Электрическая полуинтегрирующая ячейка в тонкопленочном исполнении

Крупенин Сергей Владимирович; Колесов Владимир Владимирович

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА В ТОНКОПЛЕНОЧНОМ ИСПОЛНЕНИИ

81

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА В ТОНКОПЛЕНОЧНОМ ИСПОЛНЕНИИ

Крупенин С. В., Колесов В. В.

Институт радиотехники и электроники им. В.А.Котельникова РАН, 125009 Москва

Поступила в редакцию 08.10.2010

Аналоговая модель полуинтегрального оператора реализована на основе резистивно-емкостных элементов с распределенными параметрами. Экспериментальные образцы полуинтегрирующей ячейки представляют собой микроструктуры, изготовленные посредством высоковакуумного напыления тонких пленок проводящих и диэлектрических материалов с использованием фотолитографии. Частотно-ограниченные полуинтегри-рующие свойства изготовленных образцов подтверждены экспериментальными исследованиями.

Ключевые слова: полуинтегральный оператор, резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами, тонкие пленки.

УДК 621.372.54+517.44_____________________

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение (81).

2. Моделирование интегродифференциаль-ных операторов нецелого порядка (82).

2.1. Элемент постоянной фазы.

2.2. Электрическая реализация.

2.2.1. Передаточная функция. 2.2.2. Метод разложения сингулярности. 2.2.3. Разложение в цепную дробь. 2.2.4. Обзор моделей.

3. Аналоговая полуинтегрирующая ячейка

(89).

3.1. Теоретическая модель.

3.2. Экспериментальные образцы.

3.2.1. Топология. 3.2.2. Методика изготовления. 3.2.3. Параметры. 3.3. Частотные характеристики образцов. 3.3.1. Экспериментальные результаты. 3.3.2. Результаты моделирования.

4. Заключение (96).

Литература (96).

1. ВВЕДЕНИЕ

Изначально в математической физике было принято придерживаться концепции сходящихся рядов и целочисленных порядков

дифференцирования. Расходящиеся ряды и дробное дифференцирование считались бессмысленными с физической точки зрения. Однако в XX веке экспериментальные и теоретические исследования обнаружили несостоятельность такого подхода к математическому описанию физических явлений.

Понятие фрактала, введенное Бенуа Мандельбротом в 1975 г., указывает на обширный класс явлений природы, которые традиционная статистическая физика не в состоянии ни объяснить, ни тем более описать. В частности, Мандельброт указал на несостоятельность традиционных методов математической физики в описании таких распространенных явлений, как турбулентность и фазовые переходы. В монографии [1] каталогизирована масса физических, социальных и биологических явлений, которые не могут быть адекватно описаны в рамках общепринятого формализма аналитических функций. В спектральной области такие явления характеризуются обратными степенными зависимостями, т.е. являются принципиально широкополосными, что приводит к существованию корреляций в широком временном диапазоне. При этом флуктуации случайных величин также характеризуются степенной асимптотикой (статистика Леви, Миттаг-Леффлера), что существенно расходится со случаями, предписываемыми стандартной формой центральной предельной теоремы [2]. Многочисленные исследования показали, что степенная асимптотика распределений случайных величин и обратные степенные законы в спектрах связаны с фрактальными свойствами реальных физических систем. Самоподобные процессы в таких системах описываются фрактальными функциями, всюду непрерывными, но нигде недифференцируемыми (например, функции Вейерштрасса и Кантора). Именно идея недифференцируемости привела к первоначальному определению (через предельные суммы) интегродифференциальных операторов нецелого порядка.

КРУПЕНИН С.В., КОЛЕСОВ В.В.

Фундаментальным результатом, подтвержденным теоретическими и экспериментальными исследованиями, является следующий факт: эволюция фрактальных систем описывается дробными интегродиф-ференциальными уравнениями. Таким образом, степенные законы и самоподобное поведение являются характеристическими признаками сложных систем, описание эволюции которых возможно на языке дробного исчисления. Одними из первых подтверждений этого фундаментального факта послужили результаты исследований процессов медленной релаксации и аномального переноса в хаотических динамических системах. Формализм дробного исчисления более десяти лет успешно применяется для описания релаксационных процессов в теории вязкоупругости и диффузионных процессов в неупорядоченных средах [1, 2-8].

Многие явления, такие как электрические помехи, релаксационные эффекты в диэлектрических, магнитных и вязкоупругих материалах, распространение сигналов по линиям передач, сердечные ритмы, музыка, характеризуются обратными дробно-степенными зависимостями в спектральной области и описываются в терминах дробных интегродифференциальных операторов во временной области. Такие процессы классифицируются как процессы l/f-типа, или фрактальные процессы, поскольку проявляют самоподобную динамику. В целом, исследования в различных областях науки и техники показали, что фрактальный подход обеспечивает более точную аппроксимацию экспериментальных данных, нежели традиционная интерпретация.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНТЕГРОДИФФЕ-РЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НЕЦЕЛОГО ПОРЯДКА

Концепция и формализм интегродифферен-цирования нецелого порядка берут начало с работ Лиувилля и Римана, опубликованных в начале XIX века [9, 10]. Физический смысл дробных операторов и методы их моделирования одним из первых рассмотрел Хевисайд в своей монографии по электромагнетизму в конце XIX века [11]. Начало аппаратной реализации устройств дробного интегродифференцирования было положено в 60-е годы XX века Р.Ш. Нигматуллиным [1214], основателем Казанской научной школы по исследованию и применению электрохимических преобразователей информации.

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Начиная с 1962 г., разрабатываются и применяются на практике полярографические [12, 13], электрохимические [14-16] и электрические методы моделирования дробных операторов. Электрические модели дробных операторов представлены устройствами следующих функциональных групп: пассивные аналоговые схемы на основе RLC элементов с сосредоточенными параметрами [16-21], пассивные аналоговые схемы на основе RC элементов с распределенными параметрами [22-24], активные аналоговые схемы на основе операционных усилителей [25], цифровые схемы [26].

Хотя аналоговые модели являются частотноограниченными устройствами дробного интегро-дифференцирования, к их несомненным преимуществам следует отнести реализацию дробного преобразования сигнала в реальном масштабе времени и относительную простоту аппаратной реализации. В прикладных задачах, связанных с обработкой сигналов и вычислениями в режиме реального времени, сравнительно дешевые аналоговые дробные преобразователи представляют хорошую альтернативу дорогим высокоскоростным цифровым сигнальным процессорам.

Основные применения дробных

интегродиффе-ренциальных преобразователей составляют следующие задачи [27-29]:

• аналоговое моделирование динамических систем дробного порядка;

• реализация отказоустойчивых систем управления дробного порядка [25, 26];

• решение дробных интегродифференциаль-ных уравнений в составе вычислительных электронных схем [31];

• реализация датчиков физических величин (в рамках концепции распределенных измерительных сред) [32];

• использование в качестве управляемых элементов аналоговых адаптивных фильтров;

• синтез фрактальных шумов со спектральной плотностью мощности 1/f [33, 31].

2.1. Элемент постоянной фазы

Одна из первых динамических моделей системы l/f-типа была предложена Варбургом [34] для описания поляризационной динамики на поверхности электрода. Формулировка была основана на физической картине явления, предполагающей процесс диффузионного типа. В рамках этой модели впервые было введено понятие “элемент

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА В ТОНКОПЛЕНОЧНОМ ИСПОЛНЕНИИ

постоянной фазы”, широко используемое в электрическом моделировании дробных операторов [21, 17, 18], подразумевающее постоянство фазы входного импеданса в некотором диапазоне частот. Постоянный фазовый сдвиг импеданса Варбурга составлял п/4, последующие обобщения модели допускали отличные от п/4 значения.

