CC BY
32
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
УДК 621.01:539.3
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ, ВЫПОЛНЕННЫХ ИЗ СПЛАВОВ С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ, ПРИ БОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ
Д. П. Жечков, С. С. Гав'рюшии,
Аннотация
Работа посвящена численному исследованию больших перемещений стержневых элементов конструкций, изготовленных из материалов с памятью формы. Разработанный алгоритм решения реализован в виде прикладной программы для ЭВМ. Возможности программы иллюстрируются рядом примеров.
Ключевые слова: память формы, сверхэластичпость. большие перемещения, стержневые элементы.
1. Краткое описание алгоритмической модели сплава с памятью формы
В 60-е годы XX века была разработана серия никелево-титановых сплавов, включающих в себя от 53% до 57% никеля по весу, которые демонстрировали необычный эффект: сильно деформированные образцы сплавов с остаточной деформацией 8 15% полностью восстанавливали свою первоначальную форму в процессе нагрева. Этот эффект стал известен как эффект памяти формы, а сплавы, демонстрирующие его. были названы сплавами с памятью формы (СПФ). СПФ тщательно изучались и изучаются в нашей стране [1]. Основным свойством стержневых элементов из материалов с памятью формы является способность существенно деформироваться под воздействием внешних термомеханических воздействий [2 4]. В связи с этим задача рассматривается в геометрически и физически нелинейной постановке и сохраняет преемственность с задачей о больших перемещениях растяжимого гибкого стержня в условиях сложного нагружения [5].
Полная деформация в текущем слое стержня представляется как суперпозиция упругой, температурной и структурной (фазовой) деформаций. Для вычисления фазовой деформации численно моделируются структурные превращения между аустенитом. стабильном при высоких температурах и низких напряжениях, и мартенситом. стабильном при низких температурах и высоких напряжениях. Фазовая деформация считается пропорциональной объемной доле ориентированного Б-мартенсита. которая зависит от температуры, напряженного состояния и рассматривается как величина, переменная по двум координатам: по длине стержня и по координате, характеризующей текущий слой поперечного сечения стержня (толщину или радиус для изгиба и кручения соответственно). Для записи уравнений состояния используется математическая модель [5]. представленная в форме системы дифференциальных уравнений, описывающих эволюции объемных фракций мартенсита. Объединяя уравнения, описывающие эволюции объемных фракций мартенсита в текущем слое сечения стержня, с уравнениями больших перемещений стержня, приходим к разрешающей системе нелинейных дифференциальных
пшпшшш
1
. ь. 1
Рис. 1. Схема нагружения и профиль сечения стержня
Б
м А
м А
8
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Температура [С]
Рис. 2. Диаграмма активации структурных превращений при исследовании задачи о на-гружении консолыю защемленного стержня равномерно распределенной нагрузкой
уравнений в частных производных. Вектор основных силовых неизвестных включает в себя как традиционные переменные, используемые при анализе больших перемещений стержней, так и переменные, отвечающие за объемные доли фракций мартенсита в слое.
Задача решается в лагранжевой постановке и сводится к решению двухточечной краевой задачи по дуговой координате стержня и начальной задаче по термомеханической нагрузке (квазивремени). Алгоритм решения использует метод дискретного продолжения по параметру [б].
Ниже приводятся результаты решения двух задач: о больших прогибах кон-сольно защемленного стержня, выполненного из сплава с памятью формы под действием распределенной нагрузки, и о больших прогибах шарнирно опертого стержня под действием распределенной нагрузки. Для описания свойств материала использовались константы, соответствующие диаграммам активации структурных превращений. В исходном состоянии температура стержня составляла 79 ° С для консоль но защемленного стержня и 51 ° для шарнирно опертого стержня. В обоих случаях по всей длине материал стержня находился в фазе М-мартенсита. Геометрические размеры стержня принимались равными: Ь = 100 мм (длина), Л = 0.5 мм (высота прямоугольного профиля сечения), Ь = 6 мм (ширина прямоугольного профиля сечения).
2. Исследование прогибов консольно защемленной балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой
В данной задаче рассматривается бапка, расчетная схема которой представлена на рис. 1. Свойства материала балки задаются диаграммой активации структурных превращений (рис. 2). Общая схема нагружения балки состояла из трех последовательных этапов: приложение равномерно распределенной нагрузки, снятие
Табл. 1
Этапы нагружения
.Та Параметр Начальное Конечное Тип
этапа значение значение превращения
1 Ч 0 Н/мм -0.2 Н/мм М^Б
2 Ч -0.2 Н/мм 0 Н/мм Б^Б
3 Т 79° С 100° С Б^А
-10
1 -20 ю
о.-30
С
-40
"500 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Длина [мм]
Рис. 3. Вид изогнутой оси стержня на различных этапах нагружения
М-мартенсит мартене ит Этап 1 |
О 10 20 30 40 50 60 70
ск:
О 10 20 30 40 50 60 70
ПЧПГ
О 10 20 30 40 50 60 70
координта в % от общей длины
90 100
Рис. 4. Распределение объемных долей мартенсита в верхнем слое стержня на различных этапах нагружения
равномерно распределенной нагрузки и нагрев. Пороговые значения параметров нагружения на каждом этапе представлены в табл. 1.
