CC BY
3
УДК 624.074
L4QQ/J
ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННОИ СХОДИМОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НИЗШИХ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК УСЛОЖНЕННОЙ формы
В. Д. Еремин
Донской государственный технический университет (г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация)
Рассматривается методика определения значений собственных колебаний тонкой упругой волнистой оболочки открытого профиля. В основу предлагаемой методики определения численных значений низших частот и соответствующих им форм собственных колебаний оболочек усложненной формы положен энергетический метод Рэлея-Ритца. Приведены результаты численного расчета этой тонкой волнистой оболочки с шарнирно-неподвижным закреплением по нижнему контуру вдоль образующей. Дана оценка результатов этого численного эксперимента.
Ключевые слова: тонкая упругая волнистая оболочка, частота и форма собственных колебаний, энергетический метод.
INVESTIGATION OF THE NUMERICAL CONVERGENCE OF DETERMINING THE LOWEST FREQUENCIES OF NATURAL OSCILLATIONS OF
SHELLS OF A COMPLICATED SHAPE
V. D. Eremin
Don State Technical University, (Rostov-on-Don, Russian Federation)
The article considers the problem of natural oscillations of a thin elastic wavy shell of an open profile. The proposed methodology for determining the numerical values of the lowest frequencies and the corresponding forms of natural oscillations of shells of a complicated form is based on the Rayleigh-Ritz energy method. The results of numerical calculation of this thin wavy shell with hinge-fixed fastening along the lower contour along the generatrix are presented. The results of this numerical experiment are evaluated.
Keywords: thin elastic wavy shell, frequency and shape of natural oscillations, energy method.
Введение. Одним из основных направлений научно-технического прогресса в строительстве и архитектуре является создание новых, более совершенных индустриальных конструкций.
Опыт строительства в нашей стране и за рубежом указывает на перспективность применения оболочек усложненной формы, в том числе и волнистых оболочек, в качестве покрытий общественных, производственных, складских и сельскохозяйственных зданий и сооружений. Цель данного исследования — разработка методики определения численных значений низших частот и соответствующих им форм собственных колебаний тонких оболочек сложной формы энергетическим методом, которая могла бы применяться в проектной практике.
Основная часть. Создание новых, более совершенных инженерных конструкций привело к необходимости разработки теории расчета оболочек сложного строения: слоистых и гофрированных, волнистых и подкрепленных стержневым набором.
Во многих случаях конструкции подвергаются воздействию периодических и импульсивных нагрузок, особенно в сейсмических районах, поэтому умение определять
собственные частоты колебаний оболочек со сложной геометрией имеет очень важное практическое значение.
Теория расчета тонких оболочек разработана достаточно хорошо, так что имеется полная возможность рассчитать, а затем и спроектировать сооружения и конструкции в виде оболочек сложных очертаний [1].
Однако, анализируя научные работы, посвященные вопросам динамики оболочек, легко заметить наличие сравнительно небольшого количества исследований по расчету собственных колебаний оболочек неклассической формы.
Предлагается методика определения численных значений низших частот и соответствующих им форм собственных колебаний тонких оболочек сложной формы энергетическим методом, приемлемая для использования в проектной практике. Достоинство применяемого метода состоит в том, что он не требует составления и решения особых дифференциальных уравнений с граничными и начальными условиями, которые в ряде случаев оказываются весьма сложными и часто трудно разрешимыми.
При решении задачи с помощью энергетического метода Релея-Ритца необходимо иметь мощное множество функций, характеризующих перемещения срединных точек оболочки, удовлетворяющих только геометрическим условиям задачи.
Постановка задачи. Рассматривается задача о собственных колебаниях тонкой упругой некруговой цилиндрической волнистой оболочки открытого профиля с шарнирно-неподвижным опиранием по нижнему контуру вдоль образующей (рис. 1).
у
Рис. 1. Поверхность оболочки
В основу задачи положен энергетический метод Релея-Ритца. На основе предложенной методики определения низших частот и форм свободных колебаний оболочек усложненной формы проведено исследование численной сходимости разработанного алгоритма. Срединная поверхность этой оболочки образована перемещением косинусоиды:
а =
Д(1 — созтт ^)
(1)
вдоль гребня, описанного уравнением:
2 3
+ У- = 1
а2 Ь3 ,
и лежащей в нормальной плоскости к нему.