Анализ частотного отклика системы обычно проводится с помощью диаграммы Боде, которая состоит из амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) в логарифмическом масштабе и фазочастотной характеристики (ФЧХ) — в полулогарифмическом. Как известно, амплитуда и фаза системы редко изменяются независимо друг от друга. Для минимально-фазовых систем амплитуда и фаза однозначно связаны между собой интегральным соотношением Боде. Аналогично соотношениям Крамерса-Кронига для действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости, соотношение Боде связывает логарифм модуля передаточной функции с ее фазой посредством преобразования Гильберта:

argH = Н{log|H|}, log | H | = H-1(argH}, ^

где H — передаточная функция. Фактически, минимально-фазовой считается система, которая при заданной АЧХ способна передать к выходу энергию, поступающую на ее вход, за кратчайшее время.

Из определения элемента постоянной фазы следует, что фазовая часть диаграммы Боде представляет собой константу в пределах некоторой полосы частот. Предположим, что система пассивна, тогда фазовый сдвиг принадлежит интервалу от -п/2 до +п/2, и постоянный аргумент передаточной функции можно представить в виде

argH(s) = Xn/2, X = const, \Х\ < 1. (2)

Тогда из интегрального соотношения Боде следует дробно-степенная зависимость модуля передаточной функции от мнимой частоты s = iw:

I H(Д|<х Д \ (3)

Таким образом, импеданс Варбурга характеризуется дробно-степенной зависимостью от частоты. В современной литературе общепринятым является термин “фрактальный импеданс”, что подчеркивает принадлежность описываемой системы к l/f-типу.

Отклик фрактальной системы в спектральной области характеризуется передаточной функцией

вида sX. Как известно, передаточная функция определяется как отношение лапласовых образов выходного Y(s) и входного X(s) сигналов, а мнимая частота s является параметром преобразования Лапласа. Тогда, учитывая вид обратного преобразования Лапласа дробного оператора Римана-Лиувилля, легко видеть, что выходной сигнал y(t) фрактальной системы является дробным интегралом (X < 0) или производной (X > 0) от входного сигнала x(t):

л1

Y (s) = s AX (s) ^ y(t) = D Ax(t).

Рассмотрим отклик фрактальной системы во временной области. Импульсная характеристика h(t) является оригиналом в смысле преобразования Лапласа передаточной характеристики H(s):

л1

H (s) х s1 ^ h(t) х t_A_1.

Представляя выходной сигнал в виде свертки импульсной характеристики и входного сигнала и учитывая определение дробного оператора, получим, что выходной и входной сигналы фрактальной системы связаны посредством дробного интегродифференциального преобразования:

y(t)= jo1-1 x(t-T)dT ^ y(t) к D1 x(t).

На этом факте базируется концепция физического моделирования дробных операторов. Одним из основоположников в этой области является Оливер Хевисайд. С помощью разработанного им операционного исчисления он показал, что входной импеданс полубесконечной резистивноемкостной линии передачи зависит от мнимой частоты как у]\ / s и, следовательно, аппроксимирует полуинтегральный оператор [11, том 2, глава 6, §240].

2.2. Электрическая реализация

Электрические методы моделирования дробных операторов основаны на рациональной аппроксимации в ограниченном диапазоне частот иррациональной передаточной функции фрактальной системы — импеданса Варбурга — и последующем синтезе эквивалентной электрической схемы с соответствующим импедансом. На основе электрической модели дробного оператора может быть построено частотно-ограниченное аналоговое устройство дробного интегродифферен-цирования.

84

КРУПЕНИН С.В., КОЛЕСОВ В.В.

2.2.1. Передаточная функция

Простейшим представлением частотного отклика фрактальной системы является функция

H(s) = K/S, (4)

где K — масштабный коэффициент, s = iw — мнимая частота. Дробный показатель степени m с точностью до знака равен порядку дробного интегро-дифференцирования и определяет постоянный фазовый сдвиг ф0 = -тп/2 в соответствии с интегральным соотношением Боде. В качестве передаточной функции H(s) можно рассматривать импеданс Z(s) или полную проводимость Y(s) системы.

Однако, формулировка (4) применима в ограниченном диапазоне частот [35]. Расширениями этой модели являются:

— функция Коула-Коула

H ( s)

K

ТнКт ’

0 < m < 1,

(5)

— функция Девидсона-Коула

H ( s)

K

(1 + STC)m ’

0 < m < 1.

(6)

Последняя известна в системотехнике как “функция с полюсом дробного порядка”, в английской терминологии — FPP (fractional power pole), поскольку имеет в качестве сингулярности полюс дробного порядка m. Функции (5) и (6) были предложены авторами для описания дисперсионнорелаксационных явлений в диэлектриках, а величина 1/тс представляет собой характеристическую частоту релаксации [35-37]. Эти функции являются уточнением базовой модели (4) в низкочастотном диапазоне и сходятся к ней в пределе w » 1/ тс. Функция Дэвидсона-Коула (полюс дробного порядка) соответствует оператору дробного интегрирования.

Для моделирования оператора дробного дифференцирования вводится функция с особенностью типа ноль дробного порядка — FPZ (fractional power zero):

H(s) = K(1+srf, 0 < m < 1. (7)

Функции (6) и (7) являются иррациональными ввиду нецелого порядка сингулярности, что осложняет их аппаратную реализацию. Поэтому моделирование и последующая реализация устройств дробного интегродифференцирования осуществляются в два этапа:

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

— рациональная аппроксимация модельной передаточной функции, а именно, представление сингулярности нецелого порядка в виде композиции конечного числа сингулярностей целого порядка;

— синтез эквивалентной электрической схемы, исходя из вида полученной аппроксимирующей функции.

2.2.2. Метод разложения сингулярности

В методе разложения сингулярности [35, 38-39, 25, 40] аппроксимирующая передаточная функция задается каскадом перемежающихся нулей и полюсов первого порядка. Если исходная функция имеет сингулярность действительного порядка, что соответствует интегродифференцирова-нию действительного порядка, нули и полюс а' аппроксимирующей функции располагаются на отрицательной части действительной оси комплексной s-плоскостиК Отметим, что принадлежность особых точек передаточной функции к левой комплексной полуплоскости является признаком минимально-фазовой системы, для которой справедливо интегральное соотношение Боде.

Разложение сингулярности функции Дэвидсона-Коула имеет вид

H (s)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

N-1

п

i=0

у

1 +

У У

п

j=0

л ’

1 +

p

J У

(8)

s

где z. и р. — нули и полюс а' первого порядка, распределенные на логарифмической шкале частоты в соответствии с рис. 1, а именно: расстояние между нулем и следующим полюсом равно а, расстояние между полюсом и следующим нулем равно b,

1 Для сингулярности комплексного порядка нули и полюс а' комплексны. Подробнее о синтезе устройства интегродифференцирова-

ния комплексного порядка см. ниже в обзоре моделей.

К—А |4"А А

—*—е-к----------------и о » -о-* > ,

logo)

р» hi bi Pj 1[ Р, \ Р0

1«ь >!»!<■ |<-Ъ->|« к-Ъt |f

Рис. 1. Распределение нулей и полюсов для разложения сингулярности функции Дэвидсона-Коула [35].

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА В ТОНКОПЛЕНОЧНОМ ИСПОЛНЕНИИ

85

расстояние между соседними нулями или полюсами равно X = ab. Эти расстояния связаны с дробным порядком m соотношением log a

m =-------.

log(a^ (9)

На рис. 2 представлена амплитудная часть диаграммы Боде для функции Дэвидсона-Коула (6) и аппроксимирующей функции (8). Функция с полюсом дробного порядка имеет асимптоту c наклоном, соответствующим показателю степени m. Аппроксимирующая функция является ломанной с изгибами в особых точках — нулях и полюсах.

