Использование топоцентрической прямоугольной системы координат при решении инженерно-геодезических задач Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 528.236:528.48

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТОПОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ ПРИ РЕШЕНИИ ИНЖЕНЕРНО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Мурат Газизович Мустафин

Санкт-Петербургский горный университет, 199106, Россия, г. Санкт-Петербург, Васильевский остров, 21 линия, д. 2, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой инженерной геодезии, тел. (964)385-20-05, e-mail: mustafin_m@mail.ru

Чан Тхань Шон

Санкт-Петербургский горный университет, 199106, Россия, г. Санкт-Петербург, Васильевский остров, 21 линия, д. 2, аспирант, кафедра инженерной геодезии, тел. (931)204-16-85, e-mail: sonphuong85@mail.ru

Рассматривается методика создания геодезической основы при строительстве различных объектов, использующая спутниковые определения и традиционную тахеометрическую съемку для вычисления плановых координат геодезической сети. Данный подход отвечает современным тенденциям создания геодезической основы в строительстве. Внедрение в жизнь спутниковых технологий позиционирования открывает новые возможности для производства разбивочных работ. Использование локальных горизонтальных проекций, в наибольшей степени соответствующих участку земной поверхности, представляется весьма перспективным, кроме того, при наличии алгоритма перевода координат из одной системы в другую (традиционную) обеспечивает точность проектных работ и существенно их упрощает. Показан на конкретном примере перевод координат из геоцентрической системы в то-поцентрическую (плоская проекция геоцентрических координат с топоцентрическими координатами), в которой производится уравнивание результатов тахеометрической съемки. Приведен качественный анализ преимуществ методики относительно применения зональной системы координат Гаусса - Крюгера. Демонстрируется возможность перевода координат из одной системы в другую для сохранения традиционных форм представления материала и контроля измерений. Обращается внимание на обособленное вычисление нормальных высот.

Ключевые слова: системы геодезических координат, геодезические сети, глобальные навигационные спутниковые системы, топоцентрическая система координат, тахеометрическая съемка, уравнивание результатов измерений, ковариационная матрица.

Введение

Создание геодезической основы - одна из главных задач при строительстве и залог качества выполняемых работ. Сегодня глобальные навигационные спутниковые системы (ГНСС) широко применяются для создания геодезических сетей сгущения и вообще при выполнении различных геодезических работ. Тахеометр, снабженный спутниковым приемником, фактический обеспечивает решение большинства геодезических задач. Вместе с тем традиционный подход создания геодезической основы связан с использованием плоских прямоугольных координат, вычисляемых в проекции Гаусса - Крюгера, и нормальных высот [1-4]. Что касается высот, то, безусловно, их определение надлежит выполнять геометрическим нивелированием. Однако плановые координаты эффективно определять и работать с ними в топоцентрической системе координат.

Речь идет об использовании проекции геодезических координат, отличной от Гаусса - Крюгера, в которой эффективно, с обеспечением требуемой точности, ведение геодезических работ. В то же время есть возможность перевода координат в проекцию Гаусса - Крюгера. Следует заметить, что вопрос о целесообразности разработки методик определения параметров специальных геодезических проекций при выполнении инженерно-геодезических работ, обеспечивающих уменьшение линейных искажений и удобство в практическом использовании, рассматривается сейчас во многих работах [3-7].

Традиционный подход применения ГНСС-технологии состоит в определении координат пунктов геодезической сети, уравнивании результатов измерений в геоцентрической системе координат, после чего - в преобразовании в геодезические координаты (B, L) и далее - в прямоугольные зональные системы координат. Традиционный подход обеспечивает главный принцип измерений - их единство. Однако известно, что точность положения пунктов геодезической сети, отстоящих существенно от осевого меридиана, значительно искажается в проекции UTM (или Гаусса - Крюгера). Кроме того, определение координат в смежных областях зон довольно трудоемко. Эти проблемные вопросы во многом снимаются с применением предлагаемой методики измерений.

