Численное решение задачи плоского изгиба и растяжения (сжатия) прямых стержней без ограничения величины перемещений Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 539.4:621.7

3. Н. СОКОЛОВСКИЙ С. А. МАКЕЕВ Е. П. СТЕПАНОВА

Омский государственный технический университет

Сибирская автодорожная академия

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПЛОСКОГО ИЗГИБА И РАСТЯЖЕНИЯ (СЖАТИЯ) ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ БЕЗ ОГРАНИЧЕНИЯ

ВЕЛИЧИНЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ_

В статье разработана модель плоского изгиба с растяжением-сжатием стержней при малых и больших перемещениях. Разработан алгоритм численного решения в среде МБ Ехе1. Приведены экспериментальные даные, подтверждающие адекватность математической модели.

1. Теоретические основы и допущения

Точные решения задачи теории упругости для призматического тела (стержня) получены Сен-Ве-наном полуобратным методом [ 1 ].

Основные результаты:

— нормальная нагрузка приложена только к торцам стержня и имеет линейный закон распределения, при этом сечения после нагружения остаются плоскими (гипотеза плоских сечений);

— напряжения ст1,ау1тху равны нулю (гипотеза не надавливания волокон).

В технической теории стержней [2] эти результаты переносятся на нагружение любыми силами в плоскости главной оси сечения и дополнительно вводятся следующие ограничения:

— форма и размеры сечения стержня при нагру-жении не меняются;

— точка приложения и направление силы в пространстве при нагружении не меняются.

Задача о плоском изгибе и растяжении без ограничения величин прогибов и продольных перемещений практически не ставилась ввиду ее очевидной нелинейности и невозможности как аналитического, так и численного решения доступными тогда методами.

Более простые задачи, например, плоский поперечный изгиб тонкого стержня при больших перемещениях также описывается нелинейными дифференциальными уравнениями [3]. Приближенное решение для таких уравнений было получено еще А. Эйлером [4] в 1744 г. Получение точного решения весьма затруднительно и требует использования специальных функций, например, эллиптических интегралов [5]. Эллиптические интегралы не выражаются через элементарные функции. Они вычисляются при помощи бесконечных и при том медленно сходящихся рядов.

Поздние приближенные решения были получены Iразличными способами, например, с помощью рядов

[6]. На практике разложение в ряды оправданно при относительно небольшой нелинейности. Все приближенные аналитические решения достаточно громоздки, что существенно затрудняет их практическое использование. С развитием ЭВМ были разработаны численные алгоритмы решения задачи поперечного изгиба гибких стержней при больших перемещениях, например (7].

Целью настоящей работы является построение математической модели плоского изгиба с растяжением (сжатием) стержня без ограничения величины перемещений, реализация простого и удобного для практического использования алгоритма численного решения и экспериментальная проверка полученных результатов. При построении математической модели авторы придерживаются всех ограничений, принятых в технической теории стержней.

2. Математические модели изгиба и растяжения стержня без ограничения величины перемещений

2.1. Геометрические соотношения

На рис. 1 изображены положение отрезка ёг стержня с координатой ъ, отмеренной от левого конца стержня до нагружения, и положение того же отрезка длиной сЦ после нагружения.

Проектируя замкнутый контур АА, ВВ,А на оси У и Ъ, получаем соответственно:

<1у-£12, - зт<р-(у + сЬг)-0 = 0, =>

=> сЬ/ = -ёг, БШф, (I)

\v-i-dz, -со5ф-(\у-1-ску)-с12 = 0,=>

с^ = совф-ёг, (II)

Qv+dQv

Рис. 1. Положение элемента стержня до и после нагружения 2.2. Уравнения равновесия

Проектируя силы, действующие на отрезок <!•£,, на оси координат, и рассматривая момент сил относительно точки В, (пренебрегая бесконечно малыми второго порядка малости), получаем:

= (III)

-С)у+Чу^г-(Оу+сЮу) = 0, =>

=> <ЗС)у =_ЯУ '^г, (IV)

-М„ -Оу <1г, -созср-И-йг, -БШф + М,, + =0, =>

=> dMx ?=(Оу совф + Ы зтф) ^,, (V)

2.3. Физические зависимости

Рассмотрим подробно деформации и напряжения в выделенном элементе с1г,.

Деформация волокна, отстоящего от нейтральной линии на расстояние у (рис. 2.)

dz, -- dz dw + у • du dw d9

E =—!-=-í-i = — + y--.

dz dz dz dz

По закону Гука

е.«*

Приравниваем полученные выражения. После преобразований

_ dw dv

а = Е--+ у-Е—— .

dz dz

Нормальная сила в сечении после нагружения N1 N1= Jjoj dx dy = Е JJdx• dy +

Рис. 2. Изменение линейных размеров элемента стержня после нагружения.

