Использование живучести для оценки степени изоморфизма нечетких графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Раздел I. Искусственный интеллект и нечеткие

системы

Л.С. Берштейн, А.В. Боженюк, И.Н. Розенберг ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЖИВУЧЕСТИ ДЛЯ ОЦЕНКИ СТЕПЕНИ ИЗОМОРФИЗМА НЕЧЕТКИХ ГРАФОВ*

При использовании теории графов в качестве моделей социальных, экономических и других систем возникает задача распознавания изоморфизма или эквивалентности двух графов. Она состоит в том, чтобы между множествами вершин заданных графов определить существование взаимно однозначного соответствия, сохраняющего отношение смежности вершин [1]. В случае нечетких графов, понятие изоморфизма является нечетким.

Рассмотрим нечеткие ориентированные графы [2] о х=(Х, и х) и

От=(У, ит), где X и У - множества вершин, а множества их={<Мх(хрх^)/(хрх^) >\(xi,xj) е х2}> ит={<Ит(У,>У^)/(У<>У^) >\(У1,Ур) е т2}

- , ^х : X2 ^ [0,1] и : У2 ^ [0,1]. Пусть число вершин в графах совпадают, т.е.

\Х\ = \У\=п.

В работе [3] рассматривалось понятие нечеткого изоморфизма нечетких графов в виде /= & &_{цх(х ,,х ) цт(у ,у )) и решалась задача нахождения

1 = 1,п 1 = 1,п 11 11

(или доказательства его отсутствия) такого взаимно однозначного соответствие Е:ХчУ, при котором величина / достигала некоторого, заранее заданного значения /0е[0,1]. Здесь под & подразумевается операция минимум, а эквивалентность определяется как а^Ь=(а^Ь)&(Ь^а), где ^ - операция нечеткой импликации, в частности, определяемая в логике Лукасевича (а^Ь=шт{1,1-а+Ь}).

При рассмотрении нечетких графов их инварианты также являются нечет. -риантов на величину возможного изоморфизма / рассматриваем ых нечетких графов. В работах [4, 5] была установлена взаимосвязь между изоморфизмом нечетких графов и их нечеткими инвариантами - нечеткими множествами внутренней устойчивости, внешней устойчивости, нечеткими множествами баз и антибаз, нечеткими хроматическими множествами. В данной работе устанавливается взаимосвязь между изоморфизмом нечетких графов и их степенью живучести [6].

Путем (маршрутом) 1(х,х ) нечеткого графа ОХ=(Х, их) называется направленная ПОСЛеДОВатеЛЬНОСТЬ НечеТКИХ Дуг, Ведущая ИЗ ВерШИНЫ Х{ В ВерШИНу Хр в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей дуги [7]. Конъюнктивная прочность пути определится выражением: ^.~(х1,х]) = ^(х^хД

<Xк ,Х{ >е 1(Х1,Хр

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 03-07-90202

Пусть Ь(Х{,Х.) - семейство нечетких путей ИЗ вершины Х. В вершину Х/. Тогда величина т(х,х ) = тах {ц,(х,х )} определит степень достижимости вершины х.

1 1 1еЬ ‘ 1 1

из вершины х. Если рассматривать степень живучести как степень сильной связности нечеткого графа, тогда она определится выражением:

V(О) = & & т(х ,х ). Это означает, что между любыми двумя вершинами

х. е х х. е х 1 ^

графа существует путь с конъюнктивной прочностью не менее величины V.

Рассмотрим произвольный подграф О„ =(х,,Пг ) нечеткого графа

х к к х к

Ох=(х,их) на к вершин (к = 1,п).

Определение 1. Подграф =(х, и„ ) назовем живучим со степенью

хк ' к хкУ

Vх е [0,1 ] , если между любой парой вершин из подмножества хк существует

путь с конъюнктивной прочностью не менее Vх и существует пара вершин, для

которых не существует пути с конъюнктивной прочностью более Vх .

Рассмотрим семейство возможных нечетких подграфов состоящих из к верп

шин со степенями живучести V1,V2,...,Vk. Здесь к = С(п,к) =------------------------:-. Обозначим

к!х(п - к)!

через Vх = тах{ Vl,V2,..., Vk}. Величина Vх озн ачает, что в графе Ох=(х,их)

существует подграф на к вершин со степенью живучести Vх и не существует под-

х 1

графа, состоящего из к вершин со степенью живучести более Vх .