Результаты расчета представлены в графическом виде.
Как видно из представленных на рис. 3 графиков, после кинематического нагружения на первом этапе стержень претерпел как упругие деформации, так и деформации структурных превращений. После окончания второго этапа стержень сохранил остаточную кривизну, поскольку после разгрузки на части его длины сохранилась деформация структурного превращения, связанная с изменением удельной
М-мартенсит по сечению в-мартенсит по сечению
объемная доля
Рис. 5. Распределение объемных долей мартенсита по толщине стержня в заделке после первого этапа пагружепия
Деформация Напряжение
[МРа]
Рис. 6. Распределение деформаций и напряжений по толщине стержня в заделке после первого этапа пагружепия
доли М-мартенсита. На третьем этапе в процессе нагрева за счет обратных структурных превращений вышеупомянутая деформация была снята.
Как видно из эпюр, представленных на рис. 5 и 6. наибольшие объемные доли Б-мартенсита характерны для слоев сечения стержня, максимально удаленных от нейтральной линии. В данной конструкции на первом этапе пагружепия возникают в основном изгибиые напряжения, которые пропорциональны расстоянию от срединной линии стержня. Асимметрию эпюр по отношению к срединной линии можно объяснить тем, что диаграммой активации структурных превращений заданы отличные по модулю пороговые значения напряжений активации структурных превращений. При растяжении пороговое значение напряжения активации равно 500 МПа, а при сжатии 1500 МПа. Поэтому структурные превращения в нижних
М - мартенсит по сечению 8 - мартенсит по сечению
объемная доля
Рис. 7. Распределение объемных долей мартенсита по толщине стержня в заделке после третьего этапа пагружепия
Деформация
Напряжение
40.....
35 -
15105-
йо
-10 -5
[МРа]
Рис. 8. Распределение деформаций и напряжений по толщине стержня в заделке после третьего этапа пагружепия
слоях стержня начинаются при более высоких значениях внешней распределенной нагрузки. Эпюра распределения полной деформации по сечению стержня имеет вид прямой, что полностью соответствует принятой гипотезе плоских сечений.
Как видно из эпюр, представленных на рис. 7 и 8. нагрев конструкции на последнем этапе пагружепия приводит к снятию полной деформации в сечении стержня за счет практически полного перехода Б-мартенсита в аустеиит. Ненулевые значения напряжений и объемных долей Б-мартеисита в отдельных слоях сечения стержня можно объяснить погрешностями численного счета.
Полная деформация
Температура[С]
Рис. 9. Эволюция напряжения и деформации в верхнем слое стержня в заделке
хШШШШШЕЬ
1
Г. ь л 1
Рис. 10. Схема нагружения и профиль сечсшя стержня
8 6 4 2 0 -2 Б
А
м
м
А
■6 -8 \
Л ,
5С_:_I_1____«I_I_:_I___1_ _I
0 10 20 30 40 50 60 70
Температура [С]
Рис. 11. Диаграмма активации структурных превращений при исследовании задачи о на-гружонии шарнирно опертого стержня равномерно распределенной нагрузкой
3. Исследование прогибов шарнирно опертой балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой
В данной задано рассматривается балка, расчетная схема которой представлена на рис. 10. Свойства материала балки задаются диаграммой активации структурных превращений, представленной на рис. 11. Общая схема нагружения балки состояла из трех последовательных этапов: приложение равномерно распределенной нагрузки, снятие равномерно распределенной нагрузки и нагрев. Пороговые значения параметров нагружения па каждом этапе представлены в табл. 2.
Результаты расчета представлены в графическом виде.
Табл. 2
Этапы нагружения
№ Параметр Начальное Конечное Тип
этапа значение значение превращения
1 <7 0 Н/мм -0.07 Н./мм
2 <7 -0.07 Н/мм 0 Н/мм
3 Т 51 °С 80 °С Я^А
1 О -1
ю
° -3 о. ° С
-4 -5
"60 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Длина [мм]
Рис. 12. Вид изогнутой оси стержня на различных этапах нагружения 0.06, , , , , , , , , ,
0.
0. 0.
0.
0.
0.
-0.
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
координата в % от 1/2 полной длины стержня
Рис. 13. Распределение объемных долей Я-мартенсита в верхнем слое стержня на различных этапах нагружения
Как видно из представленных на рыс. 12 графиков, после кинематического нагружения на первом этапе, так же как ы в задаче о прогибах при консольном закреплении, стержень претерпел как упругие деформации, так и деформации структурных превращении. После окончания второго этапа стержень сохранил остаточную кривизну, поскольку после разгрузки на части его длины сохранилась деформация структурного превращения, связанная с изменением удельной доли
АЛ V— ——'........ Этап 1
1 V*/":...........................................
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1С
Л^—^ — Этап 2
- 1............................ 1 1 I
°20 10 20 30 4 0 50 60 70 80 90 1С
05Г т 1 I 1 1 I 1 ГЦ
Этап 3
о а - — . — — — ■ =
05 - , , , , .........
