CC BY
77
УДК 528.235 (597)
DOI: 10.33764/2411-1759-2019-24-1-59-71
АЛГОРИТМ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ИЗ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ТОПОЦЕНТРИЧЕСКУЮ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ СТРОИТЕЛЬСТВЕ ВО ВЬЕТНАМЕ
Чан Тхань Шон
Санкт-Петербургский горный университет, 199106, Россия, г. Санкт-Петербург, Васильевский остров, 21 линия, 2, аспирант, кафедра инженерной геодезии, тел. (931)204-16-85, e-mail: sonphuong85@mail.ru
Кузин Антон Александрович
Санкт-Петербургский горный университет, 199106, Россия, г. Санкт-Петербург, Васильевский остров, 21 линия, 2, кандидат технических наук, доцент кафедры инженерной геодезии, тел. (911)958-62-83, e-mail: kuzin_aa@pers.spmi.ru
Геодезические и картографические работы во Вьетнаме выполняют в государственной референцной системе координат VN-2000. Применение же спутниковых методов подразумевает координатные определения в пространственной прямоугольной геоцентрической системе координат. Следствием этого является сложный многоэтапный процесс преобразования координат из одной системы в другую, который сопровождается снижением точности результатов спутниковых наблюдений на различных территориях Вьетнама. В данной статье предлагается выполнять преобразование из геоцентрической в локальную топоцентрическую прямоугольную горизонтальную систему координат. Ее преимуществом является более простой алгоритм, позволяющий определять положение точек на земной поверхности спутниковым методом без снижения точности. Алгоритм преобразования апробирован при создании опорной сети для строительства в округе Кишон провинции Хоа Бинь, Вьетнам. Также рассмотрены вопросы выбора проекции для объекта строительства и выполнен сравнительный анализ результатов спутниковых наблюдений с наземными, выполненными с применением тахеометров.
Ключевые слова: проекция, геоцентрическая система координат,топоцентрическая система координат, система координат VN-2000, спутниковые определения, параметры преобразования, тахеометр, поправки.
Введение
Как известно, при решении различных задач геодезии, таких как создание опорных геодезических сетей, топографическая съемка, выносы проекта в натуру и т. п., чаще всего используют плоские прямоугольные координаты X, Y, определенные в местной или государственной системе координат, а также нормальную высоту H. Для определения высот выполняют геометрическое и тригонометрическое нивелирование, плановые же координаты можно определить различными методами: традиционными геодезическими (триангуляция, трила-терация, полигонометрия, геодезические засечки), картометрическими, фотограмметрическими и спутниковыми методами. Последние в настоящее время приобретают все большую популярность во Вьетнаме. Использование глобаль-
ных навигационных спутниковых систем подразумевает определение положения точек на поверхности Земли в пространственной прямоугольной геоцентрической системе координат X, 7, 2. Однако геодезические и картографические работы во Вьетнаме принято выполнять в государственной референцной системе координат ¥N-2000, основанной на поперечно-цилиндрической проекции Меркатора иТМ на эллипсоиде WGS-84 с началом в пункте N00 на территории Института кадастра в Ханое. Следствием этого является сложный многоэтапный процесс преобразования координат из одной системы в другую, который сопровождается снижением точности результатов спутниковых наблюдений на различных территориях Вьетнама. Использование же преобразования геоцентрической системы координат в локальную топоцентрическую прямоугольную горизонтальную систему координат при применении ГНСС-технологий имеет гораздо более простые алгоритмы, позволяющие точно определять положения точки на земной поверхности без снижения точности.
Методы и материалы
Используемый в настоящее время на территории Вьетнама порядок преобразования из системы координат WGS-84 в местную систему координат схематически показан на рис. 1.
(X, 7, 2)
¥N-2000
Поправочный коэффициент за разность высот поверхности относимости и высоты объекта
¥N-2000
Рис. 1. Традиционное преобразование координат из геоцентрической системы в местную систему координат в проекции иТМ (или Гаусса - Крюгера)
На рис. 1:
- (X, 7, 2)^с8-84 - пространственные прямоугольные координаты пунктов в геоцентрической системе координат WGS-84, полученные по данным спутниковых измерений;
- (X, У, Т)уу.2ооо - пространственные прямоугольные координаты пунктов в геоцентрической системе координат ¥N-2000, полученные по данным спутниковых измерений с использованием семи параметров преобразования;
- (В, Ь, Н)т-2000 - геодезические координаты пунктов в системе координат ¥N-2000;
- (х, у) (И\, Ь\)уы-2000 - плоские прямоугольные координаты пунктов в государственной системе координатУ^2000 (проекция иТМ), Ь\ - осевой меридиан, И\ - высота поверхности относимости (обычно И\ = 0);
- (х, у) (И2, Ь2) - преобразованные плоские прямоугольные координаты
в местной системе координат (локальная плоская система координат строительной площадки); Ь2 - осевой меридиан, проходящий через объект строительства; И2 - высота референцной поверхности (объекта строительства) (обычно И2 - средняя высота строительной площадки).
