CC BY
51
Если условия (15-16) выполняются как нечеткие равенства, то множество нечетких переменных .¥={ Хук } представляет собой нечеткий опорный план трехин-
дексной транспортной задачи. В противном случае, осуществляется переход ко второму этапу построения опорного плана.
На втором этапе формулируется расширенная трехиндексная транспортная задача размера (ш+1)х(п+1)х(р+1), эквивалентная исходной, и для нее строится .
Алгоритмы первого и второго этапов описаны в работе [3] и для задачи с нечеткими параметрами не имеют формальных отличий.
Преимущество в решении трехиндексной транспортной задачи в отличии от подобной задачи с четкими параметрами состоит в том, что лицам, принимающим решения предоставляется информация, содержащая гарантированные значения и значения с определенной степенью доступа. Г ипотетически это отобразить можно в виде примера задания нечеткого интервала х^к, определяющего нечеткий объем
поставок продукции к-го вида /'-м центром производства у-му потребителю, показанного на рис.1, из которого следует, что гарантированно поставляется объем поставок в пределах от значения х/кк Д° значения хук, но может быть уменьшена поставка в пределах от значения А-хкк Д° Хк, или увеличена поставка в пределах от значения хдк до В+ хук.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. ZadenД.Ф. Fuxxy sets, Informatijn fnd Control, 8, pp. 338-353, 1965.
2. Дюбуа Д.,Прад.А. Теория возможностей: Пер. с французского В.Б.Тарасова / Под редакцией С.А.Орловского. - М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.
3. Раскин Л.Г.,Кириченко И.О. Многоиндексные задачи линейного программирования (теория, методы, приложения). - М.: Радио и связь, 1982. - 240 с.
ИЛ. Розенберг
УВЕЛИЧЕНИЕ СТЕПЕНИ ЖИВУЧЕСТИ НЕЧЕТКИХ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ГРАФОВ
.
графами возникают задачи оценки и анализа полученных моделей с точки зрения
.
повреждениям с точки зрения удаления некоторых ребер или вершин [1]. В случае
, , пониматься разные понятия, в том числе и степень сильной связности нечеткого графа [2]. Рассматривая нечеткий граф с точки зрения его живучести, естественно ставится задача увеличения степени живучести с наименьшими затратами. Здесь под затратами может пониматься добавление новых ребер, и (или) увеличение значений функций принадлежности уже существующих так, чтобы суммарная величина добавленных значений функций принадлежности ребер была минимальной.
В общем случае решение такой задачи сводится к большому перебору и может привести к значительным временным затратам. В данной работе рассматривается подход к уменьшению такого перебора путем выделения компонент сильной связности нечеткого графа с необходимой степенью живучести.
1. Основные понятия и определения. Обозначим через 0=(Х, и) - нечет-
кий граф [3] у которого Х={х}, /е1={1,2,..,п} - четкое множество вершин, а и=(^и(х/,ху)/(х/,ху) > } - нечеткое множество ребер. Здесь Х{,Ху е X,
р1и(х/,Ху) е [0,1] - значение функции принадлежности ¡ии для ребра (хрх.) .
Путем (маршрутом) I (х/,х.) нечеткого графа называется направленная последовательность нечетких дуг, ведущая из вершины х в вершину х¡, в которой конечная вершина всякой дуги, отличной от последней, является начальной вершиной следующей дуги [4]. Конъюнктивная прочность пути определится выражением
М~(х1») = Ми (хк»X).
<Хк , х1 >е1(Х{ ,Xj )
Пусть Ь(х/,х.) - семейство нечетких путей из вершины х/ в вершину х.. Тогда величина т(х/,х.) = тах {р1,(х/,х1)} определит степень достижимости вер-
1 I е~ 1
шины х. из вершины х . Если рассматривать степень живучести как степень сильной связности нечеткого графа, тогда она определится выражением
V(О) = & & т(х1,х().
х/ е X х. е X
,
конъюнктивной прочностью не менее величины V.
2. Нахождение степени живучести нечеткого графа. Для нахождения степени живучести нечеткого графа можно воспользоваться методом Мальгранжа [5] для нахождения максимальных компонент сильной связности четких графов. Для этого берем произвольную вершину х/ е X и находим для нее нечеткое транзитивное замыкание Г(х1) = ^Г^(х^ и обратное нечеткое транзитивное замыкало
ние Г-(х1) = и Г 0 (х^ , которые являются нечеткими множествами на множестве
г0
вершин X. Затем находим их пересечение С(х1) =Г(х1) ПГ- (х1) .
Если носитель нечеткого множества С(х/) совпадает с множеством вершин
О , , -
лится как V(О) = тт{аа2,..., ап}. В противном случае величина V=0.
3. Метод увеличения степени живучести. В работе [6] был предложен метод увеличения степени живучести нечетких ориентированных графов. Данный метод основан на последовательном увеличении нечеткого транзитивного и нечеткого обратного транзитивного замыканий произвольной вершины рассматривае-. .
, -го полного перебора, т.е. является КР-полной задачей. Он может эффективно использоваться для графов, не имеющих большой размерности и не являющихся од.