0.98 0.96
0.96
0.94
! 1 ! ! Этап 1
ЧЛ--7
10 20 30 40 50 60 70
90 100
! ! ! Этап 2
0
0.122г 0.12Ь. 0.118 0.116
10 20 30 40 50 60 70
90 100
Этап 3
10 20 30 40 50 60 70 80
координата в % от 1/2 полной длины стержня
90 100
Рис;. 14. Распределение объемных долей М-мартенсита в верхнем слое стержня на различных этапах нагружения
М - мартенсит по сечению
8 - мартенсит по сечению
20 18
2 16
I
ф 14
<а
I* §10
I 8
¡а.
ф
1 5 х
4
2 0.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
объемная доля
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
Рис. 15. Распределение объемных долей мартенсита по толщине стержня на оси симметрии конструкции после первого этапа нагружения
М-мартенсита. На третьем этапе в процессе нагрева за счет обратных структурных превращений вышеупомянутая деформация была снята.
Как видно из эпюр, представленных на рис. 15 и 16, в данной конструкции на первом этапе нагружения преобладают напряжения растяжения (в отличие от кон-сольно защемленного стержня). Трапецидальнын характер эпюры распределения деформаций можно объяснить тем, что, во-первых, справедлива гипотеза плоских сечении, а, во-вторых, напряжения изгиба, пропорциональные расстоянии) слоя от нейтральной линии, тоже присутствуют.
На третьем этане нагружения, как видно из эпюр, представленных на рис. 17 и 18, происходит снятие полной деформации за счет перехода Э-мартенснта в аусте-них, остаточные напряжения по слоям сечения имеют порядок Ю- МПа.
Деформация
Напряжение
Я 16 ^
г
Щ 14
§10 Ц
I 8
О.
<и
I 5
г
О 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01
Рис. 16. Распределение деформаций и напряжений по толщине стержня па оси симметрии конструкции после первого этапа пагружепия
М - мартенсит по сечению
Э - мартенсит по сечению
2 16
з
з:
о> 14
§ 10 Ц
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
объемная доля
х 10"
Рис. 17. Распределение объемных долей мартенсита по толщине стержня па оси симметрии конструкции после третьего этапа пагружепия
Заключение
Результаты проведенных численных расчетов показывают, что предлагаемый алгоритм позволяет моделировать поведение стержневых конструкций, выполненных из сплавов с памятью формы. Написанный программный модуль позволяет исследовать распределение деформаций, напряжений, объемных долей мартенсита и аустенита как по длине стержня, выполненного из материала с памятью формы, так и по толщине стержня.
Предлагаемый подход показал свою работоспособность на ряде тестовых примеров и может быть рекомендован для исследования больших перемещений стержневых элементов конструкций, изготовленных из материалов с памятью формы.
2 16-s
X
Ш 140)
g12-
g с
0 g _ а.
ш
1 6
2-1
Деформация
-0.5
-12
Напряжение
ИГ
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0
[МРа]
Рис. 18. Распределение деформаций н напряжений но толщине стержня на оси симметрии конструкции после третьего этана нагр.ужения
_ Полная деформация
Температура [С]
Рис. 19. Эволюция напряжения и деформации верхнего слоя стержня на оси симметрии
Summary
D.P. Zhechkov, S.S. Gavryushin. Thermo-Mechanical Modeling of Superelastic Shape-Memory Beam Elements Experiencing Large Deflections.
The present work proposes a theoretical framework and algorithm for numerical analysis of large deflections of superelastic shape-memory alloy beam elements. The developed numerical model and solution algorithm are embedded in a computer application. Capabilities of this application are illustrated by a series of examples.
Key words: shape memory, superelasticity, large deflections, nonlinear beam.
Литература
1. Лихачев В.А., Кузьмин С.Л., Каменцева З.П. Эффект памяти формы. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. - 216 с.
2. Лшачев В.А, Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория прочности. СПб.: Наука, 1993. 471 с.
3. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели термотехпики. М.: Физмат-лит. 2002. 168 с.
4. Auricchio F. Sliape-memory alloys: application, micro-mechanics, macro- modeling and numerical simulations: Ph.D. diss. Berkeley, CA: University of California at Berkeley, 1995. 163 p.
5. Андреева JI.E. Упругие элементы приборов / Под ред. В.И. Феодосьева. М.: Ма-шгиз, 1962. 456 с.
6. Гаарюшии С.С., Барышникова О.О., Борискии О.Ф. Численные методы проектирования гибких упругих элементов. Калуга: ГУП «Облиздат», 2001. 200 с.
Поступила в редакцию 18.05.10
Жечков Дмитрий Петрович аспирант Московского государственного технического университета «МАМИ».
E-mail: jcchkuvepuchta.ru
Гаврюшин Сергей Сергеевич доктор технических паук, профессор, заведующий кафедрой РК-9 Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана.
E-mail: gssQrk9.bmstu.ru