Алгоритмы преобразования пространственных координат пункта в плоские прямоугольные, а затем в местную систему показаны в работах [\-4]. Особое внимание при этом уделяется подбору поправочного коэффициента за разность высот поверхности относимости и высоты объекта [5, 6]. Принцип преобразования схематически представлен на рис. 2.
Рис. 2. Преобразование координат с учетом разности высот референцных поверхностей
Предположим, что (х\, у\) - множество плоских координат, определенных на референцной поверхности с высотой И\. Нужно вычислить координаты на референцной поверхности с высотой И2.
Порядок преобразования следующий:
- вычисление координат центральной точки хо, у0 на поверхности И1
1 п 1 п
хо = -Ех ; Уо = -ЕУ/; (1)
п 1 п 1
- вычисление расстояния и азимута от центральной точки до всех точек сети, обозначаемых 5го и а го
о =л/(X - хо)2 + (Уг - Уо)2 ; а-о = аго1в^^ (2)
х/ хо
- вычисление коэффициента искажения длины линий за разность высот поверхностей по формуле
* = (3)
Я + И1
где Я - средний радиус Земли (Я = 6 37о км).
- вычисление координат на поверхности И2 по формуле
х/2 = хо + о С°8 а/о I (4)
У/2 = Уо + о^1П а о
Как видно, процесс преобразования в плоскую систему координат всегда включает в себя значение геодезической высоты И. Коэффициент к сложно подбирается, поскольку в строительстве принято использовать нормальные высоты, а в формулах используются геодезические высоты, что в дополнительной мере снижает точность и без того многоступенчатого преобразования. Исходя из этого, необходимо разработать способ преобразования, в котором не участвовали бы геодезические высоты. Тогда точность преобразования координат соответствовала бы требованиям создания опорной инженерно-геодезической сети для строительства с использованием спутниковых технологий позиционирования. Решено такой алгоритм создать на основе перехода к топоцентриче-ской системе координат.
В локальной топоцентрической горизонтальной системе координат направление оси 2 является нормалью к поверхности эллипсоида. Подбор параметров преобразования можно осуществить, совместив нормаль с отвесной линией. Кроме того, высоту исходного пункта Ро в топоцентрической системе можно выбрать любую. Если отметка пункта Ро является средней высотой объекта строительства, то плоскость системы координат хРоУ - локальная топоцентрическая система координат в точке Ро. Координаты х, у
в этой системе координат находятся в плоскости координат строительства. В этом случае порядок преобразования определяется по схеме, представленной на рис. 3.
Рис. 3. Схема преобразования координат WGS-84 в местную через топоцентрическую систему координат
Преобразование выполняется в несколько этапов.
Этап 1. Для пунктов опорной инженерно-геодезической сети для строительства определяют пространственные прямоугольные координаты (X, У, 7) с использованием ГНСС-технологий, которые преобразуют в геодезические координаты (В, Ь, Н). Алгоритмы представлены в работах [1, 2, 4].
Этап 2. Выполняется преобразование координат пунктов ГНСС-измерений из геоцентрической системы координат в локальную топоцентрическую систему координат по формуле [7, 8]
л У
где (х, у, ¿) - координаты точки преобразования в топоцентрической системе координат;
(X, У, 7) - пространственные прямоугольные координаты пунктов в геоцентрической системе координат точки преобразования;
(Во, Ьо, Но) - геодезические координаты центральной точки сетки (или начало топоцентрической системы координат);
Ао - радиус кривизны первого вертикала, проходящего через начало топо-центрической системы координат;
а, Ь - большая полуось и малая полуось эллипсоида WGS-84.