Наклон соседних звеньев ломаной составляет 0 дБ/дек (между нулем и следующим полюсом) и -20 дБ/дек (между полюсом и нулем). Величина ошибки у определяется как расстояние между асимптотой функции и одной из параллельных ей линий, которые ограничивают ломаную. Расстояние между особыми точками определяет величину у, т.е. точность приближения, а число особых точек — ширину частотного диапазона приближения. Таким образом, распределение сингулярностей аппроксимирующей функции задается тремя параметрами: показателем m, максимальной частотой модели w и точно-

стью аппроксимации у. Например, для порядка m = 0.3, отсечки w = 1012 Гц и ошибки у, со-

max

ставляющей 1 дБ, 3 дБ и 6 дБ, число элементов N составляет 26, 10 и 5, соответственно [35].

С помощью дробно-рационального представления (разложение на простые дроби) функция (8) легко преобразуется в эквивалентный каскад RC элементов, представляющий собой цепь Фостера (см. рис. 3). При этом распределение сингулярностей аппроксимирующей

с»

НН

-МЛА.

Рис. 3. Эквивалентная электрическая схема для функции Дэвидсона-Коула [35]. Цепь Фостера.

функции и, следовательно, значение показателя степени m, определяемое по формуле (9), зависит от соотношения сопротивлений и емкостей используемых элементов.

Помимо упомянутых здесь литературных источников, метод разложения сингулярности, однако, в несколько измененной форме, представлен в работах [18, 21, 41, 42]. Существуют и другие методы аппроксимации иррациональной передаточной функции, приводящие к построению эквивалентной электрической схемы, например, разложение в цепную дробь.

2.2.3. Разложение в цепную дробь

Метод разложения в цепную дробь широко используется для рациональной аппроксимации передаточной функции элементов постоянной фазы [21, 4, 43, 44, 19].

Цепной или непрерывной дробью [45, 46] называется выражение вида

bo +

a

b +

a

b + • • • +

a

b + •••

Для экономии места пользуются сокращенными формами записи, например:

ai | | an

b0 + — + — + • + n

+ '

lb lb |bn

b0 + a ! [b1 + a2 /[b2 + • + an ! [bn + '

В работе [21] был теоретически описан тонкопленочный элемент постоянной фазы, представляющий собой RC ячейку с распределенными параметрами (см. рис. 4). Входной импеданс этой структуры при разомкнутом выходе характеризуется постоянным фазовым сдвигом -45±1° и аппроксимирует фрактальный импеданс s-1/2 в высокочастотной области, а именно при wRC > 10. Таким образом, описываемая структура является

РКУПЕНИН С.В., КОЛЕСОВ В.В.

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Рис. 4. Схема тонкопленочной реализации RC ячейки с распределенными параметрами [21].

частотно-ограниченнои моделью полуинтегратора. Для сравнения: полубесконечная резистивноемкостная линия передачи моделирует полудифференциальный оператор.

С помощью разложения в цепную дробь было получено высокочастотное приближение для фрактального импеданса s-1/2:

Z (s)

1 ,, 3 , , 5 „ ,

— +1/ — +1/ — +1/

sC R sC

7

— + •••.

R

(10)

Эквивалентный каскад RC элементов для этого разложения представляет собой один из вариантов топологии Кауэра (см. рис. 5), где C = C/(4r - 3), R = R/(4r - 1), r = 1, 2, 3, ...

В низкочастотной области было получено следующее разложение:

Z(s) = 1/[sC + 1/[3R + 1/[5sC + 1/[7R + ... (11)

Эквивалентный каскад RC элементов для этого разложения представлен другим вариантом топологии Кауэра (см. рис. 6), где

R1 = 0, R = (4r- 5)R, C = (4r- 3)C, r = 1, 2, 3, ...

Для схем (5) и (6) постоянство фазы и дробно-степенная зависимость модуля импеданса были подтверждены численным экспериментами. Тем самым, была продемонстрирована возможность реализации фрактального импеданса s-1/2 в виде неоднородной RC цепочки. Было показано, что высокочастотное приближение дает более широкий частотный диапазон, нежели низкочастотное. Однако, последняя модель имеет определенное преимущество, поскольку допускает реализацию в виде RC структуры с распределенными параметрами. Модель фрактального импеданса

Cl с?

г НГ Т #

гМ+ Sb.

Рис. 5. Высокочастотная модель импеданса s-1/2 [21]. Цепь

Кауэра.

9 WW "Ww V—Wi 1—Wp 1-----------Ш-ШШ m 1*ЛЛ" Й—

Z(B)* "C| |cz |ca jc* |cr

Рис. 6. Цизкочастотная модель импеданса s_1// [21 ]. Цепь

Кауэра.

s1/2, соответствующая полудифференциальному оператору, может быть построена аналогичным образом на основе RL элементов [21].

В качестве примера обратного построения модели рассмотрим работу [44], в которой дробно-степенная частотная зависимость импеданса не задана изначально, а получена на основании модельного представления об исследуемой системе.

Для объяснения экспериментальных данных была предложена фрактальная модель ослабления электромагнитных волн СВЧ диапазона фрагментами растительности. На основании представления растительности в виде фрактальной ветвящейся структуры и предположения о емкостной природе фрагментов была предложена эквивалентная иерархическая схема, состоящая из RC элементов с сосредоточенными параметрами (см. рис. 7), моделирующая отклик исходной структуры.

Очевидно, входной импеданс электрической схемы на рис. 7 может быть представлен в виде цепной дроби

Z (ю) = R + — + — + — + +

\rnC \aR \rnC \а2 R

JJ_.

\rnC

Рис. 7. Иерархическая модель фрактального импеданса [44].

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА В ТОНКОПЛЕНОЧНОМ ИСПОЛНЕНИИ

После преобразования последней и решения функционального уравнения была получена частотная зависимость импеданса, согласующаяся с экспериментальными данными по ослаблению СВЧ волн биомассой растительности Z(ю) <хю~3+D,

где D — фрактальная размерность моделируемой структуры.

Исследования последних 30 лет выявили основные схемы моделирования дробных операторов произвольного порядка —1 < m < 1:

1) параллельное соединение последовательных контуров,

2) последовательное соединение параллельных контуров (цепь Фостера),

3) каскадное соединение интегрирующих контуров (цепь Кауэра),

4) каскадное соединение дифференцирующих контуров (цепь Кауэра).

Каждая из схем реализуема на основе RC или RL элементов, итого восемь различных вариантов. Для первых двух схем имеет место двойственность: первая реализация на основе RC элементов эквивалентна второй на основе RL элементов, и наоборот. Порядок интегродифференцирования m определяется значениями сопротивлений, емкостей и индуктивностей.

2.2.4. Обзор моделей

[28] Для моделирования импедансов 31 / 5 и i/TTs был применен метод Ньютона. Для каждой из дробно-степенных зависимостей была получена вторая итерация биномиального разложения. Синтезированные на основании этих рациональных приближений эквивалентные RLC цепи были составлены из 11 и 13 элементов для интеграторов порядка 1/3 и порядка 1/4, соответственно. Реализуемость моделей была доказана теоретически (см. также [20, 47]). [47] Была получена относительно простая RC цепь, состоящая из 8 элементов, моделирующая импеданс -Js . Численные эксперименты показали, что даже столь малое количество элементов позволяет получить удовлетворительную аппроксимацию в полосе частот шириной две декады.

[41] Для моделирования импедансов V5 и y/vs были получены эквивалентные цепи Фостера на основе RL и RC элементов, соответственно (см. рис. 8). Экспериментальный образец был

Рис. 8. Модели импедансов -J5 и -JUS [18]. построен из пяти RC элементов с сосредоточенными параметрами. Было подтверждено экспериментально, что частотная зависимость ы1/2 и постоянство фазового сдвига, равного 45°, сохраняются в пределах двух с половиной декад по частоте с точностью до 1% и 1°, соответственно.