Существуют разные решения данной проблемы [4-5, 7-9]. Предлагаемый способ заключается в преобразовании спутниковых определений в локальную то-поцентрическую горизонтальную систему координат (Local topocentric coordinate system), в которой проводится уравнивание тахеометрических измерений. Надо заметить, что речь идет о топоцентрических координатах или проекции на горизонтальную плоскость геоцентрических координат, имеющей центральную точку с нормалью к центру массы Земли. Подобный подход в настоящее время используется в ряде стран, где остро стоит вопрос о сгущении геодезических сетей, например Вьетнам, Саудовская Аравия, Иран и др. страны. Во Вьетнаме и других странах было проведено несколько исследовательских работ [9-12]. В настоящей статье рассматривается алгоритм вычислительной процедуры.

Методы и материалы

Локальная топоцентрическая прямоугольная горизонтальная система получается поступательным переносом начала геоцентрической системы к точке O1, находящейся на земной поверхности (рис. 1). Таким образом, мы получаем топоцентрическую систему (плоская система прямоугольных координат на то-поцентрической поверхности, далее по тексту - топоцентрическая система) с осями, параллельными соответствующим осям геоцентрической системы. На основе этой системы координат строим топоцентрическую систему по правилу левой руки. O1 - начало системы координат. Oz совпадает с нормалью, проходящей через О1 (положение на зенит). Ось Ox направляется по осевому меридиану (положение на север). Ось Oy перпендикулярна осям Ox и Oz. В некоторых документах вместо x, y, z приняты обозначения N, E, U [8-15].

Таким образом, топоцентрическая система координат является результатом постепенного вращательного преобразования геоцентрической системы координат, в результате которого значения измерений ГНСС в топоцентрической системе не искажаются, а направление оси Ох очень близко к отвесному направлению.

Формулы преобразования из геоцентрической системы координат в локальную топоцентрическую систему представлены следующими выражениями [16-21]:

х ' X — X 0"

у = Ят У — У0

X — X 0 _

(1)

т т

где (х у г) - координаты в топоцентрической системе; (X У X) - координаты

т

в геоцентрической системе; (Х0 У0 Х0) - координаты в геоцентрической системе пункта референции сети; В0, Ь0 - геодезические координаты пункта референции сети; Я - матрица преобразования (разворота),

Ят =

Бт В0 соб Ь0 — Бт В0 Бт Ь

^0 1 —Бт Ь

0

соб В0соб Ь0

0

соб Ь0

0

соб В^т Ь0

соб В0 0

Бт В0

(2)

В формуле (2) нет параметра геодезической высоты Н, поэтому координаты х, у на горизонтальной плоскости не зависят от их геодезической высоты.

Контрольной точкой будет являться начало сети в локальной топоцентри-ческой системе координат. Эта точка выбрана так, чтобы она совпала с конкретной точкой сети или могла быть точкой, координаты которой совпадают с координатами центра тяжести, и высотой, равной средней высоте всех точек сети. Начало должно быть выбрано в конкретной точке сети потому, что она обладает определенным маркером, легко узнаваема в поле и более проста для преобразования из локальной топоцентрической системы координат в другие системы координат.

Из формулы (1) можем составить формулы вычисления АХ, АУ, А2 от геоцентрической системы к топоцентрической системе:

(3)

Ах 'АХ ~

Ау = ЯТ АУ

А2 АZ

Тогда ковариационная матрица М в локальной топоцентрической системе вычисляется по следующей формуле:

М = ЯТМЯ, (4)

где М - ковариационная матрица в геоцентрической прямоугольной системе,

М =

V () СОУ (ху) СОУ (Х^^)

СОУ(У1Х]) V (уу) СОУ^])

СОУ (21Х]) СОУ (21У]) V (ZiZJ)

(5)

Вычисление АХ, АУ, АZ и ковариационной матрицы выполняется по формулам (3) и (4). После этого необходимо проверить ошибки замыкания. Уравнивание ГНСС-сетей в локальной топоцентрической системе. В локальной топоцентрической системе уравнивание ГНСС-сетей выполняется следующим образом.

Составим уравнения ошибок:

АХу

-йх1 +dxj + (х00 - х0 - А%);

V

АУу

^у =

-йу1 +(у0 - у0 -Ау^);

(6)

где vАX, vАУ, vАz - поправки параметров координат; йх, йу, - поправки определенных координат; х0, у0, 2 - приближенные значения координат.

Таким образом, имеется 3п уравнений типа (6) (п - количество базовых линий), содержащих 3т неизвестных, т - количество определенных точек).