Этап 3. По координатам исходных пунктов сети, для которых известны координаты в местной системе координат (х', у'), вычисляют параметры преоб-
- Бт В0соб ь0
- Бт Ь0
соб В0соб ь0
-Бт В^т Ь0 СОБ Ь0
СОБ В^т Ь0
соб В0 0
Бт В0
X - (И0 + Н0)СОБ В0 СОБ Ь0 У - (Ы0 + Н0)СОБ В0 БтЬ0
(5)
7
N„(1 - е ) + Н0
Бт Вп
разования в топоцентрическую систему с использованием формул Гельмерта. Координаты пунктов сети, на которых были выполнены ГНСС-измерения, и преобразованные в топоцентрическую систему координат, совмещаются с локальной системой координат, используемой для проектирования и выполнения геодезических работ при строительстве [5, 9, 10].
Далее, используя вычисленные параметры преобразования, производится пересчет координат остальных пунктов в местную систему координат строительства.
Экспериментальное вычисление
Данный алгоритм был реализован в виде опорной сети из девяти пунктов IV класса для строительства в округе Кишон провинции Хоа Бинь (Вьетнам). Размер площадки для строительства ~2 х 4 км (рис. 4). Пункты 117401, 117486, 117497 - исходные, III класса точности.
KS-05
Рис. 4. Схема геодезической сети 64
Координаты пунктов были получены в проекции Гаусса - Крюгера в 18-й зоне с осевым меридианом 105°, затем преобразованы в систему координат VN-2000 с центральным меридианом 105°45'. Объект строительства имеет долготу 106°22'03''. При удалении более 60 км от осевого меридиана плоские прямоугольные координаты будут иметь значительные искажения, не приемлемые в геодезических сетях для строительства. Для проверки искажения длин линий с помощью тахеометра Leica TC-1700 (точность измерения уголов mß = 2", точности измерения линии mS = 3 + 1 ppm) выполнено измерение отдельных линий в сети (см. рис. 4). Результаты сопоставления результатов измерений длин линий тахеометром Leica TC-1700 с длинами, вычисленными из спутниковых наблюдений, представлены в табл. 1.
Таблица 1
Сравнение длин линий в спутниковой сети IV класса с измерениями тахеометром
Линия Длины в СК VN-2000, L0 = 105°45' (спутниковые наблюдения) (м) Длины, измеренные тахеометром (м) Разности (мм)
DD-01 DD-02 1 240,343 1 240,281 -62
DD-01 KS-02 1 036,028 1 035,978 -50
DD-02 DD-03 1 025,747 1 025,701 -46
DD-03 DD-04 474,875 474,853 -22
DD-05 KS-04 882,286 882,243 -43
KS-01 KS-03 729,272 729,242 -30
KS-02 KS-03 620,909 620,880 -29
KS-02 KS-04 835,105 835,066 -39
KS-03 KS-04 751,104 751,073 -31
Из таблицы видно, что расхождения в результатах измерений тахеометром и вычисленных из спутниковых наблюдений длин велико (от 22 до 62 мм). Относительная ошибка колеблется от 1/3о ооо до 1/2о ооо, что не удовлетворяет требованиям при строительстве (1/2оо ооо). Поэтому преобразование координат выполнялось в проекции Гаусса - Крюгера с осевым меридианом Ю602о', Ио = о м.
Результаты преобразования следующие (табл. 2).
