Использование среды MathCAD для расчета оптических систем в области аберраций третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Физика»

МЕТОДИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ

УДК 535.317.6

С. М. Марчук

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СРЕДЫ МАТИСАБ ДЛЯ РАСЧЕТА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В ОБЛАСТИ АБЕРРАЦИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Рассматривается пример использования среды МаШСАЭ для расчета оптических систем в области аберраций третьего порядка. Приведены результаты расчета объектива типа „триплет" с исправленными монохроматическими аберрациями третьего порядка, хроматизмом положения и увеличения. Представлен сравнительный анализ результатов, полученных в среде МаШСАЭ, с результатами моделирования.

Ключевые слова: расчет оптических систем, МаМСЛБ, аберрации третьего порядка.

Теория аберраций третьего порядка во многих случаях позволяет разработать оптическую систему, в первом приближении удовлетворяющую заданным требованиям и пригодную для последующей оптимизации ее параметров с использованием программы автоматизированной коррекции (оптимизации) оптических систем.

Однако расчет оптической системы произвольной конфигурации (с учетом числа ее компонентов, их взаимного расположения, положения предмета и входного зрачка) по формулам теории аберраций третьего порядка довольно трудоемок и в настоящее время не автоматизирован.

В настоящей статье в качестве инструмента, облегчающего проведение расчетов, предлагается использовать систему компьютерной математики МаШСАО, позволяющую в необходимой степени автоматизировать процесс вычислений и при этом сохранить наглядность, свойственную аналитическим методам.

Рассмотрим применение среды МаШСАО на примере расчета объектива типа „триплет", используя методику расчета, приведенную в работе [1]. Выбор методики обусловлен тем обстоятельством, что последовательность вычислений, изложенная в этой работе, представляет собой наглядный пошаговый алгоритм, который без изменений может быть реализован средствами МаШСАО.

Алгоритм расчета объектива выполняется в два этапа (рис. 1): на первом этапе вычисляются оптические силы линз (в предположении, что линзы объектива бесконечно тонкие) и расстояния между линзами исходя из условий коррекции кривизны изображения, хроматизма положения и увеличения при заданном фокусном расстоянии объектива; на втором этапе определяется кривизна поверхностей линз объектива исходя из условий коррекции сферической аберрации, астигматизма и комы объектива. Дисторсия корригируется изменением величины отношения оптических сил третьей и первой линз.

1. Вычисление оптических сил и расстояний между линзами объектива

1.1. Вычисление отношения К оптических сил третьей и первой линз

1.2. Вычисление значений оптических сил линз

1

1.3. Вычисление расстояния между первой и второй линзами <-

1

1.4. Вычисление расстояния Б2 между второй и третьей линзами

1

1.5. Расчет параметров второго параксиального луча

1

1.6. Расчет хроматизма увеличения -

1

1.7. Вычисление фокусного расстояния объектива

2. Определение формы линз объектива

2.1. Вычисление астигматизма первой и второй линз

2.2. Исправление астигматизма объектива

2.3. Исправление комы объектива

2.4. Вычисление сферической аберрации второй линзы

1

2.5. Вычисление сферической аберрации объектива

1

2.6. Вычисление дисторсии объектива

Рис. 1

Схема объектива приведена на рис. 2, где ф1, ф2, Фз — оптические силы первой, второй и третьей линз; 81, 82 — расстояния между линзами; с, С3, С5 — кривизна поверхностей линз (используется в качестве коррекционных параметров для устранения сферической аберрации, комы и астигматизма соответственно).

¿1

¿2

¿3

Б1

С4 С5

Б2

Ф1

Ф2 Рис. 2

Сб

Фз

Пусть требуется рассчитать объектив со следующими характеристиками: фокусное расстояние /' = 100 мм, относительное отверстие Б / /' = 1:3,5, угловое поле 2ш = 30° :

f' : = 100

Ф : = 1/f'

Ф = 0.01

о : = ■

15* п 180

о = 0.261799 рад,

где Ф — оптическая сила объектива.

1.1. Отношение K оптических сил третьей и первой линз объектива принимается равным 1,34 (в первом приближении значение K задается произвольно, затем изменяется для обеспечения требуемого значения дисторсии):

K:=1.34.

1.2. Оптическая сила ф! первой линзы принимается равной 0,016475 (в первом приближении значение ф! задается произвольно, затем изменяется для обеспечения требуемого значения оптической силы объектива):

9^ = 0.016475 ф3 := K* ф1 ф3 =0.022077.