Рассмотрим теперь метод к увеличению степени живучести нечетких ориентированных графов не производящий перебор всех вариантов. Данный подход основан на идее поиска по дереву с возвратами. Основными понятиями в данном методе являются понятия ветвления и границ (весов) рассматриваемых вершин в дереве решений. В качестве ветвления будем подразумевать «замыкание» или «не замыкание» последней рассматриваемой вершины на первую в последовательности рассматриваемых вершин, а в качестве границ - количество и величины функ, -надлежности ребер в рассматриваемом подграфе, чтобы его степень живучести достигла требуемого значения.
Рассмотрим данный метод на примере.
Пусть задан нечеткий ориентированный граф О = (X, Г) со степенью живучести Т=0,2, приведенный на рис.1. Необходимо увеличить значения функций принадлежности в некоторых ребрах так, чтобы его живучесть увеличилась до ТПТ=0,6. В качестве критерия выбора ребер выбираются такие, чтобы их число было наименьшим, а значения, на которые необходимо увеличить функции при- .
В нашем примере такой вершиной является вершина У1, из которой выходит ребро в вершину У2 с функцией принадлежности Ма(У1,У2)=0,8. Так как величина 0,8 > ТИТ=0,6 , то мы, ничего не увеличивая, можем рассмотреть путь из вершины
У2 в следующую вершину (У4), либо замкнуть ее на первую (У1) в рассматриваемой .
Чтобы подграф с вершинами {У1,У2} обладал живучестью 0,6, необходимо увеличить степень функции принадлежности ребра (У2,У1) на величину 0,3 (0,3+0,3=0,6). Поэтому первое ветвление (уровень 1) выглядит так, как показано на рис.2.
Вершине (У1, У2) в дереве ветвления мы припишем множество, состоящее из одного элемента {0,3}. Это означает, что в подграфе {У1,У2} необходимо увеличить значение функции принадлежности одного ребра на величину 0,3. Формально вершине (У1,У2) в дереве ветвления можно приписать индекс {0}, т.е. значения функций принадлежности никакого ребра пока не надо увеличивать.
0 уровень
1 уровень
Рис.2. Ветвление первой вершины В качестве следующей вершины ветвления будем рассматривать ту, которой , , наименьшие. В нашем случае эта вершина (У1,У2) (рис.3).
Из вершины У2 графа О выходит ребро (У2,У4) с наибольшей степенью 0,6. Поэтому уровнем 2 дерева решений являются вершина (У1, У2, У4) с меткой {0,2} и (У1,У2,У4) с меткой {0,3}. Так как 0,2<0,3, а число вершин подграфа (У1,У2,У4)
больше числа вершин подграфа (У1, У2), то вершину (У1, У2) дерева решений можно исключить из дальнейшего рассмотрения.
(У1 , У2 , У4 ) ,
приписан наименьший индекс 0,2. Ее ветвление приводит к вершинам (У124, У5) с
индексом {0,2; 0,3; 0,3} и (У124,У5) с индексом {0,2; 0,3; 0,6}. Поэтому, в качестве дальнейшего ветвления берем вершину (У1,У2,У4) с индексом {0,3}. Ее ветвление
приводит к вершинам (У1,У2,У4,У5) с индексом {0,3; 0,3} и (У1,У2,У4,У5) с индексом {0,3; 0,6}. Последние позволяют исключить из рассмотрения вершины
(У24У) и (У124,Уз).
Так как дальнейшее ветвление полученных вершин дерева вывода невозмож-
, , .3.
, О
ТИТ =0,6 необходимо:
♦ увеличить значения функций принадлежности четырех ребер - (У2,У5) и (У5,У1) на величину 0,3; (У1,У3) на 0,4 и (У3,У2) на 0,2, или
♦ увеличить значения функций принадлежности трех ребер - (У5,У3) и (У3,У1) на величину 0,6 (т.е. добавить новые ребра) и (У4,У5) на 0,3.
Заключение. Необходимо отметить, что предложенный метод находит не все наилучшие решения и его решение зависит от выбора первой вершины ветвления.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Фрэнк Г., Фриш И. Сети, связи, потоки. - М.: Связь, 1978.
2. Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Живучесть нечетких ориентированных графов// Труды Международной конференции по мягким вычислениям и измерениям БСМ’2002. Санкт-Петербург, 25-27 июня 2002. - Том 1. Гидрометеоиздат, 2002. - С. 185-187.
3. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и связь, 1982.
4. Берш тейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие граф ы и гиперграфы. - М.: Научный мир, 2005.
5. Боженюк А.В., Розенберг ММ. Метод определения живучести нечетких графов. // Научная сессия МИФИ-2005. Сборник научных трудов. В 15 томах. Т.3. Интеллектуальные системы и технологии. - М.: МИФИ, 2005. - С. 146-147.
6. Берштейн Л.С., Боженюк А.В., И.Н.Розенберг. Анализ и синтез живучести нечетких
//
БСМ’2005. Санкт-Петербург, 27-29 июня 2005. - Санкт-Петербург: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», Т. 1, 2005. - С. 204-207.
..
РОЛЬ МЕТАОНТОЛОГИИ В ЗАДАЧАХ АВТОМАТИЗАЦИИ
. -
.
собой процесс построения модели объекта автоматизации, которая должна рассматриваться как решение задачи автоматизации, заданное на информационном .
, ,
