Использование вычислительных моделей для оценки процессов в судовых электроэнергетических системах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.3.087.9 Г. Е. Барщевский,

аспирант,

СПГУВК

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ОЦЕНКИ ПРОЦЕССОВ В СУДОВЫХ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

USE OF COMPUTER MODELS FOR EVALUATION PROCESSES IN MARINE

POWER SYSTEMS

В статье представляются синтез и описание вычислительных моделей для электромеханических и электромагнитных процессов в судовых электроэнергетических системах. Дается сравнительный анализ синтезированных вычислительных моделей.

The paper is a synthesis and a description of computational models for electromechanical and electromagnetic processes in marine power systems. A comparative analysis of synthetic computational models is presented.

Ключевые слова: вычислительные модели, синтез, судовые системы.

Key words: computational models, synthesis, ship systems.

ПРИ решении задач исследования электромеханических и электромагнитных процессов в автономных электроэнергетических системах широко используют моделирование, осуществляемое на основе вычислительных моделей. Вычислительными принято называть модели, которые обеспечивают достаточно полное и точное отражение исследуемых процессов в реальных системах и могут быть реализованы на компьютерах. Если процессы, рассматриваемые в системе, не могут быть описаны на основе единой модели, то создается комплекс специализированных вычислительных моделей, каждая из которых используется при решении той или иной задачи исследования и проектирования [1].

Вычислительные модели используют для осуществления так называемых вычислительных экспериментов, то есть для воспроизведения исследуемого процесса в системе при различных значениях параметров системы и внешних воздействий с последующим анализом полученных результатов. При этом предполагают, что вычислительные модели систем ввиду их сложности и большой размерности не могут быть использованы для решения оптимизационных задач на основе методов математического программирования [2].

При создании комплекса моделей судовых электроэнергетических систем (ЭЭС) це-

лесообразно использовать концепции общей теории сложных систем, в частности теории планирования эксперимента. Проведение вычислительного эксперимента, осуществляемого на основе специализированных вычислительных моделей, и обработка полученных результатов в соответствии с принятым критерием оптимальности позволили получить комплекс согласованных моделей ЭЭС, представляющих собой полиномиальные зависимости различных показателей качества электромагнитных процессов от расчетных параметров схем замещения ЭЭС.

Разработка комплекса полиномиальных моделей таких сложных систем, как электроэнергетические, требует применения специальных планов вычислительного эксперимента, учитывающих специфические особенности автономных ЭЭС и процесса их проектирования. Планы активного эксперимента на вычислительных моделях автономных электроэнергетических систем должны удовлетворять самым разнообразным требованиям, среди которых основным является минимум ошибки аппроксимации.

Исходя из условий необходимой и достаточной аппроксимации, можно осуществить синтез симметричных непрерывных планов, спектр которых содержит сравнительно небольшое число точек. На основе указанных

Выпуск 4

¡Выпуск 4

планов можно получить полиномиальные модели ЭЭС, обеспечивающие достаточно высокую точность аппроксимации.

Задача синтеза непрерывных симметричных планов заключается в выборе типовых конфигураций, определения их размеров и частоты проведения экспериментов в точках спектров отдельных конфигураций, исходя из условий оптимальности, определяемых выбранным критерием. При этом предполагается, что точки спектра одной конфигурации имеют одинаковую частоту проведения экспериментов.

Нечетные моменты симметричных композиционных планов равны нулю, а величины четных моментов зависят от видов конфигураций, входящих в план частот проведения экспериментов в точках спектров этих конфигураций, и от числа исследуемых параметров.

Однако определение отдельных условий оптимальности для всех типов планов, составленных из всех возможных сочетаний типовых симметричных конфигураций, не представляется целесообразным. Поэтому для получения условий оптимальности планов вычислительного эксперимента в наиболее общем виде используют характеристики типовых конфигураций, значения которых зависят только от числа исследуемых факторов. Тогда все моменты плана, а следовательно, и условия оптимальности, могут быть выражены через частоты проведения экспериментов в точках спектров этих конфигураций и значения их характеристик. Уравнения для второго, четвертого и шестого моментов симметричного плана эксперимента представим следующим образом:

'¿М11а^1 = К = }га2,

1=1

=>-4 = йа4:

1=1

94 ¿^2а/%=^2=йа: =Хб=каб-

1=1

і=і

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

^ N\а1 ^222 ^а222=

, . . ___ ___ (6) 1=1

где al — размер 1-й конфигурации, h — коэффициент пропорциональности, характеризующий соотношение между моментами плана вычислительного эксперимента и соответствующими моментами симметричного закона распределения параметров.

Предполагается, что все параметры ЭЭС подчиняются одному и тому же симметричному закону распределения.

Кроме того, в непрерывных планах эксперимента необходимо учитывать уравнение суммарной частоты проведения эксперимента в точках спектра каждой конфигурации (условие баланса частот):

(7)

1=0

где ^ — частота проведения эксперимента в нулевой точке.

Как видно из уравнений (1)-(6), величина £,0 не входит в явном виде в уравнения моментов.