Определение 2. Множество ~ = {<Vx /1 >,<Vx /2>,...,<Vx /п>} назовем нечетким множеством живучести нечеткого графа Ох .

Рассмотрим некоторое взаимно однозначное соответствие ¥:х^У между множествами вершин х и У, в результате которого нечеткие графы Ох=(х, их) и Ог=(У, иг) изоморфны со степенью / Пусть Ох =(хк,их ) - произвольный нечеткий подграф на к вер шин. Обозначим через =(У,, ~ ) нечеткий подграф

тк ' к Тк У

графа От, вершины которого УК соответствуют вершинам хк подграфа Ох^ .

Свойство 1. Рассмотрим Охи О как нечеткие подграфы со степенями

живучести 8х и соответственно. Тогда справедливо выражение:

(/ О 8У /

Доказательство. Обозначим через величину 8х - степень живучести нечеткого подграфа Ох^ . Тогда в последнем существует циклический маршрут Ьх , про-

хк .

маршрут включает в себя хотя бы одно ребро, например (х1,х2), для которого значение Цх (х1, х2) = их и не включает ни одного ребра со значением цх (х1, х2) < 8х (рис.1). Маршрут Ьх взаимно однозначно определяет некоторый маршрут ЬУ в подграфе От .

1 тк

Циклический маршрут также проходит по всем вершинам Ук хотя бы один раз и содержит хотя бы одно ребро, например (у', у'), со степенью

Мг (У з, У 4 ) — ^ . Обозначим через іу вели чину: = /1Т (у', у 2 ) .

Рис.1. Циклический маршрут Ьу Случай 1. Справедливо неравенство 8 х О 8У > 8 х О 1т . Тогда степень изоморфизма /нечетких графов Ох=(х, их) и От=(У, ит) можно оценить как / < 8х О tт < 8х О 8У .

Случай 2. Справедливо неравенство

8х О 8У < 8х О tт . (1)

2 .

Случай 2.1. Выполняется неравенство

tY > 8 т . (2)

Рассмотрим ребро (х 3, х 4), вершины которого определяются как

х3 = ^-1(у3) и х4 = ^-1(у4). Учитывая, что величина цх (х3,х4) > 8х , а величина цт (у3, у4) < 8т и выполняются неравенства (1) и (2), получаем оценку степени изоморфизма нечетких графов в виде:

/ <Мх (Хз,Х4) О Цу (у3,у4) < 8х О 8У .

Случай 2.1. Выполняется неравенство

tY < 8 У . (3)

Для рассмотрения этого случая в подграфе От построим циклический

Ук

маршрут Ьт2 , проходящий по всем вершинам УК, включающий в себя хотя бы одно ребро, например (у1, у2) со степенью Цт (у1, у2) = 8т и не включающий ни одного ребра с функцией принадлежности меньше значения 8У (рис.2).

Построенный маршрут Ьт2 взаимно однозначно определяет некоторый цик-

Ь2х О х . -

шинам хк хотя бы один раз и содержит хотя бы одно ребро, например (Х3, Х 4 ) , со степенью Цх (х3, х4 ) < 8х .

Обозначим через tx = Цх (х[, х2) .

Случай 2.2.1. Справедливо неравенство 8х О 8т > tx О 8т . Тогда степень изоморфизма / нечетких графов Ох=(х, их) и Оу=(У, и т ) оценится как / < tx О 8т < 8х О 8т .

Случай 2.2.2. Справедливо неравенство

8х О 8т < tx О 8т . (4)

Рис. 2. Циклический маршрут ЬУ2 2 .

Случай 2.2.2.1. Выполняется неравенство

tx > 8х . (5)

( у 3 , у 4 ) ,

у3 = Е(х3) и у4 = Е(х4) . Учитывая, что величина цх (х3,х4) < 8х , а величина /иу (у3, у4) > 8т и выполняются неравенства (4) и (5), получаем справедливость оценки степени изоморфизма нечетких графов в виде:

/ <Цх (х3, х4) ОЦу (У3, у4) < 8х О 8У .

