коэффициентами (податливостями Ai](ui...uri) и недоступна для аналитического решения. Задача определения по-датливостей вообще существенно нелинейна. В этой связи традиционно взаимное влияние растягивающих продольных и поперечных сил и перемещений не учитывают, что мотивируется малостью перемещений. Решены некоторые задачи влияния сжимающей продольной силы на собственные частоты поперечных колебаний. Последние при приближении сжимающей силы к критической по Эйлеру стремятся к нулю [ 1 ]. Однако при приближении к резонансу перемещения возрастают и следует ожидать существенного влияния сжимающих усилий на частоты и АЧХ. В настоящей работе авторы решают задачу численно, что позволяет исследовать величины динамических параметров с учетом всех влияющих факторов.

Уточненное исследование проводится на базе численного интегрирования полной математической модели плоского изгиба и растяжения прямого стержня [2] в больших перемещениях. Для анализа динамики приложим силы инерции в точках сосредоточения масс т,. При этом погонные нагрузки получают приращения

■dz--

0 при гфгп - mi ■и1 при z - z'

О при z * z,, rrij ■ и, при г = г,

При необходимости можно учесть и силы сопротивления. Расчетная схема элемента стержня представлена на рис. 1. Система уравнений математической модели приобретает вид

dv_ dz dw ~dz dN dz dQ_ dz dMx dz dtp ~dz~

., N-cos <3-0-sine».

_(1 +--ц. sin cp

E-A

N-cosip-Q -sin(z> =--C0S(2> + C0S(Z>- 1

EA

= (N-sinip + Q -cos<p)-(l +

N-cos0>-g-sin(

ITa

К

EJ.

(2)

где обозначено:

N(7) — продольная сила, О(г) — поперечная сила, Мх(г) — изгибающий момент,

— продольное перемещение, у(г) — поперечное перемещение, <р(г) — угол поворота сечения относительно оси х, Е,Лх — модуль упругости и момент инерции сечения, А—площадь сечения.

Система (2) интегрируется численно при соответствующих граничных условиях и ограничениях.

<t

UJ

о

X S

3 <

s

Таблица 1

и/1 [%] 0.01 0.06 0.36 0.55 0.85 1.85 3.85 5.85 7.85

Д/8 1.00 0.99 0.73 0.55 0.34 0.23 0.20 0.18 0.15

АЧХ

S = -

Г

48EJ

а ■

1

S ■ i

С учетом N ~ " Б«» уч«та N

-1 i

1 i

1 \

1

1 /

1

1 А L

ytS

0.« e.T 0.« «.I 1.0 1.1 1.X 1.3 1.4 1,1 1.1

Рис.2. АЧХ при ß=0

АЧХ

-Без учетам

--С учетом N

Рис. 1. Расчетная схема стержня

В частности, для двух шарнирно неподвижных опор стержня длиной 1 граничные условия:

у(0) =л*г(о) = Мх(0) = 0 и у(1)=лу(1) = Мх(1)=0.

Ограничения и1 = у(г1), u1 = w(z¡) предполагают поиск такого решения при варьировании силами инерции, при котором перемещения по степеням свободы принимают известные значения. После каждого интегрирования (2) получаем совокупность значений ускорений, т.е. определена система уравнений собственных колебаний

и/'^К..^). (3)

Соответственно, при кинематическом возбуждении и," = РДиг..ип)-а/0-зт(01). (4)

Система (1) является частным случаем (4).

Проиллюстрируем отличие расчетов АЧХ и частот собственных поперечных колебаний со с учетом растяжения на примере одномассовой системы в виде стержня массой ш в центре, закрепленного шарнирно неподвижно по обоим торцам.

Традиционный расчет без учета взаимного влияния продольных и поперечных перемещений дает податливость и частоту собственных колебаний [3]

20 15 10 5 О

h \\

у \ S

0.6 0.7 0.8 0.9 1Л 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Рис. 3. АЧХ при р=0,03

dt

т du. . .

---) + и = а• sin(Q • t)

5 dt

Расчеты по (2) показывают, что податливость А, учитывающая продольные силы, совпадает с 5 только при малых перемещениях и и существенно уменьшается с их ростом.

Результаты вычисления отношения A/S представлены в табл. I и достаточно точно аппроксимируется полиномом

A(u) = 15,78034-и3 4- 0,06283-и2 - 0,01178 и + + 0,00013.

АЧХ строилась численным интегрированием уравнения движения одномассовой системы при гармоническом кинематическим возбуждении с частотой Q

как зависимость динамического коэффициента т| = = шах и/а от отношения Ь = О/со.

Примеры АЧХ при коэффициентах демпфирования Р = 0; 0,03; 0,1 приведены на рис. 2, рис.3, рис. 4.

Как видно, влияние переменной податливости в одномассовой постановке практически эквивалентно демпфированию и должно учитываться при р<0,1.

Динамический коэффициент т| при р*0 практически не меняется, а частота О его модального значения при р 0 превышает значение со на 10%.

Для моделей с несколькими степенями свободы задача существенно усложняется, так как зависимости (и.. ,ип), вычисляемые численно, не удается удовлетворительно аппроксимировать. Задача сводится к последовательному численному интегрированию систем дифференциальных уравнений (2) и (4).