В качестве материала положительных линз выбрано стекло марки N-LAK7, отрицательной линзы — стекло N-SF2 из каталога SCHOTT [2]. Показатели преломления nd и коэффициенты дисперсии :

(1.6516 ^ (58.52^1

n : =

1.64769

v1.6516 j

v : =

33.82

v5 8.52j

Вычисляется величина изображения: Ь: = £' *и 1п = 26.179939. Радиус кривизны Петцваля принимается равным

р:=-4х£ р = -400.

Для аберраций и параметров используются обозначения, принятые в работе [1]. Вычисляется сумма Петцваля:

SPC : = --

h2

2* р

SPC = 0 . 856736.

Сумма Петцваля выражается через оптические силы линз и решается уравнение относительно ф2 :

explicit,SPC

h

фф2: =-* ^ = SPC

i=1

f

solve,ф2 ^

expand,р collect,n2

V n1

фз

n

Л

з

* n.

р j

фф2 = -0.034341

ф2 : = фф2

ф =

(0.016475 ^

-0.034341

V0.022077 j

1.3. Задается расстояние между первой и второй линзами:

Б1: = 15.4.

Расстояние 81 используется в качестве коррекционного параметра для устранения хроматизма увеличения; в первом приближении значение 81 задается произвольно, затем изменяется для обеспечения требуемого значения хроматизма увеличения.

1.4. Вычисляется расстояние 82 между второй и третьей линзами исходя из условия равенства нулю хроматизма положения. Для этого рассчитываются параметры первого параксиального луча:

2

ya

f'

._ 3.5 ' 2

u1._ 0

u'k . _ -Ф x ya

u'k _ -0.142857

y1 =14.285714

У1: = Уа и2: = и1 -У1 х ф1 у2:= у1 +и2 *Б1

и3: = и2-У2 ХФ2

где уа — 0,5 диаметра входного зрачка объектива; и, у — угол луча с оптической осью и высота луча соответственно; и'к— угол луча с оптической осью в пространстве изображений.

Уравнение, определяющее условие равенства нулю хроматизма положения, решается относительно у3 :

u2 _-0.235357 y2 _10.661214 u3 _ 0.1307 6,

УУ3:_ — x Z

uk i_1

_ 0

explicit, u'k f12.394905 N

^ yy3 =

solve, y3 ^-12.394905^

высота Уз имеет тот же знак, что и y, поэтому

y3: = yy31 y3 = 12.3 94 905 .

Зная Уз, нетрудно вычислить S2:

solve, S2

S2._y3 _ y2 +u3 xS2

explicit collect, u3

У3-У2

S2_13.258599.

u

1.5. Для вычисления хроматизма увеличения рассчитывается ход второго параксиального луча:

ир1 := ш ир1 =0.261799 ур1: =-5.402 ,

uP2 ._uP1 -УР1 x Ф1 yp2 . _ yp1 + up2 xS1 up3 ._ up2 - yp2 x ф2 yp3 ._ yp2 + up3 xS2

up4 ._up3-yp3 ХФ3

up2_ 0.350797 yp2 _ 0.000279 up3_ 0 . 350807 yp3 _ 4.651487 up4 _ 0.248118,

где ир, ур — угол луча с оптическои осью и высота луча соответственно; величина ур1 подбирается таким образом, чтобы высота ур2 луча на второй линзе была равна нулю (в предположении, что диафрагма совмещена со второй линзой). 1.6. Вычисляется хроматизм увеличения:

13

-V Z

uk

yi x ypi x 9i

_-0.000148;

i_1

если полученное значение отлично от требуемого, возврат к п. 1.3 и повтор вычислений с изменением значения 81.

1.7. Вычисляется фокусное расстояние /' объектива:

Ф._.

-y1

-y3 x Ф3 Ф_0.010001

u _-0.142876

4

f '._-

f'_99.986514;

Ф

v

1

u

4

если полученное значение /' отлично от требуемого, возврат к п. 1.2 и повтор вычислений с изменением значения ф1; для сокращения числа итераций осуществляется построение графика зависимости Ф(ф1) (рис. 3), откуда нетрудно найти требуемое значение ф1 = 0.016475 .