Уравнивание ГНСС-сетей выполняется начиная с точки, совпадающей с началом локальной топоцентрической системы. Это одна из причин, по которой мы выбираем начало таким образом, чтобы оно совпало с конкретной точкой сети. Эта точка имеет координаты х, у, определяемые в государственной системе. Тем не менее мы по-прежнему выполняем уравнивание ГНСС-сетей в локальной топоцентрической системе.

Система уравнений (6) переписана в матричной формуле:

V = А X + Ь.

(7)

Составление системы нормальных уравнений:

N X + Ь = 0,

(8)

где

N = Ат Р А;

Ь = Ат Р Ь;

(9) (10)

Р =

Р 0

0 Р2

0 0

0 0 ... Рп

(11)

где Р - блочная матрица по диагонали; Р1 - обратная матрица ковариационной матрицы М' (3 х 3),

Р = Ы'Г1.

I I

(12)

Решая системы нормальных уравнений, получаем:

X = —N—1Ь.

(13)

Оценки точности:

- средняя квадратичная ошибка единицы веса

уГРУ_ 3п — 3т

- средняя квадратичная ошибка положения пункта

тР1 = , (15)

где Qlхх + О'уу + QZz - диагональные элементы матрицы Q = Ы~х в соответствующей точке I.

Средняя квадратичная ошибка функции весов:

тЕ = ; QFF = FTQF. (16)

Мы знаем, что поправки, полученные при уравнивании ГНСС-сетей с использованием координат (х, у, 2) у одной исходной точки, точно совпадают с результатами уравниваний свободных ГНСС-сетей без базовой точки.

Горизонтальные углы можно уравнять вместе с ГНСС-сетью. В нескольких случаях уравнение горизонтальных углов относится только к координатам х, у. Вертикальные измерения также могут уравниваться вместе с ГНСС-сетью. В этом случае уравнение поправок вертикальных углов будет связано с х, у и 2.

Экспериментальное вычисление

Исходя из теории, нами проведено преобразование координат и уравнивание ГНСС-сетей Цементного завода Бутшон (Вьетнам). Сеть измерялась в 2016 г. четырьмя одночастотными приемниками GPS Trimble R-3. Сеть включает в себя 9 точек и 19 базовых линий. Сетевая схема показана на рис. 2.

Рис. 2. Схема ГНСС-сети цементного завода Бутшон (Вьетнам)

Вычисление выполняется в несколько этапов.

1. Приведение значений (АХ, АУ, АZ) к локальной топоцентрической системе.

Из файла результата решения получаем АУ, АХ), их ковариационную матрицу М и геодезические координаты (В0, Ь0) точки, принятой за начало системы координат.

В нашем случае точка Б862 представляет собой начало (исходный пункт).

Ее геодезические координаты:

В0 = 20о 31' 50"36214; Ь0 = 105о 52' 0"75151; Н0 = 9,738 м.

Преобразование из геодезической системы координат в прямоугольную геоцентрическую систему координат:

X,) = -1 633 719,823 м; У0 = 5 747 828,023 м; Х0 = 2 222 811,129 м.

Для получения координат точки в локальной топоцентрической системе, необходимо преобразовать координаты В0, Ь0 точки ББ62 в прямоугольную систему координат по проекции иТМ, эллипсоид WGS-84, осевой меридиан Ь0 = 105о 45', зона 3о:

х' = 2 270 888,925 м; у' = 512 184,998 м.

Координаты (х, у) и высота Н точки BS62 будут считаться начальными значениями (х, у, 2) для уравниваний в локальной топоцентрической системе. Таким образом, начальными координатами BS62 будут:

(х, у, 2)т = (х', у', Н0)т = (2 270 888,925; 512 184,998; 9,738)т.

Матрица вращения вычисляется по формуле (2), преобразование координат точек и ковариационная матрица вычисляются по формулам (3) и (4).

Матрица вращения Я с координатами пункта референции сети (В0, Ь0):

яГ =

- Бт В0 соб Ь0 — Бт В0 бш Ь0 соб В0

0

Бт В0

—Бт Ь0 соб В0 соб Ь0

соб Ь0 соб В0в1и Ь0

—0,095 881 —0,337 304 0,936 500 —0,961893 —0,273 426 0 —0,256 063 0,900 813 0,350 667

Результаты преобразования из геоцентрической системы координат в локальную топоцентрическую систему представлены в табл. 1.