[50] С целью реализации устройства дифференцирования комплексного порядка был разработан метод аппроксимации передаточной функции с сингулярностью комплексного порядка, аналогичный методу разложения сингулярности действительного порядка. Аппроксимирующая комплексная передаточная функция с помощью дробнорационального представления была разделена на действительную и мнимую части. Было показано, что каждая составляющая является действительной функцией частоты и может быть реализована в активном контуре на операционных усилителях. Устройство дифференцирования порядка n = 1/2 + i1/2 было изготовлено, проверено и запатентовано. Были получены экспериментальные частотные зависимости действительной и мнимой частей коэффициента пропускания, согласующиеся с теоретическими в пределах трех декад по частоте.

[38] Среди цифровых моделей дробных операторов отметим цифровой полуинтегратор, реализованный на аппаратной платформе FPGA. Особенностью предложенной реализации являются вычисления с фиксированной запятой, что снижает стоимость исполнения и увеличивает скорость работы устройства. Это стало возможным благодаря

КРУПЕНИН С.В., КОЛЕСОВ В.В.

высокопараллельной архитектуре FPGA, которая позволяет регулировать точность отдельных вычислений в режиме с фиксированной запятой. Представленное в работе устройство обладает ограниченной производительностью (до 50 Мвыб/с) и выполняет операцию полуинтегрирования на сравнительно коротких временных интервалах (до 10 с). Тем не менее, предложенная концепция открывает новые возможности в реализации реальновременных цифровых аппаратных решений для моделирования фрактальных систем.

В работе были реализованы два варианта аппроксимации передаточной функции фрактальной системы. Первый — аппроксимация полиномиальной функцией, приводящая к реализации в виде фильтра с конечной импульсной характеристикой, второй — аппроксимация рациональной функцией, приводящая к реализации в виде фильтра с бесконечной импульсной характеристикой. Полиномиальная аппроксимация была получена с помощью биномиального разложения на основе определения дробного оператора Грюнвальда-Летникова. Рациональная аппроксимация была построена методом разложения сингулярности, как он описан в работе [38]. Анализ временного отклика полуинтегратора показал, что рациональная аппроксимация имеет существенные преимущества перед полиномиальным приближением, а именно, позволяет добиться более широкой полосы частот, используя меньше аппаратных ресурсов. Так, реализация фильтра с бесконечной импульсной характеристикой предполагает использование только 593 логических слоев FPGA, тогда как для фильтра с конечной импульсной характеристикой требуется 2102 логических слоя. При этом максимальное абсолютное отклонение частотного отклика от идеального полуинтегратора составляет 0.85 дБ на временном интервале 10 с для фильтра с бесконечной импульсной характеристикой и 3.11 дБ на временном интервале 0.02 с — для фильтра с конечной импульсной характеристикой.

[24] Была показана возможность генерации фрактального шума с помощью дробного интегродиффе-ренциального преобразователя порядка -гЛ. Низкочастотный шум со спектральной плотностью мощности 1/Р, где а близко к

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

единице, или фликкер-шум, является фрактальным процессом и обусловлен различными диссипативными кинетическими явлениями. Фликкер-шум наблюдается в радиофизических устройствах, биологических системах, геофизических процессах. Наиболее распространенным объяснением происхождения 1/Р -шума в радиофизике и физике твердого тела является экспоненциально широкое распределение времен релаксации. При этом 1/ Р-шум трактуется как суперпозиция релаксационных случайных процессов [2, 11, 13]. Было показано аналитически, что дробный интегродифференциальный преобразователь с подключенным к нему источником белого шума имеет спектральную характеристику фликкер-типа. Другими словами, рассматриваемая схема в определенной полосе частот преобразует истинный стационарный шум в шум 1/Р -типа. При этом наиболее характерная для фликкер-шума зависимость вида W1 имеет место, если порядок преобразователя равен -1А. Эти свойства дробного интегро-дифференцирующего устройства указывают на возможность его применения для моделирования низкочастотных шумов в различных электронных системах.

Аналитические результаты были подтверждены результатами схемотехнического моделирования с использованием интерпретатора SPICE. Модельные характеристики дробного интегродифференциального преобразователя показаны на рис. 9.

вателя (сплошные линии) и идеальная асимптотика (пунктирные линии). Кривая 1 соответствует порядку дробного оператора —0.7, кривая 2 — порядку —0.5, кривая 3 — порядку —0.3 [31].

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА В ТОНКОПЛЕНОЧНОМ ИСПОЛНЕНИИ

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

[24] Там же была показана возможность использования дробного интегродифференциально-го преобразователя в составе решающей электронной схемы. Аналоговые вычислительные схемы для решения интегродифференциаль-ных уравнений целого порядка известны довольно давно [48, §11.6]. В данной работе была предложена электрическая схема для решения дробного аналога уравнения Ланжевена DaU (t) + bU (t) = F (t),

где роль случайной силы F(t) играет шумовое напряжение. Схема, показанная на рис. 10, осуществляет решение этого уравнения при условии b > 0, что соответствует отрицательной обратной связи.

3. АНАЛОГОВАЯ

ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА

В рамках настоящей работы представлена аппаратная реализация аналоговой электрической модели полуинтегрального оператора на основе RC элементов с распределенными параметрами [49-52]. Реализация полуинтегрирующей ячейки представляет собой однородную RC цепочку в тонкопленочном исполнении. Методика изготовления экспериментальных образцов полуинтегри-рующей ячейки базируется на современных методах микроэлектроники.

Впервые элементы с распределенными электрическими параметрами [22-24] были использованы в задачах аппаратной реализации дробных интегродифференциальных преобразователей (элементов постоянной фазы) практически одновременно с сосредоточенными элементами [17, 18, 21]. Переход к распределенным

Рис. 10. Аналоговая вычислительная схема для решения дробного уравнения Ланжевена [31].

электрическим системам сопряжен с определенными технологическими проблемами, однако при этом открываются возможности миниатюризации отдельных схем, а также реализации интегральной методики изготовления электронных устройств. Благодаря стремительному развитию микро- и нанотехнологий в течение последних 20 лет, тонкопленочное исполнение электрических схем с распределенными параметрами стало относительно дешевым и простым технологическим процессом. Кроме того, современные технологические методы позволяют наносить тонкие пленки проводящих и диэлектрических материалов с высокой точностью по толщине и однородности, что обеспечивает высокую точность номиналов тонкопленочных резистивноемкостных элементов. Эти обстоятельство определяет актуальность представленной аппаратной реализации.

Хотя аналоговые модели являются частотноограниченными устройствами дробного интегро-дифференцирования, к их несомненным преимуществам следует отнести реализацию дробного преобразования сигнала в реальном масштабе времени и относительную простоту аппаратной реализации. В прикладных задачах, связанных с обработкой сигналов и вычислениями в режиме реального времени, сравнительно дешевые аналоговые дробные преобразователи представляют хорошую альтернативу дорогим высокоскоростным цифровым сигнальным процессорам.

Электрическая схема полуинтегрирующей ячейки представляет собой однородную цепь Кауэра: последовательные сопротивления и

шунтирующие емкости одинаковых номиналов. Среди канонических форм реализации элементов постоянной фазы [17] эта схема представляется наиболее подходящей для реализации на основе элементов с распределенными параметрами. Это обусловлено относительной простотой тонкопленочного исполнения цепочки одинаковых последовательных сопротивлений и шунтирующих емкостей, а также элементной однородностью схемы.

3.1. Теоретическая модель

Рассмотрим поведение электрической схемы, реализующей операцию полуинтегрирования, во временной области [4, §8.3].

89

90

КРУПЕНИН С.В., КОЛЕСОВ В.В.

НАНОСТРУКТУРЫ для ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Рис. 11. Интегрирующая схема [4, §8.3].

Электронные схемы давно используются в качестве устройств интегрирования и дифференцирования целого порядка [48]. Простейшим примером является интегрирующая схема (см. рис. 11), для которой напряжение на емкости пропорционально интегралу текущего тока при нулевом начальном условии:

1 d-1

e(t ) = Ч dri(te(0) = 0.