Ф

0,1 0,00995 0,0099 0,00985 0,0098 0,00975

ф1

0,0164 0,01645 0,0165 Рис. 3

Кривизна поверхностей линз определяется исходя из условий устранения сферической аберрации, комы и астигматизма. Согласно работе [1] в выражения для поперечных аберраций входят величины, зависящие от параметров 1-го и 2-го параксиальных лучей и показателей преломления материалов линз:

: =

: =

1:=1..3

(п )2* ("1-1)

2

(п1+2)х (П1-1)

^ : =

УР1

и,

V ■ : ='

С, : = •

Ф1

: =

05 : =

У1 У1

(2х"1+1)х(п -1)

2

2х ( П1+1) х( П1-1)

: =

: =

"1-1

(3х"1+1) х (П1-1)

(3хп1+2)х(п1-1)

2хП

2х п ■

:= (2х"1+1)х(П1-1) := П1 х(П1-1)

2хп

2.1. Задается кривизна с:

С1 :=0.024958;

в первом приближении значение с задается произвольно, затем изменяется таким образом, чтобы сферическая аберрация объектива не превышала допустимого значения; вычисляется кривизна ¿2:

С^2 : С^1 С1

с2 =-0.000326.

Поперечный астигматизм (астигматизм в поперечной мере) первой линзы определяется выражением

где

ТБС1:=

ТАСбб, : = ТАС1 + 2х01 хСС1 +(01)2 хТБС1,

(У1)х[011 х(С1)3 -021 х(С1)2 хс1 -031 х(С1)2 «V! + и.

+ 04, хС х(с1)2+051 хС1 хс. х V, +06, хС, х(V, )2]

ТБС, = -0.973805

СС1 : = -УР4 х(У1) х

0 . 25 х05, хС, х с, +07, хС, х V, -08, х(С1)

СС, = 0 . 074348

П

2

TAC1:=

(yp4) хф1 xu4

2

TAC1 = -0. 806447

тогда

TACss1 = -1.00192 .

При ур2 ~ 0 величина поперечного астигматизма второй линзы пропорциональна ее оптической силе ф2 :

TAC2:=

(yp4) хф2хи4

TAC = 1.680984 .

2.2. Осуществляется исправление астигматизма в плоскости изображения:

STAC: = 0.

Поперечный астигматизм TACss3 третьей линзы определяется выражением, аналогичным выражению для TACss1:

TACss3 : = TAC3 +2xQ3 xCC3 +(Q3)2 xTSC3,

где

TAC3:=

(yp4) х Ф3 х u4

Астигматизм STAC в плоскости изображения равен сумме величин TACss1, tac2 и TACss3. Уравнение для STAC решается относительно е5 :

substitute,CC3 substitute,TSC3 explicit solve, c5

CC3 = -yp4 х (у3 )2 х К25 х G53 x C3 x C5 + G73 x C3 x V3 - g83 x (C3 )

cc5: = STAC = TACss, +TAC2+TAC3+2xq3 xCC3+(Q3)2 xtsc

TSC3 =

_(У3 )4

u

G13 х (C3)3 - G23 х (C3)2 xc5 - G33 х (C3)2 х V3 + G43 х C3 х (c5 )2 +

+ G53 х C3 xc5 х v3 +G63 х C3 x (v3)

f0.004684 ^ cc5 = I;

^-0.063592J

из двух решений выбирается наименьшее по абсолютному значению

и вычисляется кривизна c6 :

c5:=cc51 c5 = 0.004684

c6: = c5-C3 c6 =-0.029197.

2.3. Вычисляется величина комы, вносимой первой линзой:

ссзб1: = СС1 +01хТБС1 ССББ! = 0.4 425 83; кома третьей линзы определяется по формуле

ссббз : = СС3 + 03 х ТБС3,

где

CC3 : = -yp4 х(Уэ) х

0 . 25 xg53 хс3 xc5 +G73 хс3 xv3 -G83 x(c3)

CC3 = 0.930033

ТЭСз:=

(У ^) з ? ? ?

—^*[G13 *(с3)3 -G23 *(С3)2 *c5 -G33 *(с3)2 *v3 +G43 *С3 *(c5)2 +

+G53 xC3*c5*v3 +G63 *с3 x(v3)2] CCss3 : = CC3 +Q3 *TSC3

TSC3 = -2. 105082 ;

CCss3 = 0.14005.

Сагиттальная кома объектива определяется выражением

SCC : = CCssl + CC2 +CCss3,

где CC2 — кома второй линзы; это выражение приравнивается к нулю и полученное уравнение решается относительно c3:

substitute,CC2

cc3: = 0 = CCssl + CC +CCss3

2

explicit solve, c3

CC2 = -h*(y2)2 x 0. 25 *G52 *C2 *c3 +G72 *C2 *v2 -G82 *(c2)z

c3 : = cc3

c =-0.025649 ;

-3

вычисляется кривизна четвертой поверхности:

c4:=c3-C2 c4 = 0.027372.

