CC BY
39
УДК 532.74:538.66:538.27
В. А. Гончаров, Р. В. Каргин, И. В. Лунёв, В. И. Архипов
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЫСОКОИМПЕДАНСНОГО АКТИВНОГО ПРОБНИКА
Предложен новый подход к определению динамических характеристик диэлектриков, основанный на использовании усилительного каскада с высоким входным импедансом и позволяющий на 5-7 порядков расширить частотный диапазон, доступный для измерений методом сосредоточенной емкости. Создана экспериментальная установка. Получены основные соотношения и предварительные экспериментальные результаты. Разработан пакет программ для обработки данных.
Введение
Важную часть физических исследований конденсированных сред составляет изучение их электрических свойств, несущих информацию о внутренних параметрах и динамике молекулярных движений. Сравнение теории с экспериментом ведется сейчас, как правило, на уровне спектров комплексной диэлектрической проницаемости, т.к. именно эта величина измеряется традиционными частотными методами. Однако с развитием импульсных методов становится более естественным интерпретировать результаты эксперимента с помощью аппарата временных дипольных корреляционных функций (ДКФ), несущих прямую информацию о динамических свойствах диэлектрика. Большим преимуществом импульсных методов является быстрота измерений и широкий диапазон частот, перекрываемый в одном эксперименте.
В последнее время среди импульсных методов наиболее широкое распространение получил метод сосредоточенной емкости, как наиболее простой в реализации. Однако он имеет ряд недостатков, одним из которых является недостаточно широкий рабочий диапазон (106 Гц ^ 109 Гц).
Предлагаемый временной диэлектрический спектрометр позволяет существенно улучшить этот параметр. Главной особенностью прибора является использование активного пробника с большим (~10 МОм и более) входным сопротивлением, что позволяет свести к минимуму шунтирующее влияние коаксиального тракта на исследуемый образец. Следует отметить, что на базе такого пробника возможна реализация не только импульсных [1], но и флук-туационных [2] методов измерения комплексной диэлектрической проницаемости и функции диэлектрического отклика. Прибор имеет весьма широкий рабочий диапазон (10 -1 Гц ^ 1010 Гц), что позволяет изучать релаксационные процессы, обусловленные как коллективными, так и индивидуальными молекулярными движениями.
1. Функциональная схема спектрометра, основные соотношения, предварительные результаты
Измерительный блок спектрометра (пробник) построен на основе емкостного делителя напряжения С1С2 и усилительного каскада на транзисторе с барьером Шоттки (рис. 1).
и5
ь\{
7 с3 2 -1=4
—— | 2 3
4 — 5
Рис. 1 Функциональная схема диэлектрического спектрометра с активным пробником: 1 - генератор скачка напряжения; 2 - смеситель;
3 - блок синхронизации и формирования аналогового сигнала;
4 - аналого-цифровой преобразователь; 5 - компьютер
Конденсаторы С и С2 - воздушные, с плоскопараллельными электродами, и исследуемый образец может быть помещен в любой из этих конденсаторов. Здесь мы рассмотрим лишь тот случай, когда образец помещен в конденсатор С2.
Испытательный сигнал (скачок напряжения) с генератора 1 через коаксиальную линию с волновым сопротивлением (50 Ом) поступает на делитель С1С2 . Сигнал с конденсатора С2, усиленный по мощности каскадом на полевом транзисторе, через разделительный конденсатор С3 и выходной отрезок коаксиального тракта поступает на вход смесителя (стробоскопического преобразователя) проходного типа, нагруженного на согласованный резистор (для обеспечения режима бегущей волны). Аналоговый сигнал, сформированный блоком 3, представляется в цифровом виде с помощью АЦП 4 и вводится в компьютер 5.
Поскольку входное сопротивление полевых транзисторов с барьером Шоттки составляет обычно 10 МОм и более, шунтирующее влияние входа транзистора на конденсатор С2 оказывается на 5-6 порядков слабее, чем аналогичное влияние коаксиальной линии, что приводит к расширению низкочастотной области рабочего диапазона.
С другой стороны, время нарастания напряжения на конденсаторе С2 не может превысить значения ZoQ и, выбирая С, можно сделать это время достаточно малым, расширив тем самым рабочий диапазон в сторону высоких частот. Например, для С ~ 1 пФ оно составит около 0,1 нс - независимо от величины С2 (в отличие от «классического» случая, когда С2 непосредственно шунтирует коаксиальную линию).
Рассмотрим случай, когда измерительной ячейкой является конденсатор С2 (рис. 2). Тогда С2 = Со -е(гю) + С5 , где Со - рабочая (геометрическая) емкость ячейки; є - комплексная диэлектрическая проницаемость образца; С5 - сумма краевой емкости ячейки и входной емкости транзистора.
