Использование урока решения одной задачи на геометрии Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

ART 186078 DOI 10.24422/MCITO.2018.V8.15639 УДК 372.851

Чернов Руслан Владимирович,

студент Ишимского педагогического института им. П. П. Ершова (фи лиала) ФГАОУ ВО «Тюменский государственный университет», г. Ишим ruslanchernov21@mail.ru

Бауер Юлия Леонидовна,

студентка Ишимского педагогического института им. П. П. Ершова (филиала) ФГАОУ ВО «Тюменский государственный университет», г. Ишим jylya.96@mail.ru

Использование урока решения одной задачи на геометрии

Аннотация. В статье рассматривается возможность проведения урока одной задачи при преподавании геометрии. Авторы раскрывают плюсы такого урока (систематизация и обобщение знаний и др.), а также приводят пример задачи, которая может быть использована на уроке геометрии, и разбирают ее возможные решения. Статья может быть использована учителями математики, геометрии, физики, так как на основе приведенных различных решений могут быть также решены и другие задачи из разных областей знаний.

Ключевые слова: урок решения одной задачи, геометрия, решение задач по геометрии. Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.

Геометрия является одним из сложнейших предметов для школьников, так как для нахождения верного решения задач требуется знать большое количество определений и теорем. Кроме того, многие дети с трудом воспринимают новые формы пространства и не могут впоследствии применить изученные теоремы на практике. В том числе и из-за увеличения интеллектуальной нагрузки обучающихся на уроках геометрии учителя вынуждены искать новые методики обобщения, систематизации и повторения уже изученного материала. Одним из таких способов является использование уроков решения одной задачи.

Многие задачи можно решить несколькими способами, и учителя, подбирая задачу на определенную тему, могут показать детям те или иные способы решения данной задачи. При использовании данного метода учащиеся вместо решения нескольких стереотипных задач решают одну задачу несколькими способами, что позволяет ученикам мыслить, рассуждать, развивать гибкость мышления, а также применять все возможные полученные ранее знания по геометрии. Урок одной задачи имеет множество преимуществ: повышение эффективности учебной деятельности, мотивации, уровня знаний учащихся, восполнение «пробелов» в ранее изученных темах.

Данный вопрос рассматривали такие ученые, как В. В. Кутахина, Е. П. Щепилло, А. Е. Захарова, Е. А. Яровая и другие. Так, В. В. Кутахина показала возможность подготовки учащихся к ЕГЭ и ОГЭ с помощью уроков решения одной задачи. Она отметила эффективность уроков одной задачи и проанализировала несколько вариантов решения задачи из ЕГЭ [1 ]. Е. П. Щепилло отметил, что урок одной задачи для одних -это самооценка для спасения в трудном мире математики, которая все же помогает найти свой, понятный путь решения задачи, для других - это открытие красоты и изящества любимого предмета, для третьих - это путь к пониманию в общении с одноклассниками и учителем [2]. Также он представил систему задач для уроков одной задачи, причем были приведены задачи с 5-го по 11-й класс.

ISSN 2304-120Х

ниепт

научно-методический электронный журнал

научно-методический электронный журнал

Е. В. Кузьменко в статье «Урок одной задачи» [3] показала 16 способов решения задачи по геометрии. Задача звучала так: доказать, что треугольник прямоугольный, если его медиана равна половине стороны, к которой она проведена. При этом к уроку одной задачи дети подготавливались заранее. Текст задачи имелся у ребят еще за две недели до проведения урока. Работа над задачей организована следующим образом: класс разбивается на пять групп, приблизительно равных по своей силе. В каждой группе выбирается организатор. Неделю дети работают с задачей самостоятельно, а вторую неделю работают группой. После этого уже работают организаторы группы. Они, советуясь, отбирают, какие варианты решения задачи будет защищать их группа. Затем каждая из групп представляет на уроке различные способы решения данной задачи. Способы, которые дети не разобрали, учитель представляет учащимся сам. После этого ученики вместе с учителем выбирают самый рациональный способ решения задачи.

Приведем пример использования данного метода на уроке геометрии в школе.

Задача: «Найдите площадь трапеции, если известно, что основания равны 2 и 18 см, а диагонали 7 и 15 см».

Рис. 1. Чертеж к задаче

Дано:

ЛВСй - трапеция;

ВС = 2 см, Лй = 18 см;

ЛО = 7 см, Вй = 15 см.