Таблица 2
Результаты преобразования к центральному меридиану Ь = 106е
'20'
№
Имя
Геодезические координаты
(В, Ь) ( 0 ' ")
Высота (м)
Плоские прямоугольные координаты (¥N-2000, Е = 105045')
Плоские прямоугольные координаты (проекция Гаусса Ь0 = 106о20')
117401
20 51 13.302 106 226.091
1.439
2307043.331 564355.459
2306920.100 503645.191
117486
20 52 18.472 106 218.107
1.401
2309041.354 562671.627
2308924.116 501968.698
117497
20 53 19.865 106 22 23.590
7.840
2310937.876 564846.300
2310812.639 504150.130
ББ-01
20 52 26.667
106 225.595
3.096
2309299.708 564332.457
2309176.431
503630.372
ББ-02
20 52 52.936 106 22 38.152
4.753
2310111.293 565270.422
2309984.566 504571.227
ББ-03
20 52 37.682 106 239.708
4.702
2309645.706 566184.417
2309515.690 505483.478
ББ-04
20 52 25.056 106 23 19.164
4.909
2309258.470 566459.290
2309127.480 505756.929
ББ-05
20 53 25.883 106 221.492
4.827
2311120.518 564206.871
2310997.592 503511.401
КЗ-01
20 52 30.232 10621 19.113
1.776
2309404.234 562988.414
2309285.827 502286.784
10
КЗ-02
20 52 41.271 106 21 33.297
1.557
2309745.294 563397.146
2309625.385 502696.730
11
КЯ-03
20 52 53.812 106 21 16.465
2.060
2310129.183 562909.133
2310011.023 502210.138
12
КЗ-04
20 538.132 106 21 37.514
2.875
2310571.915 563515.884
2310451.529 502818.462
После этого выполнен переход в топоцентрическую систему. За начало то-поцентрической системы координат принята центральная точка сети на рис. 4. Ее координаты: В = 20°52'39,44287"; Ь = 106°22'3,19113"; Н = 35,1068 м. Результаты представлены в табл. 3, 4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Таблица 3
Координаты точек в геоцентрической и геодезической системах координат
Имя Геоцентрическая система координат Геодезическая система координат
Y Z B L H
117401 -1680437.83 5721301.26 2256317.25 20 51 13.302 106 22 6.091 33.167
117486 -1678628.45 5721088.40 2258190.11 20 52 18.472 106 21 8.107 33.051
117497 -1680533.98 5719833.82 2259956.54 20 53 19.865 106 22 23.590 39.497
DD-01 -1680198.05 5720535.71 2258426.22 20 52 26.667 106 225.595 34.777
DD-02 -1681020.22 5719995.69 2259181.67 20 52 52.936 106 22 38.152 36.436
DD-03 -1681942.46 5719898.84 2258743.32 20 52 37.682 106 23 9.708 36.415
DD-04 -1682243.78 5719954.67 2258380.59 20 52 25.056 106 23 19.164 36.634
DD-05 -1679901.78 5719947.79 2260128.39 20 53 25.883 106 22 1.492 36.466
KS-01 -1678897.52 5720875.51 2258528.17 20 52 30.232 106 21 19.113 33.425
KS-02 -1679256.80 5720643.76 2258845.31 20 52 41.271 106 21 33.297 33.209
KS-03 -1678751.37 5720649.31 2259205.86 20 52 53.812 106 21 16.465 33.693
KS-04 -1679291.13 5720328.06 2259617.64 20 53 8.132 106 21 37.514 34.511
Таблица 4
Координаты, преобразованные в топоцентрическую систему
№ Имя Топоцент рическая система координат
X y z
1 117401 -2649.25 83.8336 -2.4935
2 117486 -644.87 -1592.24 -2.2873
3 117497 1243.2 589.6037 4.2411
4 DD-01 -392.908 69.4946 -0.3419
5 DD-02 415.0315 1010.527 1.236
6 DD-03 -54.0412 1922.683 1.0178
7 DD-04 -442.311 2196.053 1.1339
8 DD-05 1428.289 -49.0899 1.1985
9 KS-01 -283.225 -1274.08 -1.8153
10 KS-02 56.2479 -864.056 -1.9569
11 KS-03 441.9919 -1350.57 -1.5717
12 KS-04 882.3699 -742.149 -0.7004
По координатам в топоцентрической системе были вычислены расстояния между точками сети после преобразования. Расстояние между двумя точками в топоцентрической системе определяется по формуле
^2 =4(Х1 - х2 )2 + (У1 - У2)2 + (- *2 )2 , (6)
где (х1, у1, 2\) и (х2, у2, г2) - координаты двух точек в топоцентрической системе.
Из координат точек после преобразования было выполнено сравнение между некоторыми длинами линий в топоцентрической системе и длинами линий в проекции Гаусса - Крюгера, а также расстояниями, измеренными тахеометром (табл. 5).