Используя координаты исходной точки BS62 и параметров координат в локальной топоцентрической системе, можно вычислить приближенные координаты остальных точек сети.

Приближенные координаты показаны в табл. 2.

Таблица 1

Измерения в геоцентрической системе координат и преобразование в топоцентрическую систему

№ п/п Линия Измерения в геоцентрической системе Измерения в топоцентрической системе

АХ АУ А^ Ах Ау А2

1 Б851-Б857 151,667 -20,951 166,356 177,400 -140,160 0,637

2 ББ5 -ББ57 128,785 39,477 -1,981 -2,824 -134,670 1,892

3 Б856-ББ51 -22,880 60,436 -168,330 -180,220 5,485 1,264

4 Б856-ББ61 8,687 -41,833 112,434 120,238 3,081 -0,476

5 Б861-ББ57 120,093 81,318 -114,420 -123,070 -137,750 2,376

6 Б857-ББ62 12,223 -32,717 92,969 99,273 -2,812 0,004

7 Б861-ББ62 132,315 48,603 -21,449 -23,796 -140,560 2,382

8 Б864-ББ57 106,787 112,522 -205,260 -219,940 -133,480 2,033

9 Б864-ББ51 -44,869 133,440 -371,630 -397,340 6,677 1,358

10 Б864-ББ61 -13,306 31,204 -90,840 -96,873 4,268 -0,343

11 Б864-ББ66 16,805 -40,977 117,188 125,180 -4,961 -0,116

12 Б864-ББ62 119,009 79,808 -112,290 -120,670 -136,290 2,040

13 Б864-ББ67 149,473 0,461 113,560 120,524 -143,900 1,971

14 Б865-ББ61 -146,640 -11,057 -85,750 -90,634 144,075 -2,488

15 Б865-ББ56 -155,330 30,770 -198,190 -210,870 140,996 -2,019

16 Б866-ББ67 132,671 41,444 -3,624 -4,654 -138,950 2,093

17 Б867-ББ61 -162,780 30,743 -204,400 -217,400 148,171 -2,315

18 Б867-ББ56 -171,470 72,578 -316,840 -337,640 145,089 -1,838

19 Б867-ББ65 -16,137 41,799 -118,660 -126,770 4,094 0,171

Таблица 2

Приближенные координаты точек

№ п/п Имя х0 (м) у0 (м) 0 2 (м) № Имя х0 (м) у0 (м) 0 2 (м)

1 ББ51 2 270 612,252 512 327,970 9,097 5 ББ64 2 271 009,594 512 321,292 7,698

2 ББ56 2 270 792,483 512 322,479 7,832 6 ББ65 2 271 003,355 512 181,485 9,844

3 ББ57 2 270 789,652 512 187,810 9,734 7 ББ66 2 271 134,774 512 316,331 7,582

4 ББ61 2 270 912,721 512 325,560 7,356 8 ББ67 2 271 130,12 512 177,384 9,675

2. Уравнивание ГНСС-сетей в локальной топоцентрической системе.

После вычисления приближенных координат точек по координатам исходной точки составляем уравнения поправок по формуле (7), систему нормальных уравнений по формуле (8) и решаем полученную систему уравнений.

После первого уравнивания получили результат со значением средней квадратичной ошибки ц = 2,56. Продолжим второе уравнивание, а после разделим все элементы матриц весов на ц = 6,553 6. Полученный результат имеет ц = 1,00. Последние результаты уравнивания показаны в табл. 3.

Таблица 3

Координаты точек после уравниваний и ошибки измерения точек

№ п/п Имя Координаты тх (м) ту (м) тх (м) тР (м)

х' У' 2'

1 Б851 2 270 612 512 328 9,09 0,002 0,002 0,005 0,006

2 Б856 2 270 792 512 322,5 7,833 0,001 0,001 0,004 0,004

3 Б857 2 270 790 512 187,8 9,731 0,001 0,001 0,003 0,004

4 Б861 2 270 913 512 325,6 7,356 0,001 0,001 0,003 0,003

5 Б864 2 271 010 512 321,3 7,7 0,001 0,001 0,003 0,003

6 Б865 2 271 003 512 181,5 9,846 0,001 0,002 0,004 0,005

7 Б866 2271 135 512 316,3 7,583 0,001 0,001 0,004 0,005

8 Б867 2271 130 512 177,4 9,673 0,001 0,001 0,003 0,004

9 Б862 2 270 889 512 185 9,738 0 0 0 0

Относительное среднее отклонение наименьшей слабой стороны: Б861-Б864: 1/ 69202.