Найти:

Элвсй - ?

Первый способ

Решение:

1) Проведем через точку О высоту трапеции Н1Н2 (рис. 2).

2)

Рис. 2

научно-методический электронный журнал

3) Так как ABCD - трапеция, то BC||AD, то AC - секущая, следовательно, zBCA = zCAD, zCBD =zBDA (как накрест лежащие), а zBOC =zAOD (как вертикальные).

Из этого следует, что ABOC-ADOA (по первому признаку подобия треугольников). Тогда:

ВО _ CO _ BC _

OD _ OA _ AD _ k' ВО _ СО _2

BD-BO ~ АС -СО ~Т§'; ВО 1

= -,ВО = 1,5 (см),DO = 13,5 (см);

15-ВО 9 СО 1

-= -,С0 = 0,7 (см), OA = 6,3 (см);

7-СО 9

ОВ + ОС + ВС

2

4) Найдем площадь ДВОС по формуле Герона:

Бвос = VР(Р - ОВ)(Р - ОС)(Р - ВС), где Р =

^вос = 0,42 (см2). С другой стороны, 5В0С =~ВС • 0НЪ где ОН1 - высота.

Тогда, приравнивая оба выражения, получим, что ОН1 = 0,42 (см).

5) Аналогично п. 3 находим площадь ДДОй:

,----АО + ОБ + АБ

баоо = VP'(P' - ОВ)(Р - ОС)(Р - ВС),где Р' =---

5аоо = 3,78 (см2). С другой стороны, баов = ~АБ • ОН2, где ОН2 - высота.

Приравниваем оба выражения и получаем, что ОН2 = 3,78 (см). Тогда Н1Н2 = ОН1 + ОН2 = 4,2 (см).

6) бавсо = ^ • Н1Н2 = • 4,2 = 42 (см2).

Ответ: S,

ABCD

= 42 см2.

Второй способ Решение:

1) Опустим высоты ВВ'и С С' из точек В и С соответственно (рис. 3).

С'

Рис. 3

Пусть АВ' = х, тогда В'Б = 18- х.

ВВ' = СС', поскольку BC||AD (так как ДВСй - трапеция).

2) ДВ'Вй и ДДСС' прямоугольные, так как ВВ' = СС' - высоты.

По теореме Пифагора:

ВВ'2 = ВБ2 - В'Б2 = 225 - (18 - х)2; СС'2 = АС2 - АС'2 = 49 - (х + 2)2;

ниегп

issn 2304-120X Чернов Р. В., Бауер Ю. Л. Использование урока решения одной задачи на геометрии // Научно-методический электронный журнал «Концепт». -2018. - № V8. - 0,2 п. л. - URL: http://e-koncept.ru/2018/186078.htm.

научно-методический электронный журнал

Приравнивая оба выражения, получаем, что х = 3,6 (см). Тогда ВВ' = СС' = 4,2 (см).

3) бавсо = ^ •СС' = 2-+8^ 4,2 = 42 (см2). Ответ: БАВСО = 42 см2.

Третий способ Решение:

1) Построим СБ', причем СБ'\\ВБ (рис. 4).

Рис. 4

Так как СБ'ЦВБ (из построения), а ВСЦАБ' (как основания трапеции), то БВСБ' -параллелограмм, а следовательно, СБ' = ВБ,ВС = ББ'.

2) По теореме косинусов:

АБ'2 = АС2 + СБ'2 — 2АС • СБ' • собаАСБ'.

з

Отсюда получаем, что соэ^АСБ' = — -.

Используя основное тригонометрическое тождество, найдем зЫаАСБ':

СОБ2^АСБ' + зт2^АСБ' = 1;

БЫ^АСБ' = ^1- СОЗ2ААСБ' = J1—(-3j2 = 4.

-1

3) 5Асо' = -АС • с°' • зт^АСБ', откуда БАСО' = 42 (см2). С другой же стороны:

1

басв'=-2аб^сн,

где СН — высота.

Приравнивая оба выражения, находим высоту: СН = 4,2 (см2):

ВС+АБ 2 + 18 Ьавсв =-^--СН - ---4,2 = 42 (см2).

Ответ: БАВСО = 42 см2.