Случай 2.2.2.2. Выполняется неравенство

tx < 8х . (6)

В этом случае мы получаем, что одновременно выполняются два несовмес-

тимых между собой неравенства:

- 8х О 8У < 8х О ^, ПРИ tr < 8У (вырадсения (1) и (3));

- 8 х О 8У < ^ О 8У, при tx < 8 х (выражения (4) и (6)).

2.2.2.2., -

1.

Пусть ух = {<у^ /1 >,<УХг /2 >,...,<Ух /п >} и Уу = {<Уу /1 >,<Уу /2 >,...,</п >} -

нечеткие множества живучести нечетких графов Сх и Су соответственно, / -степень изоморфизма рассматриваемых графов. Тогда справедливо следующее :

Свойство 2. Справедливо неравенство / < &_(Ух^ О Ух^ ) .

Доказательство. Пусть Ох=(хк,&х ) и Оу=(Ук,иу ) - некоторые подграфы, обладающие степенью живучести соответственно Vх и УУ . Рассмотрим

х к 1 к

.

Случай 1. Справедливо выражение: ¥(х к ) = Ук . Иными словами, подмножество вершин хк соответствует подмножеству вершин Ук. Пример такого случая показан на рис.3. Тогда, согласно свойству 1, можно записать / < (Ух О УУ ).

Рис.3. Соответствие подмножества вершинХк подмножеству вершин Ук.

Случай 2. Справедливо выражение: Е(хк) = Ук Ф Ук . Тогда степень живучести УУ нечеткого подграфа (~^=(Ук,Ц7^ ) оценится как .

Пример такого случая показан на рис.4.

Также рассмотрим два подслучая:

Случай 2.1. Справедливо неравенство Ух О УУ > Ух О УУк . Тогда

степень изоморфизма оценится как / < Ух О УУк < Ухк О УУ .

Случай 2.2. Справедливо неравенство

Ух, О Уул < Ухк О Уу'л (7)

Рассмотрим подмножество вершин х'к соответствующее подмножеству вершин Ук (Е(х'к) = Ук). Пусть - степень живучести подграфа

0'х=(х'к, и'У ) . Можно записать, что У^ < Ух^ . В этом случае, если выполня-(7),

У^ О УУ < Ух О УУк .В этом случае степень изоморфизма оценится как / < П О УУк < УхК О УУк .

, , , 2. Доказанные выше свойства позволяют по нечетким множествам живучести оценивать возможную степень изоморфизма нечетких графов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зыков А.А.. Основы теории графов. - М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1987.

2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.:Радио и связь, 1982.

3. Берштейн Л.С.,Карелин В.П.,Целых А.Н. Модели и методы принятия решений в интегрированных интеллектуальных системах. - Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовского университета, 1999.

4. Берштейн Л.С.,Боженюк А.В. Оценка степени изоморфизма на основе нечетких множеств внутренней устойчивости и клик нечетких графов. // Программные Продукты и Системы. №1, 2002. - С. 12-15.

5. Берш тейн Л.С.,Боженюк А.В. Нечеткая раскраска и оценка степени изоморфизма нечетких графов. // Известия РАН. ТиСУ. №3, 2002. - С. 116-122.

6. Боженюк А.В.,Розенберг ММ. Метод определения живучести нечетких графов. // Научная сессия МИФИ-2005. Сборник научных трудов. В 15 томах. Т.3. Интеллектуальные системы и технологии. - М.: МИФИ, 2005. - С. 146-147.

7. Берштейн Л.С.,Боженюк А.В. Введение в теорию нечетких графов: Учебное пособие. -Таганрог: Изд-во ТРТУ, 1999.

С.М. Ковалев СТРУКТУРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕЧЕТКИХ СИСТЕМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБОБЩЕННОГО КРИТЕРИЯ АДЕКВАТНОСТИ*

Введение. В работе рассматривается один из возможных подходов к построению нечетких моделей по экспериментальным данным в контексте более об, -ких моделей и систем, сформированных на основе алгоритмов обучения.

Большинство исследований в этой области касается проблемы обучения нечетких систем (НС) с позиции точности реализуемых ими преобразований. Однако, , -симирующих возможностей НС, не позволяет в полной мере реализовать основные , , , -, -ших качественных описаний сложных процессов или явлений при неполных или неточных исходных данных. Для решения этой проблемы задача обучения НС должна рассматриваться и решаться с учетом нескольких критериев, взаимоувязанных в общий показатель адекватности НС.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 04-01-00277