С другой стороны, N1, Q1 есть сумма проекций N и Qy на оси Z,, Y,

N1 = N соБф-Оу -втф, 01 = Оу • совф + N • sin ф.

Приравниваем полученные выражения, и после преобразований

dw =

Ы созф-Оу -Бтф ' EF '

dz.

Но dz. = dz + dw, следовательно,

dz, =(1 +

Ы-СОБф-Оу -Бтф

" EF '

■dz

(VI)

Момент сил в сечении после нагружения

+ Е- —■ [fydxdz = E~-F + E--^SI dz JFJ dz dz

dw

dф

Поскольку оси в сечении центральные, то статический момент сечения Б, = 0, т.е.

N1 = EF

dw

"dz

мх = JJy-ol-dx-dy = E~-JJy-dx-dy +

F F

+ E—■ ííy2 dx dz = E-^- S +E-—J dz iJ dz x dz x ■

Поскольку оси центральные, M, = Е-Jx ■—.

dz

щ

L»360 мм

qy

УЛ 1ПП1ПМ

лении концов стержня, на каждом известны три условия:

— жесткое закрепление у = 0, w=0l ф = 0;

— шарнирно-неподвижное закрепление Мх = 0, у = 0, ш = 0;

— шарнирно-подвижное закрепление Мх = 0, у = 0, N = 0;

— свободный конец Мх = 0, Оу = 0, N = 0 и т.д.

Рис. 3. Расчетная схема экспериментального стержня.

3. Алгоритм и реализация численного решения

V, мм

Интегрирование системы проводится в среде MS Excel по схеме Эйлера, предполагая, что точность ин-

_, тегрирования достаточна для поставленной задачи.

lío iiio ¿o 24o 270 зЬ 3» эЬ> j Для этого, после элементарных преобразований,

уравнения системы представим в конечно-разностном виде (Az — шаг интегрирования)

N, -cosffi, -Qvi -sinp, Vd = vI_( -^^-—)-sin9, Д2, (1)

N.-cosffi,-Q„,-sin®, , , ,

W|i+11 = w, + [ (1 + -!--• cos Ф, -11 ■ Az, (2)

tr,

Рис. 4. Форма упругой оси стержня приР = 5н.

Сравнительная диаграмма прогибов

-100 ■

-200 - -

-250

X

г

i

ч

........ . .. ... N

N Ч SJ

Рис. 5. Прогиб точки приложения силы: штриховая - теория малых перемещений,-сплошная - расчет по предложенной модели; треугольники - экспериментальные значения.

Следовательно,

л м. ^

dm = —Ldz

EJ.

(Vil)

Учитывая полученные выражения для N1 и Мх, получаем формулу для вычисления нормальных напряжений в сечении стержня в виде

. . М1(г) М (г)

<Мау)=-^+У—г2-

Подставляя выражение (VI) в (I), (II) после элементарных преобразований получаем систему шести дифференциальных уравнений для определения параметров V, IV, ф, Ы, О Мх.

Система шестого порядка нелинейна, содержит трансцендентные выражения и не имеет решения в элементарных функциях.

Шесть граничных условий для конкретной задачи I всегда формулируются, так как при любом закреп-

N(1+1, = Nl-q10-Az, QyM1 = Qyi-qyl-Az ,

Мх(,,„ = М,,, +[(N, - sirup, +Qyj-cosp,)-

N,.C08»,-<Vslny EF:

(3)

(4)

Фи.,) = Ф, +

4

EJ„

■Az

(6)

Предложенная схема интегрирования применима при любом заданном законе изменения распределенных нагрузок яу(г), дг(г) и заданном законе изменения размеров поперечного сечения И (г), Лх (г).

Для проверки точности интегрирования проводилось сравнение расчетных и экспериментально полученных параметров. В качестве примера рассмотрен изгиб консольного стального (сталь У8А) стержня I.=360 мм, прямоугольного сечения Ь = 19.6 мм, Ь = 1 мм, нагруженного поперечной силой Р = 0...5 н и собственным весом : при шаге интегрирования Дг = 1 мм ду = сопэ1= Ь-11-р-Дг = 0.00156н/мм (рис.3).