Cdt (12)

Рассмотрим трехкомпонентную схему (см. рис. 12), состоящую из сопротивления Rx и шунтирующих емкости С0 и сопротивления R0. Будем считать, что напряжение подается в момент времени t = 0, до этого момента напряжение и ток равны нулю:

i(t < 0) = 0 = e(t < 0). (13)

Ток i0(t) течет через сопротивление R0 и, в соответствии с законом Ома, пропорционален падению напряжения е0 (t):

_ eo(t)

i(t) i0(t)

Рис. 12. Трехкомпонентная схема [4, §8.3].

а закон Ома для сопротивления Rx дает

i(t) = e{t ) - e«(t).

р

Al (16)

Из этих соотношений следует дифференциальное уравнение, связывающее ток i(t) и напряжение e(t):

(Д + щт+R RC d (t) = Щ)+R C d «•

dt dt (17)

Применив к последнему уравнению преобразование Лапласа, получим уравнение для образов тока i(s) и напряжения e(sX где s = iw — мнимая частота и параметр преобразования Лапласа:

i(s)(R0 + R1 + R0RiC0s) — R0R1C0i(0) =

= e(s)(1 + R0C0s) — R0C0e(0). (18)

Перепишем это уравнение с учетом начальных условий (13):

1

ф) =1+

R1C0

RJ( s)

s +

1

R0 C0

(19)

Добавим к схеме очередную пару компонентов — последовательное сопротивление R2 и шунтирующую емкость С (см. рис. 13). Уравнения

, ч e(t) - eJt) , ч ^ de ^

l(t) ----------, i(t) - i (t) = Сх (),

К2 dt (20)

связывающие токи и напряжения в левой части схемы, после выполнения преобразования Лапласа, объединения и перегруппировки приводятся к виду 1

) =

\ (14)

С другой стороны, переменный ток на емкости пропорционален производной от напряжения:

i(t)-i0(t) = С0 de0(t), dt

s)

R2 S)

= 1 +

R2 C1

hi P) CM p)

s +

(21)

Кроме того, для правой части схемы справедливо соотношение, аналогичное (19):

1

КС

(15) К i( s)

ф) =1+

s +

hi p) CM p)

(22)

i(t) ' i,(t) i0(t)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 13. Пятикомпонентная схема [4, §8.3].

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА В ТОНКОПЛЕНОЧНОМ ИСПОЛНЕНИИ

Введем обозначения для характеристических частот каждой пары соседних компонентов: 1111

®0 =

R С

Ю1 =

®2 S

RC

а>, =

R2 С,

Используя эти обозначения, из уравнений (21) и (22) получим уравнение

=1+

R2 i( s )

s +

1 + -w

s + w

или, сокращая запись цепной дроби,

e( -1 +®з

R2 i(s)

+ ю1] + WJ +®„

|s |1 |s 1

(23)

(24)

Обобщая последнее уравнение для (2n—1)-компонентной схемы (см. рис. 14), получим:

e( S ) =1 + °2 n-1

Rni( S)

|s

+ O2 n-2 I + O2n-3 I +

|1

Is

+ ®Lj + «!] + °0 I |1 Is 1

(25)

где

«2 J -

rjcj

«2 J+1 -

Rj+iCj

Введем безразмерную частоту v. = w./s и перепишем последнее уравнение в виде

e(S) _ j + V2n-1 I + V2n-2 I + V2n-3

Rni( S)

+

+ + VjJ + Пу|

1 \ _ (26)

Рассмотрим частный случай, когда все емкости одинаковы, а все сопротивления одинаковы, исключая последнее:

с = с = с = ... = с . = с,

0 12 n-1

R0 = R = R2 = ... = R, = R, R = R/2.

0 12 n-1 n

При этом

1

И = И = V2 = ••• =

2и-1

и последнее уравнение преобразуется к виду

2-e&- = 1+2

Ri(s)

v | v | v | v | — + — + ••• + —+ —

|1 |1

(27)

Для цепной дроби в правой части этого уравнения справедливо соотношение [45, 46]

V | V | V | V |

—- +—ч— +—ч—1 1 1 1 1

V4V+T

1 +

V4v + 1 -1 V4v+ 1 +1

V4v + 1 -1 2 2

(28)

используя которое, преобразуем уравнение (27), разделив его на коэффициент 2VV , к окончательному виду:

e(s) C

A(v) = As — =

i(s)\ R

Цл/ 4v +1 +1] 2”+1 - [V4v +1 -1]2

4v +1

4v

[V4vn+1]2 ”+1 +[V4vn -1]

(29)

На рис. 15 представлена зависимость A(v) в полулогарифмических координатах для различных значений n. Отметим, что для больших n значение функции близко к единице для широкого диапазона значений и.

Например, для n > 10 с точностью 2% выполняется равенство

e(s) I С 1 2

—л s — « 1 при 6 < v < — n , i(s) \ R 6

или, в терминах мнимой частоты,

e(s) 1 ~KS) nPu 6RC < — < — n2RC. V s C s 6

(30)

i(t) *- 4=1,2,-,n-1

Рис. 14. Схема,реализующая операцию полуинтерирования 4 §83

I 10 100 1000 10000

Рис. 15. Гр афик функции A(v) (см. формулу (29)) для различных значений n [4, §8.3].

2 w+1

1

11

1

91

КРУПЕНИН С.В., КОЛЕСОВ В.В.

НАНОСТРУКТУРЫ для ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Переходя от образов к оригиналам тока и напряжения посредством обратного преобразования Лапласа, получим:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

e(t)

R d

dt

Т i(t)

2

при

1 2

6RC < t <- n2RC. 6

(31)

Таким образом, схема на рис. 14 в указанном временном диапазоне работает как эффективный полуинтегратор, поскольку развивает напряжение, пропорциональное полуинтегралу входного тока.

Из формулы (31) следует, что полоса частот рассматриваемой модели может быть расширена посредством одновременного уменьшения константы RC и увеличения количества элементов n, что может быть достигнуто в рамках тонкопленочной реализации резистивно-емкостных элементов. Как известно, характеристики аналоговой модели, в отличие от цифровой, существенно зависит от допуска на параметры элементов. Качество рассматриваемой модели (точность выполнения операции полуинтегрирования и ширина рабочей полосы частот) зависит от масштаба отклонений резистивно-емкостных параметров схемы от заявленных значений. Современные технологические методы позволяют наносить тонкие пленки проводящих и диэлектрических материалов с высокой точностью по толщине и однородности, что обеспечивает высокую точность номиналов тонкопленочных резистивно-емкостных элементов. Это обстоятельство определяет актуальность представленной аппаратной реализации.

3.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ОБРАЗЦЫ

3.2.1. Топология

Экспериментальная схема состоит из последовательно соединенных одинаковых сопротивлений R, каждое из которых шунтировано емкостью C (см. рис. 14). Схема выполнена в виде открытой (неэкранированной) микрополосковой линии. Последовательные резистивные элементы представлены узкими отрезками микрополосковой линии, а шунтирующие емкостные элементы — широкими отрезками (см. рис. 16).

При этом сопротивление R — это сопротивление узкого отрезка микрополоска в продольном направлении, а емкость C — это емкость конденсатора, обкладками которого служат широкий отрезок микрополоска и земляной слой. Очевидно, каждый элемент имеет паразитные параметры:

Рис. 16. Фотография фрагмента экспериментального образца.

Размер кадра 900x400 мкм. Вид в плане.

резистивный — емкость, а емкостной — сопротивление. Однако геометрия микрополоска обеспечивает значения этих паразитных параметров на порядок меньшие значений полезных.