Здесь Д - амплитуда волны; 2 £-длина волны. Геометрические характеристики (размеры оболочки):
- пролет — 2 а = 18 м;
- высота в поперечном сечении, проходящем через гребень оболочки — в = 5 м;
- длина волны — 2 I = 3 м;
— амплитуда волны — А = 0,225 м;
- полюсное расстояние — Во = 9 м;
- толщина оболочки — 2 И = 0,05 м. Физические характеристики:
- модуль упругости материала оболочки — Е =28 Гпа;
(3)
— коэффициент Пуассона — д = 1;
(4)
- плотность материала оболочки — р = 2500 кг/м3.
В работе продолжается исследование численной сходимости разработанного алгоритма определения низших частот и соответствующих им форм собственных колебаний тонких оболочек усложненной формы с различными граничными условиями.
Расчет выполняется на основе геометрической и физической линейности с использованием гипотез Кирхгофа-Лява. Используется энергетический метод Релея-Ритца, позволяющий получить достаточно точные значения низших частот и форм собственных колебаний тонких оболочек усложненной формы при произвольных граничных условиях и при любом законе изменения ее геометрических и физических характеристик [2-3].
Решение численного примера. Предполагается, что длина оболочки вдоль оси 2 достаточно велика, поэтому можно ограничиться рассмотрением только ее средних участков, не учитывая влияние частей оболочки, примыкающих к ее торцам (рис. 1).
Получено векторное уравнение срединной поверхности этой оболочки. Выведены формулы для вычисления параметров Ляме и символов Кристоффеля данной оболочки [4].
Подобраны функции, аппроксимирующие амплитуды перемещений точек срединной поверхности оболочки вдоль криволинейных осей координат, в виде двойных тригонометрических рядов, удовлетворяющие граничному условию — шарнирно-неподвижному опиранию по нижнему контуру вдоль образующей (а,2 = ±1: и0 = и0 = и0 = 0) [5] (рис. 2).
6
Рис. 2. Расчетная схема оболочки
По формулам, приведенным в [6-7], вычислены все элементы матриц Б и I, входящих в формулы для вычисления амплитуд потенциальной и кинетической энергий деформации этой волнистой оболочки, а также в формулу обобщенного векового уравнения.
Решив это обобщенное вековое уравнение, получили низшие частоты и соответствующие им формы собственных колебаний данной тонкой волнистой оболочки с шарнирно-неподвижным опиранием по нижнему контуру вдоль образующей.
Исследование численной сходимости алгоритма расчета. Энергетический метод Релея-Ритца, положенный в основу предлагаемого алгоритма определения частот и форм собственных колебаний тонких оболочек усложненной формы, имеет строгое математическое обоснование. Сходимость этого метода подробно рассматривалась Л. В. Канторовичем и В. И. Крыловым [8].
Для контроля численной сходимости предлагаемого алгоритма расчет волнистой оболочки, изображенной на рис. 1, с геометрическими размерами (3) и физическими характеристиками (4) производился методом последовательных приближений и путем поэтапного увеличения количества членов ряда, аппроксимирующего решение.
В первом приближении в двойных тригонометрических рядах, аппроксимирующих перемещения, было оставлено четыре члена (т = п = 2), потом девять (т = п = 3), шестнадцать (т = п = 4), двадцать пять (т = п = 5) и, наконец, тридцать шесть членов ряда (т = п = 6).
Результаты вычисления первых трех частот этой волнистой оболочки для варианта граничных условий — шарнирно-неподвижное опирание оболочки по нижнему контуру вдоль образующей (рис. 2) — приведены на графиках 1-3 (рис. 3-5).
На этих графиках:
п - номер приближения;
Ш1, Ш2, юз - частоты собственных колебаний тонкой волнистой оболочки.
600 500 400 300 200 100
61.5 50.3 49.2
1
3 4 5
п
Рис. 3. График 1. Первая частота
800 700 600 500 400 300 200 100
76.1 60.4 58.4
~ -!- -*
3 4 5
п
Рис.4. График 2. Вторая частота
1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100
ю3 (Гц)
950
98.7 76.0 73.1
1 ~ —?- -?