Таблица 5
Сравнение длин линий
Линия Длина линии в проекции Гаусса Ь0 = 106о20' Длина линии в топоцентрической системе координат Длина линии 5, измеренная тахеометром Разности й (мм) Знаменатель относительной ошибки Т = й
Гаусса -тахеометр Топоцент-рическая -тахеометр В проекции Гаусса Ь0 = 106о20' В топоцен-трической системе
ББ-01 ББ-02 1240.278 1240.286 1240.281 -3 5 584600 350800
ББ-01 KS-02 1035.976 1035.983 1035.978 -2 5 732500 293000
ББ-02 ББ-03 1025.693 1025.699 1025.701 -8 -2 181300 725200
ББ-03 ББ-04 474.850 474.852 474.853 -3 -1 223800 671500
ББ-05 KS-04 882.241 882.248 882.243 -2 5 623800 249500
^-01 KS-03 729.235 729.239 729.242 -7 -3 147300 343700
К^-02 KS-03 620.877 620.882 620.880 -3 2 292600 439000
KS-02 ^-04 835.064 835.069 835.066 -2 3 590400 393600
KS-03 KS-04 751.068 751.072 751.073 -5 -1 212400 1062000
Заключение
Результаты, приведенные в таблице, показывают, что длины линий после преобразования в топоцентрическую систему, длины линий в проекции
Гаусса - Крюгера и длины, измеренные тахеометром, примерно равны ( 200^000 ^
При использовании локальной топоцентрической системы координат достигаются минимальные искажения длин линий в опорной инженерно-геодезической сети при производстве измерений спутниковыми методами.
Таким образом, при использовании преобразования координат из геоцентрической в топоцетрическую систему важны следующие требования.
1. Обеспечение точного преобразования ГНСС-измерений в местную систему для создания опорной геодезической сети при строительстве за счет точного определения параметров трансформации.
2. Введение поправок за приведение линии к уровню моря и к эллипсоиду уменьшает искажение измеренной длины на поверхности Земли после обработки данных, что соответствует требуемой точности при производстве инженерно-геодезических работ.
Схемы преобразований, представленные на рис. 1, 3, могут быть использованы для преобразования координат из геоцентрической системы координат в плоскую местную систему координат для строительства. Однако преобразование координат пунктов спутниковых наблюдений в топоцентриче-скую систему координат имеет простую процедуру пересчета за счет уменьшения количества промежуточных этапов, что приводит к повышению точности вычисления координат по сравнению с традиционным для Вьетнама переходом через систему координат VN-2000.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Спутниковые и традиционные геодезические измерения / В. Н. Баландин, М. Я. Брынь, В. Ф. Хабаров, А. В. Юськевич. - СПб. : ФГУП «Аэрогеодезия», 2003. - 112 с.
2. Баландин В. Н., Меньшиков И. В., Фирсов Ю. Г. Преобразование координат из одной системы в другую. - СПб. : Типография ООО «Сборка», 2016. - 90 с.
3. Практикум по прикладной геодезии. Геодезическое обеспечение строительства и эксплуатации инженерных сооружений / Е. Б. Клюшин, Д. Ш. Михелев, А. К. Зайцев, Д. П. Барков, М. Е. Пискунов, О. И. Горбенко, Р. Ф. Скокова. - М. : Недра, 1993.
4. Bowring B. R. Transformation from spatial to geographic coordinates. Survew Review, No XXIII. 181. - 1976. - P. 323-327.
5. Ngo Van Hoi. The Vietnam State System of Coordinate and attentions required to be paid when applying it to design and construction // Journal of Construction Science and Technology. -2005. - Vol. 3. - P. 33- 36.
6. Nguyen Quang Phuc. Researching on using suitably the horizontal coordinate in engineering surveying) // Journal Geodesy and cartography. - 2008. - Vol. 3. - P. 2- 6.
7. Мустафин М. Г., Чан Тхань Шон. Использование топоцентрической прямоугольной системы координат при решении инженерно-геодезических задач // Вестник СГУГиТ. -2018. - Т. 23, № 3. - С. 61-73 .
8. Огородова Л. В. Высшая геодезия. Часть III. Теоретическая геодезия : учебник для вузов. - М. : Геодезкартиздат, 2006. - 384 с.
9. Преобразование геодезических координат к плоским прямоугольных для широкой координатной зоны проекции Гаусса / В. Н. Баландин, А. И. Ефанов, И. В. Меньшиков, Ю. Г. Фирсов // Геодезия и картография. - 2014. - № 8. - С. 21-23.
10. Лашков Н. П. Разностный метод определения параметров преобразования одной системы пространственных координат к другой // Изв. вузов. Геодезия и аэрофотосъемка. -2002. - № 6. - С. 35-42.