Микрополосковая линия, включающая 400 последовательно соединенных RC элементов, размещена зигзагообразно в 16 рядов по 25 элементов в каждом (см. рис. 17). Зигзагообразная компоновка позволяет существенно сократить площадь, занимаемую микрополосковой структурой. Реальное расположение элементов на экспериментальном образце показано на фотографии (см. рис. 18). Все представленные здесь фотографии экспериментальных образцов выполнены с использованием светового микроскопа Axio Imager (Carl Zeiss Jena, Германия).

3.2.2. Методика изготовления

Описанный ниже технологический маршрут изготовления тонкопленочных резистивноемкостных элементов основан на современных методах создания приборов микро- и наноэлектроники [53, 54].

На рис. 19 схематически показан разрез экспериментального образца с указанием толщины каждого слоя. Рассмотрим поэтапно изготовление этой структуры.

Рис.17. Зигзагообразная компоновка микрополосковой линии

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА В ТОНКОПЛЕНОЧНОМ ИСПОЛНЕНИИ

93

Рис. 18. Фотография фрагмента экспериментального образца. Размер кадра 5.4х3.1 мм. Вид в плане.

В качестве подложки для экспериментальных образцов использовался неокисленный монокристаллический кремний типа КДБ-12. Пластины размером 10X12 мм2 вырезались методом алмазного скрайбирования из стандартной 5-дюймовой пластины и очищались от пыли и органических загрязнений (с использованием диметилформа-мида и изопропанола). В центре вырезанной пластины размещалась микрополосковая структура, занимающая площадь 6X8 мм2.

Для формирования земляного слоя микрополосковой структуры на очищенную поверхность кремния наносился слой титана толщиной около 100 нм. Нанесение титановой пленки осуществлялось посредством ВЧ магнетронного распыления в атмосфере аргона со скоростью 2.2 нм/с. Напыление производилось на установке высоковакуумного нанесения тонких пленок L-560 (Leybold, Германия) при базовом давлении не выше 10"6 мбар. Начальный вакуум достигался в течении 6 часов работы безмаслянного откачного тракта с применением турбомолекулярного насоса и нагревной дегазации стенок напылительной камеры.

В качестве диэлектрика использовался оксид кремния SiO2. Выбор материала обусловлен

Рис. 19. Топология экспериментального образца.

его нейтральностью к проявителю, используемому в процессе фотолитографии, а также достаточно высокой диэлектрической проницаемостью, от которой зависит емкость элемента схемы. Толщина диэлектрического слоя, обеспечивающая требуемое значение емкости, составляла 200 нм. Слой оксида кремния наносился ВЧ магнетронным распылением в смеси аргона и кислорода со скоростью 2 Е/c при базовом давлении не выше 10"6 мбар.

В отсутствие условий “чистой комнаты” процесс напыления неизбежно приводит к появлению дефектов пленки, связанных с осаждением частиц пыли на образце. В данном случае эти дефекты могут создавать/инициировать закоротки между земляным слоем и микрополоском. Для того, чтобы снизить вероятность их появления, нанесение диэлектрического слоя осуществлялось в два этапа. После напыления 100 нм оксида кремния образец подвергался механическому воздействию в ультразвуковой ванне с ацетоном, а затем — чистке в ВЧ разряде в той же рабочей газовой смеси, что и при напылении. После этого производилось напыление оставшихся 100 нм оксида кремния. Как показала практика, одна промежуточная чистка образца при формировании диэлектрического слоя позволяет полностью избежать закороток на площади около 1 см2. Это объясняется чрезвычайно низкой вероятностью совпадения дефектов в двух последовательно нанесенных слоях диэлектрика.

Далее на поверхности диэлектрического слоя формировалась прямая фотолитографическая маска для последующего напыления проводящего слоя. Фоточувствительный резист распределялся по поверхности образца посредством центрифугирования (3000 об/мин., 30 с). Для удаления остаточного растворителя и улучшения адгезии полимерной пленки образец высушивался на плитке “hot-plate” при 90°C в течение 30 мин. Экспонирование фоторезиста производилось на установке MA750 (Карл Цейсс, Германия) с использованием фотошаблона, изготовленного на стекле, прозрачном в УФ части спектра. Экспозиция длилась 25 с, интенсивность излучения на длине волны 365 нм составляла около 10 мВт/см2. После экспонирования скрытое изображение проявлялось в щелочном проявителе в течение 60 с. Процесс проявления останавливался промыванием образца проточной чистой водой.

94

КРУПЕНИН С.В., КОЛЕСОВ В.В.

Для формирования верхнего проводящего слоя микрополосковой структуры на полученную фотолитографическую маску наносился слой хрома. В данном случае выбор материала обусловлен требованиями, предъявляемыми к резистивным параметрам элемента схемы. Калибровка толщины пленки хрома проводилась посредством изготовления пробных образцов с учетом предварительных аналитических расчетов. Толщина пленки, обеспечивающая необходимое сопротивление, составила 48 нм. Напыление хрома производилось на установке L-560 посредством термоиспарения с вольфрамовой лодочки, через которую протекал электрический ток силой до 30 А. Скорость напыления, которая составила 5^15 Е/с, измерялась и контролировалась в режиме реального времени с помощью кварцевого датчика толщины пленки и контроллера обратной связи. Давление в камере поддерживалось на уровне 10"6 мбар, что обеспечивало необходимое качество адгезии напыляемой пленки.

Процесс изготовления образца завершался “взрывом” — удалением фотолитографической маски (методом “lift-off”) с расположенными на ее поверхности участками пленки хрома. “Взрыв” производился посредством помещения образца в ванну с ацетоном, где происходило растворение маски. Образец с готовой структурой ополаскивался изопропанолом и высушивался в сухом воздушном потоке.

Фотография участка готовой микрополосковой структуры с указанием размеров RC элементов в плоскости образца представлена на рис. 20.

Рис. 20. Размеры резистивно-емкостных элементов экспериментальной схемы.

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Изготовление отрезков проводящей линии, представляющих резистивные и емкостные элементы схемы, из одного материала существенно упрощает технологический процесс. Это исключает необходимость использования двух различных фотошаблонов, а также достаточно сложную процедуру их совмещения. В данном случае такой подход оправдан по двум причинам. Во-первых, при означенной геометрии резистивных и емкостных элементов их полезные параметры на порядок превосходят паразитные. Во-вторых, топология схемы такова, что паразитные параметры являются аддитивными членами в эффективных резистивно-емкостных параметрах схемы, что обеспечивает применимость теоретической модели.

3.2.3. Параметры

Резистивно-емкостные параметры схемы определяются геометрией микрополосковой структуры и ее электрическими характеристиками, а именно, удельным электрическим сопротивлением верхнего проводящего слоя и диэлектрической проницаемостью диэлектрического слоя. Сопротивление R и емкость C можно оценить из общеизвестных формул

l S

R = р —, C = gg0 ——,

И Sr 0 d

где р — удельное сопротивление проводника, I — его длина, Sr — площадь поперечного сечения, s — иэлектрическая проницаемость диэлектрика, Sc — площадь обкладки конденсатора, d — величина зазора между обкладками.

Удельное сопротивление хрома р = 0.027Х10-6 Ом’м, диэлектрическая проницаемость оксида кремния s = 4.5 (табличные значения), диэлектрическая проницаемость вакуума s0 = 8.85Х10"12 Ф/м. Геометрия структуры (см. рис. 19 и рис. 20) такова, что

• I = 100 мкм,

• S = 10 мкм Х48 нм,

• Sc = 100Х100 мкм2,

• d = 200 нм.

Экспериментальная схема характеризуется следующими резистивно-емкостными

параметрами:

R х 60 Ом, C х 2пФ. (зз)

Здесь значение сопротивления R получено путем непосредственных измерений на экспериментальных образцах, а оценка емкости C рассчитана

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

по формуле (32) в соответствии с вышеприведенными данными.