Азимутальное среднее отклонение наименьшей слабой стороны: Б865-Б867: 3"3.

Точка с наибольшим отклонением - Б851, со значением среднего отклонения тР = ±0,006 м.

Заключение

На основании приведенных результатов можно сказать, что топоцентриче-ская система координат имеет преимущество по сравнению с плоской проекцией цилиндрических координат (Гаусс - Крюгер). Сами их определения показывают на более короткую связь геоцентрических координат с плоскими прямоугольными в случае рассмотрения топоцентрических координат. При конкретных расчетах при создании геодезической основы для строительства зданий

и сооружений применение топоцентрических координат напрямую ее связывает с прямоугольной геоцентрической системой координат. Это весьма удобно при проведении инженерных работ с использованием ГНСС-технологии.

Расстояния между точками при уравнивании ГНСС-сетей в локальной то-поцентрической прямоугольной горизонтальной системе, можно сказать, не искажаются относительно поверхности эллипсоида. Контрольные точки следует принимать такие, которые располагаются ближе к центру топоцентрической поверхности, где искажения весьма чувствительно отражаются на ее периферийные области.

Уравнивание ГНСС-сетей в локальной топоцентрической системе подобно тому, как это производится в плоской прямоугольной системе координат.

В локальной топоцентрической системе определение нормальных высот выполняется относительно геодезических, которые непосредственно определяются по геоцентрическим координатам.

Алгоритм уравнивания ГНСС-сетей легко программируется и может быть эффективно реализован для разбивочных сетей с небольшими длинами сторон, которые используются при строительстве различных объектов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Абжапарова Д. А. Решение инженерно-геодезических задач в горной местности с использованием специальных геодезических проекций // Вестник СГУГиТ. - 2017. - Т. 22, № 1. - С. 90-100.

2. Кравчук И. M. Особенности вычисления нормальных высот по результатам спутниковых измерений // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. - 2010. - № 4. - С. 35-40.

3. Юнес Ж. А., Мустафин М. Г., Морозова В. Д. Создание опорной маркшейдерской сети c использованием технологии спутникового позиционирования // Маркшейдерский вестник. - 2017. - № 2 (117). - С. 25-28.

4. Анализ технологий для обеспечения батиметрических исследований Северного Ледовитого океана в интересах определения внешней границы континентального шельфа и опыт их применения / Ю. Г. Фирсов, В. Н. Баландин, И. В. Меньшиков, М. Г. Мустафин // Геодезия и картография. - 2010. - № 5. - С. 49-55.

5. Антонович К. М. Использование спутниковых радионавигационных систем в геодезии. Т. 2. - М. : ФГУП «Картгеоцентр», 2006. - 311 с.

6. Баландин В. Н., Меньшиков И. В., Фирсов Ю. Г. Преобразование координат из одной системы в другую. - СПб. : Типография ООО «Сборка», 2016. - 90 с.

7. Огородова Л. В. Высшая геодезия и основы координатно-временных систем: учеб.-метод. пособие. - M.: МИИГАиК, 2017. - 40 с.

8. Огородова Л. В. Совместное вычисление геодезической широты и высоты точек поверхности Земли // Геодезия и картография. - 2011. - № 9. - С. 11-15.

9. Dang Nam Chinh, Do Ngoc Duong. Trac dia cao cap: bai giang Truong DH Mo dia chat Ha Noi). - Ha Noi: NXB- GTVT, 2000.

10. Hoang Ngoc Ha. Tinh toan trac dia va co so du lieu: bai giang cao hoc Truong DH Mo dia chat Ha Noi, - Ha noi: NXB -GTVT, 2000. - 222 p.

11. Tran Viet Tuan. Nghien cuu ung dung GPS trong tra dia cong trinh o Viet Nam: Luan an tien si ky thuat: 2.16.01. - Ha Noi, 2007. - 203 p.

12. Levent Taççi. Dam deformation measurements with GPS. (Fyrat University, 23119 lazig, Turkey) // Geodesy and Cartography. - 2008. - Vol. 34 (4). - P. 116-121.