Четвертый способ Решение:

1) Так как ABCD - трапеция, то BC||AD, то АС - секущая, следовательно, ¿ВСЛ =¿CAD, ¿СВР =¿BDA (как накрест лежащие) (см. рис. 5).

2) $АВСО = $АВС + $АСО.

1

5АБС =-ВС^АС^ ЗЫаВСА; 12

5АСВ =-АС^АБ^ БШАСАБ;

ISSN 2304-120X

ниепт

научно-методический электронный журнал

Рис. 5

1 1

Ъавсо ЗЫаВСА + -АС • АБ • ЗЫАСАО.

Поскольку авса = ¿САБ, то и зыавса = зыасао.

11 ЪАВСО =-•!• 18 • ЗЫАСАО + ^2^1 • ЗЫАСАО = ЮзЫ^САБ.

3) Аналогично первому способу решения (п. 2) находим, что АО = 6,3, а D0 = 13,5 (см).

4) По тереме косинусов:

DO2 = АО2 + Ай2 -2^ АО • АБ • собАсао. 182,25 = 39,69 + 324 - 226,8созАсао. Отсюда получаем, что собаСАБ = 0,8. Тогда, используя основное тригонометрическое тождество, зЫаСАЭ = 0,6.

5) $АВСО = ЮзЫаСАЭ = 10 • 0,6 = 42 (см2). Ответ: БАВСО = 42 см2.

Таким образом, мы решили одну и ту же задачу разными способами, убедились в правильности решения задачи. Метод урока решения одной задачи будет очень полезен в процессе обучения на уроках геометрии, так как данный метод позволяет организовать творческое решение задачи, а также найти наиболее рациональные, простые, изящные варианты ее решения.

Ссылки на источники

1. Кутахина В. В. Урок одной задачи // Научно-методический журнал педагогический поиск. - 2017. -№ 4. - С. 31-34.

2. Щепилло Е. П. Урок одной задачи как эффективный способ развития интеллектуальной, познавательной и личностной самостоятельности школьников // Актуальные проблемы обучения математике, физике и информатике в школе и вузе. - Пенза, 2014. - С. 88-92.

3. Кузьменко Е. В. Урок одной задачи // Молодой ученый. - 2017. - № 27. - С. 134-139. - URL: https://moluch.ru/archive/161/45095/

Ruslan Chernov,

Student, Ishim Pedagogical Institute named after P. P. Ershov (branch of) Tyumen State University, Ishim ruslanchernov21 @mail.ru Yulia Bauer,

Student, Ishim Pedagogical Institute named after P. P. Ershov (branch of) Tyumen State University, Ishim jylya.96@mail.ru

The use of one task solution lesson in learning geometry

Abstract. In this paper, they consider the possibility of one task solution lesson use in learning geometry. The authors reveal the advantages of this lesson (systematization and generalization of knowledge, etc.) and give an example of the task that can be used in a geometry lesson and give its possible solutions. The article can be used by teachers of mathematics, geometry, physics, since other problems from different fields of knowledge can also be solved based on given solutions.

научно-методический электронный журнал

Key words: one task solution lesson, geometry, geometry tasks solution.

References

1. Kutahina, V. V. (2017). "Urok odnoj zadachi", Nauchno-metodicheskij zhurnal pedagogicheskij poisk, № 4, pp. 31-34 (in Russian).

2. Shchepillo, E. P. (2014). "Urok odnoj zadachi kak ehffektivnyj sposob razvitiya intellektual'noj, pozna-vatel'noj i lichnostnoj samostoyatel'nosti shkol'nikov", Aktual'nye problemy obucheniya matematike, fizike i informatike v shkole i vuze, Penza, pp. 88-92 (in Russian).

3. Kuz'menko, E. V. (2017). "Urok odnoj zadachi", Molodoj uchenyj, № 27, pp. 134-139. Available at: https://moluch.ru/archive/161/45095/ (in Russian).

Рекомендовано к публикации:

Утёмовым В. В., кандидатом педагогических наук; Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»

Поступила в редакцию Received 30.05.18 Получена положительная рецензия Received a positive review 20.06.18

Принята к публикации Accepted for publication 20.06.18 Опубликована Published 31.08.18

www.e-koncept.ru

Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) © Концепт, научно-методический электронный журнал, 2018 © Чернов Р. В., Бауер Ю. Л., 2018

9772304120180