Причина несовпадения измеренного значения сопротивления со значением R ~ 6 Ом, следующим из формулы (32), заключается в следующем. Известно, что электрические характеристики тонких пленок металлов и диэлектриков зависят от процесса напыления и последующей обработки и могут существенно отличаться от табличных величин. Так, удельное сопротивление тонкой пленки хрома, полученной методом напыления, сильно зависит от давления остаточных газов в напылительной камере: чем выше вакуум, тем ниже удельное сопротивление. Из практики известно, что удельное сопротивление хрома, напыляемого при давлении 10-6 мбар (как в данном случае), может более чем на порядок превосходить табличное значение [53]. Поэтому оценка (33) для сопротивления R, полученная на основании табличных данных, является заниженной примерно на порядок, что подтверждается результатами измерений.

3.3. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБРАЗЦОВ

3.3.1. Экспериментальные результаты

Измерения частотных характеристик экспериментальных образцов проводились с использованием генератора сигналов Rohde&Schwarz SME06 и анализатора спектра LG SA-920.

На рис. 21 показана АЧХ экспериментальной схемы (точки) и идеального полуинтегратора, т.е. дробно-степенная зависимость f-1/2 (линия). Экспериментальная зависимость с точностью 10% повторяет отклик идеального полуинтегратора в октавном диапазоне частот 800-1600 МГц.

Рис. 21. АЧХ экспериментальной схемы.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА В ТОНКОПЛЕНОЧНОМ ИСПОЛНЕНИИ

95

Рис. 22. Аппроксимация АЧХ экспериментальной схемы в логарифмическом масштабе.

На рис. 22 показана та же характеристика в логарифмическом масштабе. Аппроксимация (методом наименьших квадратов) экспериментальных данных линейной зависимостью вида y = A + Bx дает значение коэффициента B = -0.55, что в пределах ошибки соответствует коэффициенту полуинтегрального преобразования -Уг.

3.3.2. Результаты моделирования

Численное моделирование экспериментальной схемы выполнено в САПР Ansoft HFSS, использующей векторный метод конечных элементов для расчета электромагнитного поля. Геометрия конечно-элементной модели в точности повторяет структуру экспериментального образца, электрические параметры материалов соответствуют табличным значениям. Диаграмма Боде рассчитана средствами САПР в пределах рабочего частотного диапазона, полученного в эксперименте (см. рис. 23). Фазовая часть диаграммы Боде свидетельствует о том, фаза входного импеданса

0.6 0.8 1 1.2 1.4 (ГГц) 1.8

Рис. 23. Диаграмма Боде конечно-элементной модели экспериментальной схемы.

КРУПЕНИН С.В., КОЛЕСОВ В.В.

НАНОСТРУКТУРЫ для ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

незначительно флуктуирует (±4°) вблизи среднего значения —п/4. Такая зависимость соответствует фазо-частотной характеристике элемента постоянной фазы, который осуществляет дробное интегродифференциальное преобразование порядка -Уг, т.е. полуинтегральное преобразование:

argZ = Хп/2 = —п/4 ^ X = — '/2.

Амплитудная часть диаграммы Боде близка к линейной зависимости с наклоном -Уг, что соответствует амплитудно-частотной характеристике идеального полуинтегратора.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полуинтегрирующая ячейка в тонкопленочном исполнении, представленная в настоящей работе, реализует аналоговую электрическую модель полуинтегрального оператора на основе элементов с распределенными параметрами. Экспериментальные образцы полуинтегриру-ющей ячейки выполнены с использованием современных методов изготовления микро- и наноструктур. На основании экспериментального исследования определен рабочий частотный диапазон полуинтегрирующей ячейки. Кроме того, проведено численное моделирование, результаты которого находятся в согласии с теоретическими и экспериментальными данными.

ЛИТЕРАТУРА

1. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы.- М.: Ин-т комп. иссл., 2002, 656 с.

2. Гнеденко Б.В., Колмогоров А.Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

3. West B.J., Bologna M., Grigolmi P. Physics of Fractal Operators. — N.Y.-Berlin: Springer, 2003.

4. Oldham K.B., Spanier J. The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order.- SanDiego: Academic Press, 1974.

5. Нахушев А.М. Дробное исчисление и его применение. - М.: Физматлит, 2003, с.272.

6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005, 528 с.

7. Freund J.A., Poschel Th. (eds.). Stochastic Processes in Physics, Chemistry and Biology.- Berlin, Heidelberg,

N.Y.: Springer-Verlag, 2000.

8. Sabatier J., Agrawal O.P, Tenreiro Machado J.A. (eds.). Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering.- Dordrecht: Springer, 2007.

9. Riemann B. Versuch einer Auffassung der Integration und Differentiation.- Leipzig: Teubner, 1847.

10. Liouville J. Memoire sur le changement de la variable dans le calcul des differentielles a indices quelconques // J. Ecole Polytech, 1835, 15, 17-54.

11. Heaviside O. Electromagnetic Theory.- London: The Electrician Co, 1899, Vol.II, 547 p.

12. Нигматуллин Р.Ш., Белавин ВА., Мирошников А.И., Луцкая Н.К. Применение специальной полярографической ячейки для дробного дифференцирования I-E-кривых / / Материалы 2-го всесоюзн. совещ. по полярографии.- Казань: КГУ, 1962.

13. Нигматуллин Р.Ш., Мирошников А.И. Применение дробного интегродифференцирования в осциллографической полярографии // Материалы 2-го всесоюзн. совещ. по полярографии.- Казань: КГУ, 1962.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

14. Нигматуллин Р.Ш., Белавин В.А. Электролитический дробнодифференцирующий и интегрирующий двухполюсник. Труды КАИ // Радиотехника и электроника, 1964, 82, 58-65.

15. Grenness M., Oldham K.B. Semiintegral Electroanalysis: Theory andVerification // Anal. Chem., 1972, 44 (7), 1121-1129.

16. Oldham K.B. Semiintegral Electroanalysis: Analog Implementation / / Analytical Chem., 1973, 45(1), 39-47.

17. Morrison R. RC Constant-Argument Driving-Point Admittances / / IRE Trans. Circuit Theory, 1959, 6, 310-317.

18. Lerner R.M. The Design of a Contant-Angle or Power-Law Magnitude Impedance // IEEE Trans. Circuit Theory, 1963, 10, 98-107.

19. Steiglitz K. An RC impedance approximant to s-1/2 // IEEE Trans. CircuitTheory, 1964, 11, 160-161.

20. Carlson G.E., Halijak C.A. Approximation of Fractional Capacitors (1/s)1/n by a Regular Newton Process / / IEEE Trans. Circuit Theory, 1964, 11, 210-213.

21. Dutta Roy S.C. On the Realization of a Constant-Argument Immitanceor Fractional Operator // IEEE Trans. Circuit Theory, 1967, 14 (3), 264-274.

22. Гильмутдинов А.Х., Нигматуллин Р.Ш., Гоппе А.А., Коннов В.П., Ушаков П.А. Пассивные двухполюсники с постоянной фазой на основе RC-структуры с распределенными параметрами // Тез. докл. Республ. научно-техн. конф. «Конструкторские решения при комплексной микроминиатюризации РЭА», 8 ноября 1987 г., Казань, Россия, 1987, 1, 9-10.

23. Вяселев М.Р., Глебов Д.В. Оптимальный синтез многозвенных неоднородных резистивно-емкостных

НАНОСТРУКТУРЫ ДЛЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

цепей, моделирующих обобщенный импеданс Варбурга / / Электрохимия, 2005, 41 (2), 206-210.

24. Ушаков ПА. Синтез элементов с постоянной фазой на основе многослойного структурно-неоднородного RC-элемента с распределенными параметрами / / Материалы всеросс. научной конф. «Информационные технологии в науке, образовании и производстве», 30-31.05.07, Казань, Россия, 2007, 1, 276-278.