Рис. 2 Генератор испытательного сигнала (скачка напряжения) и входная цепь активного пробника
Нетрудно показать, что для четырехполюсника, представленного на рисунке 2, соотношение между входным (^1 (ію)) и выходным (и2 (ію)) сигналами имеет следующий вид:
и 2 (ію) =
и1 (ію)
С
ію%0С2 +—2 +1 С1
(1)
Пусть измерения производятся в двух режимах: первый - с исследуемым веществом, второй - с образцом, диэлектрические характеристики которого хорошо известны. Для простоты во втором случае можно использовать воздушное заполнение ячейки, для которого в рассматриваемом диапазоне частот е(г'ю) = е/(гю) ~ 1. Измеренные параметры для воздушного заполнения будем отмечать штрихом. В таком случае, записав выражение (1) для обоих измерений и исключив ^1 ( г'ю) из полученной системы уравнений, получим
и В ых (ію)
С2
и
ВЫХ
(¿ю)
С2
тг0 + — С
+1
1
-1
¿юг0 +
С1
(2)
Используя соотношение С2 = С0 -е(гю) + С$ , приведем рабочую формулу к окончательному виду:
и 2 (¿ю)
и 2 (ію)
іюг0 ( + С0 ) + С^С—0 +1 Сі
1
С
ію70С0 +—0
- сс^ , (3)
С0
С1
где и2 ( ію) и и2 ( ію) - Лаплас-образы сигналов и2 () и и2 (), соответственно.
Можно показать, что для учета электропроводности образца и тока утечки затвора транзистора достаточно в левую часть соотношения (3) ввести
добавку ———I----------1— ( — - электропроводность образца; е0 - электриче-
гю£о гюЛСо
ская постоянная; Я - входное сопротивление транзистора), т.е. записать левую часть (3) в виде е(гю) I———I-----1—.
гю£о гюЛСо
Перейдем теперь к выводу соотношений, позволяющих обрабатывать данные эксперимента непосредственно во временной области. Вернемся к соотношению (2), которое нетрудно привести к следующему виду:
и 2 (і—
Со +
1 ¿(А
¿о і—ZоС +1
= и 2 (г'ю)
С2 +
1 ¿оС
¿о їю2(Сі +1
(4)
Для измерительной ячейки с электропроводным образцом и транзистора с конечным входным сопротивлением
С2 = с0е(гю) + О1 + “—“ + .
гюЄ( і—ЯСо
(5)
Аналогично, для пустой ячейки
Со
с2 = со + с8 +—
2 о ? і—ЯСо
Подставив эти выражения в (4) и введя обозначения
і • \ С? & 11 ¿оСі
є = є(і—) + —^ + -----+ -------+------- ———
Со і—Єо і—ЯСо ^оСо і—ZоСі +1
(6)
(7)
1 1
- + -
гоС1
Со і—ЯСо ¿оСо і—гоС +1
■ои
(8)
получим
и 2Є = и 2Є'.
(9)
Переходя во временную область, т.е. применяя обратное преобразование Лапласа [3] к (7)-(9), приходим к следующим соотношениям:
ф (г) = ср(г) + §(г ) + -&^-^ + тт^ехР
Со
єо ЯСо ¿оСо
¿оС-і
о и
(1о)
ф () = ф(г) + --г + —г + ~Сг + О
Со єо ЯСо Со
1 - ехр
г
ф ,(г ) = 8(г) + °г 8(г + тт^ехР
Со
ф (г) = 1 +—— +-----------г +
Со ЯСо Со
ЯСо ¿оО С1
о ^о^о 1 - ехр
V
¿оС1
г
¿оС1
л
¿оС1
(11)
(12)
(13)
У
и
и 2 ()*ф (г) = и 2 (г )*ф'(г), и 2 ()*Ф () = и 2 (г )*Ф'(г).
(14)
(15)
Соотношения (15) и (14), в которых «*» означает свертку двух функций во временной области [3], представляют собой интегральные уравнения относительно ф) и ее производной, соответственно. После того, как эта
функция определена численным решением уравнения (15) (или уравнения (14) с последующим интегрированием результата), «чистая» функция отклика, учитывающая электропроводность образца, может быть найдена как
ф(г ) +—г = ф (г )-ф '(г) +1, 80
(16)
что следует непосредственно из соотношений (11) и (13). Для получения диэлектрического спектра из функции отклика используется формула
8 (ш) = Цф(г)].
(17)
На рисунке 3 приведена функция диэлектрического отклика, измеренная для глицерина при температуре Т = 28 °С на предложенной установке.
Є
сЗ
И
К
н
о
о и о и о 0) р ' к
Л
н и 0) ч & К -
к
и
к
е-
50 -|
40- ____
30- [
20- 10-
п •
V 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | П П ^ ^ л-10 . А ..л-9 ^ _ ^л-9 л л .,«-9
С С О С X с с X с а X с к с X с
Время, с
Рис. 3 Функция отклика, измеренная для глицерина, Т = 28 °С. Черная линия -экспериментальные точки; круглые точки - результат фитинга формулой (18)
Экспериментальная функция отклика была отфитингована эмпирической формулой Кольрауша-Вильямса-Ваттса.