В соответствии с условиями закрепления стержня имеем следующие граничные условия

vo = wo = Фо = 0, Озео = -Р. N360 = ч™ = 0-

(7)

(8)

Задавая первые три начальных параметра равными нулю и, варьируя значениями Q0, N0, Мх0 (стандартная процедура «Поиск решения», использующая метод оптимизации Ньютона), Excel последовательно интегрирует систему (1 — 6) до момента выполнения условий (8). Далее, с помощью графического редактора «Мастер диаграмм», строятся графики полученных функций Q..(z), N(2), Mx(z), ф(2), v(z), w(z). Включив в схему расчета выражения Q1, N1, строятся графики поперечных и продольных сил 01 (z), N1 (z).

На рис. 4 показана упругая ось стержня при Р = 5 н с учетом продольных перемещений. На рис. 5

приведен сравнительный график прогибов точки приложения силы v(L) в зависимости от ее величины, вычисленных по теории малых перемещений [8] v(L) = —L (Р + 3qyL/8)/EJX, по предложенному алгоритму и экспериментально полученные точки.

Выводы

1. Предложенная математическая модель адекватна и позволяет решать задачи о плоском изгибе и растяжении (сжатии) прямого стержня, без каких-либо ограничений.

2. Интегрирование методом Эйлера в табличном процессоре Excel обеспечивает точность, приемлемую для практических задач.

Результаты получены впервые. Разработанные материалы позволяют рассчитывать на прочность и жесткость стержневые системы, нагруженные в плоскости главной оси сечения заданными по любому закону продольными и поперечными силами, работающие в области больших перемещений.

Библиографический список

1. Сен-ВенанБ. Мемуары о кручении призм,- М.:Физматгиэ, 1961. - 518с.

2. Белый В.Д. Напряженияи деформации встержнях и стержневых системах. — Учебное пособие. Омск, ОмПИ, 1986, - 103с.

3. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. — М.: Машгиэ, 1962.-456 с.

4. ЭйлерЛ. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума либо минимума. — М.-Л.:ГТТИ, 1934,— С. 447-572.

5. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней.

- М,: Гостехиздат, 1948,- 170с.

6. Желудков В.Н. О расчете некоторых элементов приборов.

— Известия вузов. Приборостроение., 1964, №5. — С. 171-178.

7. Маликов Г.Ф., Шнейдерман А.Л., Шулемович A.M. Расчет упрутихтензометрических элементов. — М.: Машиностроение, 1964. - 192 с.

8. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров И.М., Горшков A.A. Сопротивление материалов с основамитеории упругости и пластичности. — М.: Издательство ассоциации строительных вузов, 1995. - 572 с.

МАКЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, профессор кафедры «Строительная механика» Сибирской автодорожной академии. СОКОЛОВСКИЙ Зиновий Наумович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов» Омского государственного технического университета.

СТЕПАНОВА Елена Петровна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Сопротивление материалов» Омского государственного технического университета.

УДК 629.424.001.1 с. М. ОВЧЛРЕНКО

Омский государственный университет путей сообщения

МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМ РАЗДЕЛЕНИЯ ОБЩЕГО ОБЪЕМА ИЗНОШЕННОГО МЕТАЛЛА ПО ГРУППАМ

КОНТРОЛИРУЕМЫХ ДЕТАЛЕЙ

ПРИ ОЦЕНКЕ СТЕПЕНИ ИХ ИЗНОСА_

В статье приводится алгоритм разделения общего объема изношенного металла с деталей тепловозного дизеля по контролируемым группам. Для оценки степени изношенности отдельных групп деталей необходимо рассчитать количество металла, изношенного именно с этой группы. Закономерности изнашивания и характерный химический состав материалов позволяет реализовать индивидуальные алгоритмы разделения общего количества изношенного металла.

Для оценки степени изнашивания деталей цилин-дро-поршневой группы (ЦПГ) и кривошипно-шатун-ного механизма (КШМ) двигателя внутреннего сгорания применяется метод, основанный на анализе концентрации продуктов износа в моторном масле. Одной из задач, требующих решения при реализации данного метода, является задача установления количества металла, изношенного с группы однотипных деталей.

Сложность разделения полученных объемов изношенных элементов по группам контролируемых

деталей заключается в том, что одни и те же элементы поступают в моторное масло с различных деталей, формируя общую картину износа по отдельным элементам. Существуют различные подходы к разделению объемов характерных элементов по группам деталей. Например, предлагается установленный объем изношенного железа разделять в процентном соотношении по заранее установленным соотношениям для данного типа дизеля (цилиндровые втулки — 60%, компрессионные кольца - 30%, шейки коленчатого вала — 7%, поршневые пальцы — 3%) и считать