На основе результата анализа одномассовой системы принимаем р = 0.

Алгоритм следующий (рассматривается на примере интегрирования по методу Эйлера):

1. Выбираем начальные условия для интегрирования уравнений движения, например:

1 = 0, ао = 0, Чщ =а,-0.

Вычисляем по (4) н" = РДи1о...ипо) — а,-£22-5т(0 0).

2. Интегрируем (4) с шагом Л1: и вычисляем и., = = и|о+ и1о'-А1, ип'_ и1о'+ и|о'-Д^ По (4) вычисляем ип' = Р;(ии...и„п) - а;П2-8т(П-Л1).

3. Продолжаем интегрирование с шагом Л1: до практически полного затухания собственных колебаний (0,1%). При Р = 0,1 это примерно 1>10-яЛ1

4. В конце интегрирования при заданном О вычисляем динамический коэффициент по каждой степени свободы

. шал и

=-

а,

5. Повторяем расчеты при разных значениях О и строим всю АЧХ.

АЧХ

-Без учета N

--С учетам N J

—

---н-

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 ЛА 1.5 1.6 Ь

Рис.4. АЧХ при Р=0,1

Алгоритм реализован авторами. Результаты аналогичны системе с одной степенью свободы. Однако для высоких частот и форм отклонение собственных частот растет примерно пропорционально номеру формы. В частности, для двухмассовой системы при (3 = 0 первая собственная частота выше на 10% (как в од-номассовой), а вторая — на 18%.

Алгоритм реализуем в общедоступных математических пакетах и практически работаем при п<100.

В заключение укажем практически важные возможности предлагаемого алгоритма динамического анализа.

Возможность учета влияния на динамические параметры статических и динамических составляющих нагрузок в любой их комбинации (это важно, например, при расчетах легких несущих ферм).

Возможность учета в статически неопределимых конструкциях влияния на динамические параметры

температурных и монтажных усилий в любой их комбинации.

Возможность анализа перераспределения энергии источника между продольными и поперечными колебаниями (это важно при конструировании и доводке механических резонансных преобразователей ультразвуковых колебаний для медицинских и технологических устройств).

Библиографический список

1. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко; перевод с англ. Л. Г. Корнейчука — М. : Изд-во Машиностроение, 1985. — 472 с.

2. Соколовский, 3. Н. Расчетно-графические работы по сопротивлению материалов в MS EXCEL : учеб. пособие / 3. Н. Соколовский, Е. П. Степанова, М. А. Фёдорова. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2008. - 78 с.

3. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов : учебник / В. И. Феодосьев. — Изд. 7. — Новосибирск, 1994. — 560 с.

СОКОЛОВСКИЙ Зиновий Наумович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Сопротивление материалов».

СТЕПАНОВА Елена Петровна, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Сопротивление материалов».

Адрес для переписки: e-mail: stepanovael967@mail.ru

Статья поступила в редакцию 15.03.2011 г. © 3. Н. Соколовский, Е. П. Степанова

Информация

Конкурс «Молодые таланты» 2011 года

В рамках международной выставки и конференции «Атомэко-2011», проводимой Государственной корпорацией «РОСАТОМ» и Центром «Атом-инновации», проходит конкурс «Молодые таланты», направленный на привлечение талантливой молодежи к участию в перспективных научных исследованиях. Цель конкурса:

— выявление наиболее талантливых молодых ученых и специалистов, ведущих целевых учебно-обра-зовательных учреждений, НИИ и предприятий в области обращения с радиоактивными и промышленными отходами, переработки отработавшего ядерного топлива, экологической реабилитации загрязненных территорий и переработки техногенных отвалов;

— создание коммуникационной среды между старшим высококвалифицированным экспертным сообществом и молодыми кадрами для передачи опыта и знаний в научно-технической и инновационной сферах.

На конкурс принимаются работы по следующим направлениям:

— экономика и бизнес-моделирование

— перспективные реакторные системы малой и средней мощности

— обращение с РАО (обеспечивающие технологии и оборудование)

— очистка сред и экология

— безопасность и физическая защита

— экологический мониторинг

— экологическая реабилитация загрязненных территорий

— переработка техногенных месторождений и отвалов

— обращение с ОЯТ (обеспечивающие технологии и оборудование) Регламент конкурса:

— Работы участников конкурса принимаются с 01 августа по 01 октября 2011 г.

— Экспертиза работ проводится с 01 октября по 20 октября 2011 г.

— Награждение победителей 28 октября 2011 г. Итоги конкурса:

Победители конкурса «Молодые таланты» будут награждены ценными призами. Награждение будет происходить 28 октября 2011 года на конференции «Атомэко-2011». КОНТАКТЫ: Телефон: (499) 190-82-52; E-mail: talant@atomeco.ru Web-site: www.atomeco.ru, контактное лицо: Архипова Мария Олеговна.

Вся корреспонденция должна быть с пометкой «Конкурс «Молодые таланты». Подробная информация о конкурсе на сайте Атомэко.

Источник: http://www.rsci.ru/grants/grant_news/284/229852.php (дата обращения: 15.06.11)