25. Oustaloup A., Levrnn F., Mathieu B., Nanot F.M. Frequency-Band Complex Noninteger Differentiator: Characterization and Synthesis // IEEE Trans. Circuits Syst.-I, 2000, 47(1), 25-39.

26. Jiang C.X., Carletta J.E., Hartley T.T. Implementation of Fractional-order Operators on Field Programmable Gate Arrays. In: J.Sabatier et al. (eds.) Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering, 2007, §5, 333-346.

27. Гильмутдинов А.Х., Ушаков П.А. Пленочные ре-

зистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами: конструкции, применения,

перспективы // Датчики и системы, 2003, 7, 63-70.

28. Гильмутдинов А.Х. Резистивно-емкостные элементы с распределенными параметрами: анализ, синтез и применение.- Казань: КГТУ, 2005.

29. Гильмутдинов А.Х., Мокляков В.А., Ушаков П.А. Распределенные резистивно-емкостные элементы с фрактальной размерностью: конструкция, анализ, синтез и применение // Нелинейный мир, 2007, 5 (10-11), 633-638.

30. Carlson G.E., Halijak C.A. Approximation of Fixed Impedances / / ШЕ Trans. Circuit Theory, 1962, 9, 302-303.

31. Рехвиашвили С.Ш. Моделирование фликкершума с помощью дробного интегродифферен-цирования // ЖТФ, 2006, 76 (6), 123-126.

32. Евдокимов Ю.К. Распределенные измерительные

среды и континуум-измерения: топология,

алгоритмы и моделирование // Нелинейный мир, 2007, 5 (10-11), 700-705.

33. Montroll E.W, Shlesinger M.F. On 1/f noise and other distributions withlong tails // Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1982, 79, 3380-3383.

34. Warburg E.G. Uber das Verhalten Sogenannten Unpolarisierbarer Electroden gegen Wechselstrom // Ann. Physik. Chemie, 1899, 67, 493-499.

35. Sun H., Charef A., Tsao Y.Y., Onaral B. Analysis of Polarization Dynamics by Singularity Decomposition Method // Ann. Biomed. Eng., 1992, 20, 321-335.

36. Cole K.S., Cole R.H. Dispersion and absorption in dielectrics. I. Alternating current characteristics // J. Chem. Physics, 1941, 9, 341-351.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ПОЛУИНТЕГРИРУЮЩАЯ ЯЧЕЙКА В ТОНКОПЛЕНОЧНОМ ИСПОЛНЕНИИ

37. Davidson D.W, Cole R.H. Dielectric relaxation in glycerol, propyleneglycol and n-propanol. J. Chem. Physics, 1951, 19, 1484-1490.

38. Charef A., Sun H.H., Tsao Y.Y., Onaral B. Fractal System as Represented by Singularity Function // IEEE Trans. Automat. Contr., 1992, 37(9), 1465-1470.

39. Charef A. Analogue realisation of fractional-order integrator, differentiator and fractional PLD“ controller // IEE Proc. Control Theory Appl., 2006, 153(6), 714-720.

40. Serrier P., Moreau X., Oustaloup A. Limited-Bandwidth Fractional Differentiator: Synthesis and Application in Vibration Isolation. In: J. Sabatier et al. (eds.) Advances in Fractional Calculus: Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering, 2007, §4, 287-302.

41. Biorci G., Ridella S. Ladder RC Network with Constant RC Product // IEEE Trans. Circuit Theory, 1970, 17, 432-434.

42. Maskarinec G.J., Onaral B. A Class of Rational Systems with Scale-Invariant Frequency Response // IEEE Trans. Circuits Syst.-I, 1994, 41 (1), 75-79.

43. Liu S.H. Fractal model for the AC response of a rough interface // Phys.Rev.Lett., 1985, 55, 529-532.

44. Балханов В.К., Башкуев Ю.Б. Фрактальная

модель частотной зависимости ослабления электромагнитных волн фрагментами

растительности // ЖТФ, 2005, 75 (9), 132-135.

45. Хованский А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа.- М.: Гостехиздат, 1956.

46. Хинчин А.Я. Цепные дроби.- М.: Физматлит, 1960.

47. Halijak C.A. An RC impedance approximant to (1/s)1/2 // IEEE Trans.Circuit Theory, 1964, 11, 494-495.

48. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника.- М.: Мир, 1983.

49. Kolesov V.V., Krupenin S.V., Potapov A.A. Elements of Fractal Radiosystems // Proceedings of the 17th International Crimean Microwave Conference CriMiCo’2007, September 10-14, 2007, Sevastopol, Crimea, Ukraine, 2007, 2, 623-625.

50. Колесов В.В., Крупенин С.В., Потапов А.А. Разработка фрактальных радиосистем // Труды 3 межд. научно-практич. конф. «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности», 2-5.10.07, СПб, Россия, 2007, 10, 126-127.

51. Kolesov V.V., Krupenin S.V. Electrical Model of Semiintegrator // Proceedings of the 18th International Crimean Microwave Conference CriMiCo’2008, September 8-12, 2008, Sevastopol, Crimea, Ukraine, 2008, 2, 820-821.

97

КРУПЕНИН С.В., КОЛЕСОВ В.В.

НАНОСТРУКТУРЫ для ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

52. Крупенин С.В., Колесов В.В. Аналоговая реализация полуинтегрирующего устройства // Радиoтехника, 2009, 3, 114-119.

53. Крупенин ВА., Паволоцкий А.Б., Прохорова И.Г., Снигирев О.В. Технология изготовления и характеристики диэлектрических слоев тонкопленочных RC фильтров для джозефсоновских и одноэлектронных устройств / / Письма в ЖТФ, 1996, 22 (2), 19-27.

54. Лотхов С.В. Анализ процессов в ячейке хранения одиночных электронов, изготовленной на основе металлических туннельных контактов субмикронной площади / Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет, 1997.

55. Коверда В.П., Скоков В.Н. Критическое поведение и 1/Гшум при пересечении двух фазовых переходов в сосредоточенных системах // ЖТФ, 2000, 70(10), 1-7.

56. Коверда В.П., Скоков В.Н. Масштабные

преобразования 1/Гфлуктуаций при

неравновесных фазовых переходах // ЖТФ, 2004, 74 (9), 4-8.

57. Скрипов В.П., Виноградов А.В., Скоков В.Н., Решетников А.В., Коверда В.П. Капля на горячей плите: появление 1/Гшума при переходе к сфероидальной форме // ЖТФ, 2003, 73 (6), 21-23.

Крупенин Сергей Владимирович,

к.ф.-м.н., н.с., ИРЭ им. ВА.Котельникова РАН 125009 Москва, ул. Моховая, 11, корп.7, к.218, тел. (495) 629-3368, [email protected]

Колесов Владимир Владимирович,

действительный член РАЕН, к.ф.-м.н., зав. лаб, ИРЭ им. ВА.Котельникова РАН 125009 Москва, ул. Моховая, 11, корп.7, к.219, тел. (495) 629-3368, [email protected]

THIN-FILM IMPLEMENTATION OF ELECTRICAL SEMI-INTEGRATOR

Krupenin S.V., Kolesov V.V.

Kotel’nikov Institute of Radio-Engineering and Electronics of RAS,

Mokhovaya str.,11, b.7, 125009 Moscow, Russia tel. +7(495) 629-3368, e-mail: [email protected]

Analogue realization of the semi-integrator based on distributed RC components is presented. Samples of the semi-integrator are fabricated by means of high-vacuum thin-film deposition and photolithography.

Frequency-band semi-integration is verified by measurements of samples characteristics.

Keywords: semi-integrator, distributed RC components, thin films

УДК 621.372.54+517.44

Bibliography — 57 references Received 18.10.2010

THIN-FILM IMPLEMENTATION OF ELECTRICAL SEMI-INTEGRATOR

Текст научной работы на тему «Электрическая полуинтегрирующая ячейка в тонкопленочном исполнении»