Поэтому условие баланса частот можно преобразовать в неравенство

(8)

1=0

Частоты отдельных конфигураций с учетом (7) определяются выражением

5, =(1-5.4

(9)

1=1

где v1 = Ъ>1 / ^ — соотношения между частотами проведения эксперимента в точках спектра 1-й и первой конфигураций.

Таким образом, на основе уравнений моментов определяют соотношения между частотами проведения экспериментов в точках спектров различных конфигураций, которые не зависят от величины коэффициента пропорциональности h.

Если необходимые условия являются достаточными, то есть h = 1, то учет уравнения (7) для планов, не содержащих нулевой точки, существенно осложняется. Введение нулевой точки позволяет перейти к неравенству (8), что значительно упрощает определение допустимых размеров конфигураций и частот проведения экспериментов.

Определим основные характеристики конфигураций планов, минимизирующих оценку ошибки аппроксимации в области, представляющей собой единичный гиперкуб.

При разработке полиномиальных моделей автономных ЭЭС представляют интерес планы, не только минимизирующие ошибку аппроксимации, но и имеющие большинство точек спектра на поверхности вышеуказан-

ного гиперкуба. В этом случае уменьшается величина оценки ошибки аппроксимации в подобластях, наиболее удаленных от центра плана.

Выражения для основных характеристик планов эксперимента, представляющих собой все возможные парные сочетания рассмотренных выше типовых симметричных конфигураций, представим в табл. 1.

Таблица 1

Выражения приведенных моментов

№ плана Сочетания типов конфигураций, входящих в план Выражения для приведенных моментов

а?> а<2)

1 1) Вершины гиперкуба. «22 2 2 а а"

2) Звездные точки (ЦКП)

2 1) Вершины гиперкуба. 2) Середины ребер (план Коно) (и-1)а22 - (я - 2)а4 (и-1)(а4 -а22)

3 1) Вершины гиперкуба. (и-1)а22-а4 (и—1)(а4 —а^)

2) Ядро плана Бокса-Бенкина п — 2 п-2

4 1) Вершины гиперкуба. (и-1)а22- (п -3)а4 (п- 1Ха4-аи)

2) Центры двумерных граней 2 2

5 1) Середины ребер. (л-1)а22-а4 (п-2) а4 - (и-1)а22

2) Ядро плана Бокса-Бенкина п-3 п-3

6 1) Середины ребер. 2) Центры двумерных граней (и-1)а22 - (и - 2)а4 (и-2)а4- (п-1)а2

7 1) Середины ребер. 2) Звездные точки п -1 0 а22 п-2 п — 1 а4 0 а22 п-2

Анализ полученных выражений позволяет провести сравнительную оценку планов вычислительного эксперимента, исходя из возможности и целесообразности их реализации на моделях ЭЭС.

Так, центральные композиционные планы (ЦКП) вычислительного эксперимента, представляют собой композицию вершин гиперкуба и одного комплекта звездных точек. Спектр этого плана имеет наименьшее число точек, а значения приведенных моментов всегда положительны и не зависят от числа параметров, учитываемых полиномиальной моделью ЭЭС.

Композиция вершин гиперкуба и середин ребер с центрами двумерных граней или

с ядром плана Бокса-Бенкина при п = 4,5 позволяет получить планы, минимизирующие ошибку аппроксимации. Однако число точек спектров этих планов существенно превышает число точек спектра ЦКП. Аналогичными свойствами обладают планы, представляющие собой композицию середин ребер или центров двумерных граней со звездными точками.

В табл. 2 даны характеристики планов, для которых приведенные моменты имеют положительные значения. Здесь же даны размеры конфигураций, определенных для случаев, когда точки спектра другой конфигурации находятся на границах области, а параметры ЭЭС подчиняются равномерному закону распределения.

Выпуск 4

¡Выпуск 4

Таблица 2

Характеристики планов

Сочетания типов конфигураций, входящих в план Характеристики планов Размер конфигурации а2 при а1 = 1

N N ■? 42)

1. Вершины гиперкуба. 2 8

2. Звездные точки 3 14

4 24

5 42 0,111 0,0889 0,632

6 76

7 142

1. Вершины гиперкуба. 4 40 0,0667 0,1333 0,701

2. Ядро плана Бокса- 5 72 0,0815 0,118 0,684

Бенкина

1. Середины ребер. 4 48 0,167 0,0333 0,447

2. Звездные точки 5 90 0,148 0,052 0,529

6 210 0,139 0,061 0,560

7 462 0,133 0,067 0,579

Таким образом, при разработке по- третьего порядка, целесообразно пользо-

линомиальных моделей судовых ЭЭС вто- ваться центральными композиционными

рого порядка, аппроксимирующих модели планами.

Список литературы

1. Барщевский Е. Г. Основы вычислительного эксперимента / Е. Г. Барщевский, Ю. Я. Зубарев. — СПб.: СПГУВК, 2009.

2. Зедгенидзе И. Г. Планирование эксперимента для исследования многокомпонентных систем / И. Г. Зедгенидзе. — М.: Наука, 1976.