2.4. С учетом кривизны С3 третьей поверхности вычисляется величина сферической аберрации второй линзы:

ТБС2 :=(У2) х[012 >(С2)3 -G22 >(С2)2 >с3 ^32 >(С2)2 xv2 +G42 ><с2 >(с3)2 +

+G52 *с2 *c3 *v2 +G62 *c2 x(v2) ]

TSC2 = 3 .080114.

2.5. Сферическая аберрация 2ТБС объектива равна сумме величин ТБС1, ТБС2 и ТБС3 : ЕТБС : = ТБС1 +ТБС2 +ТБС3 ЕТБС = 0.001227 ;

если величина ЕТБС превышает допустимое значение, возврат к п. 2.1 и повтор вычислений с изменением значения с ; для сокращения числа итераций осуществляется построение графика зависимости ЕТ8С (с) (рис. 4), откуда нетрудно найти требуемое значение с = 0.024958.

-0,005

-0,01

0,0248 0,024852 0,024805 0,024958 с1 Рис. 4

2.6. Оценивается величина дисторсии. Величина дисторсии, вносимой первой линзой:

ВС5Б1 : = БС1 +<21 х (ТРС1 +3>ТАС1 ) + 3> (о1 )2 хСС1 + (о1 )3 >ТБС1,

где

u

4

DC1 : = 0

TPq : = ■

TAC,

TPC1 = -0. 4 8 8283.

тогда DCss1 = 1.184036 .

Вторая линза дисторсии не вносит: dc2 : = 0. Дисторсия DCss3 третьей линзы вычисляется по формуле, аналогичной DCss1:

TAC

DC3 := 0

TPC3:=■

ЭСзз3 : = ЭС3 +<23 х (ТРС3 + 3*ТАС3 ) + 3* (3 )2 хСС3 + (3 )3 *ТБС3

ЭСзз3 =-1.180472.

Дисторсия объектива равна сумме величин ЭСзз1, ЭС2 и ЭСзз3:

ЕЭС : = РСзз1 +РС2 +РСзз3 ЕЭС = 0.003564 ;

если величина ЕЭС недопустимо велика, возврат к п. 1.1 и повтор вычислений с изменением значения из построенного графика зависимости ЕОС (K) (рис. 5) следует, что близкое к нулю значение дисторсии достигается при K = 1,34.

ЕБС

0,025

-0,025

-0,05

1,33

1,37

K

1,34 1,36 Рис. 5

Параметры рассчитанного объектива представлены в табл. 1, где г — радиусы кривизны поверхностей, d — расстояния между вершинами поверхностей линз объектива.

Таблица 1

n

1

n

3

0

r d nd

40,0673 0 1,6516

-3068,2704 15,4 —

-38,9886 0 1,64769

36,5334 13,2586 —

213,5019 0 1,6516

-34,2505 — —

В целях проверки правильности значений параметров были вычислены аберрации объектива с использованием программы автоматизированного проектирования оптических систем (АПОС) и произведен их сравнительный анализ их с величинами, полученными в среде MathCAD (табл. 2). Для удобства сравнения поперечные аберрации приведены к коэффициентам Si—Sv Зейделя:

= -2^4 ZTSC ; Sn = -2u4 ZCC; £ш = -2u4 ZTAC;

SiV = -2u4 ETPC, ETPC = u4 EPC ; Sv = -2u4 EDC .

Использование среды MathCAD для расчета оптических систем 89 _Таблица 2

Программа Si Sii siii SIV Sv Хроматизм положения Хроматизм увеличения

АПОС 0,000351 0,000046 -0,000009 -0,036631 0,001142 0,000539 -0,000152

MathCAD 0,000351 0 0 -0,034978 0,001018 0 -0,000148

Отметим в заключение, что последовательность расчета, представленная на рис. 1, реализована в одном МаШСАО-документе — все выражения „записаны" на одном „рабочем листе", что позволяет легко проследить взаимосвязь параметров рассчитываемого объектива и, как следствие, сократить время вычислений на этапе выбора принципиальной оптической схемы [3].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Smith W. J. Modern Optical Engineering. N. Y.: McGraw-Hill, 2000.

2. Оптическое стекло. Описание свойств. SCHOTT, 2011.

3. Вычислительная оптика: Справочник / М. М. Русинов, А. П. Грамматин, П. Д. Иванов и др.; Под общ. ред. М. М. Русинова. Л.: Машиностроение, 1984.

Сведения об авторе

Сергей Михайлович Марчук — канд. техн. наук, доцент; Томский политехнический университет, ка-

федра информатики и проектирования систем; E-mail: sergm@ad.cctpu.edu.ru, sergey.marchuk@yahoo.com

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

информатики и проектирования 05.03.14 г.

систем