3 4 5
п
Рис. 5. График 3. Третья частота
Выводы. Анализируя полученные значения первых трех частот собственных колебаний тонкой волнистой оболочки с шарнирно-неподвижным опиранием по нижнему контуру вдоль образующей, можно отметить, что уже пятое приближение (36 членов ряда) с достаточной инженерной точностью позволяет определять численные значения низших частот.
1
2
1
2
1
2
Различие результатов между четвертым и пятым приближениями по первой частоте составляет 2,2 %, по второй — 3,4 %, по третьей — 4,0 %.
Полученные значения низших частот собственных колебаний данной тонкой волнистой оболочки в случае ее шарнирно-неподвижного опирания по нижнему контуру вдоль образующей подтверждают хорошую сходимость алгоритма.
Таким образом, с достаточной для инженерного расчета точностью можно считать, что первые три частоты собственных колебаний данной тонкой волнистой оболочки численно равны:
- первая частота — о>1 = 49,2 Гц;
- вторая частота — ш2 = 58,4 Гц;
- третья частота — о>з = 73,1 Гц.
Сравнение полученных результатов расчета данной волнистой оболочки для двух вариантов ее закрепления — с жестко закрепленным нижним контуром оболочки и шарнирно-неподвижным опиранием оболочки по нижнему контуру вдоль образующей — показывает, что в случае с шарнирно-неподвижным закреплением оболочки ее низшие частоты собственных колебаний уменьшились на 10-16 % [9].
В обоих случаях основному тону собственных колебаний данной тонкой волнистой оболочки соответствуют две поперечные полуволны.
Библиографический список
1. Гольденвейзер, А. Л. Теория упругих тонких оболочек / А. Л. Гольденвейзер ; 2-е изд., перераб. и доп. — Москва : Наука, 1976. — 512 с.
2. Аксентян, К. Б. Вариационно-энергетический метод расчета колебаний инженерных сооружений / К. Б. Аксентян, В. К. Гордеев-Гавриков. — Ростов-на-Дону : Изд-во РГУ, 1979. — 271 с.
3. Аксентян, К. Б. Принцип возможных перемещений в случае свободных колебаний / К. Б. Аксентян, В. Д. Еремин // Расчет оболочек и пластин. — Ростов-на-Дону : Редакционно-издательский центр РИСИ, 1977. — С. 43-52.
4. Еремин, В. Д. Собственные колебания некруговой цилиндрической упругой волнистой оболочки открытого профиля / В. Д. Еремин // Строительство и архитектура-2015 : мат-ы Междунар. науч.-практ. конф. — Ростов-на-Дону : Редакционно-издательский центр РГСУ, 2015.
— С. 99-101.
5. Еремин, В. Д. Влияние граничных условий на низшие частоты и формы собственных колебаний незамкнутой цилиндрической волнистой оболочки / В. Д. Еремин // Облегченные конструкции покрытий зданий. — Ростов-на-Дону : Редакционно-издательский центр РИСИ, 1984.
— С. 45-58.
6. Еремин, В. Д. Определение частот и форм собственных колебаний оболочек неклассической формы / В. Д. Еремин // Научные труды Национального университета архитектуры и строительства Армении. — 2015. — Т. 56, № 1. — С. 94-100.
7. Еремин, В. Д. К расчету собственных колебаний тонкой волнистой оболочки открытого профиля / В. Д. Еремин // Научные труды Национального университета архитектуры и строительства Армении. — 2016. — Т. 60, № 1. — С. 64-71.
8. Канторович, Л. В. Приближенные методы высшего анализа / Л. В. Канторович, В. И. Крылов. — 5-е изд. — Москва ; Ленинград : Физматгиз, 1962. — 695 с.
L4QQ/J
9. Еремин, В. Д. Исследование численной сходимости алгоритма определения низших частот и форм собственных колебаний оболочек усложненной формы / В. Д. Еремин // Научные труды Национального университета архитектуры и строительства Армении. — 2016. — Т. 60, № 1. — С. 72-77.
Об авторе:
Еремин Виктор Дмитриевич, доцент кафедры «Сопротивление материалов» Донского государственного технического университета (344003, РФ, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1), кандидат технических наук, доцент, eremin.vd@yandex.ru
About the Author:
Eremin, Viktor D., Associate professor, Department of Resistance of Materials, Don State Technical University (1, Gagarin sq., Rostov-on-Don, 344003, RF), Cand.Sci., Associate professor, eremin.vd@yandex.ru