13. Slawomir Cellmer, Zofia Rzepecka. Common adjustment of GPS baselines with classical measurments // The 7th International Conference May 22-23. - Vilnius, 2008. - P. 1284-1287.

14. ГОСТ Р 51794-2001. Государственный стандарт Российской Федерации. Системы координат. Методы преобразования координат. Определения точек. - М. : Госстандарт, 2001.

15. Телеганов Н. А., Тетерин Г. Н. Метод и системы координат в геодезии: учеб. пособие. - Новосибирск : СГГА, 2008. - 139 с.

16. Машимов М. М. Высшая геодезия: методы изучения фигуры Земли и создания общеземной системы геодезических координат: учебник. - М. : ВИА, 1991. - 552 с.

17. Тетерин Г. Н. Принципы, критерии, законы развития геодезии. - Новосибирск : Сибпринт, 2002. - 104 с.

18. Тетерин Г. Н. История геодезии с древнейших времен. - Новосибирск : Сибпринт, 2001. - 432 с.

19. Телеганов Н. А., Елагин А. В. Высшая геодезия и основы координатно-временных систем. - Новосибирск : СГГА, 2004. - 238 с.

20. К вопросу вычисления геодезической широты по пространственным прямоугольным координатам / Б. Н. Баландин, М. Я. Брынь, И. В. Меньшиков, Ю. Г. Фирсов // Геодезия и картография. - 2012. - № 2. - С. 9-11.

21. Медведев П. А. Анализ преобразований пространственных координат точек земной поверхности // Геодезия и картография. - 2014. - № 4. - С. 2-8.

Получено 22.05.2018

© М. Г. Мустафин, Чан Тхань Шон, 2018

USE OF A TOPOCENTRIC RECTANGULAR COORDINATE SYSTEM IN SOLVING ENGINEERING AND GEODESIC PROBLEMS

Murat G. Mustafin

St. Petersburg Mining University, 2, 21st line, Vasilyevsky Island, St. Petersburg, 199106, Russia, D. Sc., Professor, Head of the Department of Engineering Geodesy, phone: (964)385-20-05, e-mail: mustafin@spmi.ru

Tran Thanh Son

St. Petersburg Mining University, 2, 21st line, Vasilyevsky Island, St. Petersburg, 199106, Russia, Ph. D. Student, Department of Engineering Geodesy, phone: (931)204-16-85, e-mail: sonphuong85@mail.ru

The paper considers the technique of creating a geodetic base in the construction of various objects using satellite and traditional tacheometrical survey for calculating plane coordinates of geodesic network. This approach meets modern trends of geodetic base creation in construction. The implementation of satellite positioning technology offers new opportunities for production stakeout. Using local horizontal projections of the most appropriate portion of the earth's surface appears to be very promising. Furthermore, the presence of the translation algorithm coordinates from one system to another (conventional) ensures the accuracy of design work and greatly simplifies them. The paper shows an example of the geocentric coordinate translation to topocentric system (plane projection of geocentric coordinates with topocentric coordinate) in which tacheometry results are equalized. The paper gives qualitative analysis of the advantages of this technique in comparison with the Gauss-Kruger zonal coordinate system. It demonstrates the possibility of transferring the coordinates from one system to another for the preservation of traditional forms of presentation and measurement control. Attention is paid to a separate calculation of normal height.

Вестник CTyTuT, Tom 23, № 3, 2018

Key words: geodetic coordinate systems, geodetic networks, global navigation satellite systems, topocentric coordinate system, tacheometric survey, equalization of measurement results, covariance matrix.

REFERENCES

1. Abzhaparova, D. A. (2017). The decision of engineering-geodetic activities in the mountain area with the use of special geodesic projections. Vestnik SGUGiT [Vestnik SGUGT], 22(1), 90-100 [in Russian].

2. Kravchuk, I. M. (2010). Features of calculating the normal altitudes based on the results of satellite measurements. Izvestiya vuzov. Geodeziya i aehrofotos"emka [Izvestiya Vuzov. Geodesy andAerophotography], 4, 35-40 [in Russian].

3. Younes, Z. A., Mustafin, M. G., & Morozova, V. D. (2017). Creation of a support surveying network using satellite positioning technology. Markshejderskij vestnik [Mine Surveying News], 2 (117), 25-28 [in Russian].