Ф(г) = (8. -8те)
1 - ехр
+ 80
(18)
и
где ех - статическая диэлектрическая проницаемость; - диэлектрическая
проницаемость на самых высоких частотах для данного релаксационного процесса; т - время релаксации; а - параметр ассиметричного уширения.
В результате фитинга были рассчитаны параметры ех, е^, т , а (таблица 1).
Таблица 1
8. 8ТО т, с а
Значения 39,91 3,99 11,1 е-10 0,936
Ошибка фитинга ±0,009 ±0,09 ±4,6е-12 ±0,004
Табличные значения [4] 41,9 4,0 10,4е-10
Как видно из таблицы 1, рассчитанные параметры находятся в хорошем согласии с данными из справочной литературы [4].
2. Реализация вычислений
Недостатком практически всех импульсных методов является проблема обработки экспериментальных данных, которая связана не только со сложностями вычислений, но и с качеством исходных измеряемых кривых [5]. Создано программное обеспечение, позволяющее поэтапно производить обработку данных. На первом этапе производится учет ошибок согласования измерений с разным заполнением ячейки, посредством линейных цифровых фильтров из кривых убираются шумы, погрешности, связанные с оцифровкой сигнала. На втором этапе производятся вычисления функции отклика и спектра. Проблемы возникают при взятии преобразования Фурье-Лапласа и при решении интегрального уравнения типа свертки в связи со сложностью задания начальных условий. Как известно, математически обосновано применение преобразования Фурье-Лапласа только к сигналам, известным на бесконечном промежутке времени, либо к сигналам, имеющим ненулевые значения на конечном временном интервале, но обращающимся в нуль вне этого интервала. На рисунке 4 представлена типичная форма сигнала, регистрируемого на предложенной установке.
Видно, что полученные функции не стремятся к нулю, а выходят на некоторое постоянное значение. При обработке функции отклика ситуация аналогичная. Для того чтобы обойти эту проблему, использовался алгоритм численного преобразования Фурье с трапецеидальным описанием формы обрабатываемого сигнала. При этом все точки выборки соединяются отрезками прямых, и для каждого промежутка записывается уравнение прямой. На полученных интервалах аналитически производится преобразование Фурье, интегралы по выборкам суммируются, и для вычислений получается следующая формула:
а X (гп)] = -
ш
х(гп) е Шп - х(г0) е Шо
. п , ох 8, (19)
2і ^х(гк)-х(гк-1) ' 04
^---------=-------51П
ш2 к=1 8
е2
здесь 8 = _1 ~кк - интервал дискретизации сигнала.
0- ■ Пустая ячейка
-100- Ц о Ячейка с образцом
1
-200- 1
-300-
-400 -
1
-500 - \
-600-
-7ПП
-i uu 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ПА J A J Я-8 Л Л J а-8 м а ^ л-8 м л ^ Л-8 в л л Л-8
с с —: С X —: С К с X -J с Су С X с £ С X —: С а с X с
Время, с
Рис. 4 Типичная форма снимаемых кривых
Если условно принять напряжение на границах измеряемого временного интервала равным нулю, то в оставшейся в (10) сумме стоит разность между амплитудами соседних точек. Это означает, что при выходе подынтегральной функции на некоторое постоянное значение интеграл будет сходиться, т.к., начиная с некоторой точки, все слагаемые в сумме будут нулевыми. Приближение, которое мы используем, считая функцию на границах области ее задания равной нулю, дает так называемую «ошибку усечения». Чтобы уменьшить влияние искусственного задания границ, необходимо увеличивать время измерения.
Не менее важной проблемой является решение уравнения типа свертки. Это уравнение является уравнением с некорректно заданными начальными условиями, и при попытке вычислить функцию отклика «напрямую» результат расходится. В программе использован алгоритм, позволяющий корректно задать начальные условия и получить наиболее точный результат.
Список литературы
1. Goncharov, V. A. Treatment of time-domain spectroscopy data in the lumped-capacitance method. Further considerations / V. A. Goncharov, Yu. D. Feldman // Chem. Phys. Letters. - 1980. - V. 71. - № 3. - P. 513-518.
2. Goncharov, V. A. On the study of the dynamical behaviour of dielectrics by ther-mal-noise correlation analysis / V. A. Goncharov, I. V. Ovchinnikov // Chem. Phys. Letters. - 1984. - V. 111. - № 6. - P. 521-525.
3. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1978. - 381 c.
4. Ахадов, Я. Ю. Диэлектрические параметры чистых жидкостей / Я. Ю. Ахадов. -М. : МАИ, 1999. - 854 с.
5. Feldman, Yu. Time-domain dielectric spectroscopy: An advanced measuring system / Yu. Feldman, A. Andrianov, E. Polygalov, I. Ermolina, G. Romany chev, Yu. Zuev, B. Milgotin // Rev. Sci. Instrum. - 1996. - V. 67. - № 9. - P. 3208-3216.