Получено 09.01.2019
Чан Тхань Шон, А. А. Кузин, 2019
Вестник CTyTuT, Tom 24, № 1, 2019
ALGORITHM OF TRANSFORMING COORDINATES FROM A GEOCENTRIC SYSTEM TO A TOPOCENTRIC SYSTEM AND ITS APPLICATION IN CONSTRUCTION IN VIETNAM
Thanh Son Tran
St. Petersburg Mining University, 2, 21 line, Vasilyevsky Island, St. Petersburg, 199106, Russia,
Ph. D. Student, Department of Engineering Geodesy, phone: (931)204-16-85, e-mail: sonphuong85@mail.ru
Anton A. Kuzin
St. Petersburg Mining University, 2, 21 line, Vasilyevsky Island, St. Petersburg, 199106, Russia, Ph. D., Associate Professor, Department of Engineering Geodesy, phone: (911)958-62-83, e-mail: kuzin_aa@pers.spmi.ru
Geodesic and cartographic works in Vietnam are performed in the state reference coordinate system VN-2000. The use of satellite methods implies coordinate determinations in a spatial geocentric coordinate system. This process is the consequence of complex multi-stage transformations between coordinates systems, which is followed by an accuracy decrease of the results of satellite observations in various territories of Vietnam. This article proposes to perform a transformation from a geocentric to a local topocentric rectangular horizontal coordinate system. Its advantage is an easier algorithm, which allows to determine the position of points on the earth's surface by satellite method without reducing accuracy. The transformation algorithm has been tested when creating geodetic control network in the process of construction in Ki Son area, HoaBinh Province, Vietnam. There are also two questions which were considered in this article: a projection for the object construction and a comparative analysis of the satellite observations results with those of ground observations, which were performed with the use of total stations.
Key words: projection, geocentric coordinate system, topocentric coordinate system, VN-2000 coordinate system, satellite definitions, transition parameters, total station, correction.
REFERENCES
1. Balandin, V. N., Bryn', M. Ya., Habarov, V. F., & Yus'kevich, A. V. (2003). Sputnikovye i tradicionnye geodezicheskie izmereniya [Satellite and traditional geodetic measurements]. St. Petersburg: FGUP Aehrogeodeziya Publ., 112 p. [in Russian].
2. Balandin, V. N., Men'shikov, I. V., & Firsov, Yu. G. (2016). Preobrazovanie koordinat iz odnoj sistemy v druguyu [Transformation of coordinates from one system to another]. St. Petersburg: LLC "Sborka" Publ., 90 p. [in Russian].
3. Klyushin, E. B., Mihelev, D. Sh., Zajcev, A. K., Barkov, D. P., Piskunov, M. E., Gorbenko, O. I., & Skokova, R. F. (1993). Praktikum po prikladnoj geodezii. Geodezicheskoe obespechenie stroitel'stva i ehkspluatacii inzhenernyh sooruzhenij [Workshop on applied geodesy. Geodetic support of the operation and maintenance of engineering structures]. Moscow: Nedra Publ. [in Russian].
4. Bowring, B. R. (1976). Transformation from spatial to geographic coordinates. Survey Review, No. XXIII. 181 (pp. 323-327).
5. Ngo Van Hoi. (2005). The Vietnam State System of Coordinate and attentions required to be paid when applying it to design and construction. Journal of Construction Science and Technology, 3, 33-36 [in Viet Nam].
6. Nguyen Quang Phuc. (2008). Researching on using suitably the horizontal coordinate in engineering surveying). Journal Geodesy and Cartography, 3, 2- 6 [in Viet Nam].
7. Mustafin, M. G., & Tran Thanh Son. (2018). The use of a topocentric rectangular coordinate system for solving engineering and geodetic problems. Vestnik SGUGiT [Vestnik SSUGT], 23(3), 61-73 [in Russian].
8. Ogorodova, L. V. (2006). Vysshaya geodeziya: Chast' III, Teoreticheskaya geodeziya [Higher Geodesy: Part III, Theoretical Geodesy]. Moscow: Geodezkartizdat Publ., 384 p. [in Russian].
9. Balandin, V. N., Efanov, A. I., Menyshikov, I. V., & Firsov, Yu. G. (2014). Transformation of geodetic coordinates to flat rectangular ones for wide coordinate zone of Gauss projection. Geodeziya i kartagrafiya [Geodesy and Cartography], 8, 21-23 [in Russian].
10. Lashkov, N. P. (2002). Difference method for determining the transformation parameters of one system of spatial coordinates to another]. Izvestiya vuzov. Geodeziya I aehrofotos"emka [Izvestiya Vuzov. Geodezy andAerophotography], 6, 35-42 [in Russian].
Received 09.01.2019
© Thanh Son Tran, A. A. Kuzin, 2019