4. Firsov, Y. G., Balandin, V. N., Menshikov, I. V., & Mustafin, M. G. (2010). Analysis of technologies for providing bathymetric studies of the Arctic Ocean in order to determine the outer limit of the continental shelf and the experience of their application. Geodeziya i kartografiya [Geodesy and Cartography], 5, 49-55 [in Russian].

5. Antonovich, K. M. (2006). Ispol'zovanie sputnikovyh radionavigacionnyh sistem v geode-zii. T. 2 [Use of satellite radio navigation systems in geodesy: Vol. 2]. Moscow: Federal State Unitary Enterprise "Kartgeocenter", 311 p. [in Russian].

6. Balandin, V. N., Mensikov, I.V., & Firsov, Y. G. (2016). Preobrazovanie koordinat iz od-noj sistemy v druguyu [Transformation of coordinates from one system to another]. Saint-Petersburg: OOO "Sborka" Publ., 90 p. [in Russian].

7. Ogorodova, L. V. (2017). Vysshaya geodeziya i osnovy koordinatno-vremennyh sistem [Higher geodesy and the fundamentals of coordinate-time systems]. Moscow: MIIGAiK, 40 p. [in Russian].

8. Ogorodova, L. V. (2011). Joint calculation of geodetic latitude and height of points on the Earth's surface. Geodeziya i kartografiya [Geodesy and Cartography], 9, 11-15 [in Russian].

9. Dang Nam Chinh, & Do Ngoc Duong. (2000). Higher geodesy. Hanoi: Hanoi University of Mining and Geology Publ. [in Viet Nam].

10. Hoang Ngoc Ha. (2000). Geodetic survey and database. Master's thesis of Hanoi University of Mining and Geology. Hanoi: HUMG Publ., 222 p. [in Viet Nam].

11. Tran Viet Tuan. (2007). Applied GPS research in surveying works in Vietnam. Ph. D. thesis:. Hanoi, 203 p. [in Viet Nam].

12. Levent Ta§9i. (2008). Dam deformation measurements with GPS. Geodesy and Cartography, 34 (4), 116-121 [in Turkey].

13. Slawomir Cellmer, & Zofia Rzepecka. (2008). Common adjustment of GPS baselines with classical measurments. The 7th International Conference, May 22-23 (pp. 1284-1287). Vilnius [in Lavita].

14. GOST R 51794-2001. (2001).The state standard of the Russian Federation. Coordinate systems. Coordinate transformation methods. Definitions of points. Moscow: Gosstandart [in Russian].

15. Teleganov, N. A., & Teterin, G. N. (2008). Metod i sistemy koordinat v geodezii [Method and coordinate system in geodesy]. Novosibirsk: SSGA Publ., 139 p. [in Russian].

16. Mashimov, M. M. (1991). Vysshaya geodeziya: Metody izucheniya figury Zemli i soz-daniya obshchezemnoj sistemy geodezicheskih koordinat [Higher Geodesy: Methods of studying the figure of the Earth and the creation of a general earthly system of geodetic coordinates]. Moscow: VIA Publ., 552 p. [in Russian].

17. Teterin, G. N. (2002). Principy, kriterii, zakony razvitiya geodezii [Principles, criteria, laws of development of geodesy]. Novosibirsk: Sibprint Publ. 104 p. [in Russian].

18. Teterin, G. N. (2001). Istoriya geodezii s drevnejshih vremen [History of geodesy since ancient times]. Novosibirsk: Sibprint Publ., 432 p. [in Russian].

19. Teleganov, N. A., Elagin, A. V. (2004). Vysshaya geodeziya i osnovy koordinatno-vremennyh sistem [Higher geodesy and the fundamentals of coordinate-time systems]. Novosibirsk: SSGA Publ., 238 p. [in Russian].

20. Balandin, B. N., Bryn, M. Y., Menshikov, I. V. &. Firsov, Y. G. (2012). To the question of calculating the geodesic latitude from the spatial rectangular coordinates. Geodeziya i kartografiya [Geodesy and Cartography], 2, 9-11 [in Russian].

21. Medvedev, P. A. (2014). Analysis of transformations of the spatial coordinates of points on the earth's surface. Geodeziya i kartografiya [Geodesy and Cartography], 4, 2-8 [in Russian].

Received 22.05.2018

© M. G. Mustafin, Tran Thanh Son, 2018